6 Prinsippet om stasjonær potensiell energi

Transkript

1 6 Prinsippet om stasjonær potensiell energi Innhold: Konservative krefter Potensiell energi Prinsippet om stasjonær potensiell energi Stabil og ustabil likevekt rihetsgrader Litteratur: Irgens, Statikk, kap Hibbeler, Statics, kap Bell, Konstruksjonsmekanikk Del I Likevektslære, kap Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

2 Konservative krefter En kraft er konservativ hvis arbeidet den utfører mellom to punkt A og B er uavhengig av forflytning (integrasjonsvei) s 1 og s 2. s dr dr W s 1 2 AB A s 1 s 2 B Siden arbeidet W AB er uavhengig av hvilken vei kraften beveger seg mellom A og B, må W AB på en eller annen måte være funksjon av posisjonene A og B. Denne funksjonen kalles en potensialfunksjon B W d r x, y, z x, y, z AB B B B A A A B A A Minustegnet indikerer at når kraften gjør positivt arbeid, reduseres verdien på potensialfunksjonen tilsvarende. Legg merke til at hvis A = B, dvs kraften kommer tilbake til utgangspunktet, er W AB = 0 for en konservativ kraft. KONSERVATIVE KRETER: I fysikken er konservative krefter definert som krefter som kan avledes fra et potensial. I praksis betyr dette tyngdekraft og øvrig retningstro belastning. IKKE-KONSERVATIVE KRETER: Eksempler på slike er friksjonskraft (jo lengre forskyvningsvei, desto mer arbeid gjør friksjonskraften) og trykk-induserte krefter (som alltid står normalt på flaten den angriper, og dermed endrer retning når legemet deformeres). TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

3 Potensiell energi Et konservativt mekanisk system har en potensiell energi som kun avhenger av start- og sluttkonfigurasjon. Den potensielle energien består av tøyningsenergi U og lastpotensiale. U Lastpotensialet omfatter kreftene på systemet (inkl. gravitasjonskrefter). Disse må være konservative, dvs at arbeidet de utfører kun er avhengig av start- og sluttposisjon. u SLUTT Vilkårlig deforma- START sjonsvei Tøyningsenergien U, som alltid er positiv, er relatert til elastiske deformasjoner av systemet. Disse må være reversible. Materialet kan dermed ikke ha hystereseeffekter eller bli plastisk deformert. L U dd Ad x 0 A 0 (Konkrete uttrykk for U er utledet i kapittel 3) U 0 (Minustegnet forutsetter at u er forskyvning fra start- til sluttkonfigurasjon. jern minusen hvis u er motsatt!) VIKTIG: Lastpotensialet reduseres når kraften gjør et positivt arbeid over forskyvningen u = u(x). Da mister kraften et potensial tilsvarende det arbeidet den har utført. Potensiell energi er også behandlet på side 4-2. TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

4 Minimum potensiell energi i tyngdefeltet g y m A B h(x) C x En kule kan bevege seg friksjonsfritt langs en føring. Den potensielle energien skyldes kun gravitasjonen: (x) = mgh(x) or de aller fleste valg av x vil kula kunne rulle nedover i den ene eller andre retningen. Siden den totale mekaniske energien skal være uendret, vil det hele tiden bli en veksling mellom potensiell energi og kinetisk energi K: mg h(x) = K Kula kan ligge i ro, dvs være i statisk likevekt, i kun tre posisjoner (A, B og C). elles for disse er at h (x) = 0. Og dermed: d 0 d x Et tilleggskrav for stabil likevekt er at h(x), og dermed (x), har et minimumspunkt (dvs posisjon A eller C). Matematisk: 2 d 0 2 d x En liten perturbasjon (forskyvning) fra et stabilt likevektspunkt vil ikke gi vesentlige endringer i konfigurasjonen til systemet. Hvis likevektspunktet er ustabilt, gir perturbasjonen et betydelig utslag i systemets respons. TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

5 Prinsippet om stasjonær potensiell energi Argumentet om stasjonær potensiell energi i tyngdefeltet kan generaliseres til alle typer potensiell energi, dvs at tøyningsenergi U og lastpotensiale pga øvrige konservative krefter også kan inkluderes. Prinsippet om stasjonær potensiell energi: Blant alle mulige konfigurasjoner for et konservativt system, vil konfigurasjonene som tilfredsstiller likevektsligningene gjøre den potensielle energien stasjonær mhp små konfigurasjonsendringer Matematisk: d d U x u x 0 dx dx Kommentarer: 1. Det skal ikke være noen faktor ½ på lastpotensialet. De ytre kreftene er påført med konstant verdi under hele forskyvningen u = u(x). 2. Tøyningsenergien U må uttrykkes som funksjon av forskyvning. Se side 3-17 til Vi må mao. gjøre antagelser vedr. forskyvningsfeltet til systemet. Dette kommer for fullt i Kapittel 7 (Rayleigh-Ritz metode). 3. Løsning av d 0 gir forskyvningen ved likevekt. d x TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

6 Eksempel 6.1: Hengende stav g En stav henger som vist i figuren. Den har tyngde G og lengde L. Bruk prinsippet om stasjonær potensiell energi til å bestemme mulige likevektsposisjoner for staven, og hvorvidt disse er stabile. asit: 0 - STABIL, USTABIL TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

7 Eksempel 6.2: Mekanisme med staver iguren viser to identiske staver som har lengde L og masse m. jæren har stivhet k, og denne er ubelastet når = 0. Sett mg = kl. Bruk prinsippet om stasjonær potensiell energi til å bestemme likevektstilstandene (uttrykt ved ) for systemet. Er disse likevektstilstandene stabile? asit: 0 - USTABIL, 60 - STABIL TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

8 Eksempel 6.3: Hengende kjegle En sirkulær kjegle henger som vist i figuren. Kjeglen har diameter a, høyde a og masse m. Bruk prinsippet om stasjonær potensiell energi til å bestemme vinkelen. Er dette en stabil likevektstilstand? asit: 9,5 - STABIL TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi

9 rihetsgrader Som regel er det ikke mulig å beskrive oppførselen til et system ved hjelp av kun én frihetsgrad, dvs. en vinkel eller forskyvningskomponent. Det vil generelt være behov for flere uavhengige forskyvninger (eller vinkler), altså flere frihetsgrader v i. q v z v v x 1 frihetsgrad 2 frihetsgrader Uendelig mange frihetsgrader rihetsgradene gir i sum en fullstendig beskrivelse av systemets deformerte konfigurasjon. Dermed kan både tøyningsenergien U og lastpotensialet uttrykkes ved hjelp av frihetsgradene v i, dvs U = U(v i ) og = v i. Siden den potensielle energien = U + nå er funksjon av v i, vil stasjonær potensiell energi kreve at den partialderiverte av v i mhp hver av frihetsgradene v i er lik null v i Prinsippet om stasjonær potensiell energi er direkte anvendbart for diskrete problemer med få frihetsgrader. Kontinuerlige systemer med uendelig mange frihetsgrader må derimot løses med tilnærmede metoder. TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi 0

10 Eksempel 6.4: agverk L 60º L iguren viser et enkelt fagverk med to staver. Begge stavene har aksialstivhet EA. Bruk prinsippet om stasjonær potensiell energi til å bestemme forskyvningen av knutepunktet der lasten angriper. 1 L asit: u x 1 3, 1 u z 2 EA 2 TKT4124 Mekanikk 3, høst Prinsippet om stasjonær potensiell energi L EA