Differensjalligninger av førsteorden

Transkript

1 Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014

2 Forelesning ( ): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem Eksistens og entydighet av løsninger Løsningmetode for separable differensjalligninger Løsningsmetoder for lineære differensjalligninger (integrerendefaktor og variasjon av parametre) Eulersmetode

3 Førsteorden ordinære differensjalligninger En førsteorden ordinær differensialligning er en ligning som innholder den første deriverte av en ukjent funksjon y = y(x): x kalles for uavhengig variabel og y = y(x) kalles for avhengig variabel av differensjalligningen. Eksempel dy(x) dx = 3x 2 1

4 Førsteorden ordinære differensjalligninger En førsteorden ordinær differensialligning er en ligning som innholder den første deriverte av en ukjent funksjon y = y(x): x kalles for uavhengig variabel og y = y(x) kalles for avhengig variabel av differensjalligningen. Eksempel dy(x) dx = 3x 2 1 En løsning av differensialligningen er en hver funksjon som tilfredstiller differensialligningen på et intervall slik at x [a, b].

5 Førsteorden ordinære differensjalligninger En førsteorden ordinær differensialligning er en ligning som innholder den første deriverte av en ukjent funksjon y = y(x): x kalles for uavhengig variabel og y = y(x) kalles for avhengig variabel av differensjalligningen. Eksempel dy(x) dx = 3x 2 1 En løsning av differensialligningen er en hver funksjon som tilfredstiller differensialligningen på et intervall slik at x [a, b]. Eksempel y(x) = x 3 x + C, x [a, b] for alle konstanter C.

6 Førsteordens initialverdiproblem IVP Et førsteordens initialverdiproblem består av en førsteordens ordinær differensialligning; en bestemt verdi for løsningen i et punkt (initial punkt) dy dx = f (x, y(x)), y(x 0) = y 0.

7 Førsteordens initialverdiproblem IVP Et førsteordens initialverdiproblem består av en førsteordens ordinær differensialligning; en bestemt verdi for løsningen i et punkt (initial punkt) Eksempel IVP dy dx = f (x, y(x)), y(x 0) = y 0. dy(x) dx = 3x 2 1, y(1) = 2 x [1, 2] finn y(x) for x [1, 2].

8 Førsteordens initialverdiproblem IVP Et førsteordens initialverdiproblem består av en førsteordens ordinær differensialligning; en bestemt verdi for løsningen i et punkt (initial punkt) Eksempel IVP dy dx = f (x, y(x)), y(x 0) = y 0. dy(x) dx = 3x 2 1, y(1) = 2 x [1, 2] finn y(x) for x [1, 2]. Løsning: y(x) = x 3 x + C, x [1, 2] siden y(1) = 2 = C da C = 2 og y(x) = x 3 x + 2, x [1, 2]

9 Eksistens og entydighet av løsninger av dy dx = f (x, y), y(x 0) = y 0. Definisjon f [x 0, x f ] R R tilfredstiller Lipschitz betingelsen hvis det finnes en konstant L > 0 (Lipschitz konstant) slik at for alle x [x 0, x f ] og alle par y og z i R vi har f (x, y) f (x, z) L y z Teorem Eksistens og entydighet av løsninger. Gitt IVP dy dx = f (x, y), y(x 0) = y 0, der f er kontinuerlig og tilfredstiller Lipshitz betingelsen, da eksisterer en entydig løsning av IVP for x [x 0, x f ].

10 Separable differensjalligninger Betrakt en førsteorden differensjalligning av type dy dx = f (x) g(y), y(x 0) = y 0, dette kan omskrives som 1 dy g(y) dx = f (x) (antatt at g(y) ikke blir null). Ved å integrere mellom x 0 og t på begge sider får vi t 1 dy x 0 g(y) dx dx = t f (x)dx x 0 vi nå bruker substitusjon på høyre siden og antar at integralet på venstresiden kan løses. Vi får y(t) y(x 0) 1 g(y) dy = x 0 t f (x)dx Vis vi kan fullføre integrasjonen (dvs vi kan finne den antideriverte G(y) 1 av g(y) ) da G(y(t)) G(y 0 ) = x 0 t f (x)dx

11 Separable ligninger eksempel 2 kap 7.9 Vi skal løse IVPen vi ser at diffligningen er separabel så dy dx = x2 y 3, y(1) = 3 1 dy y 3 dx = x2 vi integrerer på begge sider mellom 1 og t vi får og vi ser at 1 y 3 = d 1 dy 2y 2 og y(t) = og da får vi t 1 dy 1 y 3 dx dx = t 1 x2 dx y(t) 1 3 y 3 dy = t y(t) = t , dvs 7 6t 3 y(t) 2 = t3. (Merk at y(1) = 3 tilfredstilles bare av den positive roten av.) 7 6t 3 9

12 Separable differensjalligninger med det ubestemte integralet (eks 1 kap 7.9) Vi skal finne løsningene til dy dx = x y (uten initialbetingelse). Vi går fram som før y dy dx = x integrerer i x (ubestemte integral) og får y dy dx dx = xdx ved bruk av substitusjon på venstre side får vi og så dvs løsningene er hyperbler. ydy = xdx y 2 2 = x C y 2 x 2 = C

13 Lineære ordinaræ differensjalligniger (integrerende faktor) Anta at vi skal løse differensjalligningen y (x) + p(x)y(x) = q(x), der p(x) og q(x) er gitte kjente funskjoner og y(x) er ukjent.

14 Lineære ordinaræ differensjalligniger (integrerende faktor) Anta at vi skal løse differensjalligningen y (x) + p(x)y(x) = q(x), der p(x) og q(x) er gitte kjente funskjoner og y(x) er ukjent. Anta vi kan finne en antideriverte for p(x), dµ = p(x). Betrakt dx e µ(x) (integrerende faktor). Vi skal gange ligningen med den integrerende faktoren, vi får og vi ser at e µ(x) y (x) + e µ(x) p(x)y(x) = e µ(x) q(x) d dx (eµ(x) y(x)) = e µ(x) y (x) + e µ(x) p(x)y(x) = e µ(x) q(x) så kan vi integrere på begge sider (bestemt eller ubestemt integral): e µ(x) y(x) = e µ(x) q(x)dx og til slutt y(x) = e µ(x) e µ(x) q(x)dx

15 Lineære ordinaræ differensjalligniger (variasjon av parameter) Anta at vi skal løse differensjalligningen y (x) + p(x)y(x) = q(x), der p(x) og q(x) er gitte kjente funskjoner og y(x) er ukjent.

16 Lineære ordinaræ differensjalligniger (variasjon av parameter) Anta at vi skal løse differensjalligningen y (x) + p(x)y(x) = q(x), der p(x) og q(x) er gitte kjente funskjoner og y(x) er ukjent. Vi gjetter at løsningen kan være av type y(x) = k(x)e µ(x) der µ(x) er som før. Så setter vi inn i ligningen og ser om vi kan bestemme k(x), vi får som er d dx (k(x)e µ(x) ) + p(x)k(x)e µ(x) = q(x) k (x)e µ(x) k(x)p(x)e µ(x) + p(x)k(x)e µ(x) = q(x) som gir k (x) = e µ(x) q(x) k(x) = e µ(x) q(x)dx og så har vi bestemt k(x) som skal brukes i y(x) = k(x)e µ(x).

17 Eulersmetode Gitt dy dx = f (x, y(x)), y(x 0) = y 0. En numerisk metode genererer approksimasjoner y 1, y 2,..., y N av løsningen y(x) i punktene x 1, x 2,... x N, der x n = x 0 + n h og h = x f x 0 N (slik at x N = x f ) og så y 1 y(x 1 ),..., y N y(x N ).

18 Eulersmetode Gitt dy dx = f (x, y(x)), y(x 0) = y 0. En numerisk metode genererer approksimasjoner y 1, y 2,..., y N av løsningen y(x) i punktene x 1, x 2,... x N, der x n = x 0 + n h og h = x f x 0 N (slik at x N = x f ) og så y 1 y(x 1 ),..., y N y(x N ). Med Eulersmetode genereres approksimasjonene ved regelen y n+1 = y n + h f (x n, y n ), n = 1, 2,...

19 Eksempel Eulersmetode y (x) = x y(x), y(0) = y(x) x

20 Eksempel Eulersmetode y (x) = x y(x), y(0) =

21 Eksempel Eulersmetode y (x) = x y(x), y(0) =

22 Eksempel Eulersmetode y (x) = x y(x), y(0) =