Formelsamling i medisinsk statistikk

Transkript

1 Fomelsamling i medisinsk statistikk Dette e fomelsamling til O. O. Aalen: Innføing i statistikk med medisinske eksemple, 2. utg., Ad Notam Gyldendal, 998. Fomelsamlingen e utabeidet i okt. 2000, med små endinge i okt På s. 7 e det også gitt noen ettelse til boken. Gjennomsnitt Median x = n (x + x 2 + x x n ) Alle obsevasjone odnes i stigende ekkefølge. Ved ulike antall obsevasjone, e medianen definet som den midteste av dem.ved like antall, e medianen definet som gjennomsnittet av de to midteste. Standadavvik v u s = t nx (x i x) 2 n i= Guppete data Intevallmidtpunkte m,m 2,...,m k. Hyppighete f,f 2,...,f k. Totalt antall obsevasjone: n. Gjennomsnitt og standadavvik e gitt ved: x = n (m f + m 2 f m k f k )= n v u s = t kx n { (m j x) 2 f j } j= kx m j f j Median og faktile fo guppete data finnes ved lineæ intepolasjon. Insidens og pevalens Pevalens angi andelen i befolkningen som ha en viss sykdom. Insidensaten måle foekomsten av nye tilfelle av sykdommen ove et gitt tidsom. j=

2 Regneegle fo sannsynlighet Hvis begivenhetene A og B e disjunkte has P (A B) =P (A)+P(B) Fo alle begivenhete A og B has P (A B) =P (A)+P(B) P (A B) Definisjon av betinget sannsynlighet P (A B) P (A B) = P (B) Begivenhetene A og B e uavhengige hvis P (A B) =P (A) P (B) En tilsvaende poduktegel e gyldig om vi ha flee uavhengige begivenhete. Regelen om total sannsynlighet P (A) =P (A B) P (B)+P(A B) P (B) Bayes lov P (B)P (A B) P (B A) = P (B)P (A B)+P (B)P (A B) Diagnostiske teste Sensitivitet: Sannsynlighetfopositivtestgittsykdom. Spesifisitet: Sannsynlighet fo negativ test gitt at det ikke foeligge sykdom. Positiv pediktiv vedi: Sannsynlighet fo at det foeligge sykdom gitt postiv test. Negativ pediktiv vedi: Sannsynlighet fo at det ikke foeligge sykdom gitt negativ test. Kombinatoikk Tekning av s kule fa en boks med n kule. Antall odnede utvalg med tilbakelegging n s Antall odnede utvalg uten tilbakelegging n(n )(n 2) (n s +) Antall ikke-odnede utvalg uten tilbakelegging µ n n(n )(n 2) (n s +) = s s! 2

3 Foventningogvaiansfoteoetiskfodeling E(X) = X alle x i x i P (X = x i ) Va(X) = X alle x i (x i E(X)) 2 P (X = x i ) Regneegle fo foventning og vaians E(aX + b) = ae(x)+ b, Va(aX + b) =a 2 Va(X), SD(aX + b) = a SD(X) E(X + X X n )=E(X )+E(X 2 )+ +E(X n ) Hvis X,X 2,...,X n e pavis stokastisk uavhengige has: Va(X + X X n )=Va(X )+Va(X 2 )+ +Va(X n ) Binomisk fodeling Sannsynligheten fo at en begivenhet A innteffe x gange i løpet av n binomiske fosøk, e µ n P (X = x) = p x ( p) n x, x =0,,...,n x Foventning og vaians i binomisk fodeling e gitt ved: E(X) = np, Va(X) = np( p) Poissonfodeling Sannsynligheten fo x foekomste, nå foventning e lik λ, e gitt ved: P (X = x) = λx e λ x! fo x =0,, 2,... Foventningogvaiansegittved: E(X) =λ og Va(X) =λ Poissonfodelingen anvendes også ved Poissonposesse. Nomalfodeling En stokastisk vaiabel X sies å væe nomal (µ, σ) hvis den følge en nomalfodeling med foventning (sentum) µ og standadavvik (spedning) σ. Den standadisete vaiable Y =(X µ)/σ e nomal (0,). Sannsynlighetstettheten til nomalfodelingen e gitt ved følgende fomel: f(x) = (x µ)2 exp( 2πσ 2σ 2 ) de exp(a) e det samme som eksponensialfunksjonen e a. 3

4 Fomle fo gjennomsnitt La X væe gjennomsnittet av de uavhengige vaablene X,X 2,...,X n. gjelde: Da E(X) =µ, Va(X) = σ2 n, SD(X) = σ n, s X = s n Hvis vaiablene også e nomalfodelte, vil et konfidensintevall væe gitt ved X ± cs X de c bestemmes ut fa Studentfodelingen med n fihetsgade. En teststøelse e gitt ved t = X µ = X µ n s X s og denne e Studentfodelt med n fihetsgade nå H 0 gjelde. Sammenlikningavtogjennomsnitt Samme foutsetninge som ove. Foøvig antas gjennomsnittene å komme fa to uavhengige utvalg. Følgende testøelse e Studentfodelt med n + n 2 2 fihetsgade nå H 0 gjelde t = X X q 2 s f n + n 2 de s f e definet ved s (n )s 2 s f = +(n 2 )s 2 2 n + n 2 2 Et konfidensintevall e gitt ved X X 2 ± cs f + n n 2 de c e bestemt av Studentfodelingen med n + n 2 2 fihetsgade. Poissonfodeling som tilnæming til binomisk fodeling Binomisk fodeling kan tilnæmes med en Poissonfodeling hvis: () p 0.05 og (2) n 50 4

5 Nomalfodeling som tilnæming til binomisk fodeling Nå n i en binomisk fodeling e så sto at np 5 og n( p) 5, vilden binomiske fodelingen likne mye på en nomalfodeling med paamete µ = np, σ = p np( p) Nomalfodeling som tilnæming til Poissonfodeling Nå λ i en Poissonfodeling e minst lik 5, vil Poissonfodelingen likne mye på en nomalfodeling med paamete Estimeing av sannsynlighet µ = λ, σ = λ Hvis det e obsevet X foekomste ved n binomiske fosøk, e estimatet fo sannsynligheten p gitt ved p, mens estimet standadfeil e gitt ved s p p p ( p = X/n, s p = ) n Fodelingen til p e tilnæmet nomalfodelt qunde de samme foutsetninge p( p) som fo binomisk fodeling, med µ = p og σ = n. Et 95% konfidensintevall fo p e gitt ved p ± 2s p Teststøelse fo sammenlikning av to sannsynlighete p Y = p 2 q ( n + n 2 )p( p) Teststøelse fo sammenlikning av to Poissonvaiable Y = X X 2 X + X 2 Konfidensintevall fo elativ isiko Relativ isiko: Hjelpestøelse: RR = X /n X 2 /n 2 s RR = X + X 2 n n 2 5

6 95% konfidensintevall fo RR: Regesjonsanalyse (RR exp(.96 s RR ),RR exp(.96 s RR )) Helningskoeffisienten, b, og skjæingspunktet med y-aksen, a, fo minste-kvadateslinjen e gitt ved ˆb = sxy /s 2 x, â = y ˆb x de s x og s y e standadavvikene til henholdsvis x- og y-vediene, mens s xy e definet ved s xy = nx (x i x)(y i y) n i= Minste kvadatsum e gitt ved est = nx (y i â ˆbx i ) 2 =(n )(s 2 y ˆbs xy ) i= Standadavvik som måle vaiasjonen i punktene undt den beste linjen: est s eg = n 2 Konfidensintevall fo ˆb bestemmes ut fa fomelen: ˆb ± c s eg p (n ) s 2 x de c bestemmes ut fa en studentfodeling med n 2 fihetsgade. Koelasjon Koelasjonskoeffisienten e definet på følgende måte: = s xy s x s y Bestemmelse av fosøksstøelse Støelse på et binomisk fosøk fo å oppnå en sikkehet på a iestimatetfo sannsynligheten: 4p( p) n = a 2 Støelse på et fosøk med måledata fo å oppnå en sikkehet på a i gjennomsnittet: n =4(σ/a) 2 6

7 Antallet som keves i hve guppe nå to binomiske sannsynlighete skal sammenliknes med siginifikansnivå α og teststyke β: n = p ( p )+p 2 ( p 2 ) (p 2 p ) 2 f(α, β) Antallet som keves i hve guppe nå to gjennomsnitt skal sammenliknes med siginifikansnivå α og teststyke β: n =2(σ/ ) 2 f(α, β) Støelsen f(α, β) e definet i tabellen nedenfo. β (type II feil) α (type I feil) Tallene i tabellen e hentet fa Pocock (983). Table : Tabell ove funksjonen f(α, β) Rettelse til boken NedenfoedetgittnoenettelsetilO.O.Aalen:Innføingistatistikkmed medisinske eksemple, 2. utg., Ad Notam Gyldendal, 998. side 4, linje 6: Følgende passus fjenes: (dvs. en hvet fjede å) side 47, linje 4: Odet pleiene estattes med gaviditetene side 47, siste linje: Tallet 6.09 estattes med 4.4 side 283, siste linje: Det skal stå 0.06% side 285, tabell: Tallet 67 skal estattes med 97 side 302, fasit til B76: Tallet -.46 skal estattes med