L(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1

Transkript

1 NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s dτ τ + sint t c Vi transformerer og får s Y + sy +Y e s s, Y e s ss + s + Som delbrøk blir Y av formen Y e s A s Bs +C + s + s + Litt regning gir Y e s s s + s + s + e s s s + + s + + lftma5-08h november 009 Side

2 Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Vi har L s s + + s + + e t cos t + sin t Skifteteorem gir yt ut e t cos t + sin t a Cosinusrekka til f blir av formen f x a 0 + n0 a n cosn π x Vi har a 0 0, og a n R 0 f xcosnπ xdx En gangs delvisintegrasjon viser at { 0 for n like, a n 8 for n odde π n b Et standard argument, viser at løsningen kan skrives som ux,t A 0 + n A n e n π t cosn π x Vi får oppfylt initialbetingelsen ved å velge A n a n som i punkt a Altså er ux,t 8 π k0 k + e k+ π t cosk + π x a Grafen til f lftma5-08h november 009 Side

3 Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Grafen til g Fourierinverson gir oss f og g tilbake f x π gx π + w eixw dw, + w eixw dw Siden f og g, og derfor også ˆf og ĝ er likefunksjoner forsvinner sinusdelen og vi har f x π gx π + w cosxwdw, + w cosxwdw sinw + w dw 0, fordi integranden er odde + w dw π g0 π cos w + w dw + cosw + w dw π 8 g0 + g π + e b e v e x v dv f f x Tar vi Fouriertransformen ser vi at F f f w π π + w ĝw, og følgelig er f f x gx Gradienten til f i punktet P er grad f P i j Den retningsderiverte av f i punktet P i retningen gitt ved enhetsvektoren e 5 i + 5 j er grad f P e 5 + Den retningsderiverte er størst i retningen til gradienten som er 5 i j 5 a Vi vil løse ligningen på firkanten [0,] [0,] med randbetingelser u xx x,y + u yy x,y 7x + y, u0,y ux,0 0, ux, x, u,y y Approksimasjon av ligningen i noden x i,y j ved hjelp av sentraldifferanser, gir U j i+ j+ +Ui +U j i j +Ui U j i h f x i,y j, hvor U j i ux i,y j, f x,y 7x + y og x i ih, y j jh, h / lftma5-08h november 009 Side

4 Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Approksimasjon av ligningen i x i,y j, hvor i, j {,}, gir ligningene U +U +U U +U +U U +U +U U +U +U + + Dette kan skrives på matriseform b En iterasjon med Gauss-Seidel x j b j a j j j k a jk x k k j U U U U a jk x 0 k 0, j,,, i x,y, i x,y, i x,y, i x,y anvendt på ligningssystemet i a med startvektoren U 0 [,,,] T, gir U U U U,,, 0 05 En iterasjon med Gauss-Seidel på systemet med startvektoren x 0 [,,,] T, gir x x x x 5 05 x x x x 5, 0, 0 0, lftma5-08h november 009 Side

5 Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 De eksakte løsningene av ligningssytemene er like x x x x U U U U a For de tre foreslåtte fikspunktiterasjonenepå formen x n+ gx n sjekker vi g x For nummer er g x x Siden g > og g x er monotont økende er g x > for x I, og vi vet da at iterasjonen ikke vil konvergere til en løsning i I, uansett startverdi x 0 I For nummer er g x x x og g 5 < g x er monotont økende, og g x > for x I For nummer er g x x + / Siden g <, g 5 <, og g x er monotont minkende, vil g x < for x I, og iterasjonen konvergerer for alle x 0 I Dette er den vi bør bruke Utfører vi iterasjonen får vi x 0, x 599, x, x, x Videre vil de tre første sifrene forbli uforandret, og vi kan konkludere at s b Bruker vi metoden med Newtons dividerte differanser, får vi skjemaet Polynomet blir + 0 x 0 + x 0x x x, med nullpunkter 676 og 0676 Vi må velge det nullpunktet som ligger inne i intervallet, altså blir vår approksimasjon s 676 NB: Om interpolasjonspunktene hadde ligget tettere ville vi selvsagt fått et mer nøyaktig resultat Denne metoden er faktisk en av komponentene i matlabs fminsearch lftma5-08h november 009 Side 5