TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N Vår 203 Løsningsforslag Øving 2 La y = yx være funksjonen som tilfredstiller differensialligningen med startbetingelser y0 = 2, y 0 = 0. y y 2 y + y = 0 a Skriv om ligningen og startbetingelsene til et system av førsteordens differensialligninger med startbetingelser. La v = y, w = y. Får Vi kan løse systemer numerisk ved å bruke baklengs Euler: med skrittlengde h = 0.. v = w, v0 = 2 w = v 2 w v, w0 = 0 y = fx, y, yx 0 = y 0 y n+ = y n + hfx n+, y n+, b Sett opp det ikke-lineære ligningssystemet du får ved å bruke baklengs Euler på systemet i a. Ligningssystemet blir v n+ = v n + 0.w n+ w n+ = w n + 0. vn+w 2 n+ v n+ Med intialbetingelsene v 0 = 2, w 0 = 0 får vi for n = : v = w w = 0. vw 2 v, eller 0v w 20 = 0 v vw 2 = 0, c Gjør en iterasjon med Newtons metode på ligningssystemet 0v w 20 = 0 v v 2 w = 0. Bruk v = 2 og w = 0 som startverdier for iterasjonen. 26. april 203 Side av 6

2 Løsningsforslag Øving 2 La y = v w 0v w 20, Fy = v v 2 w Newtons metode for systemer er gitt ved at i Finn h fra: DFy n h n = Fy n ii Oppdater: y n+ = y n + h n der Dfx er Jacobimatrisen til systemet. Starter med å finne denne: 0 DFy = + 2vw 9 + v 2 Med y 0 = [2, 0] T får vi som gir Dermed blir 0 3 h = y = 0 h = ,. 2 I et anisotropt materiale der varmekonduktiviteten i y-retningen er to ganger høyere enn i x-retningen tar den stasjonære diffusjonsligningen varmeligningen formen u xx + 2u yy = 0. Vi vil løse denne numerisk på et kvadratisk område med sidelengde og randbetingelser ux, 0 = u0, y = 0 ux, = u, y =, for x, y [0, ]. Vi betrakter følgende gitter: der h = /3 og U i,j uih, jh. a Vis at differensskjemaet som tilsvarer er U i+,j + U i,j + 2U i,j+ + 2U i,j 6U i,j = april 203 Side 2 av 6

3 Løsningsforslag Øving 2 Vi bruker approksimasjonene u xx ih, jh h 2 U i+,j 2U i,j + U i,j u yy ih, jh h 2 U i,j+ 2U i,j + U i,j, der U i,j uih, jh. Ved å sette dette inn i PDEen får vi h 2 U i+,j 2U i,j + U i,j + 2 h 2 U i,j+ 2U i,j + U i,j = 0, som kan skrives som U i+,j + U i,j + 2U i,j+ + 2U i,j 6U i,j = 0. b Sett opp systemet som U i,j i, j =, 2 tilfredstiller og gjør en iterasjon med Gauss-Seidel med startpunkt U 0, = U 0 2, = U 0, U 0 2, /2. Randbetingelsene gir: U i,0 = U 0,j = 0 og U i,3 = U 3,j = for i, j =, 2. Setter vi dette inn i ligningen over får vi systemet 6U, U 2, 2U, 0 U, + 6U 2, 2U 2, 2U, + 6U,2 U 2, 2 2U 2, U,2 + 6U 2, 3 Med de oppgitte startverdiene får vi U, = U, 6 U 2, = 6 U 2, Betrakt den endimensjonale varmeligningen u t = u xx på området 0 x, t 0, med initialbetingelse og randbetingelsene ux, 0 = x2 x, 0 x u0, t = 0, u, t =, t 0. a Foreta to steg med det eksplisitte differanseskjemaet for denne ligningen Kap Bruk h = /2, k = / april 203 Side 3 av 6

4 Løsningsforslag Øving 2 Vi skal finne approksimasjoner u i,j ux i, t j, der x i = ih, t j = jk. Startbetingelsene gir u i,0 = x i 2 x. Dermed er Randbetingelsene er u,0 = 0.75, u 2,0 =. u 0,j = 0, u 2,j =. Den eksplisitte metoden er basert på approksimasjonene slik at skjemaet blir u t x i, t j k u i,j+ u i,j u xx x i, t j h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j, eller k u i,j+ u i,j = h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j u i,j+ = u i,j + k h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j. Med h = 0.5 og k = får vi r = k/h Første skritt gir u, = u,0 + ru 2,0 2u,0 + u 0,0 = = Andre skritt gir u, u, + ru 2, 2u, + u 0, = = b Benytt Crank-Nicolson på det samme problemet. Bruk samme h og k som i a. Skjemaet er gitt ved ru i,j ru i,j+ ru i+,j+ = ru i,j + 2 2ru i,j + ru i+,j. Første skritt: u, 0.25 = som gir Andre skritt: u, = u, = som gir u, c Skriv ned en eksplisitt metode med generell h og k for ligningen u t = u xx + xu x med de samme rand- og intitialbetingelsene som over. 26. april 203 Side 4 av 6

5 Løsningsforslag Øving 2 Ved å bruke tilnærmelsene av u t og u xx i a, samt sentraldifferansen får vi skjemaet u x x i, t j 2h u i+,j u i,j eller k u i,j+ u i,j = h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j + x i 2h u i+,j u i,j u i,j+ = u i,j = k h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j + k 2h x iu i+,j u i,j. 4 Vi ønsker å finne en endelig differanse-approksimasjon til den tredjederiverte f x ved å bruke fem x-verdier x n 2, x n, x n, x n+, x n+2, valgt slik at distansen mellom to nabopunkt er h. a Vis at sentraldifferanse-approksimasjonene av de førse- og andrederiverte kan kombineres til å gi sentraldifferanse-approksimasjonen av f x. fx n+2 2fx n+ + 2fx n fx n 2 2h 3 Vi har Dermed blir f x n fx n+ fx n 2h f x n fx n+ + fx n 2fx n h 2. f x n f x n+ f x n 2h = fx n+2 fx n 2fx n+ fx n fx n 2 + 2fx n 2hh 2 = fx n+2 2fx n+ + 2fx n fx n 2 2h 3. b Bruk formelen til å tilnærme f 0 der fx = sinπx og h = 0.0. Vi har f 0 f0.02 2f f 0.0 f c Repeter punkt b, men nå med h = Sammenlign de to approksimasjonene med den eksakte verdien, og vis at resultatene er konsistent med at feilen skalerer som Oh april 203 Side 5 av 6

6 Løsningsforslag Øving 2 Vi får nå f 0 f0.0 2f f f Vi vet at f x = π 3 cosπx, slik at f 0 = π 3. Feilen i våre approksimasjoner er ɛ 0.0 = ɛ = Vi ser at ɛ ɛ Dette er konsistent med at feilen skalerer som h 2 fordi 0.0/ april 203 Side 6 av 6