Forelesning 9/ ved Karsten Trulsen

Transkript

1 Foelesning 9/2 218 ved Kasten Tulsen Husk fa sist våe to spøsmål om kuveintegale: Desom vi skal beegne et kuveintegal som state i et punkt og ende opp i et annet punkt 1, så kan det væe mange veie fo å komme seg fa til 1, og det kan væe mange måte å paameteisee hve vei. To spøsmål dukke da opp: Gi foskjellige veie samme sva? Gi foskjellige paameteiseinge av samme vei samme sva? Det ande spøsmålet e besvat av LH setning og som sie at to paameteiseinge av samme kuve skal gi samme sva fo kuveintegalet. Vi skal dog snat gi et eksempel som tydelig vise hvo viktig det e at foutsetningene fo å buke denne setningen må væe oppfyllt! Eksempel: La v = yi + xj og la oss integee fa oigo til (x = 2, y = ) langs to foskjellige veie: Vei 1: x-aksen fa x = til x = 2. Velg paameteiseing (t) = ti fo t 2. Vi ha d = idt og v = tj, og følgelig v d =. Vei 2: Halvsikelen med sentum i (x = 1, y = ) fa oigo til (x = 2, y = ) i øve halvplan. Velg paameteiseing (t) = (1 cos t)i + sin tj fo t π. Vi ha d = (sin ti + cos tj)dt og v = sin ti + cos tj og følgelig v d = π (cos t 1) dt = π. I dette eksemplet ha vi sett at ett og samme vektofelt kan gi foskjellig vedi fo kuveintegalet mellom de samme to punktene fo ulike veie mellom punktene. Definisjon av sikulasjon Sikulasjonen til et vektofelt v undt en lukket kuve e gitt ved kuveintegalet C = v d Sikelen undt integaltegnet indikee at e en lukket kuve. Definisjon av konsevativt vektofelt Vi ha den noe spesielle situasjonen at våe te læebøke ha hve sin måte å definee hva vi mene med et konsevativt vektofelt: (I) M (s.28): F e konsevativ desom sikulasjonen F d e lik null fo en vilkålig lukket kuve. (II) GF (s.98): F e konsevativ desom kuveintegalet mellom to punkte e uavhengig av veien mellom punktene, 1 F d = 2 F d, hvo 1 og 2 e to kuve som gå mellom samme stat- og sluttpunkt. (III) LH (s.22): F e konsevativ desom den kan skives som gadienten til et skalafelt, F = φ. Vi sie da at φ e et skalapotensial. 1

2 Disse te utsagnene e ekvivalente, og snat skal vi føye til et fjede utsagn som også e ekvivalent, nemlig at vektofeltet e vivelfitt. La oss vise at (I) e ekvivalent med (II): Velg to punkte og B, legg en vilkålig lukket kuve gjennom disse to punktene, splitt den lukkede kuven opp i to dele 1 og 2 som begge ha endepunkte og B således at e 1 ettefulgt av 2. Vi ha F d = F d 1 F d 2 Desom sikulasjonen undt en vilkålig lukket kuve e lik null (venste side e lik null), så e de to integalene på høye side like, altså kuveintegalet e uavhengig av vei. Den ande veien ha vi at desom kuveintegalene på høye side e like, altså at kuveintegalet e uavhengig av vei, så e sikulasjonen undt den lukkede kuven lik null. La oss vise at (III) implisee (II): La oss si vi skal integee langs en kuve som gå fa punkt til punkt B, og vi anta at det finnes et skalapotensial φ, i så fall ha vi F d = φ d = dφ = φ B = φ B φ Legg meke til at vi ha bukt fomelen fo totalt diffeensial φ d = dφ. Følgelig se vi at esultatet kun avhenge av endepunktene og ikke veien mellom endepunktene. La oss vise at (II) implisee (III): I dette tilfellet anta vi at integalet mellom to punkte e uavhengig av veien, og vi skal vise at det i så fall eksistee et skalapotensial. Vi la oss i så fall inspiee av utledningen i kapittel i M hvo de vise hvodan skalapotensialet kan uttykkes ved et kuveintegal φ() = F ( ) d hvo vi stå fitt til å velge integasjonsveien fa oigo til det vilkålige punktet fodi (II) foutsette nettopp at kuveintegalet e uavhengig av vei. Det eneste som gjenstå e å vise at gadienten av φ e lik F. La oss skive F = F xi+f yj +F zk. Følgende beegning vise at φ = Fx, tilsvaende beegninge kan gjøes fo x de to ande patielldeivete: La oss splitte opp veien fa oigo til = xi + yj + zk i te ette linjestykke: z gå fa (,, ) til (,, z), y gå fa (,, z) til (, y, z), og x gå fa (, y, z) til (x, y, z). Vi kan da skive kuveintegalet og vi se at φ = Fx(x, y, z). x z y x φ() = F ( ) d = F z(,, t) dt + F y(, t, z) dt + F x(t, y, z) dt Fo å egne ut de to ande patielldeivete lønne det seg å velge ande integasjonsveie. Mek: Tadisjonen to like fysikee ofte å definee skalapotensial med et minustegn, mens matematikee like ofte å utelate minustegnet. Det e ofte vanlig å intodusee kaftpotensial F = φ og elektisk potensial E = φ med minustegn, og hastighetspotensial v = φ med plusstegn. He e F kaftfelt og E e elektisk felt og v e hastighetsfelt og φ e i hvet tilfelle det tilhøende skalapotensialet. Det 2

3 e mest vanlig å definee hastighetspotensial med plusstegn og kaftpotensial med minustegn! Eksempel: E tyngdekaften F = mg konsevativ? He e m en masse som e utsatt fo tyngdens akseleasjon g. He skal vi ta den enkleste epesentasjonen av tyngdekaft, nemlig at tyngdens akseleasjon g e konstant innenfo et avgenset omåde. La oss pøve GF sin definisjon: Skiv føst g = gk hvo x og y-aksene e hoisontale og z-aksen peke vetikalt oppove. La væe en kuve fa et punkt = x i+y j +z k til et punkt 1 = x 1 i+y 1 j +z 1 k. Vi tenge ikke paameteisee kuven i det hele tatt, vi tenge kun å buke d = idx + jdy + kdz, som gi F d = z 1 z mg dz = mg(z z 1 ). Kuveintegalet avhenge kun av stat- og sluttpunkt, følgelig vet vi at tyngdekaften F = mg e konsevativ. Eksempel: E tyngdekaften i Newtons gavitasjonslov konsevativ? Newtons gavitasjonslov sie F = G mm i 2 hvo m og M e massene til to legeme, e avstanden mellom legemene, i e enhetsvekto i etning fa legemet med masse M til legemet med masse m, G e den univeselle gavitasjonskonstanten, og F e tyngdekaften som vike fa legemet med masse M på legemet med masse m. He e m en masse som e utsatt fo tyngdens akseleasjon g. He skal vi ta den enkleste epesentasjonen av tyngdekaft, nemlig at tyngdens akseleasjon g e konstant innenfo et avgenset omåde. La oss sette = xi + yj + zk, 2 = x 2 + y 2 + z 2, og i =. Vi ha ( ) 1 = (x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 (x2 + y 2 + z 2 ) (2xi + 2yj + 2zk) = i 2 og følgelig ha vi ( F = GmM ) Ettesom tyngdekaften kan uttykkes ved et skalapotensial vet vi at den e konsevativ. Det som stå inni paentesen kalles fo tyngdepotensialet. Eksempel: E fiksjonskaft konsevativ? Fiksjon fosøke å beme en bevegelse, følgelig fovente vi at fiksjonskaft e ettet motsatt hastigheten. Den enkleste modellen fo fiksjonskaft e at den e poposjonal med hastigheten, la oss anta fomelen F = µv hvo µ > e en fiksjonskoeffisient og v e hastigheten vi bevege oss med. I dette tilfellet kan vi pøve M sin definisjon: Regn ut sikulasjonen fo en vilkålig lukket kuve. Vi velge tiden t som paamete, og paametiseingen (t) fo en lukket kuve som vi skal bevege oss langs. Hastigheten e v = d, defo ha vi at d = vdt. dt Sikulasjonsintegalet bli F d = µ v 2 dt <. 3

4 Sikulasjonen e alltid negativ fodi integanden alltid e negativ, følgelig se vi at fiksjonskaft ikke e konsevativ! (men fiksjonskaft e me poblematisk enn som så, nå skal vi se et eksempel som tilsynelatende e i stid med LH sats 3.3.6/3.4.5) Eksempel: Regn ut abeidet som fiksjonskafta F = µv gjø fo ettlinjet bevegelse med konstant hastighet langs x-aksen fa x = til x = L La oss anta at vi foflytte oss en avstand L i løpet av en tid T med konstant hastighet. Vi kan skive hastigheten som v = L i. Vi ha d = v dt, og abeidet bli T F d = T µv 2 dt = µ L2 T Svaet fotelle oss at abeidet avhenge av tiden vi buke på å flytte oss den gitte avstanden. Jo fotee vi bevege oss, jo kotee tid buke vi, jo støe bli abeidet. En paktisk anvendelse e at desom du kjøe bilen din fotee så kan du fovente at den buke me divstoff fodi abeidet som gjøes av fiksjonskefte vil øke! Synes du esultatet tilsynelatende ikke e i oveensstemmelse med LH sats 3.4.5? Kuveintegalet se jo ut til å avhenge av paametiseingen? Svaet e at LH sats ikke gjelde i dette tilfellet fodi fiksjonskaft ikke e et felt, fiksjonen e nemlig ikke en entydig funksjon av posisjon fodi den avhenge av hvodan vi bevege oss. LH sats 3.3.6/3.4.5 gjelde fo felt, fiksjonskaft e ikke et felt. Et eksempel som e litt me utfodende: (Pass opp fo singulaitete!) La oss undesøke om vektofeltet v = yi + xj x 2 + y 2 e konsevativt. Føst kan vi vise at vinkelen φ mellom x-aksen og posisjonsvekto = xi + yj e et skalapotensial fo v. Den enkleste måten å gjøe dette på e å egne ut de patielldeivete φ φ og. x y Hint: Husk at den deivete av acus tangens e actan α = 1. 1+α 2 Deette kan vi egne ut sikulasjonen av v langs en sikel undt oigo. Velg paametiseing (θ) = cos θi + sin θj fo θ 2π. Vi ha d = ( sin θi + sin θi+cos θj cos θj) dθ og v = = sin θi + cos θj og v d = (sin 2 θ + cos 2 θ) dθ = dθ cos 2 θ+sin 2 θ og følgelig 2π v d = dθ = 2π. Det faktum at feltet v ha et skalapotensial tyde på at det e konsevativt, men det faktum at sikulasjonen undt oigo e ulik null tyde på at feltet ikke e konsevativt! Løsningen på dette mysteiet e å legge meke til at oigo e et singulæt punkt fo feltet. Vi må utelukke oigo på en slik måte at vi ikke kan 4

5 tillate det singulæe punktet innenfo den lukkede kuven til sikulasjonsintegalet. Tilsvaende legge vi meke til at vinkelen φ ikke e entydig definet desom vi gå helt undt oigo. Vi må begense vaiasjonene i vinkelen slik at den holde seg entydig definet. Dette gjøes gjene ved å lage et kutt i planet, fa oigo og utove, og ikke tillate at definisjonsomådet kysse kuttet. Feltet e konsevativt på betingelse av at vi holde oss innenfo et avgenset omåde som ikke inkludee elle omslutte det singulæe punktet i oigo. 5