Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1

Transkript

1 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s AR2-modell: Oppgave X t φ X t φ 2 X t 2 Z t Antas å være kausal slik at X t ψ j Z t j er ukorrelert med Z t+, Z t+2, framtiden Når vi multipliserer med X t h, h > 2: X t φ X t φ 2 X t 2 Z t t h ψ j Z t h j E X t X t h φ X t 2 X t h φ 2 X t 2 X t h E Z t ψ j Z t h j γh φ γh φ 2 γh 2 0 Som gir rekursjonen: Derfor: γh φ γh + φ 2 γh 2, h 3, 4, 5, γ3 04γ γ γ4 04γ γ γ5 04γ γ Egentlig skulle oppgaven vært med: γ 94 og γ2 97 Det er dette som er riktige ACVF-verdier for den gitte modellen Da blir svarene: γ3 04γ γ γ4 04γ γ γ5 04γ γ

2 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 2 Oppgave 2 Rekursjonen framkommer som vist i oppgave Den er bla svært nyttig for å finne autokovariansene for en gitt AR2-modell ARp-modell: X t φ X t φ p X t p Z t For h > p: X t φ X t φ p X t p Z t t h ψ j Z t h j EX t X t h φ EX t X t h φ p EX t p X t h E Z t ψ 0 Z t h + ψ Z t h + γh φ γh φ p γh p 0 γh φ γh + + φ p γh p Oppgave 3 a Dersom {X t } er slik at vi kan skrive X t som: X t ψ j Z t j, der konstantene {ψ j } er slik at: ψ j <, sier vi at {X t } er kausal mht {Z t } Vi kan si at {X t } er framtidsuavhengig mht {Z t } b Dersom φz φ z φ p z p 0, for alle z, er ARMAp,q-prosessen kausal mht {Z t } c Dersom vi kan skrive Z t som: Z t π j X t j, der konstantene {π j } er slik at: π j <, sier vi at ARMAp,q-modellen er invertibel Dersom θz + θ z + + θ q z q 0, for alle z, er ARMAp,q-prosessen invertibel

3 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 3 Oppgave 4 a PACF en til en ARMA-prosess {X t } er funksjonen α definert ved ligningene α0, og for h 0 : αh φ hh, φ h φ 2h der φ hh er siste komponenten i vektoren φ h som løser ligningssystemet: φ hh γ0 γ γh 2 γh γ γ0 γh 3 γh 2 γh γh 2 γ γ0 b For en ARp-prosess har PACF en følgende egensakper: φ h φ 2h φ hh γ γ2 γh αp φ p og αh 0, for h > p c Vi vet at løsningsvektoren φ h er koeffisentene til P h X h+, prediksjonen av X h+ basert på X h, X h,, X : P h X h+ φ h X h + + φ ph X h+ p + + φ hh X, h p Men vi vet også at: Når {X t } er en ARp-prosess, er prediktoren av X h+ basert på X h, X h,, X : P h X h+ φ X h + + φ p X h+ p, h p Altså: P h X h+ φ h X h + + φ ph X h+ p + + φ hh X Er det samme som: P h X h+ φ X h + + φ p X h+ p Dette betyr at vi må ha når h er større enn p: φ h φ 2h φ ph φ p+,h φ hh φ φ 2 φ p 0 0, som betyr at φ p+,h φ hh 0

4 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 4 Oppgave 5 a For en tidsrekke, {X t }, er ACF definert ved: ρh γh γ0, h 0,, 2,, der γh CovX t+h, X t b For en MAq-prosess: har vi at ρh 0 når h > q X t Z t + θ Z t + + θ q Z t q, c For en MAq-prosess har vi: γh CovX t+h, X t Cov{Z t+h + θ Z t+h + + θ q Z t+h q Z t + θ Z t + + θ q Z t q } q q θ i θ j CovZ t+h i, Z t j der vi har satt θ 0 i0 Når h > q, vil vi ikke få like tidsindekser på Z t ene i uttrykket over; vi har alltid t+h i t j når h > q; og alle kovariansene i summen er derfor null {Z t } er hvit støy Oppgave 6 E{Y c 2 } EY 2 2cY + c 2 EY 2 2cEY + c 2 Vi betrakter E{Y c 2 } som en funksjon av c: gc EY 2 2cEY + c 2 Den verdi av c som minimerer E{Y c 2 }, er den som minimerer funksjonen gc For å finne dette, deriverer vi g mht c og setter den deriverte lik null: g c 2EY + 2c 0 c EY Vi har videre at g c 2 > 0, slik at c EY er et minimumspunkt for g Dvs: E{Y c 2 } minimeres ved å velge c EY Oppgave 7 a Prp 22 sier bla: Når {X t } er en tidsrekke definert ved: X t j ψ j Y t j, der {Y t } er en stasjonær tidsrekke med EY t 0, og {ψ j } er en følge konstanter som er slik at j ψ j <, så har {X t } følgende egenskaper: {X t } er stasjonær og EX t 0 I vår situasjon spiller {Z t } rollen til {Y t }, og {Z t } som er hvit støy er stasjonær og EZ t 0 Videre ψ j ene er gitt ved: ψ j φ j, for j 0 og ψ j 0, for j < 0 Siden φ <, har vi at j ψ j φ j < Da har vi fra første strekpunkt ovenfor at {X t } er stasjonær

5 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 5 b Vise at {X t } definert ved X t φ j Z t j, er en stasjonær løsning av AR-ligningen: X t φx t Z t Viser ved innsetting: Obs: X t φ j Z t j X t φx t φ j Z t j φ φ j Z t j Z t + φz t + φ 2 Z t + φ Z t + φz t 2 + φ 2 Z t 3 + Z t sa, b E{X n+h a + bx n } 2 Oppgave 8 sa, b a E 2{X n+h a + bx n } 2{EX n+h a bex n } 2{µ b a} 2{µ b a} 0 a µ b sa, b b E 2X n {X n+h a + bx n } 2{EX n+h X n aex n bex n X n } 2{EX n+h X n µ bµ bex n X n }, innsatt a µ b 2{γh bγ0} 0 b γh/γ0 ρh Og vi får da: a µ b µ ρh Oppgave 9 For {X t } definert ved X t 07X t + Z t, der {Z t } WN0, σ 2, vil ligningene: φ z φ p z p ψ 0 + ψ z + + θ z + + θ q z q bli: 07zψ 0 + ψ z + ψ 2 z 2 + Disse ligningene bestemmer ψ j ene som funksjon av φ j ene og θ j ene, generelt ved at summen av koeffisientene til z j -ledd må være den samme på begge sider av likhetstegnet: Venstre side: 07zψ 0 + ψ z + ψ 2 z 2 + ψ 0 + ψ z + ψ 2 z zψ 0 + ψ z + ψ 2 z 2 + Høyre side: venstre side høyre side j 0 : ψ 0 ψ 0 j : ψ 07 ψ 0 0 ψ 07ψ 0 j 2 : ψ 2 07 ψ 0 ψ 2 07ψ j 3 : ψ 3 07 ψ 2 0 ψ 3 07ψ 2

6 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 6 Av dette ser vi at vi får: ψ j 07 j, j 0,, 2,, og den kausale representasjonen av X t er: X t 07 j Z t j De ti første ψ j ene:, 07, 049, 0343, 0240, 068, 076, 00824, 00576, Oppgave 0 For {X t } definert ved X t 05X t Z t + 04Z t, der {Z t } WN0, σ 2, vil ligningene: φ z φ p z p ψ 0 + ψ z + + θ z + + θ q z q bli: 05zψ 0 + ψ z + ψ 2 z z Disse ligningene bestemmer ψ j ene som funksjon av φ j ene og θ j ene, generelt ved at summen av koeffisientene til z j -ledd må være den samme på begge sider av likhetstegnet: Venstre side: 05zψ 0 + ψ z + ψ 2 z 2 + ψ 0 + ψ z + ψ 2 z zψ 0 + ψ z + ψ 2 z 2 + Høyre side: + 04z venstre side høyre side j 0 : ψ 0 ψ 0 j : ψ 05 ψ 0 04 ψ ψ 0 09 j 2 : ψ 2 05 ψ 0 ψ 2 05ψ j 3 : ψ 3 05 ψ 2 0 ψ 3 05ψ ψ Av dette ser vi at vi får: ψ 0, ψ 09 og ψ j 05 j 09, j 2, 3 De ti første ψ j ene:, 09, 045, 0225, 025, 00563, 0028, 004, 00070, Oppgave a AR-modell: X t φx t + Z t ; Estimat Yule-Walker: φ γ γ Støyvarians: σ 2 γ0 φ γ AR2-modell: X t φ X t φ 2 X t 2 + Z t ; Yule-Walker-estimatene, φ og φ 2, bestemmes ved de to ligningene: Dette gir: Innsatt: φ φ γ0 φ + γ φ 2 γ γ φ + γ0 φ 2 γ2 γ0 γ γ γ2 γ 2 0 γ og φ 2 Støyvarians: σ 2 γ0 085 og φ 2 γ2 γ φ γ φ γ+ φ 2 γ

7 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 7 b Prediksjoner: Vi bruker estimert modell til å lage prediksjonene AR: P 00 X 0 µ + φ x 00 µ, µ x n nt x t 005 Innsatt data: P 00 X AR2: P 00 X 0 µ + φ x 00 µ + φ 2 x 99 µ, Innsatt data: P 00 X c AR2-modellen gir betydelig lavere støyvarians enn AR-modellen Det synes derfor som om den gir best tilpasning Oppgave 2 AR2-modell: tidsrekken {X t } tilfredsstiller ligningen: X t φ X t φ 2 X t 2 Z t, der {Z t } er WN0, σ 2 Tidsrekken {X t } definert på denne måten er stasjonær og kausal dersom polynomet φz φ z φ 2 z 2 er slik at φz 0 når z Yule-Walker-ligningene: X t φ X t φ 2 X t 2 Z t t ψ j Z t j E X t X t φ X t X t φ 2 X t 2 X t E Z t ψ j Z t j γ0 φ γ φ 2 γ2 Eψ 0 Z 2 t σ 2 ψ 0 ligning : σ 2 γ0 φ γ φ 2 γ2 X t φ X t φ 2 X t 2 Z t t ψ j Z t j E X t X t φ X t X t φ 2 X t 2 X t E Z t ψ j Z t j γ φ γ0 φ 2 γ 0 ligning 2: γ φ γ0 + φ 2 γ

8 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 8 X t φ X t φ 2 X t 2 Z t t 2 ψ j Z t 2 j E X t X t 2 φ X t 2 X t 2 φ 2 X t 2 X t 2 E Z t ψ j Z t 2 j γ2 φ γ φ 2 γ0 0 ligning 3: γ2 φ γ + φ 2 γ0 ACVF for tidsrekken {X t }: Oppgave 3 γ X h Cov{Z t+h + θz t+h Z t + θz t } CovZ t+h Z t + θcovz t+h Z t + θcovz t+h Z t + θ 2 CovZ t+h Z t γ Z h + θγ Z h + + θγ Z h + θ 2 γ Z h σ 2 + θ 2, h 0 σ 2 θ, h ± 0, h 2 Det er brukt at γ Z h CovZ t+h Z t σ 2 for h 0, og γ Z h 0 for for h 0 Frekvenstetthet for {X t } : Kan alternativt finnes vha: f X λ σ2 h e iλh γh h e iλh γh { σ 2 + θ 2 e 0 + σ 2 θe iλ + e iλ { } + θ 2 + 2θ cosλ f X λ θe iλ 2 φe iλ f Zλ, med θz + θz og φz 2 }{{} σ 2 }

9 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 9 0,7 0,6 0,5 Spektraltetthet 0,4 0,3 0,2 0, 0,0 0,00 0,50,00,50 2,00 2,50 3,00 frekvens, lambda Plott av σ2 { + θ 2 + 2θ cosλ } for λ 0, π og θ 09 Vi ser at spektraltettheten er høy for lave frekvenser og lav for de høyeste frekvensene Det betyr at de høyeste frekvensene ikke er vesentlige for egenskapene til tidsrekken mens lave frekvenser dominerer egenskapene 0,7 0,6 0,5 Spektraltetthet 0,4 0,3 0,2 0, 0,0 0,00 0,50,00,50 2,00 2,50 3,00 frekvens, lambda Plott av σ2 { + θ 2 + 2θ cosλ } for λ 0, π og θ 09 Vi ser at spektraltettheten er høy for høye frekvenser og lav for de laveste frekvensene Det betyr at de laveste frekvensene ikke er vesentlige for egenskapene til tidsrekken mens høye frekvenser dominerer egenskapene

10 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 0 Oppgave 4 Spektraltetthet til {X t }, der {X t } er AR2-prosessen: X t VarZ t 38X t 0634X t 2 + Z t, der Vi har: θz, φz φ z φ 2 z 2 38z 0634z 2 ; derfor: f X λ σ2 θe iλ 2 φe iλ 2 σ2 φe iλ 2 σ2 σ2 φ e iλ φ 2 e i2λ φ e iλ φ 2 e i2λ φ e iλ φ 2 e i2λ 2 σ2 φ e iλ φ 2 e i2λ φ e iλ + φ 2 e iλ e iλ + φ e iλ φ 2 e i2λ φ 2 e i2λ + φ φ 2 e i2λ e iλ + φ 2 2e i2λ e i2λ σ2 φ e iλ + e iλ φ 2 e i2λ + e i2λ + φ 2 + φ φ φ 2 e iλ + e iλ σ2 + φ 2 + φ φ φ 2 φ 2 cosλ φ 2 2 cos2λ 4,0 3,5 3,0 Spektraltetthet 2,5 2,0,5,0 0,5 0,0 0,00 0,50,00,50 2,00 2,50 3,00 frekvens, lambda Plott av spektraltettheten, f X λ, for λ 0, π Vi ser at spektraltettheten har en markant topp omkring frekvensen λ 055 som har perioden 4 år Høyere frekvenser bidrar lite, mens lavere frekvenser bidra noe 055

11 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s Oppgave 5 Vi betrakter tidsrekken {Y t }, der Y t er definert ved AR-differensligningen: Y t 06Y t + Z t Vi vil predikere Y n+ på bakgrunn av Y n, Y n,, Y a Prediksjonsfeil, metode : Y n+ 0; metode 2: Y n+ 06Y n b Forventet prediksjonsfeil, metode : EY n+ 0 EY n+ 0; metode 2: EY n+ 06Y n EY n+ 06EY n 0 c Varians til prediksjonsfeil: Metode,: E{Y n+ 0 2 } VarY n+ σ 2 / 06 2 Metode,2: E{Y n+ 06Y n 2 } E{Z n+ 2 } σ 2 d Begge metodene har riktig forventet verdi på prediksjonen Det betyr i praksis at gjennomsnittsfeilen i det lange løp er null for både metode og metode 2 Her var situasjonen at det skulle gjøres en prediksjon hver dag over tid svært mange prediksjoner Metode tar ikke hensyn til at Y t ene er korrelerte, mens metode 2 gjør det Dette resulterer i mindre prediksjonsfeil varians til prediksjonsfeil dersom man bruker metode 2 I praksis vil dette si at metode i det lange løp gjennomsnittlig vil gi større avvik mellom prediksjon og virkellig verdi Oppgave 6, fra bok: 5 AR2-modell: X t φ X t φ 2 X t 2 + Z t ; Yule-Walker-estimatene, φ og φ 2, bestemmes ved de to ligningene: γ0 φ + γ φ 2 γ γ φ + γ0 φ 2 γ2 Dette gir: Innsatt: φ φ γ0 γ γ γ2 γ 2 0 γ og φ 2 Støyvarians: σ 2 γ og φ 2 γ2 γ φ γ φ γ + φ 2 γ Konfidensintervall for φ og φ 2 : Vi har at tilnærmet er φ Nφ, n σ 2 Γ p, der φ φ, φ 2, φ φ, φ 2, og γ0 γ Γ p som gir: Γ γ0 γ p γ γ0 γ0γ0 γγ γ γ0

12 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 2 Dvs: Var φ σ2 γ0 n γ0 2 γ Var φ 2 2 σ Et tilnærmet 95% konfidensintervall for φ i er da: φ i 96 2 γ0, φ n γ0 2 γ 2 i +96 i, 2 Tilnærmingen gjelder også når variansen estimeres med data når n er stor: Var φ i σ 2 γ0 n γ0 2 γ , 2 i, 2 Derfor får vi tilnærmede 95% konfidensintervall for φ : , , 47, og for φ 2 : , , 048 σ 2 n γ0 γ0 2 γ 2, Data: n 200; x ; videre har vi oppgitt: Oppgave 6, fra bok: 54 γ0 5 ρ 0427 γ ρ γ0 049 ρ som gir at: γ2 ρ2 γ ρ3 069 γ3 ρ3 γ0 094 a Dersom {X t } er hvit støy, så vil for h > 0, ρh N0, n, og ρh ene vil være uavhengige, tilnærmet Dvs ρh ene bør da være mellom ±96/ n ±96/ 200 ±039 Vi ser at spesielt ρ og ρ2 er langt større enn dette Derfor er det ikke rimelig å si at den bakenforliggende tidsrekken {X t µ} er hvit støy b Estimat av µ: µ x Estimat av φ og φ 2 : Yule-Walker-estimatene, φ og φ 2, bestemmes ved de to ligningene: γ0 φ + γ φ 2 γ γ φ + γ0 φ 2 γ2 Obs: ligningene kan også enkelt uttrykkes vha korrelasjonene ρh Dette gir: γ0 γ γ γ2 φ γ 2 0 γ 2 og φ 2 γ2 γ φ γ0 Innsatt: φ og φ 2 Støyvarians: σ 2 γ φ γ+ φ 2 γ c Test for H 0 : µ 0 mot H : µ 0 Tilnærmet er µ X 200 Nµ, n v, der v nh n h γh Vi må estimere v Erstatt γh med γh, og for h 3, 4, har vi når n vi antar ar dataene kommer fra en AR2-modell: γh φ γh + φ 2 γh 2 Numerisk verdi beregnet med summering fra h 4 til h 4 200: v 587 Av dette får vi at et tilnærmet 95% konfidensintervall for µ er: X / 200, X / , 463 Siden 0 ikke er inneholdt i intervallet, kan vi forkaste H 0

13 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 3 d Som i forrige oppgave e α ρ 0427 α2 φ For h 3 vil vi få αh 0 Oppgave 7 Når {X t } er en kausal ARMAp,q-prosess, kan X t representeres: X t ψ j Z t j, der {Z t } er hvit støy Når n er stor, har vi tilnærmet: P n X n+h jh ψ j Z n+h j, og derfor prediksjonsfeil: X n+h P n X n+h h ψ j Z n+h j, og dermed variansen til prediksjonsfeilen: h h VarX n+h P n X n+h Var ψ j Z n+h j σ 2 ψj 2, som viser hvordan prediksjonsvariansen øker når h øker Oppgave 8 Vi tenker oss at vi har tidsrekkedata x,, x n og antar at disse er utfall av en ARp-modell: X t φ X t φ p X t p Z t ; der vi antar at EX t 0 og at Z t ene er uavhengige og normalfordelte For t p +,, n: Z t X t φ X t φ p X t p Likelihood for Z t ene: Lφ,, φ p ; σ 2 ; z p+,, z n n ip+ n ip+ fz i ; φ,, φ p ; σ 2 uavhengige Z t er σ 2 e 2σ 2 z2 i n p e n 2σ 2 ip+ z2 i σ 2 normalfordelte Z t er Logaritme til likelihood: ln { Lφ,, φ p ; σ 2 ; z p+,, z n } n p ln σ 2 2σ 2 n zi 2 ip+ ln-likelihood en blir en funksjon av φ,, φ p ; σ 2 og x t ene ved å erstatte z t med x t p i φ i x t i : ln { Lφ,, φ p ; σ 2 ; x p+,, x n } n p ln σ 2 2σ 2 n p 2 x t φ i x t i tp+ i Det settet av verdier φ,, φ p ; σ 2 som maksimerer ln {Lφ,, φ p ; σ 2 ; x p+,, x n }, kalles sannsynlighetsmaksimeringsestimatene av φ,, φ p ; σ 2 Maksimeringen utføres numerisk Metoden gir gode estimat også når Z t ene ikke er normalfordelte

14 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 4 Oppgave 9 a {X t } der X t X t, X t2, er en m 2-dimensjonal tidsrekke EX t E CovX t+h, X t b {X t } er svakt stasjonær dersom Xt X t2 EXt EX t2 µt µ t2 CovXt+h,, X t CovX t+h,, X t2 CovX t+h,2, X t CovX t+h,2, X t2 EX t er uavhengig av t: og 2 CovX t+h, X t er uavhengig av t: CovX t+h, X t EX t µt µ t2 µ µ 2 CovXt+h,, X t CovX t+h,, X t2 CovX t+h,2, X t CovX t+h,2, X t2, γ h γ 2 h γ 2 h γ 22 h Oppgave 20 a {Z t } der Z t Z t, Z t2, er en m 2-dimensjonal hvit-støy-tidsrekke med forventing 0 0, 0 og kovariansmatrise Σ, dersom {Z t } er stasjonær med forvnentningsvektor 0, 0 og kovariansmatrisefunksjon: Γh CovZ t+h, Z t { Σ dersom h matrise med nullere ellers b {X t } der X t X t, X t2, er en m 2-dimensjonal AR-prosess dersom {X t } er stasjonær og for hver t tilfredsstiller differensligningen: Xt X t2 φ φ 2 φ 2 φ 22 Xt, X t,2 + Zt der {Z t } med Z t Z t, Z t2, er en m 2-dimensjonal hvit-støy-tidsrekke Z t2, Data: Estimat av er: Γh Γh x x 2, Oppgave 2 x2 x 22,, xn x n2 CovXt+h,, X t CovX t+h,, X t2 CovX t+h,2, X t CovX t+h,2, X t2 ĈovXt+h,, X t ĈovX t+h,, X t2 ĈovX t+h,2, X t ĈovX t+h,2, X t2,

15 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s 5 der for 0 h n : ĈovX t+h,, X t γ h n ĈovX t+h,, X t2 γ 2 h n ĈovX t+h,2, X t γ 2 h n ĈovX t+h,2, X t2 γ 22 h n n h t x t+h, x x t x t x t+h, x x t2 x 2 t x t+h,2 x 2 x t x t x t+h,2 x 2 x t2 x 2 n h n h n h Her er x nt x n t, og x 2 nt x n t2 For n h, er Γh Γ h Oppgave 22 a Vi observerer ikke utfallene av Z t variablene, men vi observerer utfallene av X t variablene: x,, x n Derfor kan vi ikke gjøre som vi gjør ved prediksjon med en ARp-modell, fordi vi har ingen z t verdier å sette inn i uttrykket: P n X n+ θ Z n + + θ q Z n+ q b Dersom MAq-prosessen er invertibel, kan Z t representeres som en funksjon av X t, X t, X t 2, på følgende måte: Z t π j X t j Vi kan finne π j ene, og da betyr dette at vi kan beregne Z t på bakgrunn av X t ene som vi jo kjenner utfallene av! : MEN, vi trenger uendelig mange X t er bakover i tid, og det har vi sjeldent i praksis : c Imidlertid, dersom vi har relativt menge X t data n er stor vil vi kunne bruke t Z t π 0 X t + π X t + + π t X π j X t j, som en god tilnærming til: Z t π 0 X t + π X t + + π t X + π t 2 X 0 + π t 3 X + π j X t j Da vil vi kunne bruke: som en god tilnærmingsverdi til prognosen: θ Zn + + θ q Zn+ q P n X n+ θ Z n + + θ q Z n+ q