Eksamen 16. des Løsningsforslag

Transkript

1 Institutt fo fysikk TFY44/FY Mekanisk fysikk Eksamen 6. des.. Løsningsfoslag Dette løsningsfoslaget e spesielt fyldig med flee altenative løsninge, som ukt av flee studente i eksamensesvaelsen. Det e også nevnt noen av de typiske feilene som e egått. Dette e gitt med liten skifttype som he. Oppgave. Flevalgsoppgave Oppgave: a c d e f g h i j k ett sva: B D C B D C E B C E A Detalje om spøsmålene: a. B. Kin. enegi pot. enegi: (m +m)v mgh gi v gh.. D. v(t) ṡ 6, m/s t +, m/s somvedt, s gi 4 m/s. Effekten kan uttykkes P Fv N 4 m/s 4 W. Fletallet ha feilaktig svat B av en elle annen gunn. c. C. Støt mellom to oteende skive. Spinnet (deieimpulsen), L Iω, e evat i alle støt. Demed halvees vinkelhastigheten ette støtet. Total kinetisk enegi ette li E ette (I)(ω/) Iω E fø. d. B. Må føst finne S fa tauet: Kaftmomentalanse om jelkens venste punkt: S sin L N L/+ N L gi S N. F x giatkaftapå jelken fa hengslingen e F x S x S cos S, N. y-komponenten av kafta fa hengslingen, F y finne vi enkelt fa momentalanse om yttepunktet, som gi F y N/. Dette gi F (, ) + N 4 N. Litt mye eegning til å væe god flevalgsoppgave, men det va ingen statikkoppgave av odinæ type. Og fletallet ha tuffet ett sva. e. D. Gensen fo å tippe ove e nå massesenteet ligge ett ove nede kontaktpunkt (momentalanse). Dette skje nå tan θ w/ h/, slik at w h tan 49, 6 8, cm, 9, 4 cm. f. C. Snokaft S mg + F c mg + mv /l og faten estemmes av enegievaing: mg(l l/4) mv mv mgl. Dette gi S mg + mg mg. g. E. Kaftstøt e lik fo egge klosse, defo ending i evegelsesmengde lik: F t p A p B. Den lettee klossen A fø støe akseleasjon og hastighet og evegee seg lenge enn kloss B i, s, slik at den motta et støe aeid W Fs og demed oppnå støe kinetisk enegi. Elle: E A m AvA p A m A mens E B p B m B.Sidenm B >m A e E A >E B. h. B. Kollisjonen e fullstendig uelastisk, så (mekanisk) enegi E fo systemet kan ikke væe evat. Da staven ligge fitt og fiksjonsfitt å odet e det ingen yte kefte elle yte kaftmoment unde støtet, da e åde evegelsesmengden p og spinnet L evat. Mange ha svat D: Bae L, og e nok villedet av fjoåets eksamensoppgave med påhopp på kausell. Kausellen stå fast påakslingogfå påføt yte kaft, men denne staven ligge helt fitt på odet. i. C. Da ingen yte kefte vike e spinnet L konstant. Jentene gjø inde aeid nå de klate inn mot sentum, slik at enegien øke. Dette kan også eegnes: Spinnet L Iω konstant mens I avta og ω øke. E k Iω Lω mådaøke. j. E. Peioden e T π m/k, altså kun avhengig av massen og fjæstivheten. Nå disse ikke endes, endes helle ikke systemets peiode. k. A. z() A cos(φ) φ 9 elle φ. Hastigheten ż(t) Aω sin(ωt + φ) og statvedien v ż() Aω sin(φ) gi mulighetene φ 9,A v /ω elle φ,a v /ω. Kun den siste muligheten e oppgitt. Oppgave. ulleevegelse a. E unn E topp som gi fat på jodstykket v t v gh Mv + Mv t + MgH (, ) m /s 9, 8 8 m /s, m/s, m/s.

2 Noen tok til åtenkepå aeidet til fiksjonskafta. Men med ein ulling e fiksjonen statisk og føe ikke til noe enegitap (ingen foskyvning mellom undelag og kule). Defo e enegien evat. Noen ha også skaffet seg meaeid ved å dele opp tanslasjonsenegi og otasjonsenegi, men det va jo hensikten å uke oppgitt uttykk fo kule: E tans + E ot mv + Iω mv.. Ette kula folate skenten e otasjonen og demed otasjonsenegien Iω uenda. som gi v j E topp E slette Mv t + Iω + MgH Mv j + Iω + vt +gh (, ) m /s + 9, 8 8 m /s, 96 m/s8, m/s. Det e altenative måte å egne ut. De fleste ha aset seg på at hoisontal hastighet v x v t fotsette uenda mens v y komme i tillegg og eegnes fa f.eks. (tidløs likning) v y gh, som gi v y,44 m/s og v j p v x + v y 8, m/s. v y kan også eegnes ved føst å finne tid (se pkt. c) og v y gt. Det e he viktig åhuskepå at otasjonen fotsette uenda, noen ha ommet he he. Det li defo feil å si at faten li som statfaten m/s med egunnelse at kula e nådd fam til samme høyde null. Kan også eegne ved enegievaing fa stat: E stat E slette Mv Mv j + Iω Mv j + v M t Mv j + Mv t. Unngå altså ikkeåukev t. Dette gi v j v v t (, ) m /s (, ) m /s 8, m/s. c. Vi må finne tida som fallet ta, og deette s ho v ho t,hvov ho v t fodi den hoisontale hastigheten ikke endes. Tida finnes fa vetikalt fall: som videe gi H gt t H/g 8, m/9, 8 m/s, 89 s, Elle ved å sette inn uttykk: s ho v t t v gh ph/g s ho v t t, m/s, 89 s 6, 4 m 6, 4m. v H g H (, ) 8 9, 8 (8, ) m6, 4m. Oppgave. Sylinde a. Uten fiksjon e det kun snakk om tanslasjon, og tyngden til klossen gi følgende akseleasjon (Newton fo systemet av kloss+sylinde) a ΣF ΣM Mg M g, g. Et altenativ e å sette opp N fo klossen og sylindeen hve fo seg inklusiv snokafta S. Toukjentea og S gi svaene a g/ ogs Mg/. Mange ha svat a g, som e en fatal feil. Sylindeen må jo også akseleees av tungdekafta Mg.. Ved ein ulling e a α. Teghetsmomentet til en massiv sylinde e I M. otasjonsakseleasjonen fo sylindeen komme fa fiksjonskaft F f som må vike mot venste. Newton (tanslasjon) fo systemet kloss+sylinde gi Mg F f M a, () mens spinnsatsen (N-ot) fo sylindeen gi Uttykket () fo F f innsatt i likn. () gi τ Iα F f a M F f Ma. () Mg Ma M a Ma Mg a g, 4 g. En vanlig feil he e åukekunén masse Ma i (). Kan altenativt (me aeid) sette opp N fo kloss og sylinde hve fo seg, de den ukjente snokafta S inngå. He e også vanlig feil å sette S mg. c. Sylindeen vil gli otove med delvis ulling. Fiksjonen li kinematisk, og da ikke annet e oppgitt må vianta at kinematisk fik. koeffisient e lik statisk: μ k, (det ude væt oppgitt i oppgaveteksten). Fiksjonskafta

3 vike mot venste og e lik F f, F N, Mg. Likn. () gi Mg F f M a Mg, Mg M a a 9 g, 4 g. Hvis ikke anta vedi fo μ k li F f μ k Mg og gyldig sva a ( μ k) g. Dette e enklee oppgave enn. idet vi ikke tenge etakte otasjonen av sylindeen. Det va jo ae spøsmål om tanslasjonen og da e det ae Mg og F f som ha etydning. Det e føst i opg. e. vi også måegnepå otasjonen. He va også en vanlig feil åukemaisf. å huske at egge legemene skal akseleees og defo Ma. d. Vi ha funnet at ved ein ulling e a g.vedå sette vedien inn i uttykket () finne vi at dette keve en fiksjon med støelse F f Ma M g, Mg. Da F N Mg keves en fiksjonskoeffisient på minstμ s,. Altenativt kan man også uke tanslasjons-n fo kloss+sylinde: Mg F f Ma, som med innsatt a g gi Ff Mg. e. Pga. konstant a og α e v at og ω αt og demed v ω a α. Fiksjonskafta F f Mg estemme otasjonsakseleasjonen (spinnsatsen) α τ I F f M Mg g M. Akseleasjonen ved ulling e funnet i c.: a 9 g. Demed e v ω a α 9 g Hvis ikke anta vedi fo μ k li gyldig sva a α ( μ k) g μ k. μ k g 4μ k g 9,. 4 Oppgave 4. Leketøyskanon a. Det e ingen yte kefte unde utskytingen (omvendt kollisjon) og evegelsesmengden e evat: MV + mv V v m 6,, m/s, m/s, M 4 motsatt etning av allen.. He e det kanskje enklest å egne ut tallvedie: Ballens kinetiske enegi: mv, 6 kg (, m/s) 4, J. Kanonens kinetiske enegi: E kan MV, 4 kg (, m/s), 8 J. Total enegi ette E, 4 J. Tapet e % slik at med E p i fjæa fø utskyting e E, 8 E p,altsåe p, E 6, J. Det spøes ette 4, J, 64. E p 6, J mv E p Altenativ utegning med symole, idet vi meke oss at M 4m og V v /4: mv, E kan MV 4m (v /4) /4, Total enegi ette E + E kan Eall. 4 Som ove med E p, E 4 E få vi E p Eall 4 E 4 4 6, 64. Eall c. Fjæas enegi e E p kx,oge p ha vi funnet vedi fo i., slik at fjæa fø utløsning må ha væt sammentykt Ep x k 6, J, 8 m, 8 cm. 4 N/m He va en typisk og unødvendig feil åklussemedcmogmetefok. Det e noe en fysike må meste.

4 Oppgave. Teghetsmoment a. Pga. symmeti e teghetsmoment I fo hve kvadant av ektanglet like stoe, eegne defo I fo øve høye kvadant (positiv x og y) og multiplisee med 4. Med koodinatsystem (x, y) og otasjon om y-aksen som foeslått velges et infinitesimalt masseelement dm i avstand x fa y- aksen, edde dx og høyde y x. Dae I 4 dm m andel aeal totalt aeal m y dx m ( x)dx x dm 4 m di dm x x ( x)dx m. y. ω da y dx y x x x [ x ] 4 x4 m [ 4 ] [ ] 4 4 m 6 m. Utolig hvo mye egning mange pestee på denne oppgaven, opp til 4 side på det meste. Noen få ha eegnet I om en akse gjennom sentum og nomalt på kvadatet, og svaet skal he foesten li I z m, slik at I z I x + I y (nomalakseteoemet, gjennomgått i foelesning, men ikke pensum). Oppgaven e en test om ) definisjonen av teghetsmentet e fostått og ) man meste infinitesimal oppdeling og integasjon. Det e flee altenative å dele opp infinitesimalt. En annen god løsning som flee anvende, e oppdeling i tynne stave paallelt med x-aksen og med di dml fo hve av disse. Integasjonen li denne gangen i y-etning de dm m ldy og l ( y). Integet ove øve halvdel av kvadatet multipliset med : I di m l dy m. y. y ω da ldy ( y)dy x y x ( y) dy m» 4 ( y)4 6 m. Oppgave 6. Gavitasjon a. Fa oppgitt E p og at gavitasjonen e en konsevativ kaft med F E p ( ), få vi nå F og E p ae e avhengig av : F de p() GMm ) d ( d d GMm GMm k GMm. Altenativt med agumentasjon at kun masse innenfo adius ha etydning (da kuleskallet utenfo netto nulle ut gavitasjonen): 4/ π M innenfo M volumandel M 4/ π M F G Minnenfom GMm. Elle det enkleste altenativet å gjenkjenne (!) at ved jodoveflata må F () G mm,altsålik den odinæe gavitasjonskafta ved jodoveflata, og dette gi F () k G mm k GMm.. Enegien e evat: E tot E p () E k ()+E p () mv + E p () Vi sette inn fo og i oppgitt E p : GMm ) ( mv GMm ) ( v GM ) ( v() ( ) GM GM ( ). Hastigheten ha selvfølgelig etning inn mot sentum og ude væt angitt negativ. 4

5 Altenativ eegning av E p fa definisjon (lik minus Z aeid påføt) og uk av F k: Z E p() E p() def F d ( k)d k( ). Enegievaing: ΔE p ΔE k gi mv (E p() E p()) k k( ) v m ( ). En tanke ved denne oppgaven va om noen gjenkjenne at F k e som kaft fo en hamonisk oscillato (SHM), dvs. massen vil svinge gjennom hullet som en masse/fjæ-svingning med likevektspunkt i jodsentum og ω p k/m (fomelak). Det kan utnyttes i c. (se unde), men også hevedå uke enegi E p k fo hamonisk oscillato, med valg E p i sentum. Enegievaing gi E p + E k k + k + mv k v m ( ), som jo va det som gav minimum med egning. Hvis man føst gjenkjenne en SHM kan man jo også uke posisjon og hastighet fo en SHM som funk. av tid, og defa finne v(), men dette e vel ikke den enkleste løsningen: (t) cos(ωt) og v(t) ṙ(t) ω sin(ωt), med v positiv mot stigende. Da kan vi finne v uttykt ved : ωt accos v() ω sin(accos ) Men sin(accos φ) p cos (accos φ) p φ slik at k k v() ω m m ( ) som ovenfo. c. Tida t fa oveflata til sentum kan finnes fa hastigheten ved å integee likningen v() d/dt (vi ha definet positiv v inn mot sentum, slik at d < t skalgipositiv v): d dt v(). Med v() fa. og oppgitt integal gi dette d t + GM [ acsin ] GM GM [π/ ] π GM. He e det aeidsespaende å gjenkjenne SHM. Tida fo en full peiode e T π/ω, ogmedω som ovenfo li tida fa jodas oveflate til sentum /4 av dette: t T 4 π m k π GM. Om noen e inteesset, e tallvedien T 4t, s h 4min s. Denne tida e foesten nøyaktig lik omløpstida fo en satelitt ett ove jodoveflata. Dette e et eksempel på at alle satelittane med samme stoe halvakse ha samme peiode T, og hullsvingningen e he en degeneet ellipse med halvakse. Men dette va sjølvsagt ikke ment kommentet til eksamen. Noen uke konstant-akseleasjonslikninge i. og c., som e en ommet, kafta og akseleasjonen avhenge jo i høyeste gad av og demed t. Hveken i pkt. a. elle. e det stengt tatt nødvendig å uke oppgitt uttykk fo E p, men va ment som en hjelp og om man demed fostå etydningen av potensiell enegi. A Mikkelsen. des.