Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02

Transkript

1 Sida 1 Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sannolikhetsmått För två händelser A och B gäller alltid att P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) Kombinatorik Antal sätt att välja k element ur en mängd med n element med återläggning och med hänsyn till ordning: n k utan återläggning och med hänsyn till ordning: (n) k = n(n 1) (n k + 1) = utan återläggning och utan hänsyn till ordning: ( ) n = k n! k!(n k)! n! (n k)! Oberoende händelser Två händelser A och B är oberoende om P (A B) = P (A) P (B). Betingade sannolikheter För P (B) > 0 gäller att P (A B) = Totala sannolikhetslagen P (A B). P (B) För händelser A 1,..., A n sådana att P (A i ) > 0 för i = 1,..., n, n A i = S och A i A j = ø för i j, så gäller att A1 A5 S P (B) = P (B A i ) P (A i ). A2 A3 B A4 A6 Bayes formel Om dessutom P (B) > 0 gäller att P (A i B) = P (B A i ) P (A i ) n P (B A i) P (A i ). Väntevärde och varians För två stokastiska variabler X och Y, och två konstanter a och b g äller att E [X] = k P (X = k) k S X = x f X (x) dx x S X Var (X) = E [(X E [X]) 2] (om X är diskret) (om X är kontinuerlig) = E [ X 2] (E [X]) 2 (Steiners sats) Cov (X, Y ) = E [(X E [X])(Y E [Y ])] = E [XY ] E [X] E [Y ] E [ax + b] = ae [X] + b E [X + Y ] = E [X] + E [Y ] Var (ax + b) = a 2 Var (X) Var (X + Y ) = Var (X) + 2Cov (X, Y ) + Var (Y ) Om X och Y är oberoende gäller dessutom att E [XY ] = E [X] E [Y ] Var (X + Y ) = Var (X) + Var (Y )

2 Sida 2 Summor av oberoende kontinuerliga stokastiska variabler f X+Y (x) = Några diskreta sannolikhetsfördelningar Binomialfördelningen X Bin(n, p) P (X = k) = E [X] = np f X (u)f Y (x u) du ( ) n p k (1 p) n k, k Var (X) = np(1 p) k = 0, 1,..., n X N(np, np(1 p)), om n är stort f n = X/n, f n N(p, f n(1 f n)/n), om n är stort X Po(np), om n är stort och p litet Om X Bin(n 1, p) och Y Bin(n 2, p) och oberoende, är X + Y Bin(n 1 + n 2, p) Hypergeometrisk fördelning X Hyp(s, v, n), dvs plocka n kulor bland s svarta och v vita, och räkna antalet svarta, X, bland de plockade. ( s v ) k)( P (X = k) = n k ( s+v n E [X] = n s/(s + v) Var (X) = sv n (s + v) s + v n 2 s + v 1 Då s + v stort i förhållande till n gäller X Bin(n, s/(s + v)) ), k = max(n v, 0),..., min(s, n) Poissonfördelningen X Po(c) P (X = k) = ck k! e c, k = 0, 1, 2,... E [X] = c Var (X) = c Om X 1 Po(c 1), X 2 Po(c 2), samt X 1 och X 2 oberoende, så är Om c är stort gäller att X Geometrisk fördelning X Geo(p) N(c, c). X 1 + X 2 Po(c 1 + c 2) P (X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,... E [X] = 1/p Var (X) = 1 p p 2 Några kontinuerliga sannolikhetsfördelningar Exponentialfördelningen X exp(λ) f X(x) = λe λx, x 0 F X(x) = 1 e λx, x 0 E [X] = 1/λ Var (X) = 1/λ 2 Om X 1,..., X n är oberoende exp(λ) så är X i Γ(n, λ). Om X 1 exp(λ 1) och X 2 exp(λ 2), samt X 1 och X 2 oberoende, så är min(x 1, X 2) exp(λ 1 + λ 2).

3 Sida 3 Γ-fördelningen (eller Erlang) X Γ(n, λ) Då n är heltalig så kallas fördelningen i boken för Erlangfördelningen. f X(x) = λ n x n 1 Γ(n) e λx, x 0 där Γ(n) = x n 1 e x dx. Om n heltalig (Erlangfördelningen) så är Γ(n) = (n 1)!. 0 E [X] = n/λ Om n är stort gäller att Var (X) = n/λ 2 λx Γ(n, 1) X N(n/λ, n/λ 2 ). Normalfördelningen X N(µ, σ 2 ) f X(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 /(2σ 2), < x < E [X] = µ Var (X) = σ 2 (X µ)/σ N(0, 1) Om X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2), samt oberoende, så gäller att X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2) Om vidare X 1,..., X n är ett stickprov på X, så gäller att X n N(µ, σ 2 /n), och att X n µ S/ t n 1. n Vidare är (n 1)S 2 /σ 2 χ 2 n 1-fördelad. Likformig kontinuerlig fördelning X Likf[a, b] f X(x) = 1 b a, a x b E [X] = a + b 2 Var (X) = (b a)2 12 Stickprov Med ett stickprov av storleken n på en stokastisk variabel X avses n st oberoende stokastiska variabler X 1,..., X n med samma fördelning som X. Stickprovsmedelvärdet och stickprovsvariansen definieras enligt E [ ] X n Var ( ) X n X n = 1 n S 2 = 1 n 1 = E [X] X i (X i X n ) 2 = Var (X) /n E [ S 2] = Var (X) Centrala gränsvärdessatsen För X 1,..., X n oberoende och likafördelade med µ = E [X i ] och σ 2 = Var (X i ) gäller, om n är stort, att X i N(nµ, nσ 2 ) Konfidensintervall X 1,..., X n ett stickprov på X och Y 1,..., Y m ett stickprov på Y. Konfidensintervallen har konfidensgrad 1. Exponentialfördelning X exp(λ) q 1 S λ q2 S, där S = X i. Ta q 1 och q 2 ur Γ(n, 1)-tabell så att F Γ(q 1) = /2, F Γ(q 2) = 1 /2.

4 Sida 4 Normalfördelning X N(µ, σ 2 ) Där z /2 fås ur N(0, 1)-tabell; Φ(z /2 ) = 1 /2. t /2 ur t n 1-tabell; F tn 1 (t /2 ) = 1 /2. q 1, q 2 ur χ 2 n-tabell; F χ 2(q 1) = /2, F χ 2(q 2) = 1 /2. v 1, v 2 ur χ 2 n 1-tabell på samma sätt som ovan. Skillnad i väntevärden, normalfördelning X N(µ 1, σ 2 ), Y N(µ 2, σ 2 ) µ = X n ± z /2 σ/ n, när σ känd µ = X n ± t /2 S/ n, när σ okänd n σ 2 q 2 σ 2 n σ2 q 1, när µ känd (n 1)S 2 σ 2 (n 1)S2, när µ okänd v 2 v 1 σ 2 = 1 (X i µ) 2. n µ 1 µ 2 = X n Y m ± t /2 S där S 2 = (n 1)S2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 1 n + 1 m, Ta t /2 ur t n+m 2 tabell så att F tn+m 2 (t /2 ) = 1 /2. Binomialfördelning X Bin(n, p) och n är stort f n(1 f n) p f n ± z q, där f n = X/n. n Ta z /2 ur N(0, 1) tabell; Φ(z /2 ) = 1 /2. Poissonfördelning X Po(c) och c är stort c X ± z /2 X c X n ± z /2 S/ n Ta i båda fallen z /2 ur N(0, 1) tabell; Φ(z /2 ) = 1 /2. då n är stort Maximimetoden (Maximum Likelihood metoden) X 1,..., X n stickprov på X med frekvensfunktion f X (x, θ). Maximimetodens punktskattning θ, är det värde på θ som maximerar trolighetsfunktionen L(x 1,..., x n, θ) = n f X (x i, θ). Många gånger kan det vara lättare att bestämma maximi till logaritmen av trolighetsfunktionen. Linjär regression Y 1,..., Y n bestäms av Y i = + βx i + ε i där ε i N(0, σ 2 ) och oberoende. = Y β x β = S xy /S xx S 2 = (S Y Y βs xy )/(n 2), S xx = (x i x) 2 = x 2 i nx2, S Y Y = (Y i Y ) 2 = Yi 2 ny 2 och S xy = (x i x)(y i Y ) = x i Y i nxy. Lutningskoefficienten β N(β, σ 2 /S xx ) så ( β β)/ S 2 /S xx t n 2 -fördelad. Observera att och β ej är oberoende. Statistisk hypotesprövning X 1,..., X n stickprov på X. Test av hypotesen H 0 mot H 1 med hjälp av testvariabeln T = g(x 1,..., X n ). Låt R vara förkastelseområdet. Vi kallar händelserna T R H 0 för fel av första slaget T / R H 1 för fel av andra slaget. Om P (T R H 0 ) sägs testet vara på signifikansnivån. Styrkefunktionen är β(θ) = P (T R θ) där θ är den parameter som specificerar hypoteserna.

5 Sida 5 χ 2 -testet X 1,..., X n stickprov på X. Test av hypotesen F = F 0 där F 0 är en given fördelningsfunktion. A 1,..., A k är disjunkta delmängder så att k A i = Ω. Då gäller att testvariabeln k (Y i np i ) 2 Q = np i χ 2 k 1 -fördelad, där p i = P (X A i ) och Y i är antalet observationer som ligger i A i, dvs Y i = { 1 om Xj A I i (j) I i (j) = i 0 om X j / A i j=1 Tumregel: np i bör vara 5 för varje i = 1,..., k. Om F 0 har r stycken okända parametrar som vi har skattat ur stickprovet gäller att Q χ 2 k r 1 - fördelad. Poissonprocessen De definierande egenskaperna hos Poissonprocessen är att antalet impulser i disjunkta tidsintervall är oberoende stokastiska variabler, och att antalet impulser i ett intervall av längden T är Po(λT ), där λ är processens intensitet. Tiden mellan successiva impulser är oberoende och exp(λ).

6 Sida 6 Normalfördelningen Fördelningsfunktionen för N(0, 1), Φ(z) är tabulerad nedan för olika värden på z. För z < 0 använd relationen Φ(z) = 1 Φ( z). z z Följande är kritiska värden z för vilka gäller att Φ(z ) = z

7 Sida 7 Γ-fördelning Kritiska värden, q för en Γ(n, 1)-fördelad stokastisk variabel, S, för vilka P (S q ) =. n Poissonfördelning, X Po(c) Tabell över fördelningsfunktionen F X (t) = P (X t) för olika värden på c. P (X = k) = ck k! e c F X (t) = n t P (X = k) c t k=0

8 Sida 8 t-fördelning Kritiska värden, t, för en t n -fördelad stokastisk variabel, X, sådana att P (X t ) =. Notera att P (X t ) = P (X t ). 0 n n χ 2 -fördelning Kritiska värden, q, för en χ 2 n-fördelad stokastisk variabel, Q, sådana att P (Q q ) =. n

9 Sida 9 Binomialfördelning, X Bin(n, p) Tabell över fördelningen P (X k). För n > 20 använd normalimation. p n k

10 Sida 10 p n k

11 Sida 11 p n k