Kapittel 9: Estimering

Transkript

1 Kapittel 9: Estimeing TMA445 Statistikk 9.8,9.9: Estimeing, to utvalg. 9.6: Pediksjonsintevall p.1/13 Repetisjon: Punkt-og intevall-estimeing, eitt utvalg La X 1, X,..., X n vee eit tilfeldig utvalg få ein n(x; µ, σ)-populasjon. Geneelt: Kan finne punktestimato ved intuisjon/tolking av paameteen elle ved matematisk metode, fo eksempel SME. Estimato fo µ: ˆµ = X = 1 n n i=1 X i, med E( X) = µ, Va( X) = σ n. Desom σ e ukjent e S = 1 n 1 n i=1 (X i X) ein estimato fo σ. (1 α)100% konfidensintevall fo µ: [ x z α σ, x + z α σ (σ kjent) [ x t α,(n 1) s n, x + t α,(n 1) s (σ ukjent) Mek: Konfidensintevalla kan skivast (Kap. 9.5) punktestimat ± z α std.avvik til punktestimat og punktestimat ± t α,(n 1) std.avvik til punktestimat TMA445: Kapittel 9-del4 p./13

2 To utvalg Eksempel: Medisin: Test av ny blodtykksmedisin. Ko mykje bete e han enn noveande maknadsleiande blodtykksmedisin? Epidemiologi: E andelen kefttilfelle blant tidlegae kjemi-studenta ved Rosenbog støe enn i befolkninga elles? Mateialslitasje: Kva gi støst slitasje - italiensk mamo elle nosk ganitt? Bensinfobuk: Kva fo ein av to biltype buke minst bensin? Kva fo ein av to bensintype e dygast? Statistisk situasjon: Ønskje å samanlikne to populasjona baset på eit tilfeldig utvalg få kva populasjon. Ønskje å anslå diffeansen mellom foventningsvedi (elle andel) i dei to populasjonene, og eit intevall de vi ha sto tillit til at den sanne diffeansen i foventningsvedi (elle andel) ligg. Samanlikningane kan vee pavise elle ikkje pavise. TMA445: Kapittel 9-del4 p.3/13 To utvalg: Estimatoa (nomalfodeling) X (1) 1, X(1) X () 1, X(),..., X(1) : tilfeldig utvalg få ein n(x; µ 1, σ 1 )-populasjon,..., X() n : tilfeldig utvalg få ein n(x; µ, σ )-populasjon. Estimato fo µ 1 µ : ˆµ 1 ˆµ = X 1 X = 1 n1 i=1 X(1) i 1 n n j=1 X() j (intuitiv og SME). X 1 X e nomalfodelt med Desom σ 1 og σ e kjente så e E( X 1 X ) = µ 1 µ Va( X 1 X ) = σ 1 + σ n Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ 1 + σ n n(z; 0, 1). TMA445: Kapittel 9-del4 p.4/13

3 To utvalg: konfidensintevall fo µ 1 µ nå σ 1 og σ e kjente Desom X 1 og X e gjennomsnitta til to tilfeldige utvalg av stoleik og n få populasjona med kjent vaians σ 1 og σ, så e eit (tilnæma) (1-α)100% konfidensintevall fo µ 1 µ ( x 1 x ) z α σ 1 + σ n (µ 1 µ ) ( x 1 x ) + z α σ 1 + σ n de z α e vedien i standad nomalfodelinga som ha aeal α til høge, dvs. P(Z > z α ) = α. TMA445: Kapittel 9-del4 p.5/13 Eksempel: Bensinfobuk Poblemstilling: Vil samanlikne to biltype A og B med tanke på skilnade i divstoffobuk. La Xi A vee #km/lite fo bil numme i, type A. La Xj B vee #km/lite fo bil numme j, type B. Anta at Xi A N(µ A, σa ), med kjent σ A =. Anta at Xj B N(µ B, σb ), med kjent σ B = 3. Obsevasjona: Gje n A = 1 målinga på bil A, med gjennomsnitt x A = 10 km/lite. Gje n B = 10 målinga på bil B, med gjennomsnitt x B = 8 km/lite. Vil finne 95% konfidensintevall fo µ A µ B. Estimato: ˆµ A ˆµ B = X A X B. Punktestimat: x A x B = km/lite. 95% konfidensintevall: α = 0.05, zα = z 0.05 = 1.96, [ , = [0.66,3.34 TMA445: Kapittel 9-del4 p.6/13

4 To utvalg: σ 1 = σ, men ukjente Desom σ 1 σ laga vi S 1 = 1 1 i=1 i X 1 ) og S = 1 n n 1 (X (1) j=1 (X () j X ) Desom vi veit at σ 1 = σ = σ så kan vi lage ein estimato S p (pooled) fo σ som ein lineækombinasjon av S 1 og S : S p = n 1 S 1 + n n 1 S = ( 1)S 1 + (n 1)S + n de X 1 = 1 n1 i=1 X(1) i og X = 1 n n j=1 X() j. TMA445: Kapittel 9-del4 p.7/13 To utvalg: konfidensintevall (1 α)100% konfidensintevall fo µ 1 µ : nå σ1 og σ e kjente: [( x 1 x ) ± z α s σ 1 + σ n nå σ 1 = σ = σ, men ukjente: s 1 [( x 1 x ) ± t α,( +n )s p + 1 n nå σ1 og σ e ukjente og ulike (tilnæma (1 α)100% konfidensintevall): s s 1 [( x 1 x ) ± t α,ν + s n de ν = (s 1 / + s /n ) [(s 1 /) /( 1) + [(s /n ) /(n 1) TMA445: Kapittel 9-del4 p.8/13

5 Eksempel: Bensintype Poblemstilling: (Henta få "The Catoon Guide to Statistics".) Vil samanlikne to type bensin, med tanke på fobuk pe km. To fosøksstategia: 1. Utsty n A tilfeldig valgte dosje med bensin av type A, og n B tilfeldig valgte dosje med bensin av type B. La X A i, i = 1,..., n A vee bensinfobuk (i km/l) til bilane med type A-bensin. La X B j, j = 1,..., n B vee bensinfobuk (i km/l) til bilane med type B-bensin. X A 1, XA,..., XA n A, X B 1, XB,..., XB n B alle uavhengige.. Utsty n tilfeldig valgte dosje med type A-bensin ein dag, og type B-bensin ein annan dag. La Xi A, i = 1,..., n vee bensinfobuk av type A-bensin på dei n bilane. La Xi B, i = 1,..., n vee tilsvaande bensinfobuk av type B-bensin på dei n bilane. X A i og X B i e ikkje uavhengige, typisk e Cov(X A i, XB i ) > 0. Paa (X1 A, XB 1 ),(XA, XB ),...,(XA n, XB n ) e uavhengige. Kva fo ein stategi e best? TMA445: Kapittel 9-del4 p.9/13 Konfidensintevall fo µ 1 µ fo pavise obsevasjona Desom d og s d e gjennomsnittet og standadavviket til nomalfodelte diffeansa av n pa av tilfeldige obsevasjona, så e eit (1-α)100% konfidensintevall fo µ D = µ 1 µ d t α,(n 1) s d µ D d + t α,(n 1) s d de t α,(n 1) e vedien i t-fodelinga med n 1 fidomsgade som ha aeal α til høge, dvs. P(T > t α,(n 1) ) = α. Se at dette e i tåd med konfidensintevall fo µ fo eitt utvalg: x t α,(n 1) s µ x + t α,(n 1) s TMA445: Kapittel 9-del4 p.10/13

6 Eksempel: Bensintype (fots.) Velge stategi. Obsevasjona (få "The Catoon Guide to Statistics"): n = 10 fosøk med obsevete vedia fo D i = Xi A Xi B (miles/gallon): i d i Anta D 1, D,..., D n u.i.f, D i N(µ D, σd ), de både µ D og σd e ukjente. Estimato fo µ D : ˆµ D = D, estimat d = Estimato fo σ D : ˆσ D = S D = 1 n 1 P n i=1 (D i D), estimat s d = % konfidensintevall fo µ D = E(D i ): α = 0.05, t α,n 1 = t 0.05,9 =.6, s d s d [ d t α,(n 1), d + t α n,(n 1) n = [ , = [ 1.04, Mek: Konfidensintevallet inneheld ikkje 0, og begge gensene e negative. Det e defo imelig å konkludee med at det e skilnad på bensintypene, dvs. µ D < 0. TMA445: Kapittel 9-del4 p.11/ Pediksjonsintevall fo famtidig obsevasjon, nomalfodeling Fo ei nomalfodeling med ukjent foventningsvedi µ, men kjent vaians σ, e eit (1-α)100% pediksjonsintevall fo ein famtidig obsevasjon x 0 gitt som x z α σ n < x 0 < x + z α σ n de z α e vedien i standad nomalfodelinga som ha aeal α P(Z > z α ) = α. til høge, dvs. Fo ei nomalfodeling med ukjent foventningsvedi µ, og ukjent vaians σ, e eit (1-α)100% pediksjonsintevall fo ein famtidig obsevasjon x 0 gitt som x t α,(n 1)s n < x 0 < x + t α,(n 1)s n de t α,(n 1) e vedien i t-fodelinga med n 1 fidomsgade som ha aeal α til høge, dvs. P(T > t α,(n 1)) = α, og s = P n i=1 (x i x) TMA445: Kapittel 9-del4 p.1/13

7 Eksempel: Høgde studenta Menn Kvinne tettleik tettleik hogde, menn hogde, kvinne Raudt: ˆµ og 95% konfidensintevall fo µ. Blått: 95% pediksjonsintevall fo famtidig obsevasjon av høgda til ein student. TMA445: Kapittel 9-del4 p.13/13