8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

Transkript

1 84 8 Eksamenstening 8 Eksamens tening Uten hjelpemidle E1 (Kapittel 1) Polynomfunksjonen P e gitt ved P ( ) = , DP = R. a Det kan vises at alle heltallige løsninge av P() = 0 gå opp i konstantleddet ( 8). Buk dette til å finne et nullpunkt. b Faktoise P() i føstegadsfaktoe. c Løs ulikheten (Eksamen våen 014) E (Kapittel 1) På figuen e det tegnet gafene til funksjonene f og g gitt ved f ( ) = ( 1)( ) og g( ) = 1 En elev skulle bestemme skjæingspunktene mellom gafene ved egning. Eleven besvate oppgaven slik: f ( ) = g ( ) ( 1)( ) = 1 ( 1) ( ) = ( 1) ( ) = 1 = 4 y = 4 1= Skjæingspunktet e ( 4, ). y f g a Kommente elevens besvaelse. b Bestem skjæingspunktene mellom gafene ved egning slik du mene oppgaven bø løses. (Eksamen høsten 01)

2 Uten hjelpemidle 85 E (Kapittel 1) En polynomfunksjon f e gitt ved f ( ) = + a a Bestem a slik at f() bli delelig med ( 1). b Løs ulikheten f ( ) 0 fo denne a-vedien. (Eksempeloppgave 014) E4 (Kapittel 1) La p væe et oddetall støe enn 1. a Fokla at p 1 p 1 og begge e hele tall. p + 1 p 1 b Regn ut. Buk esultatet til å skive 151 som diffeansen mellom to kvadattall. (Eksamen våen 014) E5 (Kapittel ) Sammenhengen mellom lydstyken L db (desibel) og lydintensiteten I W/m e gitt ved I L = 10 lg. I0 1 I0 = 10 e en konstant. a Vis at fomelen kan skives som L = 10 lgi + 10 b På en abeidsplass bli lydintensiteten målt til 10 4 W/m. Hvo mange desibel e lydstyken på abeidsplassen? c På en klassefest bli lydstyken målt til 100 db. Hvilken lydintensitet svae det til? (Eksamen høsten 014) E6 (Kapittel ) Skiv disse tallene fa støst til minst: ( ) 10 lg 0,01 lg100 1 ln e 10 0,07 lg0,1 E7 (Kapittel 1 og ) Skiv så enkelt som mulig a c 0 a ab b 1 ( ab ) a 5 ln( a b ) ln ln( a ) b + d lg lg 100

3 86 8 Eksamenstening E8 (Kapittel 1 og ) Løs likningene og ulikhetene. 1 a + 1 = b 1 lg10 7 c e = 1 d lg lg( + ) = 1 e 4 = 8 f 9 4 g e 5 e > 0 h ln( 8) < 0 E9 (Kapittel 1 og ) Du skal i denne oppgaven ta fo deg logaitmeuttykkene 4 f ( ) = lg + lg og g( ) = lg lg 0,001. a Vis at vi kan foenkle til f ( ) = 5lg + lg og g ( ) = lg +. f ( ) lg b Løs ulikheten < 1. g ( ) + 1 E10 (Kapittel ) Nedenfo e gafen til en funksjon f gitt de D f =,,. Bestem hvo funksjonen e kontinuelig, ikke kontinuelig, deiveba og ikke deiveba. Avgjø om gafen til f ha topp- elle bunnpunkte. y 1 f (Eksempeloppgave 01) E11 (Kapittel ) Funksjonen f e gitt ved f ( ) =, Df = R. Buk definisjonen av den deivete til å vise at f ( ) = 1. (Eksamen høsten 014)

4 Uten hjelpemidle 87 E1 (Kapittel 1 og ) + 1 Ta fo deg den asjonale funksjonen g gitt ved g ( ) =. + a Løs ulikheten g ( ) 0. b Bestem likningen fo eventuelle hoisontale og vetikale asymptote fo gafen til g. E1 (Kapittel og ) Ta fo deg funksjonen f gitt ved f ( ) = lg( + 6). a Fokla at Df = 6,. b Bestem nullpunktet til f ved egning. c Gitt at lg 0,, og at lg5 0,7. Vis nødvendige beegninge, og skiv av og fyll ut tabellen. 5, f() d Tegn gafen til f. e Løs ulikheten lg( + 6) gafisk. E14 (Kapittel 4) Deive funksjonene. a f ( ) = 0,05 + 5ln e b g ( ) 1 c h ( ) = d i ( ) e k e k E15 (Kapittel 4) Den deivete av en funksjon f e gitt ved f ( ) = ( ) ln. Bestem eventuelle ekstemalpunkte fo f. E16 (Kapittel 4) Funksjonene f og g e gitt ved f ( ) = + gu ( ) = u ( ) Bestem minimumsvedien til g f ( ). (Eksempeloppgave 01) 4 (, 0) f () (,1, 1) 1 ( 0,9, 0) (1, 0) (0,, 0,9) E17 (Kapittel 4) Figuen vise gafen til den deivete av en funksjon f. Buk figuen til å finne a ekstemalpunktene til f b monotoniegeneskapene til f c fo hvilke -vedie f ( ) = 0 d hvo gafen til f vende den hule siden opp

5 88 8 Eksamenstening y E18 (Kapittel 4) Figuen vise gafen til den deivete av en funksjon f. a I hvilket intevall stige gafen til f, og i hvilket intevall synke den? b Gafen til f gå gjennom punktet P = (,5). Finn likningen fo tangenten til gafen f i punktet P. y 4,5,5 E19 (Kapittel 4) a Bestem hvilken gaf til venste som e gafen til f, f og f. b Fokla sammenhengen mellom de te gafene nå det gjelde f f (Eksempeloppgave 01) 1,5 1 0, ,5 E0 (Kapittel 1 og 4) 4 Ta fo deg polynomfunksjonen P gitt ved P( ) = a Skiv P( ) som et podukt av føstegadsfaktoe. b Bestem likningen fo tangenten til gafen til P i punktet (, P() ). E1 (Kapittel og 4) Funksjonen h e gitt ved h ( ) =, > 0 a Fokla at vi kan skive ( ) = b Bestem h ( ). (Eksamen våen 014) h e ln.

6 Uten hjelpemidle 89 E (Kapittel og 4) Ta fo deg logaitmefunksjonen L gitt ved L ( ) = ln ln e 5. a Vis at funksjonsuttykket fo L kan omfomes til L( ) = 7ln. b Løs ulikheten L ( ) + 0. c Bestem koodinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkte på gafen til L. E (Kapittel og 4) Funksjonen f e gitt ved f ( ) =, 1,4. a Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkte på gafen til f. b Tegn en skisse av gafen til f. c Bestem likningen fo tangenten i det punktet på gafen de = 1. Fokla hvofo denne tangenten kalles en «vendetangent». (Eksempeloppgave 014) E4 (Kapittel 5) På figuen til høye ha vi tegnet kvadatene ABCD og AEFC. Vi sette siden i kvadatet ABCD lik a. a Vis at kvadatet AEFC ha dobbelt så stot aeal som kvadatet ABCD. b Konstue et kvadat med aeal eksakt lik 50 cm. (Eksamen høsten 014) D A a C B F E5 (Kapittel 5) Et linjestykke med lengde e gitt: E 1 I en tekant ABC e AB, AC og C = a Konstue ABC. b Konstue den innskevne sikelen til ABC. E6 (Kapittel 5) I ABC e sidene a, b og c slik figuen vise. Den innskevne sikelen i tekanten ha sentum S og adius. a Vis at vi kan uttykke aealet T av C tekanten ved T = 1 ( a + b + c) a b b Konstue tekanten med den S innskevne sikelen nå a = 5 cm, b = 4 cm og c = 6 cm. Skiv konstuksjonsfoklaing. A c B

7 90 8 Eksamenstening E7 (Kapittel 5) I en ettvinklet ABC e det innskevet en sikel med adius. Tekantens side tangee sikelen i D, E og F. Vi sette BE = α og EC = β. C E F S A D B a Fokla at CF = β og BD = α, og at aealet av tekanten ABC e gitt ved A = ( α + β) +. ABC Pytagoassetningen bukt på ABC gi at ( α + ) + ( β + ) = ( α + β). b Vis at denne likningen kan omfomes til + ( α + β) = α β og videe at A ABC = α β c Vi sette α = og β =. Bestem A ABC og. (Eksempeloppgave 014) E8 (Kapittel 5) På figuen nedenfo e ACB en halvsikel med sentum i O, og AEC e en halvsikel med sentum i D. CAB = ABC = 45. a Konstue figuen nedenfo nå du sette = 5,0 cm. Ta med konstuksjonsfoklaing. b På figuen nedenfo ha Hippokates-månen blå fage. Vis ved egning at aealet av Hippokates-månen e lik aealet av AOC nå adien i halvsikelen ACB e. E C D A O B (Eksamen våen 01)

8 Uten hjelpemidle 91 E9 (Kapittel 6) Du få oppgitt de to vektoene u = t, og 5 v =, t. a Bestem u v. b Bestem t ved egning slik at u og v bli otogonale vektoe. c Finn t slik at v bli paallell med -aksen. d 1 Fokla hvofo 5 v ha sin minste vedi fo t. Finn den minste lengden v kan ha. e Bestem t slik at u 5. E0 (Kapittel 5 og 6) En sikel e gitt ved likningen + y 4 + 6y 1 = 0 Bestem sentum og adius i sikelen. (Eksempeloppgave 014) E1 (Kapittel 5 og 6) To sikle S 1 og S e gitt ved S1 : + y = 5 S : ( a) + y = 9 a Tegn siklene i et koodinatsystem nå a = 6. b Fo hvilke vedie av a vil siklene tangee hveande? (Eksamen høsten 01) E (Kapittel og 6) En patikkel ha posisjonsvektoen t () = [ 4ln( t+ 1 ), t 4 ], t [ 0,11] Du få vite at ln 0,7, ln 1,1 og ln5 1,6. a Finn skjæingspunktene mellom gafen til og koodinataksene. b Tegn gafen til. c Finn fatsvektoen v (). t d Finn v (), 4 og tegn den på figuen i oppgave b.

9 9 8 Eksamenstening E (Kapittel 4, 5 og 6) Funksjonen f e gitt ved f ( ) = +. En tangent på gafen til f i punktet ( 1, y1) e gitt ved y y = f ( )( ) En nomal på gafen til f i (, y ) e gitt ved = 1 y y1 ( ) ( 1 f ) a Vis at tangenten og nomalen på gafen til f i punktet (1, ) e gitt ved ytangent = + 1 y = 0,5 +,5 Nomal b Bestem paametefamstillinge fo tangenten og nomalen, og vis at de stå vinkelett på hveande. (Eksempeloppgave 01) E4 (Kapittel 1,,, 4 og 6) Sett inn ett av symbolene, elle mellom utsagnene. Skiv i hvet tilfelle en begunnelse fo valget ditt. a lg b u + v = 0 u v c + = 4 = = 7 d f ( ) = e f( ) = e e La f væe en asjonal funksjon. e nullpunkt fo nevneen i f() = e vetikal asymptote fo gafen til f E5 (Kapittel 7) Fa en guppe på 7 jente og 5 gutte skal det tekkes ut epesentante. Bestem sannsynligheten fo at jente og 1 gutt epesentee guppa hvis uttekket e tilfeldig. (Eksempeloppgave 014) E6 (Kapittel 7) På en skole gå det en tedel gutte og to tedele jente. Skolen skal ha aktivitetsdag, og elevene kan velge mellom ballspill og natusti. Te fiedele av guttene og halvpaten av jentene ha valgt ballspill. Vi velge tilfeldig én elev og se på hendelsene: G: eleven e en gutt B: eleven ha valgt ballspill a Bestem sannsynlighetene PB ( G ) og PB. ( ) b Bestem sannsynligheten PG ( B. )

10 Uten hjelpemidle 9 E7 (Kapittel 7) Et quizlag e med i en konkuanse. I føste omgang få laget åtte spøsmål. Fo hvet av de åtte spøsmålene e det gitt to svaaltenative, hvoav ett e iktig. a På hvo mange måte kan laget svae på de åtte spøsmålene? I ande omgang få laget oppgitt seks mulige temae, og de skal velge to av dem. b På hvo mange måte kan laget velge de to temaene? Det e to gutte og to jente på quizlaget. I tedje omgang skal bae to av dem svae på spøsmålene. c Laget bestemme seg fo å tekke lodd om hvem som skal svae. Hva e sannsynligheten fo at én gutt og én jente bli tukket ut? E8 (Kapittel 7) Ved en videegående skole gå det 40 % jente og 60 % gutte. Helsesøsteen ved skolen fikk gjennomføt en undesøkelse om elevenes buk av snus. Den viste at 0 % av guttene og 10 % av jentene snuste jevnlig. Vi velge tilfeldig én elev og se på hendelsene: J: eleven e en jente S: eleven buke snus a Fokla med od hva vi mene med J S, og finn sannsynligheten fo denne hendelsen. b Finn PS ( ) og PJ ( S, ) og fokla hva disse sannsynlighetene bety. c E hendelsene J og S uavhengige? E9 (Kapittel 7) Du ha to teninge. Tening A e en vanlig tening med seks side og vediene 1,,, 4, 5 og 6. Tening B ha også seks side. Men på denne teningen ha to av sidene vedien 1, to av sidene ha vedien, og to av sidene ha vedien. Du tekke tilfeldig én av teningene og kaste den to gange. a Hva e sannsynligheten fo at du få tee i begge kastene? Du fikk tee i begge kastene. b Hva e sannsynligheten fo at du kastet med tening B? E40 (Kapittel 7) Koden til en kodelås bestå av fie bokstave. Hve av de fie bokstavene kan velges blant bokstavene A, B, C, D og E. a Hvo mange kode kan du lage til denne låsen? b Hvo mange kode kan du lage de alle bokstavene e foskjellige? c Hvo mange kode kan du lage de minst to bokstave e like?

11 94 8 Eksamenstening Med hjelpemidle E41 (Kapittel 1) Nå gafen til en polynomfunksjon tangee -aksen i = a, ha funksjonen minst to ulike (sammenfallende) nullpunkte i = a. y y y Figu 1 Figu Figu a Gafen til en andegadsfunksjon f e vist på figu 1. Gafen tangee -aksen i =. Fokla at f ( ) = ( ). b Gafen til en tedjegadsfunksjon g e vist på figu. Gafen tangee -aksen i =. Fokla at funksjonsuttykket til g kan skives på fomen g ( ) = k ( ) ( + 1). Bestem k. c Gafen til en fjedegadsfunksjon h e vist på figu. Gafen tangee -aksen i = og i. Bestem funksjonsuttykket h(). (Eksamen høsten 01) E4 (Kapittel 1) Tallene 1,, 6, 10, 15, kalles tekanttall. Fo lettee å fostå hvodan de famkomme, e det vanlig å illustee dem som halve ektangle. Nedenfo se du de fie føste. nn ( 1) a Fokla at det n-te tekanttallet e gitt ved. Tallene 1, 4, 9, 16, 5, kalles kvadattall. Det n-te kvadattallet e gitt ved n. Oldtidsgekeen Plutak fomulete følgende sammenheng mellom tekanttall og kvadattall: Et hvilket som helst tekanttall vil gi et kvadattall hvis det multiplisees med åtte, og dette poduktet så addees til én. b Vis at Plutaks setning gjelde fo de fie føste tekanttallene. c Hvilket kvadattall fås ifølge Plutak fa tekanttall numme hunde? d Bevis Plutaks setning.

12 Med hjelpemidle 95 E4 (Kapittel 1) n Du skal he ta fo deg uttykket Un ( ) = 5 1, de n e et natulig tall. a 1 Regn ut U() 1, U() og U(). Undesøk om svaene e delelig med. n n b Begunn at U( n) = ( 5 1) ( 5 + 1). ( ) e delelig med fo alle natulige tall n. c Bevis at U n E44 (Kapittel 1) I denne oppgaven skal vi undesøke påstanden: Alle pimtall som e støe enn, kan skives som diffeansen mellom to kvadattall. a Skiv av og fyll ut tabellen. Pimtall Natulige tall Kvadattall Diffeanse p n 1 n n 1 n n 1 n I tabellen e p pimtall, og n 1 og n e natulige tall, slik at n1 + n = p n1 n = 1 p 1 b Vis at vi kan skive n1 = + p 1 og n =. c Bevis at påstanden i uta ovenfo e iktig. (Eksamen våen 011) E45 (Kapittel ) Vi skal løse likningen nedenfo med hensyn på. lg n n n, 0, n 0 n = > > a Vis at denne likningen kan omfomes til lg n lg lg n = n b Vis at denne likningen videe kan skives ( lg n) ( lg lgn) = 0 c Buk likningen i oppgave b til å bestemme uttykt ved n. (Eksamen våen 014)

13 96 8 Eksamenstening E46 (Kapittel og ) Mediebediftenes Landsfoening (MBL) publisee hvet å lesetall fo alle noske avise. De siste åene ha en ekke avise opplevd en damatisk nedgang i lesetallene sine. Tallene fa MBL vise at i 01 hadde papiutgaven til avisen Vedens Gang (VG) en nedgang i antallet lesee på 10 %. Avisen Dagbladets papiutgave hadde en nedgang på 6 % i samme peiode. Vi anta at den posentvise nedgangen fo VG og Dagbladet holde seg konstant i åene som komme. VG hadde ved utgangen av 01 i snitt lesee, mens Dagbladet hadde lesee. a 1 Hvo mange lesee hadde VGs papiutgave ved utgangen av 01? Hvo mange lesee vil Dagbladet ha ved utgangen av 017? b Hvo lang tid vil det ta fø Dagbladet ha mistet lesee? I motsetning til VG og Dagbladet opplevde avisen Dagens Næingsliv (DN) en oppgang i antallet lesee av sin papiutgave. DN økte med,4 % i 01-målingen til lesee. t c Løs ulikheten , Hva fotelle svaet? d Fokla med od hva vi finne ut ved å løse ulikheten t t , ,94. e 1 Løs ulikheten i oppgave d ved å buke CAS. Løs ulikheten i oppgave d ved å buke gaftegne. E47 (Kapittel og 4) Et jodlag ha et visst vanninhold v(t) som e gitt ved funksjonen t v () t = 10 8, e 0,, t [ 0, 4 ] de v(t) e målt i millimete (mm), og t måles i time (h). a Tegn gafen til v og bestem vanninnholdet i jodlaget ette 5 h. b Bestem v () 4. Hva fotelle dette svaet? c Fokla hvodan v () t ende seg ette hvet som timene gå. Hva fotelle dette om vanninnholdet? (Eksempeloppgave 01) E48 (Kapittel 4) En funksjon f e gitt ved f ( ) = a + b + c + d, Df = R. Gafen til f ha toppunkt T nå = p og bunnpunkt B nå = q. Buk CAS til å vise at -koodinaten til vendepunktet V (infleksjonspunktet) ligge midt mellom -koodinaten til toppunktet og -koodinaten til bunnpunktet. (Eksempeloppgave 014) T y V B p q f

14 Med hjelpemidle 97 E49 (Kapittel 4) s s Sideflate: s h s Bunn: En ett kjegle skal ha volum på 0,5 L = 0,5 dm. Bestem adius og høyde i kjegla slik at oveflaten av kjegla bli minst mulig. (Eksempeloppgave 01) E50 (Kapittel 4) En ett linje ha negativt stigningstall a og gå gjennom punktet (, 1). Linja skjæe -aksen i punktet A og B y-aksen i punktet B. a Vis at likningen fo den ette linja e (, 1) y = a a + 1 fo a < 0. b La F(a) væe aealet av OAB. ( a 1) O Vis at Fa () =. a c Bestem likningen fo den ette linja nå F(a) e minst mulig. (Eksempeloppgave 01) A E51 (Kapittel 4) Funksjonen f e gitt ved f ( ) = 6 e 8, Df = R. a Buk poduktegelen og kjeneegelen til å vise at f 4 e ( ) = ( ) 8 b Tegn gafen til f fo 6,6. c Buk gafen til f til å bestemme eventuelle topp-, bunn- og vendepunkte på gafen til f. (Eksamen våen 014)

15 98 8 Eksamenstening E5 (Kapittel 4) Vi skal lage et ka med fom som et ett pisme uten lokk. Gunnflaten skal væe et kvadat med side dm, og kaet skal ha høyde h dm. Vi vil lage kaet slik at det samlede oveflateaealet bli 1 dm. h a Fokla at 4h 1 Bestem et uttykk fo h. b Bestem hvilke vedie kan ha. c Bestem et uttykk fo volumet V() av kaet. d Vi ønske å fylle vann i kaet. Buk CAS til å bestemme slik at kaet omme mest mulig vann. Hvo mange lite bli det da plass til? (Eksamen våen 014, noe endet) E5 (Kapittel 4) Figuen til høye vise gafen til funksjonen f gitt ved f ( ) = + 1, 0,. Rektanglet PSRQ lages slik at P ligge på gafen til f, punktene S og R ligge på -aksen, og R og Q ha føstekoodinat = 1. Punktet S ligge mellom oigo og R. a Fokla at aealet av ektanglet PSRQ kan skives som A ( ) = , 0,1. b Bestem A ( ) og buk den til å bestemme støste og minste vedi som aealet av ektanglet kan ha. c Tegn gafen til A, og kontolle om svaene dine fa oppgave b stemme. (Eksamen høsten 01) y f P Q S(, 0) R(1, 0) E54 (Kapittel 4) En bonde ha tapt et veddemål med naboen og må defo gi fa seg et sikulæt og et kvadatisk jodstykke. De to omådene skal inngjedes med til sammen 400 m gjede, men bonden stå fitt til å velge hvo sto del av gjedet som skal bukes til å gjede inn hvet av de to jodstykkene. La delen av gjedet som bukes til å avgense det sikulæe jodstykket, væe m. a Vis at aealet S av det sikulæe jodstykket e gitt ved S( ) =, 4 π og at aealet K av det kvadatiske jodstykket e gitt ved 1 K ( ) = Aealene e målt i m. 16 b Hva e det minste aealet bonden må gi fa seg ette det tapte veddemålet?

16 Med hjelpemidle 99 E55 (Kapittel 4) 1 -linje f () 0 a Hva fotelle fotegnsskjemaet om gafen til f? I tillegg til fotegnsskjemaet få du oppgitt at f ( 1) = 0 og f ( ) = 0. b Tegn en gaf som oppfylle opplysningene om f. E56 (Kapittel 4) På figuen se du gafen til funksjonen f gitt ved f ( ) e 1 =. Unde gafen e det innskevet et ektangel ABCD med høyde h, de 0 h e. y D C A B a Vis at lengden av AB e 1 lnh. b Bestem det støst mulige aealet ABCD kan få. E57 (Kapittel 5) Figuen til høye e fa en leitavle fa Mesopotamia (ca f.k.) Babylonene egnet ut adius i sikelen til høye ved å buke pytagoassetningen. Dette e tolig vedens eldste buk av pytagoassetningen, ca. 100 å fø Pytagoas selv levde! Bestem adius i sikelen ved hjelp av pytagoassetningen. (Eksempeloppgave 014) A C O 60 B

17 400 8 Eksamenstening E58 (Kapittel 5) ABCD e innskevet i en sikel de AC e diamete. Buen AD u, og buen BC v. Folengelsene av AD og BC skjæe hveande i P. Vi sette P = α. Tilsvaende skjæe folengelsene av AB og DC hveande i Q, og vi sette Q = β. a La u = 10 og v = 90. u D Fokla at da e BAD = 75. A b Vis at α = β = 15 i dette tilfellet. c Vis at α = β fo alle vedie av v u og v (nå u v). B (Eksamen høsten 01) C P Q E59 (Kapittel 5 og 6) En sikel ha adius 10 og sentum i punktet S = (4, 4). Punktet P = (19, 9) ligge utenfo sikelen. En linje l gjennom P og S skjæe sikelen i to punkte A og B, de A ligge næmest P. a Finn en paametefamstilling fo l. b Finn eksakt vedi fo avstanden mellom P og S, og mellom P og A. c Buk vektoegning til å finne koodinatene til A og B. E60 (Kapittel 4 og 5) En dage ha målene 5,0 dm og 1,0 dm. Se figuen til høye. a Vis at aealet av dagen kan beskives ved funksjonen A gitt ved ( ) A ( ) = b Buk gaftegne til å bestemme det støste aealet dagen kan ha. (Eksempeloppgave 014) 5,0 dm D 1,0 dm A 5,0 dm y B h y 1,0 dm h C

18 Med hjelpemidle 401 E61 (Kapittel 4 og 5) DEF e innskevet i ABC. Begge tekantene e likebeinte, og DE Vi sette DE =. Høyden fa C til AB e 8, og høyden fa F til DE e h. Videe e AF = FB =. Se figuen. AB. C D E h A F B a Fokla at ABC ~ DEC. Buk dette til å vise at 4 h = 8. b Bestem et uttykk T() fo aealet av DEF. c Bestem den støste vedien av T(). Fokla at ABC i dette tilfellet bestå av fie konguente tekante. (Eksamen høsten 01) E6 (Kapittel 6) En fotballspille ta fispak 0 m fa mål. Ballens bane e tilnæmet gitt ved t () = 5 t, 5t + 8t. He e t tiden i sekunde. a Famstill kuven gafisk. Velg t-vedie mellom 0 og. b Hvo e ballen ette 1 sekund? c Finn fatsvektoen og banefaten ette 1 sekund. Tegn fatsvektoen i denne posisjonen på kuven. d Finn akseleasjonsvektoen og absoluttvedien av akseleasjonen ette 1 sekund. Tegn akseleasjonsvektoen i denne posisjonen på kuven. e Målet e,1 mete høyt. Gå ballen ove målet? f Ette hvo mange sekunde e ballen høyest? g Hvo sto fat ha ballen nå vinkelen mellom fatsvektoen og bakken e 10 gade?

19 40 8 Eksamenstening E6 (Kapittel 6) Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskives av vektofunksjonene at () og bt () gitt ved at () = 70t +,140 t, t 0, t1 bt () = 04t + 17, 4t 7t +, t 0, t1 Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt t 1 ). Tiden måles i time, og alle avstande måles i kilomete. Nedenfo se du hvodan kusen e fo de to flyene. -aksen ligge langs landingsbanen, mens høyden ove landingsbanen måles langs y-aksen. y (km) Høyde ove landingsbane Fly A P Fly B Landingsbane (km) a Bestem tidspunktet t 1 fo nå fly B lande. b Bestem faten til fly B nå t = 0,08. Vi se at flyenes kus kysse hveande i punkt P. c Avgjø om flyene vil kollidee. (Eksempeloppgave 014) E64 (Kapittel 4 og 6) En sikel e gitt ved + y y 1 = 0 a Bestem sikelens sentum og adius. b Sikelen ha to tangente fo =. 6 Vis at det eksakte stigningstallet til tangentene e. 1 (Eksempeloppgave 01) E65 (Kapittel,, 4 og 6) En patikkel ha posisjonsvektoen t () ln t, t = 4 t, t > 0 a Tegn gafen til og bestem skjæingspunktene med koodinataksene ved å buke CAS. b Bestem fatsvektoen v () t og buk den til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkte på gafen til. Tegn inn v () 1 på gafen. c Vis at akseleasjonsvektoen e 1 at () =, t. Bestem at () nå t. Kommente svaet. (Eksamen våen 01, noe endet)

20 Med hjelpemidle 40 E66 (Kapittel 4, 5 og 6) I et kvadat ABCD med side 4 e det innskevet et paallellogam EFGH. Vi sette AE = CG = og BF = DH =. Se skissen nedenfo. D G C H 4 F A E B a Vis at aealet T av paallellogammet EFGH e T ( ) = , [ 0,]. b Bestem slik at aealet av paallellogammet EFGH bli halvpaten av aealet av kvadatet ABCD. c Bestem slik at aealet av paallellogammet EFGH bli minst mulig. Bestem det minste aealet. Vi legge figuen inn i et koodinatsystem slik at A ligge i oigo og B på positiv -akse. d Bestem vektoene HE og HG uttykt ved, og buk dette til å bestemme slik at paallellogammet EFGH bli et ektangel. (Eksamen høsten 014) E67 (Kapittel 7) Ved et politikamme ha de fått nye pomilleappaate. Disse appaatene e ikke 100 % pålitelige. Efaingene med slike appaate e at hvis en peson e beuset, vil appaatet avsløe det i 98 % av tilfellene. Hvis en peson ikke e beuset, vil appaatet likevel indikee at pesonen e beuset i 0, % av tilfellene. Politiet egne med at sannsynligheten e 1, % fo at en tilfeldig valgt bilist som bli kontollet, e beuset. En tilfeldig bilist bli stoppet, og pomillen kontollet. a Hva e sannsynligheten fo at appaatet vil indikee at pesonen e beuset? b Anta at appaatet indikee at pesonen e beuset. Hva e sannsynligheten fo at han vikelig e det? E68 (Kapittel 7) a Skiv opp alle pimtallene fa og med til og med 5. 5 like kule som e meket med tallene fa og med 1 til og med 5, ligge i en bolle. Vi tekke tilfeldig 5 kule fa bollen uten tilbakelegging og lese av tallene. b Bestem sannsynligheten fo at vi tekke ut akkuat pimtall. c Bestem sannsynligheten fo at vi tekke ut minst pimtall. (Eksamen høsten 014)

21 404 8 Eksamenstening E69 (Kapittel 7) En skole vil aangee aktivitetsdag. Det pleie å egne 8 % av dagene på denne tiden av ået. Væmeldingen ha væt koekt 90 % av de dagene det faktisk egne. Nå det ha væt oppholdsvæ, ha meteoologene meldt egn 10 % av dagene. Vi definee hendelsene: A: Det egne på aktivitetsdagen B: Det e meldt egn på aktivitetsdagen a Bestem PA ( ) og PA. ( ) b Bestem PB ( A, ) PB ( A ) og PB. ( ) Det e meldt egn den dagen skolen ønske å aangee aktivitetsdag. c Bestem sannsynligheten fo at det ikke egne denne dagen selv om det altså e meldt egn. (Eksamen våen 01) E70 (Kapittel 7) I et lokallag av Natu og Ungdom e det 1 gutte og 16 jente. Lokallaget skal sende fie epesentante til åsmøtet i fylkeslaget. Siden alle medlemmene gjene vil væe med på åsmøtet, bli de enige om å tekke lodd om hvem som skal epesentee lokallaget. a Hva e sannsynligheten fo at lokallaget bli epesentet med to gutte og to jente? b Hva e sannsynligheten fo at lokallaget bli epesentet med én gutt og te jente? c Hva e sannsynligheten fo at lokallaget bli epesentet med minst én av hvet kjønn? I et annet lokallag av Natu og Ungdom e det 10 medlemme. Dette lokallaget velge to epesentante til åsmøtet ved loddtekning. Sannsynligheten e 5 fo at lokallaget velge én gutt og én jente som 9 epesentante til åsmøtet. d Hvo mange gutte e det i lokallaget? E71 (Kapittel 7) På bodet stå det to eske. Eskene e meket A og B. Eske A inneholde to svate, te gønne og fem øde kule. Eske B inneholde te svate, te gønne og fie øde kule. Mia velge tilfeldig én av eskene og tekke ette tu te kule fa den uten å legge tilbake mellom hve tekning. a Hva e sannsynligheten fo at hun tekke te øde kule? Mia takk te øde kule. b Hva e sannsynligheten fo at Mia ha tukket kulene fa eske A?

22 Med hjelpemidle 405 E7 (Kapittel 7) I en klasse e det 1 gutte og 16 jente. Det skal tekkes ut en guppe på 5 eleve på en tilfeldig måte. a Bestem sannsynligheten fo at det bli med akkuat én gutt i guppa. Sannsynligheten e 44 fo at et bestemt antall gutte bli med i guppa. 117 b Hvo mange gutte bli det da med i guppa? Ane og Betsy gå i klassen. Vi definee følgende hendelse: A: Ane bli med i guppa. B: Betsy bli med i guppa. c Fokla at PAB ( ) (Eksamen våen 014) = 1 6 ()( 1 ) 7 ( 4 ) og bestem sannsynligheten. E7 (Kapittel 7) Ved en videegående skole skal elevene velge fag. Hendelsene M og F definee vi slik: M : Eleven velge matematikk. F : Eleven velge fysikk. Vi få opplyst at PM ( ) 0,64, PF ( ) 0, og PM ( F) = 0,0. a Bestem PM ( F) og PM ( F). b Bestem PF ( M. ) Undesøk om hendelsene M og F e uavhengige. c Buk Bayes setning til å bestemme PM ( F ). (Eksamen høsten 01) E74 (Kapittel 7) Vi ha øde og svate kule i en eske. Vi skal tekke tilfeldig to kule uten tilbakelegging. Vi definee følgende hendelse: A: Vi tekke to kule med ulik fage. B: Vi tekke to kule med samme fage. Anta at vi ha 6 øde og 4 svate kule i esken. a Bestem P(A). b Bestem P(B). Anta at vi ha 6 øde og et ukjent antall svate kule i esken, og at hendelsene A og B skal ha lik sannsynlighet. c Hvo mange svate kule kan det væe i esken? (Eksamen våen 01)