Måling av gravitasjonskonstanten

Transkript

1 Måling av gavitasjonskonstanten Aeea Aka, Jako Gehad Matinussen & Ingeog Ullaland Oktoe 014 Sammendag Gavitasjonskonstantens vedi, som anvendes i Newtons univeselle gavitasjonslov, kan eegnes ved å foeta følsom måling av gavitasjonsvekseslvikningene mellom to masse. Denne svake kaften le i ekspeimentet målt ved å plassee masse i en tosjonspendel og måle svingepeioden til de dempede hamoniske svingningene gavitasjonkeftene påføe. Den koigete gavitasjonskonstanten le målt til å væe (4.98 ± 0.0) Nm kg. Dette avviket på 5% fa kjent vedi fo gavitasjonsonstanten [1] skyldes feil i appaatu, utføelse og yte fostyelse. 1 Innledning Den univeselle gavitasjonloven, som fomulee tiltekningskaften mellom to masse, le pesentet av Isaac Newton i 1687[1]. Loven eskive gavitasjonvekselvikningen som en kaft poposjonal med poduktet av massene, og omvendt poposjonal med tyngdepunktavstanden mellom massene. Konstanten i fomuleingen kalles gavitasjonskonstanten og le gjennom ekspeiment målt av Hendy Cavendish i 1798[], som ha fått ekspeimentet oppkalt ette seg. Pe i dag foenkle teknisk oppdatet appaatu fosøksposedyen, men fysikkpinsippene ak ekspeimentet e fotsatt de samme. I denne appoten eskives hvodan man med Cavendish-ekspeimentet kan måle gavitasjonskeftene mellom lykule ved å uke tosjonspendel til å undesøke deiemomentet påføt av gavitasjonsvekselsvikningene. Ved måling av svingeutslaget til de dempede hamoniske svingningene påføt av gavitasjonskaft, kan man implisitt få et uttykk fo dette deiemomentet. Fosøket utføes med modene appaatu. Teoi og metode Gavitasjonskaften, F g, mellom to legeme med masse m 1 og m, med avstand mellom dees espektive tyngdemidtpunkt, e gitt ved Newtons univeselle gavitasjonslov[3] G uttykkes demed ved F g = G m 1m. (1) G = F g m 1 m. () F g e poposjonal med massene, og siden lykulenes masse e elativ liten, e det nødvendig med sædeles følsomt appaatu. Ved å uke en tosjonsvekt med myk tosjonståd, kan ønsket følsomhet oppnås. Tosjonsvekten måle deiemomentet, τ, staven utsettes fo gunnet gavitasjonsvekselsvikninge mellom massene. Da tosjonstådens lengde e mye støe enn vinkelutslaget(tosjonvinkelen), θ, vil τ væe poposjonal med vinkelutslaget og tosjonstivheten, D, illustet i figu 1. τ τ Figu 1: Tosjon av stav som esultat av deiemoment. Deiemomentet e demed gitt ved θ τ = Dθ. (3) Kaften som foåsake deiemomentet e gitt ved F = τ, (4) hvo e kaftens am m.h.p. otasjonsaksen til tosjonpendelen. (3) innsatt i (4) gi 1

2 F = D θ. (5) li halvpaten av tykkelsen til tosjonspendelkammeet, d kamme, pluss halvpaten av den gjennomsnittlige diameteen til de stoe lykulene, d, S S S1 6 5 = d kamme + d. (6) Utenfo kamene e to støe lykule montet slik at tyngdemidtpunktet dees e plasset på det samme hoisontale planet som de små lykulene. Dette e hensiktsmessig siden jodas tyngdekaft ikke ha noen komponent på dette planet. L (θ1+θ) θ θ1 Taell : Manuelle målinge Måling Målevedi Usikkehet L.43 m ±0.005 m M g ±0.05 g M g ±0.05 g d mm ±0.5 mm, d 63.0 mm ±0.5 mm d kamme 30.5 mm ±0.5 mm 47. mm ±0.5 mm Figu : Figuen vise oppsettet fo tosjonsvekten. 1) Tosjonståd vinkelett ut av planet, ) speil, 3) lase mot speil og efleksjon av lase, 4) små lykule, 5) målestokk, 6) lasekilde, 7) stoe lykule. Stiplet sikel epesentee posisjon 1 og gåfaget sikel epesentee posisjon. Som figu vise, estå appaatuen av en tosjonpendel med to like små lykule i avstand. Massen til tosjonspendelens am e neglisjea i fohold til kulenes masse. Foøvig ha tosjonspendelen oppgitte vedie gitt i taell 1. Taell 1: Tosjonspendelens oppgitte vedie Måling Målevedi Usikkehet 100.0mm ± 0.1mm m 0.015kg ± 0.001kg l 5cm ± 1cm t h ( )mm e avstand mellom m 1 og m, m e tyngden til de enkelte, små masseelementene, l e lengden til tosjonståden, og t og h e tvesnittsedde og -lengde til tosjonståden. Avstanden fa den lille kulens likevektsposisjon og tyngdemidtpunktet til den stoe lykulen,, vil L e lengden mellom efleksen, montet på tosjonspendelen, og målestokken (se figu ), M 1 og M e tyngden til de enkelte, stoe lykulene. Gavitasjonskaften mellom lykulene kan estemmes ved å måle tosjonvinkelen. Figu vise at foholdet mellom deiemomentet og tosjonvinkelen ved posisjon 1 og e gitt ved noe som gi F + F = Dθ 1 + Dθ, (7) F = D θ1 + θ. (8) 4 kan måles diekte, men tosjonvinkelen og tosjonsstivheten må undesøkes næmee. Ut fa figu ses det at lasestålen lage en vinkel θ nå amen lage en vinkel θ. S e utslagsdiffeansen mellom likevektspunktene, S 1 og S, S = S 1 S, (9) og usikkeheten i S ved Gauss feilfoplantningslov li demed S = ( S 1 ) + ( S ). (10) L e lengden mellom speilet, montet på tosjonspendelen, og målestokken. Desom L>>S gjelde

3 S L = (θ 1 + θ ). (11) Ligning (11) innsatt i (8) gi et utykk fo kaften F = D 8 S L, (1) hvo valg av sto L vil gi en ede tilnæming til vinkelutslaget. Tosjonstivheten kan estemmes ved å se på vinkelhastigheten til pendelsvingningen. Ettesom tosjonspendelen utsettes fo nytt deiemoment, foskyves likevektsposisjonen, slik at pendelen svinge dempet hamonisk undt denne. Sammenhengen mellom deiemoment og vinkelhastighet e poposjonal τ = I θ, (13) hvo I = m. Ettesom det e motkaften fa tåden på pendelen som undesøkes, vil deiemomentet i ligning (3) skives med negativt fotegn. Ligning (13) innsatt i negativ ligning (3) gi demed θ + ω θ = 0, (14) hvo ω = D I. En løsning av ligning (14) e D θ(t) = θ 0 sin ωt = θ 0 sin I t. Gitt svingepeioden, T = π ω, kan tosjonsstivheten uttykkes ved D = 4π I T. (15) Den gjennomsnittlige svingepeioden vil væe gitt ved T = T 1 + T. (16) Usikkeheten i T kan anslås som halvpaten av diffeansen mellom de to svingpeiodene i de to espektive måleseiene som li foetatt, siden disse to skulle ideelt sett væt like. Dette gi et uttykk fo usikkeheten T = T 1 T. (17) Utykket fo gavitasjonskaften i ligning (1) innsatt i uttykket fo gavitasjonskonstanten, ligning (), gi (15) innsatt i (18) gi G = D 8 S L mm. (18) G = π S T LM. (19) Denne sammenhengen foutsette at massene ikke påvikes av gavitasjonsvekselvikninge med en am fa ande ojekte, og at det opeees med små vinkle. Uttykket inneholde kun vedie som det e mulig å måle. Ved å anvende Gauss feilfoplantningslov, kan det demed finnes et uttykk fo den asolutte usikkeheten til den eegnede gavitasjonskonstanten, uttykt i fom av usikkehetene til de espektive målevediene som foetas G = G (0) ( ( S + S ) +( ) + ( ) L + L ( ( ) ) 1 M. M ) +( T ) T Ligning (19) foutsette et isolet system, hvo de små lykulene kun påvikes av gavitasjonskaften fa den næmeste stoe lykulen. I ealiteten må også gavitasjonskaften mellom den lille og den stoe lykulen i lengst avstand etaktes. Denne feilen kan estimees ved å se kaftuttykket fo gavitasjonen mellom disse pavise kulene F 0 = G mm 4 +. (1) Figu 3 vise den utslagsgivende komponenten av denne kaften, f, som peke motsatt av F 0, og ha en ettvinklet am m.h.p. svingeaksen. Denne komponenten kan skives som f = F 0 sin α = G mm 3 ( + 4 ) = F 3 0 β, hvo β = 3. ( +4 ) 3 () Uten å koigee fo denne systematiske utslagsgivende faktoen, vil man finne en fo lav vedi av 3

4 3 Resultate og målevedie 3.1 Dataehandling F' 0 α f Numeisk analyse av målingene med egesjonsmodellen fa ligning (5) gi vediene oppføt i taell 3 og 4. Disse vediene gi følgende vedi fo gavitasjonskonstanten ved ligning (19) G N m kg. Et gafisk plott av svingeutslaget som en funksjon av tid e gitt i figu 4 og M8alte vedie Tilpasningskuve S(t) = S0 + Ae!,t sin(:t=t +?) Likevektslinje Innhyllingskuve 360 Figu 3: Koeksjon av systematisk feil i Cavendish ekspeiment F 0 Svingeutslag, S(t) [mm] gavitasjonskonstanten. Kaften vi ha egnet ut li demed me nøyaktig F 0 = F 0 f = F 0 (1 β), (3) Tid, t [s] som gi et systematisk koiget uttykk fo gavitasjonskonstanten G ko = G 1 β. (4) De nødvendige målingene fo ligningen (19) le foetatt i to måleseie. I måleseie 1 le de stoe lykulene flyttet til posisjon 1 (se figu ). Ette å ha avventet nomaliseing av fostyende svingninge i.5 minutte, le laseefleksjonens posisjon på målestokken (svingeutslaget) avlest hvet 30. sekund i 30 minutte. Dette muliggjode katlegging av likevektspunkt og svingepeiode. I måleseie le posedyen gjentatt ette å ha flyttet de stoe lykulene til posisjon. Målingene le ehandlet ved hjelp av statistisk egesjon. En egesjonsmodell aset på dempet oscilleing le ukt i følgende fom S(t) = S 0 + Ae αt sin( π T + φ). (5) Statistisk feilanalyse av målingene gi et anslag av feilmaginene til S og T. Figu 4: Måleseie #1: Gafen vise den dempede hamoniske svingingen som en funksjon av tid, om likevektsposisjonen - den helstukne øde linjen. Enkeltmålingene e plottet som lå pikke. Taell 3: Måleseie #1 dataehandling Måling Vedi S mm T 1 664s S 1 0.mm T 1 s Taell 4: Måleseie # dataehandling Måling Vedi S 40.0mm T 656s S 0.mm T 1s Det e egesjonmodellen fa ligning (5) som gi funksjonene som e plottet med ød, helstukket linje 4

5 Svingeutslag, S(t) [mm] M8alte vedie Tilpasningskuve S(t) = S0 + Ae!,t sin(:t=t +?) Likevektslinje Innhyllingskuve Tid, t [s] Figu 5: Måleseie #: Gafen vise en dempet hamonisk svinging tilsvaende figu 4, med en foskjøvet likevektsposisjon. i figu 4 og 5. Den låstiplede linjen indikee systemet enegitap gitt ved amplitudens demping, Ae αt. 3. Usikkehetseegning Fo å koigee fo systematisk feil, enyttes ligning (4) G ko N m kg. S eegnes ved ligning (9) til S = m. Og usikkeheten i S eegnes ved ligning (10) til S m. Gjennomsnittlig svingepeiode e eegnet ved ligning (16) til T = 660 s. Usikkeheten i T anslås ved ligning (17) til T = 4 s. Dette tyde på tilfeldige feil. Usikkehet ved Gauss feilfoplantnignslov fa ligning (0) e G N m kg. 3.3 Endelig tallvedi Vi anta at usikkeheten knyttet til G egnet ved ligning (19), e tilnæmet lik fo den koigete vedien. Dette gi demed den endelige eegnede tallvedien fo gavitasjonskonstanten som G ko = (4.98 ± 0.0) Nm kg 4 Diskusjon Det eegnede esultatet fo gavitasjonskonstanten avvike fa den kjente vedien fo G, N m kg [1], med ca N m kg. Med den systematiske koigeingen edusees diffeansen til ca N m kg. Dette tyde på gjennomgående feil i ekspeimentet. Cavendish-ekspeimentet le gjennomføt av flee guppe samtidig med lignende appaatu og unde tilsvaende omstendighete. Alle guppene fikk esultate som avviket fa kjent G i det omtentlige intevallet [.5, 1.8]Nm kg. Dette indikee systematisk gjennomgående feil i appaatuen. Ved tilfeldige feil som den støste kilden til avvik, ville det væe foventet at alle guppene ville få sluttesultate som lå tilfeldig spedt fa den kjente vedien fo G. Ettesom vå utegning av G foutsatte et isolet system, va yte fostyelse en uheldig feilkilde. Fa figu 4 se vi at enkeltmålingene av svingeutslaget avvike fa den linæe egesjonsmodellen. Avviket kan skyldes yte påvikninge ettesom tosjonspendelen va plasset næme en dø med mye tafikk. Dette kan ha esultet i viasjone og tekk som innviket på svingutslaget til tosjonspendelen. Ande tilfeldige feil i ekspeimentet e elatet til avlesningen av svingutslaget. Dette inkludee menneskelige feil elatet til øyemål, appaatuegensninge som målestokkens oppløsning og laseenstålens skaphet. Tidsintevallet mellom hve måling skulle væt på 30 sekunde, men he kan menneskelige unøyaktighete ha foekommet. Feilene påvike vedien fo åde T og S. Ligning (19) vise at at esultatet fo G e omvendt poposjonalt med kvadatet av T, og feilestimeing av T vil defo innvike etaktelig på det endelige esultatet. I tillegg foutsette uken av ligning (19) at massene av lykulene e ekvivalente - noe tyngdemålingene vise de ikke e. Usikkeheten i de manuelle avstands- og tyngedmålingen påvike også usikkeheten i G. 5 Konklusjon Den endelige koigete vedien fo gavitasjonskonstaten med feilestimat målte vi til (4.98 ± 0.0) Nm kg. Dette e et avvik på omtent 5% fa kjent gavitasjonkonstant[1]. 5

6 Til toss fo at de innvikende feilkildene føte til et avvikende esultat, se vi at den eegnede gavtasjonskonstaten e av samme støelsesoden som den akseptete vedien. Refeanse [1] Helmut Omestad og Øyvind Gøn/Stoe Noske Leksikon, gavitasjon, oktoe(014) [] Chista Jungnickel og Russell McCommach- McCommach, Cavendish, Ameican Philosophical Society, (1966). [3] Hugh D. Young og Roge A. Feedman. Univesity Physics with Moden Physics. Peason Education, Addison Wesley. 13. utgave, (011). [4] Laoatoiumsheftet fy1001 la/kompendiummaste.pdf,oktoe(014). 6