Prov i matematik Matematiska institutionen. Transformmetoder Julia Viro
|
|
- Kåre Caspersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 5--9 Skrivtid: 5. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application Maxpoäng för varje uppgift ges inom parentes. Betyggränserna: 8, 5, 3 poäng.. Lös differentialekvationen y +y = f(t)+δ(t ) med begynnelsevillkoren y() =, y () =. Kontrollera att lösningen är korrekt genom insättning i ekvationen. (3+)! "!!"#$ %#. Använd Z-transform för att bestämma en rekursionsekvation för talföljden x n = an b n a b, där a och b är rötterna till ekvationen z z =. (6) 3. Beräkna första och andra derivator för distributionen f(x) = x. (4) 4. Utveckla funktionen f(x) = arccos x, x < i Chebyshev-serie. (6) 4x( x) 5. Bestäm Fourierserien för udda -periodiska funktionen som ges av f(x) =, < x <. Vad är seriens summa i en godtycklig punkt x? Motivera! Beräkna summor k= ( ) k+ (k ) 3 och k= (k ) 6. (+++) 6. Lös randvillkorsproblemet: u tt = a u xx, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > 4x( x) u(x, ) =, < x < u t (x, ) =, < x <. 7. Låt f a (t) = a a + t, a >. Beräkna faltningen f a f a. Generalisera till fler än två faltningsfaktorer. Använd resultatet för att beräkna integralen Svar:. y(t) = (t sin t)h(t) (t sin(t ))H(t ) dx (x x + )(x + 4).. x n+ = x n+ + x n 3. f (x) = + (H(x + ) H(x) + H(x )), f (x) = (δ(x + ) δ(x) + δ(x )) 4. arccos x = 4 X T k+ (x) (k + ) k= 5. f(x) = 3 X sin(k )x 3 (k ) 3, X ( ) k+ (k ) 3 = 3 3, X (k ) 6 = 6 96 k= k= k= 6. u(x, t) = 3 X cos(a(k )t) 3 (k ) 3 sin(k )x k= 7. f a f a = f a +a, f a f an = f a + +a n, integralsvärde är 3 (6) (5++)
2 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 4--3 Skrivtid: 9 4. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application och formel sin x = cos x Maxpoäng för varje uppgift ges inom parentes. Betyggränserna: 8, 5, 3 poäng.. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t) + y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = H(t) + δ(t ) under begynnelsevillkoret y() = y () =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen. Är systemet stabil?. Använd Laplacetransform för att bestämma en distribution f, som uppfyller ekvationen (H(t)t cos t) f(t) = δ(t) 3. Bestäm Fourierserien för periodisk funktion f(x) = x 3 x, x <. I vilka punkter konvergerar serien likformigt? Vad är seriens summa i punkten x = 5? Beräkna summan n 6. n= 4. Visa att funktioner sin x, sin x, sin 3x utgör ett ortonornerat system i L (, ). Bestäm den ortogonala projektionen av funktionen f(x) = x 3 x på det delrum av L (, ), som spänns upp av de tre funktionerna. 5. Lös randvillkorsproblemet: 6. Beräkna integralen u t = u xx + sin x, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = 8 sin 4x sin 6x, < x < (cos x ) dx 7. Bestäm en funktion, definierad på hela R, som uppfyller integralekvationen {, om a < x < b f(x y) dy = x [,] (x) + ( x) [,] (x), där [a,b](x) =, annars. Svar:. y(t) = ( cos t)h(t) + sin(t )H(t ). Systemet är instabilt. x 4. f(t) = δ + 3δ + 4H(t) sinh t X ( ) n sin nx 3. Fourierserien är 3 n n= 3, serien konvergerar likformigt för alla x, seriens summa i x = 5/ X är 3/8, n n= 6 = Svaret hämtas direkt från uppgift 3, projektionen är jo summan av de tre första termer i Fourierserien : 3 4 sin x + sin x sin 3x u(x, t) = ( e t ) sin x + 8e 6t sin 4x e 36t sin 6x f(x) = [,] (x).
3
4
5
6
7
8
9
10 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro --8. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t)+y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = [,] (t) under begynnelsevillkoret y() =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen.. Använd operationskalkyl för att bestämma en lösning (y (t), y (t)) till systemet { H y + δ y = δ(t) δ y + δ y = 3 3. Bestäm Fourierserien för en periodisk signal f(x) : 3 f(x) x Visa att Fourierserien konvergerar likformigt. Beräkna effekten av signalen. 4. Lös randvillkorsproblemet (ryckt sträng): u xx = u tt, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = f(x), < x < u t (x, ) =, < x < f(x) x 5. Bestäm det polynom av grad högst 3 som utgör den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ). 6. Beräkna integralen f(x) = x + b. cos ax x + b dx, a >, b >. Tips: studera Fouriertransform av 7. Bestäm en funktion som löser integralekvationen e 4(x y) f(y) dy = e x. Svar:. y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). y (t) = δ(t) e t H(t), y (t) = e t H(t) 3. f(x) = 4 P ( ) k sin (k + )x k= (k + ), effekten är 4. u(x, t) = 4 P ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x k= (k + ) x e ab b 7.f(x) = 4 e 4x 3 3
11 4 LÖSNINGAR TILL --8. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t)+y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = [,] (t) under begynnelsevillkoret y() =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen. Lösning: Detta är ett begynnelsevärdesproblem: { y, < t < (t) + y(t) =, annars y() = som löses med operationskalkyl (=Laplacetransform). Signalen y(t) ska vara lika med för t <. Låt ỹ(s) vara Laplacetransform till y(t). Då är sỹ(s) y() = sỹ(s) Laplacetransform till y (t). Den karakteristiska funktion [,] (t) [= H(t) H(t )] transformeras till e s e s = s e s. Hela begynnelsevärdesproblemet förvandlas till ekvation s Löser ut ỹ(s): ỹ(s) = e s s(s + ) e s s(s + ) = s(s + ) sỹ(s) + ỹ(s) = e s. s och förbereder den för inverstransform: e s s(s + ) = s ( s + e s s ). s + Från formelsamlingen hämtar man H(t) som en funktion med Laplacetransformen s och e t H(t) som en funktion med Laplacetransformen s +. Tidsfördröjning regel (L5) sager att det är ) : funktionen ( e (t ) )H(t ) som har Laplacetransformen e s ( s s + ( e t )H(t) t t H(t ) ( e (t ) )H(t ) L s s + e s ( L e s s s + Slutligen samlar man ihop allt och får signalen y(t) från ỹ(t): Till sist kontrollerar vi lösningen: y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). y (t) =e t H(t) + ( e t )H (t) e (t ) H(t ) ( e (t ) )H (t ) = e t H(t) + ( e t )δ(t) e (t ) H(t ) ( e (t ) )δ(t ) = e t H(t) e (t ) H(t ). Vi sätter in detta i ekvationen: y (t) + y(t) =e t H(t) e (t ) H(t ) + ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ) = H(t) H(t ) = [,] (t). Stämmer! Alternativ lösning (med impulssvaret): Hjälpekvationen k + k = δ transformeras till s k + k =. Härav k(s) = s + och impulssvaret är k(t) = e t. Lösningen till det ursprungliga ).
12 5 problemet är faltningen av impulssvaret och insignalen: y(t) =k [,] (t) = t e (t τ) { e t (e t ), < t < e t (e ), t > t [,](τ) dτ = e t e τ [,](τ) dτ = = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). Svar: y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). Använd operationskalkyl för att bestämma en lösning (y (t), y (t)) till systemet { H y + δ y = δ(t) δ y + δ y = Lösning: Vi subtraherar den andra ekvationen från den första: (H δ) y = δ och transformerar med Laplace: ( ) s ỹ (s) =. (Faltning förvandlas till produkten av transformerna.) Löser ut ỹ (s): ỹ (s) = s s = s och transformerar tillbaka: y (t) = δ(t) e t H(t). Nu tar vi hand om y (t). Vi transformerar den andra ekvationen i systemet: Alltså y (t) = e t H(t). ỹ (s) + sỹ (s) = ỹ (s) = ỹ(s) s = s. Svar: y (t) = δ(t) e t H(t), y (t) = e t H(t) 3. Bestäm Fourierserien för en periodisk signal f(x) : 3 f(x) x Visa att Fourierserien konvergerar likformigt. Beräkna effekten av signalen. Lösning: Uppenbarligen är signalen f(x) en udda funktion. Härav alla koefficienterna a n är lika med noll. Koefficienterna b n är b n = f(x) sin nx dx.
13 6 Integranden f(x) sin nx är en jämn funktion ty f(x) är udda och sin nx är udda. Alltså b n = f(x) sin nx dx = / f(x) sin nx dx + f(x) sin nx dx = / ( [ cos nx x n x sin nx dx + cos n n 4 n sin n = Fourierserien för f(x) är sin nx n / ] / ( x) sin nx dx = [ cos nx + ( x) n n sin n + cos n + n, n = k 4( ), (k + ) n = k +. f(x) 4 k= / nx ( )sin n sin n n ( ) k sin (k + )x (k + ). = Vi uppskattar absolutbeloppet av en term i summan på följande sätt: ( ) k sin (k + )x (k + ) (k + ) och ser att serien att Fourierserien k= (k + ) konvergerar, vilket medför (enligt Weierstrass majorantsats) 4 ( ) k sin (k + )x (k + ) konvergerar likformigt. Alltså k= Effekten av signalen f(x) är Eller: f(x) dx = f(x) = 4 3/ / x3 3 k= ( ) k sin (k + )x (k + ) för alla x. f(x) dx = / ( x)3 3 4 / / 3/ / x dx + = f (x) 3/ / ( 3 ] / ) = ( x) dx = ) = 4. x f(x) dx = [arean under grafen av f (x)] = 4 x dx = ( ) 3 3 =.
14 7 Svar: f(x) = 4 k= ( ) k sin (k + )x (k + ), effekten är 4. Lös randvillkorsproblemet (ryckt sträng): u xx = u tt, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = f(x), < x < u t (x, ) =, < x < f(x) x Lösning: Ekvationen och randvillkoren är homogena, alltså söker vi lösningen i formen u(x, t) = X(x)T (t). Härav X T = XT X eller X = T = λ. Randvillkoren u(, t) = u(, t) = T ger X() = X() =. Begynnelsevärddesproblemet för X(x) är { X + λx = X() = bx() = Icke-trivial lösning finns bara för λ n = n, n =,,.... Den är X n (x) = B n sin nx. Differentialekvation för T (t) är T + n T = som har den allmäna lösningen T n (t) = C n cos nt + D n sin nt. Vi samlar alla lösningar i serien u(x, t) = (a n cos nt + b n sin nt) sin nx. n= Koefficienterna a n, b n definieras av begynnelsevillkor u(x, ) = f(t), u t (x, ) =, < x <. f(x) = u(x, ) = a n sin nx. Serien i högra ledet är Fourierserien av en udda periodisk funktion som sammanfaller med f(x) i intervalet (, ): n= f(x) 3 x Fourierserien för denna funktion hämtas från uppgift 4 (eller beräknas på vanligt sätt): f(x) = 4, n = k Så a n = 4( ), (k + ) n = k +. k= Nu ska vi använda det sista villkoret u t (x, ) =. Sätter in t = : u t (x, t) = ( ) k sin (k + )x (k + ). ( na n sin nt + nb n cos nt) sin nx. n= = u t (x, ) = nb n sin nx. n=
15 8 Detta ger att alla koefficienterna b n är lika med noll. Slutligen, u(x, t) = a n cos nt sin nx = 4 ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x. (k + ) n= k= Svar: u(x, t) = 4 k= ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x (k + ) 5. Bestäm det polynom av grad högst 3 som utgör den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ). Lösning: Betrakta det delrum av L (, ) som spänns upp av (de ortogonala) Legendre polynomen P, P, P, P 3. Den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ) är den ortogonala projektionen av f(x) = x på delrummet. Den ges av formeln proj {P,P,P,P 3}f(x) = Vi hämtar Legendre polynomen från tabellen: n=3 n= < f, P n > < P n, P n > P n. P (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x) och beräknar koefficienterna i summan: < x, P > = < x, P > = < x, P > = < x, P > = x dx = [ integrerar jämn funktion] = x x dx = [ integrerar udda funktion] = x dx = ( ) x (3x ) dx = [ integrerar jämn funktion] = ( ) x (5x3 3x) dx = [ integrerar udda funktion] =. 3x 3 x dx = 4 Avläser från tabellen < P, P >= och < P, P >= och stoppar in detta i formeln för 5 projektionen: proj {P,P,P,P 3} x = < x, P > < P, P > P + < x, P > < P, P > P = + /4 /5 (3x ) = 5 6 x Svar: 5 6 x + 3 6
16 9 6. Beräkna integralen f(x) = x + b. cos ax x + b dx, a >, b >. Tips: studera Fouriertransform av Lösning: Fouriertransformen av f(x) = ˆf(ω) = Integralen att beräkna är x + b är e iωx x + b dx = ˆf(ω) = ω=a cos ωx i sin ωx cos ωx x + b dx = x + b dx. b e bω = e ab. b ω=a Vid transformberäkning använder vi formler F och F5. Svar: e ab b 7. Bestäm en funktion som löser integralekvationen e 4(x y) f(y) dy = e x. Lösning: Vi tolkar integralen som faltningen av funktionerna g(x) = e 4x och f(x). Således löses ekvationen med Fouriertransform: Nu ska vi titta i tabellen: x x e x e 4x Transformerade ekvationen ser ut så här: ĝ(ω) ˆf(ω) = F[e x ](ω). F8 med A=/4 e ω F e ( ω ) ω ω/ / e ( ω 4 ) 6 ˆf(ω) = e ω Alltså ˆf(ω) = e 3ω 6 och funktionen f(x) framställs med hjälp av formel F8 (med A = 3/6): f(x) = 4 e 4x Svar: f(x) = 4 e 4x 3 3
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Vektorvärda funktioner
Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerMatematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u
Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4123/25 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag eksamen i TMA3/5 Matematikk M/N Mandag. mai TMA3 Matematikk M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA5
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Oppgave A-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerEksamensoppgave i TMA4122,TMA4123,TMA4125,TMA4130 Matematikk 4N/M
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA422,TMA423,TMA425,TMA430 Matematikk 4N/M Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 9. august 207 Eksamenstid (fra til):
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerAsymptotiska metoder och gruppanalys
Asymptotiska metoder och gruppanalys Kursmaterial. Del I Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 54-7856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 23 Innehåll Grupper
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerLøsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER MATEMATIKKDELEN AV TMA4135 MATEMATIKK 4D H-03
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Oppgave D-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side
DetaljerL(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s
DetaljerLite teori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Lite teori... Dagens meny
Lite teori... Påminnner först om faltningsegenskapen hos Fouriertransformen. y(t) = x(t) h(t) F Y (ω) = X(ω)H(ω). (1) På liknande sätt motsvaras en multiplikation i tidsplanet av en faltning i frekvensplanet,
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerEksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Faglig kontakt under eksamen: Dag Wessel-Berg Tlf: 924 48 828 Eksamensdato: 1. juni 216 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
DetaljerFakta om fouriertransformasjonen
Fakta om fouriertransformasjonen TMA413/TMA415, V13 Notasjon Fouriertransformasjonen til funksjonen f er F[f](ω) = ˆf(ω) = 1 Den inverse fouriertransformasjonen er F 1 [g](x) = 1 f(x)e iωx dx g(ω)e iωx
DetaljerInstitutionen för Matematik, KTH
Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerFormelsamling Matematisk statistik för D3, VT02
Sida 1 Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sannolikhetsmått För två händelser A och B gäller alltid att P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) Kombinatorik
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N øsningsforslag Alexander undervold Mai 22 Oppgave a Den Fouriertransformerte
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA435 Matematikk 4D Fagleg kontakt under eksamen: Gard Spreemann Tlf: 73 55 02 38 Eksamensdato: 5. august 204 Eksamenstid (frå til): 09.00 3.00 Helpemiddelkode/Tillatne
DetaljerÖvningar till Matematisk analys IV Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik 1-1-4 Övningar till Matematisk analys IV Erik Svensson L 1. Avgör om fx, y) 1 + x + y )e x y förekommande fall största/minsta värdet. har
Detaljers 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) 1 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) = 1 s 2 1 s s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D eksamen 8 august Løsningsforslag a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ) g
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerEKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG
EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø a, Kurusch Ebrahimi-Fard b, Xu Wang c Tlf: a 92 66 38 24, b 96 91 19 85, c 94 43 03
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2000, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M7 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2, kl. 9-5 Løysingsforslag: a Singulære punkt svarer til nullpunkta for x 2, dvs. x = og x =. Rekkeutvikler om x = : yx = a n x n y x = na n x n
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
Detaljerw 2 3w i = 2iw, där i är den imaginära enheten. Uppgift 2=Kontrollskrivning 2 (2p). Varför är matrisen
Tentamensskrivning, kompletteringskurs i matematik, 5B4, den 0 april 00, klockan 9.00-4.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. et är två sidor med uppgifter. För betyget 3 räcker det med sammanlagt 6 poäng, för
DetaljerTMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der
DetaljerEksamensoppgave i TMA4125 BARE TULL - LF
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA425 BARE TULL - LF Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 8.april-5. juni 29 Eksamenstid (fra til): : - 24: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 16 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N, 19.12.2003 Oppgave 1 a) Vis at den Laplacetransformerte av f(t) = 2te t
DetaljerEksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: 90849783 Eksamensdato: 6. juni 2019 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerKap 5 Laplace transformasjon. La f(t) være definert for t 0. Laplace transformasjonen er. F (s) = f(t)e st dt (1)
Kap 5 aplace transformasjon a f(t) være definert for t 0. aplace transformasjonen er F (s) = 0 f(t)e st dt (1) for alle s C der dette er veldefinert. Tilstrekkelig betingelse: f(t) stykkevis kontinuerlig
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerAllmän relativitetsteori och Einsteins ekvationer
April 26, 2013 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
Detaljerx(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved
NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.
Detaljer8 Interpolasjon TMA4125 våren 2019
8 Interpolasjon TMA4 våren 9 Fra M husker du at dersom x i er n + forskjellige punkter på x-aksen med korresponderende y-verdier y i, finnes det et entydig polynom av maksimal grad n som interpolerer punktene
DetaljerEksamen i TMA4135 Matematikk 4D
Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Harald Krogtad telefon 46 5 87 / 73 59 35 2 Ekamen i TMA435 Matematikk 4D Bokmål Mandag 8.
DetaljerTMA4120 Matte 4k Høst 2012
TMA Matte k Høst Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Løsningsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave :..a Skal vise at u(x, t = v(x + ct
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
Detaljer13.1 Fourierrekker-Oppsummering
3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x)
DetaljerOppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t
DetaljerNå er det på tide å se hvordan dette fungerer i praksis. Vi skal beregne et par Laplacetransformer som vi får mye bruk for senere.
Laplace-transform: Et nyttig hjelpemiddel Side - Laplace-transformen et nyttig hjelpemiddel Hva er Laplace-transformen? Vi starter med å definere Laplace-transformen: Definisjon : La f t være en funksjon
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerVad är maskininlärning? Praktisk information om kursen Exempel. Maskininlärning 2D1431. Örjan Ekeberg. Okt Dec, 2004
2D1431 Okt Dec, 2004 1 Vad är maskininlärning? Definition av lärande Tillämpningar 2 Kursregistrering Examination Kursinnehåll Laborationer 3 Definition av lärande Tillämpningar 1 Vad är maskininlärning?
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D: Løysing
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D: Løysing Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: Eksamensdato: 3 desember 27 Eksamenstid (fra til): 9:3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
Detaljerf (x) = a 0 + a n cosn π 2 x. xdx. En gangs delvisintegrasjon viser at 1 + w 2 eixw dw, 4 (1 + w 2 ) 2 eixw dw.
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA Matematikk M høsten 008 Løsningsforslag a Cosinusrekka til f blir av formen - 0 6 f (x a 0 + n0 a n cosn π x Vi har a 0 0, og a n R 0 f (xcosnπ xdx En gangs
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerSENSORVEILEDNING. Matematikk 2, 5-10 KFK
SENSORVEILEDNING Emnekode: Emnenavn: Eksamensform: LSVMAT V Matematikk, 5-0 KFK Skriftlig Dato: //08 Faglærer(e): Russell Hatami Khaled Jemai ) Eventuelt: Eksamensoppgaven med løsningsforslag side til
DetaljerRepetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider
Forelesning 9. april 4 Pensum i boken: - og -, noe fra -4 ikke nødvendig å lese, -6., -8-3. og -3.5 3- til 3-4 Oversikt Spektrum for et signal, frekvensinnholdet Bruk av Fourier-transform FT for å beregne
DetaljerHIN, MASTERSTUDIER Inklusive lösningsförslag: Eksamen i STE 6215, Reguleringsteknikk I. Figure 1: Reguleringssytem
HIN, MSTERSTUDIER Inklusive lösningsförslag: Eksamen i STE 625, Reguleringsteknikk I Oppgavesettet består av 4 oppgaver på 7 sider Varighet: 3 timer. Dato: Tillatte hjelpemidler: lle kalkulatortyper. lle
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerFourier-Transformasjoner
Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 21, 2017 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Fourier Fourier var en fransk matematiker/fysiker som levde på 1700/1800-tallet.
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
Detaljer2 Fourierrekker TMA4125 våren 2019
Fourierrekker TMA45 våren 9 I M lærte du at mange glatte funksjoner kan skrives som en potensrekke. En mye større klasse av funksjoner kan skrives som rekker av sinus- cosinusfunksjoner. Komplekse funksjoner
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
Detaljer