Formelsamling i medisinsk statistikk

Transkript

1 Fomelsamling i medisinsk statistikk Vesjon av 5. juni 2009 Dette e en fomelsamling til O. O. Aalen (ed.): Statistiske metode i medisin og helsefag, Gyldendal, Mek at boken ha en nettside de det e lagt ut ettelse og suppleende stoff, se Gjennomsnitt Median = ( ) Alle obsevasjone odnes i stigende ekkefølge. Ved ulike antall obsevasjone, e medianen definet som den midteste av dem.ved like antall, e medianen definet som gjennomsnittet av de to midteste. Standadavvik v u = t X ( ) 2 = Guppete data Intevallmidtpunkte 2. Hyppighete 2. Totalt antall obsevasjone:. Gjennomsnitt og standadavvik e gitt ved: = ( )= v u = t X { ( ) 2 } = X Median og faktile fo guppete data finnes ved lineæ intepolasjon. Insidens og pevalens Pevalens angi andelen i befolkningen som ha en viss sykdom. Insidensaten beegnes som antall nye tilfelle av sykdommen ove et tidsintevall, dividet med totalt antall pesonå unde isiko. =

2 Regneegle fo sannsynlighet Hvis begivenhetene og e disjunkte has ( ) = ()+ () Fo alle begivenhete og has ( ) = ()+ () ( ) Definisjon av betinget sannsynlighet ( ) ( ) = () Begivenhetene og e uavhengige hvis ( ) = () () En tilsvaende poduktegel e gyldig om vi ha flee uavhengige begivenhete. Regelen om total sannsynlighet () = ( ) ()+ ( ) () Bayes lov () ( ) ( ) = () ( )+ () ( ) Diagnostiske teste Sensitivitet: Sannsynlighetfopositivtestgittatdetfoeliggesykdom. Spesifisitet: Sannsynlighet fo negativ test gitt at det ikke foeligge sykdom. Positiv pediktiv vedi: Sannsynlighet fo at det foeligge sykdom gitt postiv test. Negativ pediktiv vedi: Sannsynlighet fo at det ikke foeligge sykdom gitt negativ test. Kombinatoikk Tekning av kule fa en boks med kule. Antall odnede utvalg med tilbakelegging Antall odnede utvalg uten tilbakelegging ( )( 2) ( +) Antall ikke-odnede utvalg uten tilbakelegging µ ( )( 2) ( +) =! 2

3 Foventningogvaiansfoteoetiskfodeling E() = X alle ( = ) Va() = X alle ( E()) 2 ( = ) Regneegle fo foventning og vaians E( + ) =E()+ Va( + ) = 2 Va() SD( + ) = SD() E( )=E( )+E( 2 )+ +E( ) Hvis 2 e pavis stokastisk uavhengige has: Va( )=Va( )+Va( 2 )+ +Va( ) Binomisk fodeling Sannsynligheten fo at en begivenhet innteffe gange i løpet av binomiske fosøk, e µ ( = ) = ( ) =0 Foventning og vaians i binomisk fodeling e gitt ved: E() = Va() =( ) Poissonfodeling Sannsynligheten fo foekomste, nå foventning e lik, egittved: ( = ) =! fo =0 2 Foventningogvaiansegittved: E() = og Va() = Poissonfodelingen anvendes også ved Poissonposesse. Nomalfodeling En stokastisk vaiabel sies å væe nomal ( ) hvis den følge en nomalfodeling med foventning (sentum) og standadavvik (spedning). Den standadisete vaiable =( ) e nomal (0,). Sannsynlighetstettheten til nomalfodelingen e gitt ved følgende fomel: () = ( )2 exp( ) de exp() e det samme som eksponensialfunksjonen. 3

4 Fomle fo gjennomsnitt La væe gjennomsnittet av de uavhengige vaablene 2. gjelde: Da E() = Va() = 2 SD() = = Hvis vaiablene også e nomalfodelte, vil et konfidensintevall væe gitt ved ± de bestemmes ut fa Studentfodelingen med fihetsgade. En teststøelse e gitt ved = = og denne e Studentfodelt med fihetsgade nå 0 : = gjelde. Sammenlikning av padata Man ta diffeansen innenfo hvet pa og buke konfidensintevallet og teststøelsen ove med =0. Foutsetningen e at diffeansene e uavhengige og nomalfodelte. Sammenlikningavtogjennomsnitt Vi foutsette uavhengige og nomalfodelte obsevasjone. Foøvig antas gjennomsnittene å komme fa to uavhengige utvalg. Følgende teststøelse e Studentfodelt med fihetsgade nå 0 gjelde = q de e definet ved s ( ) 2 = +( 2 ) Et konfidensintevall e gitt ved 2 ± + 2 de e bestemt av Studentfodelingen med fihetsgade. 4

5 Poissonfodeling som tilnæming til binomisk fodeling Binomisk fodeling kan tilnæmes med en Poissonfodeling hvis: () 005 og (2) 50 Nomalfodeling som tilnæming til binomisk fodeling Nå i en binomisk fodeling e så sto at 5 og ( ) 5, vilden binomiske fodelingen likne mye på en nomalfodeling med paamete = = p ( ) Nomalfodeling som tilnæming til Poissonfodeling Nå i en Poissonfodeling e minst lik 5, vil Poissonfodelingen likne mye på en nomalfodeling med paamete = = Estimeing av sannsynlighet (andel) Hvis det e obsevet foekomste ved binomiske fosøk, e estimatet fo sannsynligheten gitt ved, mens estimet standadfeil e gitt ved ( = = ) Fodelingen til e tilnæmet nomalfodelt qunde de samme foutsetninge ( ) som fo binomisk fodeling, med = og =. Et 95% konfidensintevall fo e gitt ved ± 2 Testing av nullhypotese om en sannsynlighet = 0 p 0 ( 0 ) Teststøelse fo sammenlikning av to sannsynlighete (andele) 2 = q ( + 2 )( ) 5

6 Konfidensintevall fo diffeanse mellom to andele 2 ± 96 s ( ) + 2 ( 2 ) 2 Teststøelse fo sammenlikning av to Poissonvaiable = Konfidensintevall fo elativ isiko Relativ isiko: Hjelpestøelse: = ( + ) ( + ) = % konfidensintevall fo : ( ) Konfidensintevall fo odds-atio Odds-atio: Hjelpestøelse: = = = 95% konfidensintevall fo : Kji-kvadattest ( ) Kji-kvadattesten fo en 2 2-tabell kan beegnes ut fa følgende fomel: 2 = ( ) 2 ( + )( + )( + )( + ) 6

7 Fomelen e baset på oppsettet i tabellen øvest s. 30 i læeboken, de e summen av tallene i tabellen. Fomelen e ikke gitt i boken, men gi samme sva som beegningen av støelsen på s. 36. En fomel som også e gyldig fo støe tabelle, med kolonne og ade, e den følgende: 2 = X ( ) 2 He e og det obsevete og foventede antall foekomste i de enkelte celle og summen skal tas ove alle cellene i tabellen. Antall fihetsgade i kji-kvadatfodelingen e ( ) ( ). Fo en 2 2-tabell gi dette én fihetsgad. Regesjonsanalyse Helningskoeffisienten,, og skjæingspunktet med -aksen,, fo minste-kvadateslinjen e gitt ved ˆ = 2 ˆ = ˆ de og e standadavvikene til henholdsvis x- og y-vediene, mens e definet ved = X ( )( ) = Minste kvadatsum e gitt ved est = X ( ˆ ˆ ) 2 =( )( 2 ˆ ) = Standadavvik som måle vaiasjonen i punktene undt den beste linjen: est eg = 2 Konfidensintevall fo ˆ bestemmes ut fa fomelen: ˆ ± eg p ( ) 2 de bestemmes ut fa en studentfodeling med 2 fihetsgade. Koelasjon Koelasjonskoeffisienten e definet på følgende måte: = 7

8 Utvalgsstøelse Paallellguppestudie målevaiable: ³ 2 =2 Ovekysningsstudie målevaiable: ³ 2 = Utvalgsstøelse binomisk esponsvaiabel: = ( )+ 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 bestemmes av tabellen: Teststyke Siginifikans nivå (tosidig) Utvalgsstøelse baset på pesisjon i estimate Binomisk espons: Kontinuelig espons: µ 2 96 = ( ) µ 96 = 2 8