1 Virtuelt arbeid for stive legemer

Transkript

1 1 Vituelt abeid fo stive legeme Innhold: Abeidsbegepet i mekanikk Pinsippet om vituelt abeid fo stive legeme Litteatu: Igens, Statikk, kap Hibbele, Statics, kap Bell, Konstuksjonsmekanikk Del I Likevektslæe, kap Cook & Young, Advanced Mechanics of Mateials, kap. 4.1 Babe, Intemediate Mechanics of Mateials, kap. 3.1 Tiple & Mosca, Physics fo Scientists and Enginees, kap. 6-1 og 6-2 TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

2 Abeid En kaft F gjø abeid W nå den vike ove en foskyvning F W = F (Kaft foskyvning) Noe me geneelt: Kaft og foskyvning e vektoe W = F = F cos F (Skalapodukt) Geneelt: Foskyvningen e ikke nødvendigvis ettlinjet W F d s (Integee langs kuve s) s d F Abeid pga moment M M W = M (Moment gange vinkel) Kaakteistisk fo abeid: Enhet J = Nm Skala støelse (ikke vekto!) W kan væe positiv elle negativ TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

3 Vituelt abeid fo patikkel Anta at en patikkel e påkjent av et sett med kefte, og at patikkelen e i likevekt: F = 0 (Newtons 1. lov; vektosum) F 2 F 1 F3 Patikkelen gis nå en vituell (tenkt) foskyvning i j k. x y z Keftene vike stadig på patikkelen. Abeidet som keftene utføe ove foskyvningen kalles vituelt abeid W Utegning av vituelt abeid: W F ifx jfy kfz xi y j zk Fx x Fy y Fz z 0 (Newtons 1. lov; vektosum) F 2 F3 F 1 F 1 Det totale vituelle abeidet e lik null fodi patikkelen e foutsatt å væe i likevekt. Vituell foskyvning: Vituell vil si en hypotetisk, vilkålig foskyvning Notasjon vaiee: Tilde-symbolet ( ), diffeensial (d) elle -symbol (). I TKT4124 bukes stot sett tilde-symbolet Velges fitt, men må ikke ende keftenes etning TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

4 Pinsippet om vituelt abeid Genealiseing: Ha legeme med endelig utstekning Foutsette likevekt, dvs. F = 0 og M = 0 Et vilkålig vituelt foskyvningsfelt ( x, y, z) av et legeme bestå av to komponente: tanslasjon u og otasjon. Kan vise at vituelt abeid elatet til u e lik null hvis F = 0, og at det vituelle abeidet pga e lik null hvis M = 0. = + u Stadig: PRINSIPPET OM VIRTUELT ARBEID FOR STIVE LEGEMER: Fo et system i likevekt e det totale vituelle abeidet på gunn av et vilkålig vituelt foskyvningsfelt lik null: W 0 Veldig nyttig pinsipp i analytisk mekanikk. Altenativ metode (i stedet fo likevektsligninge) til å finne kefte i stive (ikke-defomebae) konstuksjone. Nå! Mest elevant fo defomebae systeme, men må da inkludee inde defomasjonsabeid. Senee! Utgangspunkt fo tilnæmede løsningsmetode, f.eks elementmetoden. Noe i TKT4124, og mye i senee kus! TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

5 Eksempel 1.1: Bjelke q A B L F = ql Bestem innspenningsmomentet M A ved å velge et hensiktsmessig vituelt foskyvningsfelt, og buke pinsippet om vituelt abeid. TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

6 4a Eksempel 1.2: Fagvek A B C D E F P 3a 3a 3a 3a Bestem stavkaften N BC ved å velge et hensiktsmessig vituelt foskyvningsfelt, og buke pinsippet om vituelt abeid. TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

7 Eksempel 1.3: Ramme F = qa A C q B 3a a 2a a Bestem eaksjonskaften B x ved å velge et hensiktsmessig vituelt foskyvningsfelt, og buke pinsippet om vituelt abeid. TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

8 Eksempel 1.4: Mekanisme Hve av komponentene AB, BC og CD i mekanismen ha masse 8 kg og lengde a = 300 mm. Bestem vinkelen nå momentet M = 50 Nm og fjæstivheten k = 2500 N/m. Fjæen e alltid hoisontal, og ubelastet nå = 0. Sett g = 10 m/s 2. TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme

9 Pinsippet om vituelt abeid fo stive legeme løsningsstategi Begepet stive legeme indikee at selve legemet ikke defomees (tøyes) nå det belastes. Dette tilsvae at E- modulen e uendelig sto. Beegning av ukjente kefte (elle momente) med pinsippet fo vituelt abeid: 1. Ta utgangspunkt i systemets posisjon (konfiguasjon) nå det e i likevekt. 2. Velg et vituelt foskyvningsfelt som e slik at kun én ukjent kaft (elle moment) gjø abeid. 3. Regn ut det vituelle abeidet som samtlige kefte gjø ove det valgte, vituelle foskyvningsfeltet. Det e vanligvis enklest å uttykke abeidsbidagene som funksjon av vituell vinkel (deining). Pass på fotegn på bidagene. Ofte vil en elle flee av keftene gjøe null abeid fodi det vituelle foskyvningsfeltet e valgt slik at det ikke e noen foskyvning de kaften angipe. 4. Pinsippet om vituelt abeid ( som foutsette at systemet e i likevekt i statkonfiguasjonen): W Fa ligningen W 0 kan den ukjente støelsen (kaft elle moment) egnes ut. TKT4124 Mekanikk 3, høst Vituelt abeid fo stive legeme