Newtons lover i én dimensjon

Transkript

1 Newtons love i én dimensjon kaft akseleasjon hastighet posisjon YS-MEK

2 Hva e kaft? Vi ha en intuitivt idé om hva kaft e. Vi kan kvantifisee en kaft med elongasjon av en fjæ. Hva hvis vi buke et tau i stedet?. YS-MEK

3 Bok på bodet ingen bevegelse ingen kaft? uten bod vil boken falle ned kaft vike på boken gavitasjon på bodet: hvofo falle boken ikke? e gavitasjon bote? gavitasjonen vike fotsatt på boken, men bodet hinde boken å falle ned. det må væe en kaft fa bodet på boken som kompensee gavitasjonskaften fjæ mellom boken og bodet: boken dytte på fjæen som dytte på bodet fjæen bli kompimet og dytte tilbake på boken mikoskopisk defomasjon i oveflaten nomalkaft kaft e nomal (vinkelett) til oveflaten gavitasjon: langtekkende elle fjenkaft nomalkaft: kontaktkaft YS-MEK

4 Identifikasjon av kefte Eksempel: en ball spette opp fa gulvet Vi skille mellom systemet (=ball) og omgivelsen (= alt annet) Alle kefte ha en åsak i omgivelsen. Vi bae vudee ekstene kefte, ikke intene. Kefte e enten kontaktelle langtekkende kefte. YS-MEK

5 Oppskift: 1. Del poblemet inn i system: ball omgivelsen: gulvet, luft und ballen. Tegn figu av objekt og alt som beøe det. 3. Identifise kontaktkefte og kontaktpunkte mellom systemet og omgivelsen nomalkaft fa gulvet til ballen: N luftmotstand fa luften til ballen: D (dag foce) foskjell i hastighet mellom ballen og luften oppdift fa luften til ballen: B (buoyancy) foskjell i tetthet mellom ballen og luften 4. Identifise langtekkende kefte gavitasjon: G 5. Tegn objekt med kaftvektoe (skalet) 6. Tegn inn koodinatsystemet YS-MEK

6 Angepspunkte: Nomalkaften: Ballen e i kontakt med en utstekt flate. mange små kontibusjone til nomalkaften hvo mange fo hvet atom? Vi kan se på en enkelt kaft som e summen av alle små kontibusjone: supeposisjonspinsippet. luftmotstand: mange kontaktpunkte ove hele ballen mange små kaftkomponente vike i samme etning: mot bevegelsesetning igjen: vi foenkle luftmotstand som én kaft som angipe i ett punkt. obs.: vi må passe på etning! YS-MEK

7 i-legeme diagam diagam som inneholde alle keftene som vike på et legeme viktig vektøy fo å finne ut hvodan et legeme bevege seg Oppskift: 1. Del poblemet inn i system og omgivelse.. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3. Tegn en lukket kuve undt systemet. 4. inn kontaktpunkte hvo kontaktkefte angipe. 5. Navngi kontaktkefte og define symbole. 6. Identifise langtekkende kefte og define symbole. 7. Tegn objektet med skalete kefte. 8. Tegn inn koodinatsystemet. YS-MEK

8 Eksempel: bungee jump 1. Del poblemet inn i system og omgivelse. system: peson; omgivelse: tau, luft. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3. Tegn en lukket kuve undt systemet. 4. inn kontaktpunkte hvo kontaktkefte angipe. Pesonen e i kontakt med tauet og med luften. 5. Navngi kontaktkefte og define symbole. Kaft fa tauet på pesonen: T Luftmotstand: D 6. Identifise langtekkende kefte og define symbole. Gavitasjonskaft: G 7. Tegn objektet med skalete kefte. 8. Tegn inn koodinatsystemet. YS-MEK

9 Eksempel: tinse system: tinse omgivelse: tau, akse, luft (loddene og taket e ikke i kontakt med tinsen) kontaktkefte: nomalkaft fa aksen på tinsen: N kaft fa tauet på tinsen venste/høye: T A, T B langtekkende kefte: gavitasjonskaft: G YS-MEK

10 kaft akseleasjon (Gedanken-) Expeiment Vi tekke på en fjæ med kaft slik at lengden bli x 0 + x m 1 Vi feste en masse m 1 og slippe. jæen tekke på massen med kaft og vi måle akseleasjonen a 1. m Vi feste en masse m og slippe. jæen tekke på massen med kaft og vi måle akseleasjonen a. = ma = 1 ma Vi finne: 1 YS-MEK

11 Newtons ande lov: = ma Vi kan ikke bevise loven. Ekspeimente vise at loven e iktig. Endingen av bevegelsen e alltid poposjonal med den motiveende kaft som bli påføt, og bli gjot i den ettlinjede etning i hvilken denne kaft bli påføt. Philosophiæ Natualis Pincipia Mathematica, 1687 Isaac Newton YS-MEK

12 Newtons ande lov: = ma e gyldig i inetialsysteme. I et akseleet efeansesystem må vi innføe fiktive kefte. gjelde punkt-patikkle. Vi kan buke NL fo utstakte objekte hvis vi buke massesenteet. inetialmasseme en egenskap av et legeme: motstanden mot akseleasjon (= teghet) enhet: kg gjelde summen av alle yte kefte som påvike objektet: netto kaft Yte kefte ha åsak i omgivelsen. net = i i = ma d x e en vekto likning gyldig fo hve komponent: x = max = m dt keftene e additiv: supeposisjonspinsippet kefte måles i enhet: 1 kg m/s = 1 N = 1 Newton YS-MEK

13 Eksempel To kefte vike på en vogn: 1 tekke til høye med 6000 N, tekke til venste med 1000 N. Massen til vogn e 500 kg. Du kan se bot fa ande kefte. Hva e akseleasjonen? 1 = 6000 Niˆ = 1000 Niˆ î : enhetsvekto i x etning 6000 Niˆ 1000 Niˆ net = 1+ = = NL: net = ma a= m 5000 Niˆ 5000 Niˆ m/s iˆ 500 kg net = = YS-MEK

14 Kaftmodelle vi ha en oppskift fo å identifisee keftene fi-legeme diagam vi buke Newtons ande lov fo å finne akseleasjonen fa summen av yte kefte vi kan løse bevegelsesligningene (analytisk elle numeisk) vi vet ikke hvodan vi kan beskive / kvantifisee de foskjellige kefte vi tenge kaftmodelle Modelle: inn keftene som påvike objektet. Beskiv keftene med en modell. Buk Newtons ande lov fo å finne akseleasjonen. YS-MEK

15 Gavitasjon Isaac Newton ha også oppdaget gavitasjonsloven (fa empiisk obsevasjon) fa B på A mm =γ 3 AB AB γ: gavitasjonskonstant m: gavitasjonsmasse til A M: gavitasjonsmasse til B : vekto fa senteet av A til senteet av B M: gavitasjonsmasse til B AB inetialmasse: teghet et legemes motstand mot å foande hastighet gavitasjonsmasse: definet av gavitasjonsloven Ekspeimente finne ingen foskjell mellom inetialmasse og gavitasjonsmasse. YS-MEK

16 på joden fa B på A mm =γ 3 AB AB γ = M = m kg s kg AB = m (posisjonsavhengig) Gavitasjonskaft e ettet mot jodens senteet. mm m = =γ = mg g 9.81 s AB hvis ingen ande kefte enn gavitasjon vike: net = mg g= ma i m i : inetialmasse, m g : gavitasjonsmasse a= m m g i g m i =m g alle legeme falle med samme akseleasjon YS-MEK

17 Eksempel: legeme som falle Du slippe en ball fa en høyde på 1m ove bakken. Du kan se bot fa luftmotstanden. Hvo lang tid ta det fø den teffe bakken? meget enkelt eksempel fo å demonstee den geneelle løsningsoppskiften. Identifise: Modelle: Løs: Analyse: Hvilket objekt bevege seg? Hvodan måle vi? Define et koodinatsystem. inn initialbetingelsene. inn keftene som påvike objektet. Beskiv keftene med en modell. Buk Newtons ande lov fo å finne akseleasjonen. Løs bevegelsesligningen. d x dx = a x,, t dt dt med initialbetingelse (analytisk elle numeisk). inn hastighet og posisjon. E esultatene fo x(t) og v(t) fonuftig?. Buk esultatene fo a svae på spøsmålet. Intepete esultatene. YS-MEK

18 Identifise: Hvilket objekt bevege seg? Hvodan måle vi? Define et koodinatsystem. Ballen bevege seg. Vi måle posisjon med y(t) oppove med nullpunkt på bakken. Ved t 0 = 0 e x 0 = 1 m og v 0 = 0 m/s. inn initialbetingelsene. Modelle: inn keftene som påvike objektet. W Vi se bot fa luftmotstand. Det e ingen kontaktkefte som vike. Langtekkende kaft: gavitasjon: W = W ˆj Beskiv keftene med en modell. Kaftmodell: W =mg Buk Newtons ande lov fo å finne akseleasjonen. NL: = W a( t) = g = mg ˆj = ma YS-MEK

19 Løs: Løs bevegelsesligningen. d x dx = a x,, t dt dt med initialbetingelse (analytisk elle numeisk). inn hastighet og posisjon. Vi løse analytisk: a = dv dt v( t) v = g 0 = v ( t ) = = gt t 0 ( g) dt a( t) = g v y 0 0 = gt = 0m/s = 1.0m v = dy dt y( t) y 0 y( t) = y = gt 0 = t 0 1 gt ( gt) dt = 1 gt YS-MEK

20 Analyse: E esultatene fo x(t) og v(t) fonuftig?. Buk esultatene fo a svae på spøsmålet. v( t) = gt y( t) = y 0 1 gt Hastighet e ettet nedove. o t = 0 finne vi initialbetingelse. Intepete esultatene. Hvo lang tid ta det fø den teffe bakken? y( t 1 ) = y0 gt 1 1 = 0m t y g m 9.81m/s 0 1 =± =± = ± 0.45s Bae den positive vedien e meningsfylt. Ballen teffe bakken ette 0.45 s. YS-MEK

21 Eksempel: heis En heis med masse m H = 400 kg bevege seg opp med en maksimal akseleasjon a max =.0 m/s. Den maksimale nyttelasten e m L = 1600 kg. Hva e den maksimale kaften som vike på kabelen? Det e heisen som bevege seg. Vi måle posisjonen i x etning oppove. Heisen e i kontakt med kabelen og med luften und seg. Nyttelast e innenfo systemet og foåsake ingen yte kefte. Kontaktkefte: Kaft fa kabelen på heisen: Vi se bot fa luftmotstand. Langtekkende kefte: Gavitasjon: G YS-MEK

22 Kaftmodelle: Kaft fa kabelen på heisen e ukjent den skal vi beegne! Vi vet at den vike oppove: Gavitasjon: G= mgiˆ = iˆ NL: G iˆ mgiˆ net = + = = = m ( g + a) maiˆ Kaften avhenge akseleasjonen av heisen. Den maksimale kaften oppstå hvis a = a max og med den maksimale nyttelasten (m = m H + m L ). max = m max ( g+ amax ) = ( mh + ml )( g+ amax ) max = (400 kg kg)(9.81 m/s + m/s ) = 47.4 kn YS-MEK

23 Kaftmodelle: viskøs kaft viktig fo ealistisk poblemstillinge mange av de legemene vi studee e omgitt av væske: en ball i luften en patikkel i vann... Hvis jeg tekke en ball gjennom luften, må luften flytte seg og stømme undt ballen. Den stømmen gi opphav til kefte på ballen som vi kalle luftmotstand. Det e ikke det samme som fiksjon vi komme tilbake til det. Det e ingen fundamental natulov som beskive viskøse kefte, men vi kan finne empiiske modelle fa ekspeimente. Slike modelle e ikke eksakt, men tilnæminge. Geneell e viskøse kefte hastighetsavhengig. (Det gjenkjenne vi fa vå efaing, f.eks. nå vi sykle.) YS-MEK

24 viskøs kaft fo små hastighete Hvis hastighet e små, så flyte væsken jevnt undt objektet. kaften på et objekt som bevege seg med små hastighet elativ til en væske: D = k Kaften vike mot bevegelsesetningen. v v k v = 6πηR R: adius η: viskositet av væsken η = Ns m luft: vann: η = Ns m YS-MEK

25 viskøs kaft fo støe hastighete Hvis hastighet e støe, så flyte væsken ikke jevnt undt objektet, men bli tubulent og foåsake undetykk bak objektet. kaften på et objekt som bevege seg med sto hastighet elativ til en væske: D = Dv Kaften vike mot bevegelsesetningen. fa ekspeimente: D 1.0ρR ρ: tetthet av væsken R: adius Du behøve ikke huske uttykket fo k v og D, men du bø huske = kv fo små hastighet D v D = Dv fo sto hastighet YS-MEK