Forelesninger i MET2214 Matematikk valgfag ved Handelshyskolen BI

Transkript

1 Forelesninger i MET4 Matematikk valgfag ved Handelshyskolen BI

2

3 Forelesning : Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen. januar, Innhold Anbefalt lesning.. Kort repetisjon av integrasjon.. Hva er en differensiallikning? 3.3. Separable differensiallikninger 5 Referanser 6 På Blackboard finner du pensum og informasjon om kurset. Anbefalt lesning. Denne forelesningen dekker avsnittene og i [OEBY]. I tillegg er det viktig å repetere integrasjon, se for eksempel kapittel 6 i [BOST]... Kort repetisjon av integrasjon. I denne forelesningen skal vi lære om differensiallikninger, men for å forstå differensiallikninger er det viktig å kunne derivere og integrerer. Eksempel. Regn ut dy dt () y(t) = e t () y(t) = ln(t) (3) y(t) = (t + 3) 4 i følgende tilfeller Løsning. () dy dt = y (t) = e t ( t) = e t () dy dt = y (t) = t = t (3) dy dt = y (t) = 4(t + 3) 3 = 8(t + 3) 3

4 For å løse differensiallikninger er det nødvendig å kunne integrere. Husk at integrasjon er det motsatte av derivasjon. I det neste eksempelet repreteres noen av de viktigste teknikkene. Eksempel. Regn ut integralene: () x 3 dx () (t 3 + t 3)dt (3) xe x dx (4) (x + ) 8 xdx Løsning. () x 3 dx = 3+ x3+ + C = 4 x4 + C () (t 3 + t 3)dt = 4 t4 + t 3t + C (3) For å beregne xe x dx bruker vi formelen for delvis integrasjon uv dx = uv u vdx, og vi velger u = x og v = e x. Siden den deriverte til e x er e x, får vi v = e x og u =. Dermed får vi xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C. (4) For å beregne (x + ) 8 xdx, bruker vi substitusjon. Vi setter u = x +, og fra dette får vi du dx = x. Det siste kan skrives som du = xdx. Dermed får vi (x + ) 8 xdx = u 8 du = 9 u9 + C = 9 (x + ) 9 + C.

5 .. Hva er en differensiallikning? La y være en økonomisk variabel som for eksempel nasjonalprodukt eller oljeproduksjon. Noen ganger kan man sette opp modeller for slike variable. Slike modeller kan lede til en eller flere differensiallikninger som inneholder variabelen y. Man tar i betraktning at variabelen y (nasjonalprodukt eller liknende) endrer seg etter som tiden går. Med andre ord er y en funksjon y(t) av tiden t. Her er altså t uavhengig variabel mens y er en avhengig variabel. Vi bruker ofte notasjonen ẏ for å betegne den deriverte av y med hensyn på t, eller med andre ord: ẏ = dy dt Eksempel 3. Betrakt funksjonen y = y(t) = e t hvor y altså er en funksjon av tiden t. Den deriverte av y med hensyn på t er Vi ser altså at vi har sammenhengen ẏ = e t ( ) = y. ẏ = y. Dette er en sammenheng mellom funksjonen y og den deriverte av funksjonen. Dette er et eksempel på en differensiallikning, og y = y(t) = e t er en løsning av denne differensiallikningen. Definisjon 4. En differensiallikning er en likning som forbinder en ukjent funksjon med en eller flere av de deriverte til funksjonen. Her er noen eksempler på differensiallikninger: Eksempel 5. () ẏ = ay der a er en konstant. () ẏ + 3y = 4 (3) ẋ + x = 5x Alle likningene i eksemplet over, er det vi kaller første ordens ordinære differensiallikninger. Eksempel 6. Vis at y = Ce t +4 (hvor C er en konstant) er en løsning av differensiallikningen ẏ + y = 8. Løsning. Deriverer vi y = Ce t + 4, får vi Av dette får vi ẏ = Ce t ( t) = Ce t. ẏ + y = Ce t + (Ce t + 4) = Ce t + Ce t + 8 = 8. Dermed ser vi at likningen er tilfredstilt. Vi ser altså at både y = e t + 4 (her er C = ) og y = 3e t + 4 er løsninger av ẏ + y = 8. Siden vi får en løsning for hvert valg av konstanten C, er det uendelig mange løsniger av differensiallikningen ẏ + y = 8. 3

6 Definisjon 7. Mengden av alle løsninger av en differensiallikning, kalles den generelle løsningen av likningen. En spesiell løsning av en differensiallikning kalles for en partikulærløsning av likningen. Eksempel 8. Den generelle løsning av ẏ + y = 8, er y = Ce t + 4 og y = 3e t + 4 er en partikulærløsning av ẏ + y = 8. Veldig ofte er man ute etter å finne en partikulærløsning som tilfrestiller en initalbetingelse. Eksempel 9. Finn partikulærløsningen av som tilfredstiller initialbetingelsen y() =. ẏ + y = 8 Løsning. Den generelle løsningen er y = Ce t + 4. Setter vi t =, får vi y() = Ce + 4 = C + 4 Fra y() = C + 4 =, konkluderer vi at C =. Dermed er partikulærløsningen som tilfredstiller y() = gitt ved y(t) = e t

7 .3. Separable differensiallikninger. Veldig mange differensiallikninger er umulig å løse. I dette kurset skal vi imidlertid se på noen få typer differentiallikninger hvor det er mulig å finne en løsning. Definisjon. En differensiallikning som kan skrives som ẏ = F (t, y) der F (t, y) er en eller annen funksjon i variablene y og t, kalles for en første ordens ordinær differensiallikning. Vi sier at differensiallikningen er separabel dersom ẏ = f(t)g(y) der f(t) og g(y) er funksjonener i en variabel. (Her kan altså funksjonen F (t, y) = f(t)g(y) skrives som et produkt av to fuksjoner i en variabel.) Vi kommer snart til å lære hvordan vi kan løse separable differensiallikninger. Eksempel. Avgjør hvilke av følgende diffrensiallikninger som er separable. () ẏ = yt () ẏ = y + t (3) ẏ = yt + t (4) ẏ = yt + y t Løsning. () Denne likningen er separabel siden ẏ = f(t)g(y) med f(t) = t and g(y) = y. () Denne likningen er ikke separabel. (3) Siden likningen kan skrives ẏ = t(y + ), så er denne likningen separabel. (4) Siden ẋ = t (x + x ), er likningen separabel. Vi vil nå forklare hvordan man kan løse en separabel diffrensiallikning. () Skriv likningen som dy dt = f(t)g(y). () Separer slik at vi får den avhengige variablen på hvenstre side og den uavhangige på høyre side: dy g(y) = f(t)dt (3) Integrer dy g(y) = f(t)dt Eksempel. Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ẏ = t 3y 5

8 Løsning. Vi kan skrive differensiallikningen som dy dt = t 3y. Vi separerer og får 3y dy = tdt. Ved å integrere får vi 3y dy = tdt = y 3 = t + C. Tar vi tredjeroten på hver side, får vi y = 3 t + C. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 6

9 Oppgaveark : Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen. januar, Oppgave. Finn ẏ. (a) y = t 3 t + 5t 3 (b) y = (t )(t 4 ) (c) y = (ln t) 5 ln t + 6 (d) y = ln(3t) (e) y = 5e 3t +t (f) y = 5t e 3t Oppgave. Regn ut integralene: (a) t 3 dt (b) (t3 + t )dt (c) t dt (d) te t dt (e) ln tdt Oppgave 3. Regn følgende oppgaver i [BOST]: 6. utgave: 6.4a, 6.6ab, 6.8a 5. utgave: 7.4a, 7.6ab, 7.8a Oppgave 4. Følgende differensiallikninger, kan løses ved å integrere høyre side. Finn den generelle løsningen i hvert tilfelle, og finn også partikulærløsningen som tilfredstiller y() =. (a) ẏ = t. (b) ẏ = e t (c) ẏ = (t + )e t +t Oppgave 5. Vis at y(t) = Ce t + et er en løsning av ẏ + y = e t. Oppgave 6. Løs differensiallikningen y ẏ = t +. Finn løsningen som tilfredstiller y() =. Oppgave 7. Løs følgende differensiallikninger: (a) ẏ = t 3 t (b) ẏ = te t t (c) e y ẏ = t + Oppgave 8. Løs følgende differensiallikninger: (Her er det x som er den uavhengige variabelen og ikke t slik som i tidligere oppgaver.) (a) y = x y (b) y = e x y (c) x y = Noen av oppgavene er hentet fra kapittel 5 i boken [FMEA].

10 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

11 Forelesning : Førsteordens lineære differensiallikninger Trond Stølen Gustavsen 9. januar, Innhold Lesning.. Likninger med konstante koeffisienter.. Generelle koeffisienter 4 Referanser 5 Lesning. Denne forelesningen dekker avsnittene 3., 3. og 3.3 i [OEBY]. For flere detaljer se for eksempel kapittel 5.4 i [FMEA]. I første forelesning introduserte vi begrepet differensiallikning, og så på hvordan vi kunne løse separable differensiallikninger. Siden dette kurset er et matematikkurs, er differensiallikninger blitt introdusert matematisk. Vi kommer likevel til på noen få anvendelser i løpet av kurset, men hovedfokus vil være på matematikken. Før vi går videre, vil jeg antyde en enkel anvendelse som viser hvordan man ofte tenker når man forsøker å sette opp en modell som resulterer i en differensiallikning. Eksempel. La variabelen y betegne jordens befolkning. Per i dag er y = 6.6 milliarder. Hvis t måler tiden i år, kan vi oppfatte y som en funksjon av t. På verdensbasis øker befolkningen med.4% per år. Det betyr at i år er differensen mellom antallet som blir født og antallet som dør, milliarder =.75 milliarder = 75 millioner. Siden den deriverte gir vekstraten til en funksjon, kan vi tilnærmet si at ẏ er.4y. Dette resulterer altså i differensiallikningen ẏ =.4y. Hvis vi forventer at befolkningsveksten vil være konstant, kan vi løse denne å finne ut hva befolkingen vil være i fremtiden... Likninger med konstante koeffisienter. Vi skal nå lære å løse det som heter førsteordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter. Definisjon. En førsteordens lineær differensiallikning er en som kan skrives på formen der a(t) og b(t) er funksjoner av t. ẏ + a(t)y = b(t) Vi skal lære hvordan man løser første ordens lineære differensiallikninger. Det er derfor viktig å kunne skille ut likninger av denne typen. Eksempel 3. () ẏ + ty = 4t er lineær. () ẏ y = e t er lineær. (3) (t + )ẏ + e t y = t ln t er lineær fordi den kan skrives som ẏ + et t + y = t ln t t +. (4) ẏ y = er ikke lineær på grunn av leddet y. (5) ẏ e y = t er ikke lineær på grunn av leddet e y.

12 Vi skal nå se hvordan vi løser førsteordens lineære differensiallikninger. Metoden vi skal bruke starter med å multiplisere likningen med en såkaldt integrerende faktor. Dette gjør vi for å kunne skrive venstre side av likningen som den deriverte av et produkt, og for å forstå denne metoden er det viktig å huske hvordan vi derivere et produkt: For eksempel (uv) = u v + uv. d dt (yet ) = ẏe t + ye t = ẏe t + ye t. Eksempel 4. Finn den generelle løsningen av ẏ + y = 7. Løsning. Trikset er å multiplisere likningen med e t hvor er koeffisienten foran y. Faktoren e t kalles for integrerende faktor. Etter at vi har multiplisert med e t, ser likningen slik ut: ẏe t + ye t = 7e t Ser vi nøye etter, ser vi at venstre side kan skrives som d dt (yet ). Benytter vi oss av dette, kan likningen skrives som d dt (yet ) = 7e t, og vi kan nå integrere med hensyn på t: ye t = 7e t dt = 7 et + C For å løse for y, deler vi med e t på begge sider av likningen, og vi får da som den generelle løsningen. y = 7 + Ce t Metoden som er brukt i eksempelet, kan generaliseres. Setning 5. Differensiallikningen ẏ + ay = b der a og b er konstanter, har følgende generelle løsning: y(t) = b a + Ce at. I mange situasjoner der man bruker differensiallikninger, er man interessert i å se hva som skjer når t går mot uendelig. Hvis a >, så vil e at når t. Dette betyr at løsninge av ẏ + ay = b nærmer seg den konstante løsningen y = b a når t. I så tilfelle sier vi at løsningen er stabil, og y = b a kalles likevektstilstanden. Når a <, så vil e at når t. I dette tilfellet (hvis C ) sier vi at løsningen er ustabil.

13 Eksempel 6. Anta at prisen P = P (t), etterspørselen D = D(t) og tilbudet S = S(t) av en vare, styres i henhold til følgende model: D = a bp S = α + βp P = λ(d S) der a, b, β og λ er konstanter. Finn P som en funksjon av t. Løsning. Ved å kombinere, får vi P = λ(d S) = λ((a bp ) (α + βp )) = λ(a α) λ(b + β)p Dette gir P + λ(b + β)p = λ(a α), som er en første ordens lineær differensiallikning med konstante koeffisienter. I følge setningen over, er den generelle løsningen: P = Ce λ(b+β)t + a α b + β. Eksempel 7. Anta at og at P () = 9. Finn P (.5). D = 5 4P S = + 6P P =.5(D S) Løsning. P =.5(5 4P ( + 6P )) =.5(4 P ) = 5P. Vi får likningen P + 5P =. Vi kunne ha brukt formelen som vi fant for løsningen i forrige eksempel, men vi velger istedet å løse likningen på nytt. Hvis vi multipliserer med integrerende faktor e 5t, får P e 5t + P e 5t 5 = e 5t. Vi har altså d dt (P e5t ) = e 5t og hvis vi integrerer, får vi P e 5t = e 5t dt = 5 e5t + C = 4e 5t + C. Multipliserer vi så med e 5t, får vi den generelle løsningen P = 4 + Ce 5t. Vi har at P () = 4 + Ce 5 = 4 + C = 9 = C = 5. Fra dette får vi partikulærløsningen P (t) = 4 + 5e 5t. Denne gir at P (.5) = 4 + 5e 5.5 =

14 .. Generelle koeffisienter. Vi skal nå se på første ordens lineære differensiallikninger som har koeffisisenter som ikke nødvendigvis er konstante. I dette tilfellet må vi regne ut et integral for å finne integrerende faktor. Setning 8. Likningen har som integrerende faktor. ẏ + a(t)y = b(t) e a(t)dt For å løse likninger på formen ẏ + a(t)y = b(t), bruker vi samme metode som før, men vi må nå huske på at integrerende faktor er gitt ved e a(t)dt. Vi må altså finne integralet a(t)dt for å vite hva som er integrerende faktor. Eksempel 9. Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ẏ ty = t. Løsning. Koeffisienten foran y er t, og integrerer vi denne får vi: tdt = t + C Derfor er e t integrerende faktor. Vi multipliserer nå likningen med denne faktoren, og får da ẏe t + ye t ( t) = te t. Igjen kan venstre side skrives som den deriverte av et produkt, og vi har d dt (e t y) = te t. Integrasjon gir e t y = te t dt. For å beregne te t dt, bruker vi substitusjon u = t. Vi får du dt = t eller Dermed: te t dt = e u ( )du = eu + C du = tdt. = e t + C. Vi er altså kommet fram til Dette multipliserer vi med e t og får e t y = e t + C. y = + Cet som den generelle løsningen. I neste eksempel vil vi i tillegg til å finne den generelle løsningen, også finne en partikulærløsning. Eksempel. Løs initialverdiproblemet: ẏ + 3t y = e t3, y() =. 4

15 Løsning. Vi har at 3t dt = t 3 +C, så e t3 er en integrerende faktor. Multipliserer vi likningen med den, får vi ẏe t3 + ye t3 (3t ) = e t3 e t3 =, og vi får d 3 dt (yet ) =. Ved integrasjon ye t3 = dt = t + C. Ved å multiplisere med e t3, får vi y(t) = (t + C)e t3 som den generelle løsningen. For å finne partikulærløsningen, setter vi inn t = : y() = ( + C)e = C =. Dermed ser vi at y(t) = (t + )e t3 er en partikulærløsning som tilfredstiller den gitte initialbetingelsen. Vi kan også skrive opp en formel for løsnigen av en førsteordens lineær differensiallikning Setning. Differensiallikningen ẏ + a(t)y = b(t) har den generelle løsningen y(t) = e a(t)dt (C + b(t)e a(t)dt dt). Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 5

16

17 Oppgaveark : Førsteordens lineære differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 9. januar, Oppgave. Finn den generelle løsningen av ẏ+ y = 4. Er løsningen stabil? Bestem likevektstilstanden. Tegn noen typiske løsninger i et koordinatsystem. Oppgave. Finn den generelle løsningen i hvert tilfelle: (a) ẏ + y = (b) ẏ 3y = 7 (c) 4ẏ + 5y = Oppgave 3. Finn i hvert enkelt tilfelle den generelle løsningen. Finn også partikulærløsningen som tilfredstiller y() =. (a) ẏ 3y = 5 (b) 3ẏ + y + 6 = (c) ẏ + y = t Oppgave 4. Finn den generelle løsningen. (a) tẏ + y + t = (t ) (b) ẏ t y = t (t > ) (c) ẏ y = t (t > ) t t Oppgave 5. Finn i hvert enkelt tilfelle den generelle løsningen. Finn også partikulærløsningen som tilfredstiller den gitt initialbetingelsen. (a) ẏ = 4(y )(y 3), y() = (b) e t ẏ y y =, y() = (c) ẏ t t + y =, y() = Noen av oppgavene er hentet fra kapittel 5 i boken [FMEA]. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

18

19 Forelesning 3: Andreordens differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 6. januar, Innhold Lesning 3.. Hva er en andreordens differensiallikning? 3.. Linneære andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter Ikke-homogene andreordens lineære differensiallikninger Repetisjon av partielle deriverte 6 Referanser 6 Lesning. Denne forelesning dekker avsnitt 4 i [OEBY]. I tillegg vil vi kort repetere partielle deriverte (se kapittel 7 i [BOST]), og definere begrepet konkav og konveks funksjon for funksjoner i to variable. For mer om andreordens differensiallikninger, se avsnitt 5.4 i [FMEA]. For mer om konvekse og konkave funksjoner, se avsnitt.3 i [FMEA]. 3.. Hva er en andreordens differensiallikning? En andreordens differensiallikning er en likning i en ukjent funksjon som forbinder funksjonen med funksjonens deriverte av første og andre orden. Definisjon. En andreordens differensiallikning, er en som kan skrives der F er en funksjon i tre variable. ÿ = F (t, y, ẏ) Enkelte andreordens differensiallikninger, er lette å løse. Eksempel. Finn alle løsningene av differensiallikningen ÿ =. Løsning. Fra ÿ = får vi ẏ = dt = t + C der C er en konstant. Fra dette følger det at y = (t + C )dt = t + C t + C der C også er en konstant.

20 Noen andreordens likninger kan omformes til førsteordens likninger ved en substitusjon. Eksempel 3. Løs differensiallikningen ÿ = ẏ + t. Løsning. Vi substituerer u = ẏ, og får u = ÿ og likningen blir da u = u + t Dette er en førsteordens lineær differensiallikning og kan skrives u u = t. Vi multipliserer med integrerende faktor e t, og likningen blir da ue t + ue t ( ) = te t d dt (ue t ) = te t Ved å integrere, får vi ue t = te t dt = te t e t + C. Til slutt multipliserer vi likningen med e t, og får u = t + C e t. Med andre ord, har vi funnet at ẏ = t + C e t. Nå kan vi igjen integrere, og får da y(t) = t t + C e t + C som generell løsning.

21 3.. Linneære andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter. Vi vil nå se på en bestemt type andreordens differensiallikninger. Definisjon 4. En lineær andreordens differensiallikning, er en som kan skrives ÿ + a(t)ẋ + b(t)y = f(t) der a(t), b(t) og f(t) er funksjoner av t. Vi sier at likningen er homogen dersom f(t) =. Eksempel 5. Ta utgangspunkt i differensiallikningen () ÿ 5ẏ + 6y = Vis at det er mulig å tilpasse konstanten r slik at y = e rt er en løsning. Hva må r være? Løsning. Fra y = e rt får vi ẏ = e rt r = re rt og ÿ = re rt r = r e rt. Hvis vi setter dette inn in (), får vi ÿ 5ẏ + 6y = r e rt 5re rt + 6e rt = e rt (r 5r + 6) Vi ser at dette blir null hvis og bare hvis r 5r + 6 =. Dermed får vi en løsning dersom r = eller r = 3. Det viser seg at det er mange løsninger av differensiallikningen i eksempelet over. Eksempel 6. Vis at er en løsning av y = Ae t + Be 3t ÿ 5ẏ + 6y =. Løsning. Med y = Ae t + Be 3t, får vi ẏ = Ae t + 3Be 3t og ÿ = 4Ae t + 9Be 3t. Setter vi dette inn i ÿ 5ẏ + 6y, får vi. Over løste vi en vanlig andregradslikning for å få frem en løsning av en andreordens differensiallikning. Denne likningen er viktig, og den har et eget navn. Definisjon 7. La () ÿ + aẏ + by = være en andreordens homogen differensiallikning med konstante koeffisienter a og b. Likningen r + ar + b = kalles for den karakteristiske likningen til (). Husk at r + ar + b = har en løsning hvis og bare hvis a 4b, og at hvis dette er tilfredstilt, er løsningen gitt ved r = a ± a 4b. Følgende setning viser oss hvordan vi finner løsningen til en homogen andreordens lineær differensiallikning med konstante koeffisienter. 3

22 Teorem 8. Den generell løsningen av ÿ + aẏ + by = er: () Hvis den karakteristiske likningen har to forskjellige reelle løsninger r r : y(t) = Ae rt + Be rt () hvis den karakteristiske likningen har en reel løsning r: y(t) = (A + Bt)e rt (3) hvis den karakteristiske likningen ikke har løsninger: y(t) = e αt (A cos βt + B sin βt) der α = b a og β = 4 a. Vi ser på et par eksempler. Eksempel 9. Finn den generelle løsningen av ÿ + 4ẏ + 4y = Løsning. Den karakteristiske likningen er r + 4r + 4 = og har bare løsningen r =. Fra teoremet får vi at y(t) = (A + bt)e t er den generelle løsningen. Eksempel. Finn den generelle løsningen ÿ 7ÿ + y =. Løsning. Den karakteristiske likningen er r 7r + = og har løsningene r = 3 og r = 4. Dermed er den generelle løsningen y(t) = Ae 3t + Be 4t. 4

23 3.3. Ikke-homogene andreordens lineære differensiallikninger. Vi starter med et eksempel. Eksempel. Vis at y = c b er en løsning av differensiallikningen ÿ + aẏ + by = c. Løsning. Siden y = c b er en konstant, får vi ẏ = og ÿ =. Setter vi inn i likningen får vi derfor: ÿ + aẏ + by = + a + b c b = c, og dette viser at likningen er tilfredstilt. Vi kan koble det vi fant i eksempelet over, med det vi vet om homogene likninger: Setning. Den generelle løsningen av ÿ + aẏ + by = c er gitt ved y = y h + y p der y p = c b og y h er den generelle løsningen av den homogene likningen Vi løser et enkelt eksempel. Eksempel 3. Finn den generelle løsningen av ÿ + aẏ + by =. ÿ + 5ẏ + 6y = 6. Løsning. Vi finner først løsningen av ÿ+5ẏ+6y =. Karakteristisk likning er r +5r+6 =, og har løsningene r = og r = 3. Fra dette får vi Vi har og dermed blir den generelle løsningen: y h = Ae 3t + Be t. y = y p = 6 6 =, y(t) = y h + y p = Ae 3t + Be t +. 5

24 3.4. Repetisjon av partielle deriverte. I dette avsnittet vil vi repetere partielle deriverte, og introdusere begrepet konveks og konkav funksjon. Eksempel 4. Finn de partielle deriverte av første og andre orden til funksjonen f(x, y) = x 3 + xy + y. Løsning. Vi får og f x = 3x + y f y = x + y f xx = 6x f xy = f yx = f yy = I forbindelse mef variasjonsregning som vi skal ta for oss i neste forelesning, trenger vi følgende: Definisjon 5. En funksjon f(x, y) sies å være () konveks f xx, f yy og f xxf yy (f xy) () konkav f xx, f yy og f xxf yy (f xy) Vi ser på et eksempel. Eksempel 6. Vis at funksjonen er konveks. f(x, y) = x 4 + y 4 Løsning. Vi får og f x = 4x 3 f y = 4y 3 f xx = x f xy = f yx = f yy = y Vi har at f xx = x og f yy = y. Videre får vi f xxf yy (f xy) = 44x y. Dermed ser vi at funksjonen er konveks. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) 6

25 [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

26

27 Oppgaveark 3: Andreordens lineære differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 6. januar, Oppgave. Finn de generelle løsningene av følgende differensiallikninger. (a) ÿ = t (b) ÿ = e t + t Oppgave. Løs initialverdiproblemet ÿ = t t, y() = og ẏ() =. Oppgave 3. Løs initialverdiproblemet: ÿ = ẏ + t, y() = og y() =. Oppgave 4. Finn den generelle løsningen: (a) ÿ 3y = (b) ÿ + 4ÿ + 8y = (c) 3ÿ + 8ẏ = (d) 4ÿ + 4ẏ + y = (e) ÿ + ẏ 6y = 8 Oppgave 5. Løs differensiallikningen y + y 6y = 7. Oppgave 6. Finn løsningen av differensiallikningen y y + 5y = 4 som tilfredstiller y() = 9 5 og y() = e Oppgave 7. Ta utgangspunkt i likningen ÿ + aẏ + by = og anta at 4 a b = slik at den karakteristiske likningen har én reel løsning r = a. La y(t) = u(t)e rt og vis at dette er en løsning av differensiallikningen hvis og bare hvis ü =. Konkluder fra dette at y(t) = (A + Bt)e rt er den generelle løsningen. Oppgave 8. Avgjør om funksjonen er konveks, konkav eller begge deler. (a) f(x, y) = x + y (b) f(x, y) = 3x y (c) f(x, y) = e x + e y (d) f(x, y) = e x y (e) f(x, y) = ln(x) + ln(y) Oppgave 9. Vis at funksjonen er konveks. g(x, y) = x + 4xy + 4y + e y y

28 En del av oppgavene er hentet fra kapittel 6 i boken [FMEA]. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

29 Forelesning 4: Variasjonsregning. Trond Stølen Gustavsen. februar, Innhold Lesning 4.. Euler-likningen 4.. Betingelser for maksimum og minimum 5 Referanser 6 Lesning. Denne forelesningen dekker heftet [BJOE] For en mer omfattende behandling av temaet se kapittel 8 i [FMEA]. 4.. Euler-likningen. Vi starter med et eksempel hvor vi antyder et problem som kan løses ved variasjonsregning. I eksempelet vil vi ikke gå i dybden, og tar bare med det som trengs for å lede frem til et problem i variasjonsregning. Det er derfor ikke nødvendig å forstå eksempelet fult ut. Eksempel. Vi ser på en økonomi som utvikler seg over tid. La K = K(t) betegne kapital, C = C(t) forbruk og Y = Y (t) nasjonalprodukt ved tiden t. Vi antar at nasjonalproduktet bare er avhengig av kapitalen, altså at Y er en funskjon av K, Y = f(k). Vi antar videre at nasjonalprodukt fordeles mellom forbruk og sparing ved at Y = C + K hvor K svarer til endring av kapitalen. Vi antar vider at vi har en nyttefunksjon U = U(C). I denne situasjonen kan man begrunne at T U(C)e rt dt, hvor r er en konstant, er et uttrykk for den totale nytten i tidsinitervallet [, T ]. Vi ønsker å maksimere nytten. For å klargjøre dette skriver vi om integralet som følger: T U(C)e rt dt = T U(Y K)e rt dt. Her bruker vi at Y = C + K = C = Y K. Videre setter vi inn at Y = f(k), og får T U(f(K) K)e rt dt. Det som nå er viktig er at integranden U(f(K) K)e rt avhenger av K, K og t. Setter vi F (t, K, K) = U(f(K) K)e rt, er vårt problem å få integralet T F (t, K, K)dt. så stort som mulig. Det er vanlig å spesifisere at K() og K(T ) skal være oppgitt. Dermed er vårt problem å løse max T F (t, K, K)dt, K() = K, K(T ) = K T Vi ønsker altså å finne funksjonen K = K(t) som på ethvert tidspunkt forteller oss hva kapitalen skal være, når vi vet at vi starter med kapitalen K ved tiden t = og skal ende opp med kapitalen K T ved tiden T. Funksjonen vi leter etter skal være den som gjør integralet størst mulig.

30 Problemet som vi ønsker å løse, kan matematisk formulers slik: Problem. Finn funksjonen y = y(t) slik at integralet t t F (t, y, ẏ)dt blir størst mulig når det er oppgitt at y(t ) = y og y(t ) = y. Vi skal se i noen eksempler hvordan et slikt integral gir forskjellige verdier for forskjellige funksjoner. Eksempel 3. Beregn (4ty ẏ )dt i følgende tilfeller: () y = t () y = t (3) y = t t. Legg merke til at vi i alle tre tilfeller får y() = og y() =, men at funksjonene er forskjellige: y = t er en rett linje, mens y = t og y = t t er en parabeler. Når får vi størst verdi for integralet? Løsning. ) Fra y = t får vi ẏ =. Vi setter y = t og ẏ = inn i integralet, og vi får da (4ty ẏ )dt = = (4t t )dt (4t )dt = [ 4 3 t3 t] = = 3 ) Fra y = t får vi ẏ = t. Vi setter y = t og ẏ = t inn i integralet: (4ty ẏ )dt = = (4t t (t) )dt (4t 3 4t )dt = [t t ] = 3 3) Fra y = t t får vi ẏ = t. Dette setter vi inn i integralet: (4ty ẏ )dt = = (4t(t t ) ( t) )dt (8t + 4t 4t 3 4)dt = [4t t3 t 4 4t] = = 3 Vi ser at tilfellene ) og 3) begge gir 3 som er større en 3.

31 I eksempelet over regnet vi ut et integral som inneholdt en funksjon y og dens deriverte ẏ. Vi brukte tre forskjellige valg av funksjonen y. Vi så at vi kunne få forskjellige svar, men hvorrdan finner vi funksjonen y som gjør at integralet blir størst mulig? Den neste setningen hjelper oss med dette. Teorem 4. Funksjonen y = y(t) som gjør at t t F (t, y, ẏ)dt er størst (minst) mulig slik at y(t ) = y og y(t ) = y, oppfyller F y d dt ( F ẏ ) =. Likningen F y d dt ( F ẏ ) = kalles Euler-likningen. Vi ser igjen på integralet som vi regnet på i forrige eksempel, og viser hvordan vi kan bruke Euler-likningen, til å finne funksjonen som gjør integralet størst mulig. Eksempel 5. Løs variasjonsproblemet der y() = og y() =. max (4ty ẏ )dt Løsning. Vi har integralet F (t, y, ẏ)dt, der F (t, y, ẏ) = 4ty ẏ. Dette gir at F F = 4t og y ẏ = ẏ. Dette setter vi inn i Euler-likninging: F y d dt ( F ẏ ) = 4t d ( ẏ) = 4t + ÿ = dt Vi får altså likningen 4t + ÿ =. Dette er en andreordens differentiallikning som vi kan løse. Fra 4t + ÿ = får vi ÿ = t. Vi kan derfor løse differensiallikningen ved å integrere to ganger: ẏ = ( t)dt = t + C. Integrerer vi en gang til, får vi y = ( t + C )dt = 3 t3 + C t + C. Vi skal ha y() = og y() =. Fra løsningen over har vi y() = C + C = C y() = C + C = 3 + C + C Vi får altså C = og 3 + C + C =. Dermed får vi C = + 3 = 4 3, og y(t) = 3 t t. 3

32 I følge teoremet, er det altså y(t) = 3 t t som gir størst verdi for integralet. La oss beregne integralet for denne funksjonen. Eksempel 6. Beregn der y(t) = 3 t t. (4ty ẏ )dt Løsning. Fra y(t) = 3 t t får vi ẏ = t Dette setter vi inn i integralet (4ty ẏ )dt = = (4t( 3 t t) ( t ) )dt (8t 7 3 t4 6 9 )dt = [ 8 3 t3 7 5 t5 6 9 t] = 9 45 I figuren under ser vi de forskjellige valgene for funksjonen y(t). y(t) y(t) = t y(t) = t y() = y(t) = 3 y(t) = t t3 + 4 t 3 t t = For y(t) = t og for y(t) = t t fikk vi 3 = 5 som er større. Dette er i samsvar med teoremet. t 3 5 = For y(t) = 3 t t fikk vi

33 4.. Betingelser for maksimum og minimum. I forrige avsnitt viste vi hvordan Eulerlikningen kunne brukes til å løse et variasjonsproblem. Imidlertid gikk det ikke frem hvorfor vi fikk et maksimum og ikke et minimum. Vi husker fra tidligere matematikkurs at hvis vi ønsker å finne maksimum eller minimum for en funksjon, finner vi først de stasjonære punktene, men vi bruker andrederiverttesten for å avgjøre om et punkt er et (lokalt) maksimum eller minimum. Andrederiverttesten hører inn under det vi kaller andreordens betingelser. Vi skal nå gi andreordens betingelser for maksimum og minimum i variasjonsregning. Setning 7. Ta utgangspunkt i at vi ønsker å maksimere eller minimere t t F (t, y, ẏ)dt under betingelsen at y(t ) = y og y(t ) = y der y og y er oppgitte tall. Anta videre at vi har funnet en funksjon y(t) = y (t) som tilfredstiller Euler-likningen, og at y (t ) = y og y (t ) = y. Da gjelder: F (t, y, ẏ) konkav i (y, ẏ) = y(t) = y (t) løser maksimumsproblemet F (t, y, ẏ) konveks i (y, ẏ) = y(t) = y (t) løser minimumsproblemet Vi går tilbake til eksempelet i forrige avsnitt. Eksempel 8. Vi fant tidligere at y(t) = 3 t t løste Euler-likningen for (4ty ẏ )dt. Forklar hvorfor vi kan være sikre på at vi får et maksimum. Løsning. Vi ønsket å maksimere t = t F (t, y, ẏ)dt, der F (t, y, ẏ) = 4ty ẏ =, og vi ønsker å vise at F (t, y, ẏ) er konkav i (y, ẏ). Derfor beregner vi de andreordens partielle deriverte: { F F y yy = = 4t = F yẏ = { F F ẏ = ẏ = ẏy = Fẏẏ = Vi har altså at F yy og F ẏẏ, og F yyf ẏẏ F ẏy. Dette viser at F er konkav i (y, ẏ). Fra setningen over følger det at y(t) = 3 t t løser max (4ty ẏ )dt. Vi ser på et eksempel til. Eksempel 9. Vis at er konveks i (y, ẏ), og løs min F (t, y, ẏ) = y + ẏ + t (y + ẏ + t )dt, y() =, y() =. Løsning. Vi har F y = y = F ẏ = ẏ = { F yy = F yẏ = { F ẏy = Fẏẏ = Vi har altså at F yy og Fẏẏ, og F yyfẏẏ F ẏy. Det følger at F er konveks som funksjon i y og ẏ. 5

34 Løsning. (fortsetter.) Euler-likningen gir F y d dt ( F ẏ ) = y d (ẏ) = y ÿ =. dt Vi får altså differensiallikningen y ÿ = ÿ y =. Dette er en andreordens lineær differensiallikning, og den karakteristiske likningen blir r =. Denne har løsninger r = og r =. Den generelle løsningen blir derfor y(t) = Ae t + Be t. Vi skal ha y() = og y() =. Dette bruker vi til å bestemme verdien av A og B. Fra den generelle løsningen har vi y() = Ae + Be = A + B y() = Ae + Be = Ae + Be Fra dette får vi at A + B = og Ae + Be =. Vi konkluderer fra dette at B = A Ae Ae = = A(e e) = = A = Vi kan konludere at det er funksjonen y(t) = (e e) (e t e t ) (e e) er den funksjonen som gjør at integralet (y + ẏ + t )dt får minst verdi, når vi vil at y() = og y() =. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 6

35 Oppgaveark 4: Variasjonsregning. Trond Stølen Gustavsen. februar, Oppgave. Gitt problemet min (tẏ + ẏ )dt, y() = og y() =. (a) Finn Euler-likningen og løs den. Vis at vi får et minimum. (b) Finn den løsningen som tilfredsstiller initialbetingelsene. Oppgave. Finn Euler-likningen som er tilordnet integralet (a) F (t, y, ẏ) = ty + 3yẏ + tẏ (b) F (t, y, ẏ) = eẏ ay (c) F (t, y, ẏ) = ((y ẏ) + y )e at t t F (t, y, ẏ)dt. Oppgave 3. Vis at Euler-likningen som svarer til problemet b min (x + txẋ + t ẋ )dt a blir t ẍ + tẋ x =. Oppgave 4. (a) Løs differensiallikningen (b) Løs Euler-likningen som svarer til min / max ÿ + t ẏ =. (ty + 3yẏ + tẏ )dt, y() = og y() =. Oppgave 5. Vi har gitt variasjonsproblemet max T e t 4 ln(k K)dt, K() = K og K(T ) = K T. (a) Vis at funksjonen F (t, K, K) = e t 4 ln(k K) er konkav som funksjon i K og K. (b) Vis at Euler-likningen kan skrives på formen a K + b K + ck = der a, b og c er konstanter. (c) Løs variasjonsproblemet. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

36

37 Forelesning 5: Summer, rekker og Taylorpolynomer Trond Stølen Gustavsen 9. februar, Innhold Lesning 5.. Summetegn 5.. Geometriske rekker Taylorpolynomer 6 Referanser 8 Lesning. I denne forelesningen repeterer vi fra kaptittel 5 i [BOST]. I tillegg går vi gjennom kapittel 5.6 som ikke er gjennomgått i MET4. Det er anbefalt å lese hele kapittel 5 i [BOST]. 5.. Summetegn. Ofte trenger vi å summere sammen mange tall. For eksempel kunne vi summere forskjellige beløp: b + b + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 + b 8 + b 9 + b. Når vi skal jobbe med slike og enda lengre summer, er det fordelaktig å bruke en kortere skrivemåte. En annen måte å skrive summen på er: n= Her bruker vi tegnet Σ (les: sigma) som er en gresk S (forkortelse for sum.) Uttrykket n= b n betyr at vi skal summere b n når n er,, 3 og så videre, helt til n =. Altså er n= b n. b n = b + b + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 + b 8 + b 9 + b Eksempel. Regn ut 4 n. n= Løsning. Her skal vi summere n når n =,, 3 og 4. Altså: 4 n= n = =. Vi forsøker med et litt vanskeligere eksempel. Eksempel. Skriv uten summetegn: 3 x 5 j y j j= Løsning. Her skal vi summere x 5 j y j når vi setter inn j =,, og 3. Setter vi for eksempel inn j = får vi x 5 j y j = x 5 y = x 5. Derfor blir summen: 3 x 5 j y j = x 5 y + x 5 y + x 5 y + x 5 3 y 3 = x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 j=

38 Vi tar med et eksempel, der vi har en sum med mange ledd som vi kan skrive enklere ved hjelp av summetegn. Eksempel 3. Skriv ved hjelp av summetegn Løsning. Vi ser at summen består av ledd på formen n der n er et tall mellom og 6. Dermed får vi at = n. Noen ganger trenger vi å regne med flere summer. Da er følgende regler nyttige. n= Setning 4. n n (a i ± b i ) = a i ± i=m n ca i = i=m n ca i i=m i=m n i=m b i Disse formlene kan brukes til å forenkle summeuttrykk. Eksempel 5. Regn ut n i(i ) = n(n ) ved å bruke at i= (i )i = i i. Løsning. Vi setter inn (i )i = i i i summen: n n i(i ) = ( i i ). i= Nå kan vi bruke regnereglene over, får vi: n ( i i ) = i= i= i= n i= n i i For å se tydeligere hvordan disse summene er, skriver vi dem opp uten å bruke summetegn: n n i ( i = n + ) ( n n + ) n i= = n. i=

39 5.. Geometriske rekker. En sum blir ofte kalt en rekke, slik at vi gjerne omtaler n a i = a + a + + a n i= som en rekke. Vi husker begrepet geometrisk rekke. Definisjon 6. Vi sier at rekken n a i = a + a + + a n er en geometrisk rekke dersom a = a 3 = a 4 = = a n. a a a 3 a n i= Her er et eksempel på en geometrisk rekke. Eksempel 7. Forklar at rekken er en geometriks rekke Løsning. Vi har at 3 = 9 3 = 7 9 = 8 7 = 43 8 = 3. Vi kan også si at en geometrisk rekke er en rekke der vi hele tiden kan få neste ledd i rekken ved å multiplisere med samme tall. I eksemplet over får vi neste ledd i rekken ved å multiplisere med 3. Derfor hvis n a i = a + a + + a n er en geometrisk rekke har vi altså k = a = a 3 = a 4 = = a n. a a a 3 a n i= Vi ser fra dette at a = ka, a 3 = ka = k ka = k a, a 4 = ka 3 = k k a = k 3 a og så videre. Med andre ord kan vi skrive rekken som n a i = a + a + + a n i= = a + a k + a k + + a k n = a ( + k + k + + k n ) n = a i= k i Setning 8. Gå ut fra at er en geometrisk rekke hvor for i =,..., n. Da er n i= n i= a i k = a i+ a i a i = a k n k. 3

40 Når vi har en geometrisk rekke kan vi altså finne et eksplisitt utrykk for summen. Eksempel 9. Regn ut S = Løsning. Siden har vi en geoemtrisk rekke og k = 6 3 = 6 = 4 = 48 4 = k 5 S = a k = 35 = 33 = 3 3 = 93. Som vi husker er geometriske rekker særlig relevante i forbindelse med renteregning. Eksempel. Du setter kr. 5 i banken hvert år, tilsammen seks ganger med ett års mellomrom. Renten er 3 % per år. Hvor mye har du i banken ett år etter siste innskudd? Løsning. Det siste innskuddet har stått inne i ett år og er vokst til 5.3. Det nest siste innskuddet har stått inne i to år og er vokst til 5.3. Forsetter vi på denne måten ser vi at det totale innestående beløpet er Dette er en geometrisk rekke og summen er gitt ved Vi ser på enda et eksempel } {{.3 }.3 første ledd i summen }{{} = 333. k Eksempel. Regn ut 3 i. i= Løsning. Vi har at 3i+ 3 i = 3 så dette er en geometrisk rekke med k = 3. Det er ledd i rekken siden vi starter med i =, og det første leddet er a = 3 =. Derfor er summen: 3 i = a k k i= = 3 3 = 3 Dette blir et veldig stor tall som vi ikke behøver å regne ut, men hvis vi gjør det får vi: Vi kan også se på uendelige geometriske rekker. Dette er rekker med uendelig mange ledd. Slike rekker kan likevel summere til et endelig tall. For eksempel har vi at n + =. Vi kan forstå dette ved å beregne summen av de n første leddene i denne uendelige geometriske rekken. Vi har n = ( )n = ( )n = n 4

41 Vi ser at dette er mindre enn uansett hva n er. Tar vi med flere og flere ledd, vil n etterhvert bli et veldig stort tall, og derfor vil praktisk talt være null. I grensen når n n går mot uendelig, vil gå mot. Derfor er summen av den uendelige rekken. n Hvis en uendelig rekke gir en endelig sum, sier vi at rekken er konvergent. I motsatt fall sier vi at rekken er divergent. Generelt har vi: Setning. Gå ut fra at er en uendelig geometrisk rekke hvor k = a i+ a i for i =,..., n. Hvis k < er rekken konvergent og vi har a i = a k. Hvis k, er rekken divergent. Vi ser på et eksempel. Eksempel 3. Ren ut summen i= i= a i (.8) +. Løsning. Fra setningen, får vi at (.8) + =.8 = 5. 5

42 5.3. Taylorpolynomer. Sist i denne forelesningen skal vi se kort på en type rekker som kalles potensrekker. Dette er rekker som inneholder en variabel. Potensrekker er ofte uendelige. For eksempel viser det seg at + x + x + 6 x3 + er en viktig potensrekke. Dette kommer vi tilbake til. Før vi ser på uendelige potensrekker, skal vi definere Taylorpolynomet til en funksjon. Definisjon 4. Gå ut fra at f(x) er en funksjon som kan deriveres n ganger. Polynomet m f (n) (a) P m (x) = (x a) n n! n= = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) f (m) (a) (x a) m 3! m! kalles Taylorpolynomet av grad m rundt x = a. Her betyr f (n) (x) funksjonen vi får når vi har derivert f(x), n ganger. Husk også at m! = 3 (m ) m. Vi ser på et eksempel. Eksempel 5. La f(x) = e x. Finn Taylorpolynomet P 3 (x) av grad 3 rundt x =. Løsning. For å kunne skrive opp Taylorpolynomet, må vi finne de deriverte: f(x) = e x = f (x) = e x = f (x) = e x = f (x) = e x Vi får derfor at f() = f () = f () = f () =, og Taylorpolynomet blir da P 3 (x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) + f (a) (x ) 3 3! = + x + x + 3! x3 = + x + x + 6 x3. Et viktig poeng er at Taylorpolynomet er en tilnærming til den opprinnelig funksjonen, og noen ganger er det letter å regne med slike tilnærminger. Andre ganger er det bare mulig å finne svar på et problem hvis vi regner med slike tilnærminger. I figuren under ser vi hvordan P 3 (x) er en god tilnærming til f(x) = e x i nærheten av x =. Legg merke til at desto lengere unna vi går x =, desto dårligere blir tilnærmingen. y f(x) = e x P 3 (x) = + x + x + 6 x3 x 6

43 Eksempel 6. La f(x) = ln x. Finn Taylorpolynomet av grad rundt x =. Løsning. For å finne Taylorpolynomet trenger vi de deriverte: I punktet x =, får vi da Dermed blir Taylorpolynomet f(x) = ln x = f (x) = x = f (x) = x. f() = ln =, f () = =, f () = =. P (x) = f() + f ()(x ) + f () (x )! = + (x ) + ( ) (x ) = (x ) (x ) Taylorpolynomet kan også brukes til å undersøke løsningen av en differensiallikning. Eksempel 7. Anta at vi har funnet løsningen y(t) av initialverdiproblemet ẏ = y, y() =. Finn Taylorpolynomet P (t) av grad rundt t =. Løsning. Taylorpolynomet er gitt ved P (t) = y() + y ()t + y (t) t! Vi har y() =. For å finne y () bruker vi at y = ẏ = y. Derfor har vi y () = y() = =. Siden ẏ = y får vi at ÿ = ẏ Derfor er y () = y () =. Derfor har vi P (t) = + t +! t = + t t. I Taylorpolynomet P m (x) tar vi med m ledd. Hvis vi tar med uendelig mange ledd får vi det som heter Taylorrekken til en funksjon. Definisjon 8. Gå ut fra at f(x) er en funksjon som kan deriveres så mange ganger vi ønsker. Da er Taylorrekken til f(x) rundt x = a definert som f (n) (a) (x a) n n! n= Vi ser på et eksempel. = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 3 + 3! 7

44 Eksempel 9. La f(x) = e x. Finn Taylorrekken til f(x) rundt x =. Løsning. For å kunne skrive opp Taylorrekken, må vi finne de deriverte: f(x) = e x = f (x) = e x = f (x) = e x = f (x) = e x = = f (n) (x) = e x Vi får derfor at f() = f () = f () = f () = = f (n) () = og Taylorrekka blir da blir da f (n) (a) (x a) n f (n) () = (x ) n = n! n! n= = n= n= n! xn = + x + x + 3! x3 + Rekken n= n! xn = + x + x + 3! x3 + er eksempel på en konvergent rekke, og vi har følgende: Setning. e x = n= n! xn. Funksjonen f(x) = e x er altså lik sin Taylorrekke. Funksjoner med denne egenskapen kalles analytiske. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 8

45 Løsninger til oppgaveark 5: Summer, rekker og Taylorpolynomer. Trond Stølen Gustavsen 9. februar, Oppgave. Oppgave 5.3 i [BOST] (6. utgave) Oppgave. Oppgave 5.3 i [BOST] (6. utgave) Oppgave 3. Regn ut summen k= n (k + 5k + ) k= ved å bruke formlene n k = n n(n + )(n + ) og 6 Sjekk svaret i tilfellet n = 3 ved direkte utregning. k= k = n(n + ). Oppgave 4. Oppgave 5.5 og 5.6 i [BOST] (6. utgave) Oppgave 5. Regn ut s n = n. Hva vil s n gå mot når n går mot uendelig? Regn ut 4 n. n= Oppgave 6. Oppgave 5.5 og 5.6 i [BOST] (6. utgave) Oppgave 7. La f(x) = x + = x x Finn Taylorpolynomet P (x) av grad rundt x = til denne funksjonen. Tegn f(x) og P (x) i samme koordinatsystem. Oppgave 8. Anta at vi har funnet løsningen y(t) av initialverdiproblemet ẏ = y, y() = 3. Finn Taylorpolynomet P (t) av grad rundt t = uten å løse differensiallikningen. (For de intereserte: Løs deretter differensiallikningen, og finn Taylorpolynomet på en annen måte.) Oppgave 9. Finn Taylorrekken til rundt x =. f(x) = x

46 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

47 Forelesning 6: Introduksjon til sannsynlighetsregning. Trond Stølen Gustavsen 6. februar, Innhold Lesning 6.. Stokastiske eksperimenter 6.. Sannsynligheter Betingede sannsynligheter Uavhengige begivenheter 7 Referanser 7 Lesning. Denne forelesningen dekker kapittel i [ROSS]. Det forutsettes kjenskap til grunnlegende sannsynlighetsregning, men vi vil likevel definere de viktigste begrepene. 6.. Stokastiske eksperimenter. Vi starter med en viktig definisjon. Definisjon. Et stokastisk eksperiment er et eksperiment hvor utfallet ikke er kjent på forhånd. Mengden av alle mulige utfall av et slikt eksperimet kalles for utfallsrommet til eksperimentet. La oss se på noen stokastiske eksperimenter. Eksempel. Å kaste en terning, er et stokastisk eksperiment. Utfallsrommet er alle tall fra og med til og med 6. Vi skriver S = {,, 3, 4, 5, 6}. Vi kan lett lage variasjoner over dette eksemplet. Eksempel 3. Hvis eksperimentet er å kast med to terninger, en grønn og en blå, er det 36 mulige utfall. Den grønne terningen kan vise et tall fra til 6 og den blå terningen viser også et tall fra til 6. Vi sier i dette tilfelle at utfallsrommet er S = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4),..., (6, ),..., (6, 6)} Her betegner for ekspempel (4, 3) utfallet hvor den grønne terningen viser 4 og den blå terningen viser 3. I begge eksemplene over består utfallsrommet av et endelig antall elementer nemlig 6 og 36, men vi kan også ha eksperimeter hvor utfallet er et desimaltall. Da er det i prinsippet uendelig mange utfall. Eksempel 4. Hvis eksperimentet var å måle levetiden på en bil, kunne vi si at utfallsrommet var S = [,. Utfallet er altså et tall fra og med som kan være vilkårlig stort. Når vi nå har en idé om utfallsrommet til et eksperiment, kan vi gå videre.

48 Definisjon 5. En delmengde E av utfallsrommet S kalles for en begivenhet. Utfallene som utgjør E, kalles gunstige utfall for E. Vi sier at begivenheten E har inntruffet hvis et av de gunstige utfallene for E har inntruffet. Vi går tilbake til eksempelet med en terning. Eksempel 6. Vi kaster en terning. Utfallsrommet er S = {,, 3, 4, 5, 6}. Begivenheten E = {, 4, 6} inntreffer hvis terningen viser, 4 eller 6, altså hvis terningen viser et partall. Vi kan også se på begivenheter når vi kaster med to terninger. Eksempel 7. Vi kaster med to terninger. Utfallsrommet er i dette tilfellet S = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4),..., (6, ),..., (6, 6)} og består altså av 36 mulighe utfall. Begivenheten E = {(, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, )} inntreffer dersom summen av øynene på de to terningene, er 7. Vi vil gjerne håndtere mer enn én begivenhet. Definisjon 8. () Unionen av begivenhetene E og F skriver vi E F, og er begivenheten som består av alle utfall som er enten i E eller i F eller i begge. () Snittet av begivenhetene E og F skriver vi E F, og er begivenheten som består av de utfallene som er med i både E og F. E F E F E F E F Vi ser igjen på eksempelet med terningkast. Eksempel 9. For et terningkast var utfallsrommet S = {,, 3, 4, 5, 6}. Vi kan definere begivenhetene E = {, 3, 5}, F = {,, 3} og G = {4, 5, 6} Vi har at unionen av E og F, er E F = {,, 3, 5}, og snittet av E og F, er E F = {, 3}. Vi legger også merke til at F G = S. Ser vi på F og G, noterer vi at F og G ikke har felles utfall. Vi sier at F G er den tomme mengden, og skriver F G =.

49 I læreboken [ROSS] skrives E F som EF. Dette er også en vanlig skrivemåte. Legg merke til at tegnet betegner den tomme mengden som altså ikke inneholder noen utfall. Definisjon. Dersom E og F er to begivenheter slik at E F = sier vi at begivenhetene er disjunkte. E F E og F er disjunkte. Definisjon. Komplementet til en begivenhet E, skriver vi E c, og er begivenheten som består av alle utfall (i utfallsrommet) som ikke er med i E. S E c E La oss se på et enkelt eksempel. Eksempel. Vi ser på terningskast med utfallsrom S = {,, 3, 4, 5, 6}, og definerer begivenhetene E = {,, 3} og F = {, 3, 5}. Da er E c = {4, 5, 6} og F c = {, 4, 6}. 3

50 6.. Sannsynligheter. Vi vil nå introdusere sannsynlighet. Definisjon 3. Ta utganspunkt i et eksperiment med utfallsrom S. Vi vil forutsette at for enhver begivenhet E, så er det definert et tall P (E) slik at () P (E) () P (S) = (3) For enhver følge E, E,... av disjunkte begivenheter, så er P ( n=e n ) = P (E n ) P (E) kalles sannsynligheten for begivenheten E. n= Med n=e n mener vi unionen av alle mengdene E n. Et utfall er gunstig for n=e n hvis og bare hvis det er gunstig for minst en E n. Eksempel 4. I et terningkast har vi P ({}) = P ({}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) = 6. Her betegner {} begivenheten som består av det ene utfallet. Vi har også at P ({, 4, 6}) = P ({}) + P ({4}) + P ({6}) = = 3 6 = Hvis E = {}, E = {} og E 3 = {3}, kan vi også skrive dette som Vi har følgende formler: P (E E E 3 ) = P (E ) + P (E ) + P (E 3 ). Setning 5. Gå ut fra at utfallsrommet er S og at E, F og G er begivenheter. () P (E c ) = P (E) () P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ) (3) P (E F G) = P (E)+P (F )+P (G) P (E F ) P (E G) P (F G)+P (E F G) Vi vil gjerne begrunne disse formlene. For å begrunne (), tar vi utgangspunkt i at vi alltid har at S = E E c. Vi har dessuten at E og E c er disjunkte. Det følger derfor fra (3) i definisjon 3, at P (S) = P (E) + P (E c ), og fra () i definisjon 3 følger det at P (S) =. Kombinderer vi dette får vi P (E c ) = P (E). For å begrunne (), tar vi utganspunkt i P (E) + P (F ). En kunne være fristet til å tro at dette er P (E F ), men det er ikke riktig. Grunnen er at de utfallene som er både i E og F blir telt med to ganger i P (E) + P (F ). Derfor er P (E) + P (F ) = P (E F ) + P (E F ). Fra dette følger (). Formel (3) begrunnes på tilsvarende måte som formel (), og denne formelen kan også gjøres mer generel, se formel (.4) i [ROSS]. Eksempel 6. Igjen er det greit å ta terningkast som eksempel, S = {,, 3, 4, 5, 6}. Hvis vi definerer E = {,, 3, 4} og F = {4, 5, 6} har vi at E F = S og E F = {4}. Vi har at P (E) = 4 6 og P (F ) = 3 6 Vi ser at P (E) + P (F ) P (E F ) = = 6 6 =, og dette er riktig svar siden E F = S og P (S) =. La oss se på et litt mer komplisert eksempel. 4

51 Eksempel 7. Foss og Gustavsen er de eneste som kan svare på et matematisk spørsmål. Vi kan betrakte følgende begivenheter F = Gustavsen er tilstede G = Foss er tilstede H = Minst en er tilstede I = Ingen er tilstede J = Begge er tilstede Gå ut fra at P (F ) =.7, P (G) =.8 og P (J) =.56. Finn P (H) og P (I). Løsning. Vi har at J = F G og H = F G Dessuten vet vi at P (F G) = P (F ) + P (G) P (F G) Derfor får vi: P (H) = P (F ) + P (G) P (J) = =.96 For å finne P (I) legger vi merke til at I = H c. Derfor får vi P (I) = P (H c ) = P (H) =.94 =.6 5

52 6.3. Betingede sannsynligheter. I dette avsnittet introduserer vi betingede sannsynligheter. Definisjon 8. Den betingede sannsynligheten for begivenheten E gitt E, er La oss se på et eksempel. P (E F ) = P (E F ) P (F ) Eksempel 9. I en hatt har vi nummererte lapper. Jeg trekker en lapp fra hatten, og forteller deg at tallet på lappen er minst 5. Regn ut sannsynligheten for at tallet er. Løsning. Vi har utfallsrommet S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } Vi lar E = {} betegne begivenheten at jeg har trukket tallet, og vi lar F = {5, 6, 7, 8, 9, } betegne begivenheten at tallet er minst 5., Da er sannsynligheten for at tallet er gitt opplysningen om at tallet er minst 5, gitt ved P (E F ) = E F P (F ) Vi har at E F = {} {5, 6, 7, 8, 9, } = {} = E, og siden alle tallene i utgangspunktet er like sannsynlige, har vi P (F ) = P (E F ) = E F P (F ) = P (E) 6 = 6. Følgende formel kan være nyttig. Setning. Gå ut fra at E og F er to begivenheter. La oss se på en enkel anvendelse. P (E) = P (E F )P (F ) + P (E F c )( P (F )) Eksempel. En student besvarer et spørsmål på en flervalgsoppgave. Studenten må enten vite svaret eller gjette. La p være sannsynligheten for at studenten vet svaret, og la p være sannsynligheten for at studenten gjetter. Anta at en student som gjetter, kommer frem til riktig svaralternativ med sannsynlighet m der m er antall svaralternativer. Hva er sannsynligheten for at studenten vet svaret, gitt at det er krysset av riktig? (Vi ser bort fra muligheten for at studenten vet korrekt svar, men likevel krysser feil.) Løsning. La E betegne begivenheten at spørsmålet er korrekt besvart, og la F betegne begivenheten at studenten vet hva som er riktig svaralternativ. Da har vi: P (F E) = Fra antagelsene har vi P (F E) P (E) = P (E F )P (F ) P (E F )P (F ) + P (E F c )( P (F )) P (E F ) = Derfor får vi: P (F E) = P (E F c ) = m P (F ) = p p p + m ( p) = mp + (m )p 6

53 6.4. Uavhengige begivenheter. Vi definerer hva det vil si at to begivenheter er uhavhengige. Definisjon. To begivenheter E og F sies å være uavhengige dersom P (E F ) = P (E) P (F ) Vi legger merke til at P (E F ) = P (E) P (F ) gir at P (E F ) = P (E F ) P (F ) = P (E) P (F ) P (F ) = P (E). Dette betyår at når E og F er uavhengige, så påvirkes ikke sannsynligheten for E av at F har inntruffet. På samme måte vil heller ikke sannsynligheten for F påvirkes av at E har inntruffet. Dette gir ekvivalente beskrivelser av uavhengige begivenheter. Eksempel 3. Vi kaster kron og mynt flere ganger etter hverandre. La M i være begivenheten at kast nummer i er mynt. Vi tenker oss at vi fortsetter å kaste inntil vi får kron, og vi lar A i betegne begivenheten at første kron inntreffer i kast nummer i. Vi kan si at P (M i ) =. Vi har at A i = M M i Mi c Nå antar vi at kastene er uavhengige og dermed har vi at: ( ) i P (A i ) = P (M ) P (M i ) P (Mi c ) = Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

54

55 Oppgaveark 6: Introduksjon til sannsynlighetsregning. Trond Stølen Gustavsen 6. februar, Oppgave. Gå ut fra at utfallsrommet er S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Definer begivenhetene E = {, 4, 5} og F = {5, 6, }. Finn utfallene som er gunstige for F E. Finn E c og F c. Finn E F. Finn en mengde G slik at F og G er disjunkte samtidig som også E og G er disjunkte og slik at G E F = S. Oppgave. Foss og Gustavsen er de eneste som kan svare på et matematisk spørsmål. Vi kan betrakte følgende begivenheter F = Gustavsen er tilstede G = Foss er tilstede H = Minst en er tilstede I = Ingen er tilstede J = Begge er tilstede Gå ut fra at P (G) =.9, P (F ) =.9. Anta at F og G er uavhengige hendelser. Finn P (H) og P (I). Oppgave 3. I en hatt har vi nummererte lapper, med et av tallene fra til på hver lapp. Jeg trekker en lapp fra hatten, og forteller deg at tallet på lappen er minst 3. Regn ut sannsynligheten for at tallet er. Oppgave 4. Oppgave.3 i [ROSS]. Du slår mynt inntill du får kron to ganger på rad. Hva er utfallsrommet til dette eksperimentet. Hva er sannsynligheten for at du kastet mynten nøyaktig fire ganger? Oppgave 5. Oppgave.4 i [ROSS]. Gå ut fra at E, F og G er tre begivenheter. Finn et utrykk for begivenheten at blandt begivenhetene E, F og G, så () inntreffer bare E, () inntreffer både E og F men ikke G, (3) inntreffer minst en av begivenhetene, (4) inntreffer minst to av begivenhetene, (5) inntreffer alle tre begivnhetene, (6) inntreffer ingen av begivenhetene, (7) inntreffer ikke mer en en av begivenhetene, (8) inntreffer ikke mer en to av begivenhetene. Oppgave 6. Oppgave.5 i [ROSS]. En person spiller i Las Vegas som følger: Han satser en krone på at rulletten skal stoppe på rød. Hvis han vinner, så stopper han. Hvis han ikke vinner, sattser han igjen på at rulletten skal stoppe på rød, men denne gangen satser han to kroner. Etter dette slutter han uansett utfall. Hvis vi antar at sannsynligheten for rød er, hva er da sannsynligheten for at han går hjem som vinner? Hvorfor brukes ikke dette systemet av alle?

56 Oppgave 7. Oppgave.8 i [ROSS]. La E og F være to begivenheter. Vis at Dette kalles Bonferroni s ulikhet. P (E F ) P (E) + P (F ) Oppgave 8. Oppgave. i [ROSS]. Hvis to terninger (rettferdige) kastes, hva er sannsynligheten for at summen er i, i =, 3,...,? Oppgave 9. Oppgave. i [ROSS]. Gå ut fra at vi utfører et eksperiment med utfallsrom S. La E og F være begivenheter slik at E F =, det vil si at E of F utelukker hverandre. Anta at vi gjentar eksperimentet inntil enten E eller F inntreffer. Hvordan ser utfallsrommet til det nye eksperimentet ut? Vis at sannsynligheten for at begivenheten E inntreffer før begivenheten F, er P (E) P (E) + P (F ). Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Sannsynligheten for å vinne på en enkelt terningkast er p. A starter, og hvis han ikke vinner, går turen til B. De fortsetter slik til en av dem vinner. Hva er sannsnyligheten for at A vinner? Hva er sannsnyligheten for at B vinner? Oppgave. Oppgave.5 i [ROSS]. To kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk. (a) Hva er sannsynligheten for et par? (F.eks. to konger.) (b) Hva er sannsynligheten et par gitt at kortene har forskjellige kortfarger? (F.eks. kølverkonge og sparkonge.) Oppgave. Oppgave.46 i [ROSS]. Tre fanger blir informert av fangevokteren at en av dem har blitt tilfeldig utvalgt til å henrettes. De to andre skal settes fri. Fange A spør fangevokteren om å fortelle ham (uten at de andre hører det) hvem av de to andre fangene som skal settes fri, i det han påstår at det ikke vil skade å gi denne informasjonen siden han allerede vet at en av dem skal settes fri. Fangevokteren nekter å svare på dette spørsmålet med følgende begrunnelse: Hvis A vet hvem som skal settes fri, vil hans egen sannsnynlighet for å bli henrettet vokse fra 3 til, siden han da vil være en av to fanger. Hva mener du om fangevokterens argumentasjon? Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

57 Forelesning 7: Stokastiske variable. Trond Stølen Gustavsen 3. februar, Innhold Lesning 7.. Stokastiske variable 7.. Diskrete stokastiske variable 4 Referanser 7 Lesning. Denne forelesningen dekker avsnitt. og. i [ROSS]. 7.. Stokastiske variable. Anta at vi kaster med to terninger. Vi har tidligere sett at dette eksperimentet har 36 mulige utfall hvor utfallsrommet består av par av typen (, 6), (3, ) etc. I noen tilfeller kan det tenkes at vi bare er interessert i summen av øynene på de to terningene. Utfallet (, 6) gir for eksempel + 6 = 7. Definisjon. En stokastisk variabel er en funksjon fra utfallsrommet inn i de reelle tall. Vi ser på et eksempel. Eksempel. Vi kaster to mynter. Utfallsrommet er S = {KK, KM, MK, MM}. Vi lar Y betegne antall kron. Da er Y en stokastisk variabel som kan være, eller. Vi har {Y = } = {MM} = P ({Y = }) = P ({MM}) = 4 {Y = } = {KM, MK} = P ({Y = }) = P ({KM, MK}) = 4 {Y = } = {MM} = P ({Y = }) = P ({KK}) = 4. La oss se litt nærmere på terningkast med to terninger. Eksempel 3. Vi kaster med to terninger. Vi lar X betegne den stokastiske variabelen som er definert som summen av de to terningene. Hvilke verdier kan X ha? Hvilke utfall gir disse verdiene? Hva er sannsynlighetene? Løsning. Som vi husker er utfallsrommet S = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4),..., (6, ),..., (6, 6)}. Vi ser at X er, 3,..., eller. Når har vi X =? Den eneste muligheten for at vi skal få X =, er at begge derningene viser. Vi skriver dette som og vi ser at {X = } = {(, )}, P ({X = }) = P ({, }) = 36. Husk at en begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. Begivenheten {X = } består av alle utfall som gir X =.

58 Løsning. (fortsetter) Når får vi X = 3? For at summen av øynene skal bli 3, må den ene terningen vise og den andre terningen vise : og vi ser at På denne måten får vi {X = 3} = {(, ), (, )}, P ({X = 3}) = P ({(, ), (, )}) = 36. P ({X = }) = P ({, }) = 36 P ({X = 3}) = P ({(, ), (, )}) = 36 P ({X = 4}) = P ({(, 3), (, ), (3, )}) = 3 36 P ({X = 5}) = P ({(, 4), (, 3), (3, ), (4, )}) = 4 36 P ({X = 6}) = P ({(, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, )}) = 5 36 P ({X = 7}) = P ({(, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, )}) = 6 36 P ({X = 8}) = P ({(, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, )}) = 5 36 P ({X = 9}) = P ({(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}) = 4 36 P ({X = }) = P ({(4, 6), (5, 5), (6, 4)}) = 3 36 P ({X = }) = P ({(5, 6), (6, 5)}) = 36 P ({X = }) = P ({(6, 6)}) = 36 I eksemplet legger vi merke til at{x = } {X = 3} {X = } {X = } = S, og dermed P ({X = }) + P ({X = 3}) + + P ({X = }) =. Summerer vi brøkene over, ser vi at dette stemmer. La oss se på et litt mer komplisert eksempel Eksempel 4. Gå ut fra at vi har en mynt som har sannsynlighet p for å gi kron, og anta at vi kaster mynten helt til vi får kron. La N være antall kast vi må gjøre for å få første kron. Da er N en stokastisk variabel som kan ha verdiene,,, 3,... Hva er utfallsrommet? Hvilke verdier n kan N ha? Finn sannsynlighetene P ({N = n}) for disse verdiene, og sjekk at disse summerer til. Løsning. Utfallsrommet S består av sekvenser på formen M } {{ M } K variabel lengde Så S = {K, MK, MMK, MMMK,... }. Vi har {N = } = {K} = P ({N = }) = P ({K}) = p {N = } = {MK} = P ({N = }) = P ({MK}) = ( p)p {N = 3} = {MMK} = P ({N = 3}) = P ({MMK}) = ( p) p. {N = n} = {M } {{ M } K} = P ({N = n}) = P ({M } {{ M } K}) = ( p) n p n n

59 Løsning. (fortsetter) Vi har at så vi skal ha at {N = n} = S n= P ( {N = n}) =. n= Det er klart at {N = n} er disjunkte hendelser for forskjellige verdier av n, så P ( {N = n}) = P ({N = n}) = ( p) n p. n= n= Kan vi regne ut at dette er? Ja, fordi n= ( p)n p er en geometrisk rekke. Det første leddet er p, og vi ser at vi ganger et ledd med ( p) for å få neste ledd i rekken. Dermed har vi k = p og ( p) n p = p ( p) =. n= n= Før vi går videre tar vi et siste eksempel på en stokastisk variabel. Eksempel 5. La E være en begivenhet i et utfallsrom S. Vi definerer den stokastiske variabelen I ved at { for alle utfall u som er i E I(u) = for alle utfall u som ikke er i E Vi sier at I er en indikatorvariabel. I dette kurset vil vi se på både diskrete kontinuerlige stokastiske variable. I begge tilfeller kan vi benytte følgende definisjon. Definisjon 6. Den kumulative fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel X er definert som F (b) = P ({X b}). Den kumulative fordelingsfunksjonen har følgende egenskaper: Setning 7. Den kumulative fordelingsfunksjonen tilfredstiller: () F (b) er en ikke-avtagende funksjon i b. () lim b F (b) = F ( ) = (3) lim b F (b) = F ( ) = Vi skal se på eksempler i neste avsnitt. 3

60 7.. Diskrete stokastiske variable. I dette avsnittet skal vi se nærmere på diskrete stokastiske variable. Definisjon 8. En stokastisk variabel sies å være diskret hvis den bare kan anta et endelig eller tellbart antall verdier. Vi så i forrige avsnitt på summen X av to terninger. I dette tilfellet kan X være, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, eller. Det er altså et endelig antall verdier, så dette er et eksempel på en diskret stokatisk variabel. Vi så også på den stokastiske variabelen N som var antall kast vi trengte for å få kron. I dette tilfellet kunne N =,, 3,.... Dette er et eksempel på et tellbart antall verdier, så N er en diskret stokastisk variabel. Definisjon 9. Gå ut fra at X er en diskret stokastisk variabel. Sannsynlighetstettheten til X er definert ved p(a) = P ({X = a}). Sannsynlighetstettheten p(a) er forskjellig fra bortsett fra for et tellbart antall verdier x, x,.... av a. Vi har altså p(x i ) > for i =,,... p(x) = for alle andre verdier av x Dessuten har vi i= p(x i) =. Ut fra dette ser vi at den kumulative fordelingsfunksjonen er gitt ved F (b) = P ({X b}) = P ( xi b{x = x i }) = p(x i ) alle x i b Eksempel. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel som kan anta verdiene, eller 3, og at sannsynlighetstettheten er gitt ved at p() =, p() = 3 og p(3) = 5 Finn den kumulative fordelingsfunksjonen og tegn den i et koordinatsystem. Løsning. Vi får Grafen blir slik: y F (b) =, b < b < + 5 = 7 b < = 3 b 7 3 x Vi kan kan klassifisere en stokastisk variabel i henhold til dens sannsynlighetstetthet. 4

61 Definisjon. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel som bare antar verdiene og og at sannsynlighetstetthetsfunksjon er gitt ved p() = p p() = p hvor p er et tall mellom og. Da kalles X en Bernoulli stokastisk variabel. Vi skal definere Binomial stokastisk variabel, men til det trenger vi litt kombinatorikk. Setning. Antall mulige uordnede utvalg uten tilbakelegging av s elementer fra en mengde av n elementer, er gitt ved ( ) n n! = s (n s)!s! Denne kalles for en binomialkoeffisient og uttales n over s. Vi illusterer denne setningen med et eksempel. Eksempel 3. Du trekker 4 kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at det er fire ess? Løsning. Det er ( ) 5 = utvalg av 4 kort, og det er bare ett slikt utvalg som består av fire ess. Sannsynligheten er derfor P (fire ess) = = altså veldig liten. En annen måte å tenke på er som følger: Vi trekker ett og ett kort. Sannsynligheten for at det første kortet er en ess er 4 5. Sannsynligheten for at det neste er ess, gitt at den første er ess, er 3 5, etc. Ved å bruke dette får vi P (fire ess) = = I algebraen har vi følgende viktige setning. Setning 4. (a + b) n = n i= ( ) n a n i b n i La oss se på et enkelt eksempel. Eksempel 5. Regn ut (a + b), (a + b) 3 og (a + b) 4. Løsning. Fra setningen får vi Vi regner ut at ( ) = (a + b) =! ( )!! =, ( ) a b + ( ) = ( ) a b +! ( )!! =, ( ) a b ( ) =! ( )!! = 5

62 Løsning. (fortsettelse.) Derfor får vi (a + b) = a b + a b + a b = a + ab + b slik som vi er vant med. Vi får videre ( ) ( ) 3 3 (a + b) 3 = a 3 b + og a 3 b + = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 ( ) 3 a 3 b + (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + a 4. ( ) 3 a 3 3 b 3 3 Etter å a blitt litt kjent med binomialkoeffisientene, kan vi nå definere en binomial stokastisk variabel. Definisjon 6. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel som kan ta verdiene fra og med til og med n. Hvis sannsynlighetstetteten er gitt ved ( ) n p(i) = ( p) n i p i for i =,,..., n i hvor p er et tall mellom og, sier vi at X er en binomial stokastisk variabel av type (n, p). Vi sier også at X er binomielt fordelt. Setning 7. Anta at vi utfører n uavhengige eksperimenter og at hvert eksperimentet resulterer i suksess med sannsynlighet p eller fiasko med sannsynlighet p. La X representere antall suksesser i løpet av de n eksperimentene. Da er X en binomial stokastisk variabel av type (n, p). Eksempel 8. Anta at vi kaster en mynt som har sannsynlighet p for kron og sannsynlighet p for mynt. La X være antall kron i løpet av tre kast. Finn sannsynlighetstettheten til X. Løsning. Utfallsrommet er S = {KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM}. Vi har ( ) 3 p() = P ({X = }) = ( p) 3 p = ( p) 3 Dette stemmer med at vi må få mynt i alle tre kastene. Vi har ( ) 3 p() = P ({X = }) = ( p) 3 p = 3p ( p) Vi kan tenke på dette som følger. Vi har tre kast, og skal ha en skussess og to fiasko. Suksess kan komme i et av tre kast. Hver av disse mulighetene har sannsynlighet p ( p). Tilsammen får vi 3p ( p). Vi har ( ) 3 p() = P ({X = }) = ( p) 3 p = 3p ( p). Her skal vi ha to suksesser i løpet av tre kast. Vi skal altså trekke ut av de tre eksperimentene som skal gi suksess. Dette kan gjøres på ( ) 3 = 3 måter. Alternativt er det tre måter å velge ut hvilket eksperiment som skal resultere i fiasko. 6

63 Løsning. (fortsetter) Til slutt har vi p(3) = P ({X = 3}) = ( ) 3 p 3 = p 3. 3 Den eneste måten å få tre kron, er at alle tre kastene resulterer i kron. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

64

65 Oppgaveark 7: Stokastiske variable. Trond Stølen Gustavsen 3. februar, Oppgave. Oppgave. i [ROSS].En urne inneholder fem røde, to blå og tre grønne kuler. To kuler trekkes tilfeldig (uten tilbakelegging,) Hva er utfallsrommet til dette eksperimentet? La X representere antall grønne kuler som er valgt. Hvilke mulige verdier er det for X? Beregn P ({X = }). Oppgave. Oppgave. og.3 i [ROSS]. La X representere differansen mellom antall kron og antall mynt som vi får etter å ha kastet mynten n ganger. Hvilke verdier kan X ha? Hvis n er, hvilke sannsynligheter er tilordnet de ulike mulige verdiene X kan ha? Oppgave 3. Oppgavene.4 og.5 i [ROSS]. Anta at en terning blir kastet to ganger. Hva er de mulige verdiene som følgende stokastiske variable kan anta? Hva er sannsnyligheten knyttet til hver av mulighetene? (i) X er maksimumsverdien som forekommer i de to kastene. (ii) X er minimumsverdien som forekommer i de to kastene. (iii) X er summen av resultatene fra de to kastene. (iv) X er resultatet fra det første kastet minus resultatet fra det andre kastet. Oppgave 4. Oppgave.6 i [ROSS]. Anta at vi kaster fem rettferdig mynter. La E være begivenheten at fem mytene lanner på kron. Definer den stokastiske variabelen I E ved at { if E inntreffer I E = if E c inntreffer For hvilke utfall i det opprinnelige utfallsrommet blir I E lik? Hva er P ({I E = })? Oppgave 5. Oppgave.7 i [ROSS]. Anta at en mynt har sannsynlighet.7 for å havne på kron. La X være antall kron vi får tilsammen i tre kast. Finn sannsynlighetstettheten til X. Oppgave 6. Oppgave.8 i [ROSS]. Gå ut fra at den kumulative fordelingsfunksjonen til X er gitt ved, b < F (b) =, b <, b < Finn sannsynlighetstettheten til X. Oppgave 7. Oppgave.9 i [ROSS]. Gå ut fra at den kumulative fordelingsfunksjonen til X er gitt ved, b < Finn sannsynlighetstettheten til X. F (b) =, b < 3 5, b < 4 5 b < b < 3.5 b 3.5

66 Oppgave 8. Oppgave. i [ROSS]. Vi kaster tre terninger. Hva er sannsynligheten for at vi får maksimalt en sekser? Oppgave 9. Oppgave. i [ROSS]. En kule trekkes fra en urne som inneholder tre hvite og tre sorte kuler. Etter at en kule er trukket, legges den tilbake, og det trekkes en ny kule. Dette forsetter i det uendelige. Hva er sannsynligheten for at eksakt to av de fire første kulene, er hvite? Oppgave. Oppgave. i [ROSS]. På en flervalgseksamen er det tre mulige svar på hver oppgave. Det er fem spørsmål. Hva er sannsynligheten for at en student skal få fire eller flere rette svar, bare ved å gjette. Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. En person påstår at han har overnaturlige evner. Som en test kaster vi en mynt ganger, og personen blir spurt om å forutse utfallet på forhånd. Han får 7 av riktige. Hva er sannsynligheten for at han hadde gjort det minst like bra uten å ha overnaturlige evner? Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Gå utfra at X har en binomialfordeling med parametere n = 6 og p =. Vis at X = 3 har høyest sannsynlighet. Oppgave 3. Oppgave.6 i [ROSS]. Et flyselskap vet av erfaring at det er 5 prosent sjanse for at en passasjer på en bestemt flygning ikke vil møte. Derfor selger de 5 biletter, selv om det kun er 5 seter. Hva er sannsynligheten for at plass til alle som møter? Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

67 Forelesning 8: Kontinuerlige fordelinger. Forventing. Trond Stølen Gustavsen. mars, Innhold Lesning 8.. Mer om diskrete stokastiske variable 8.. Kontinuerlige stokastiske variable Forventing 6 Referanser 6 Lesning. Denne forelesningen dekker deler av avsnittene.,.3 og.4 i [ROSS] 8.. Mer om diskrete stokastiske variable. Vi har lært om diskrete stokastiske variable, og vi har nevnt tidligere at er det vanlig å klassifisere stokastiske variable i henhold til deres sannsynlighetsfordeling. Vi har for eksempel lært om binomiale stokastiske variable. I dette avsnittet vil vi kort nevne geometrisk fordeling og Poisson fordeling. Definisjon. Anta at uavhengige eksperimenter, hvor hvert eksperiment har sannsynlighet p for suksess, blir utført inntil første suksess intreffer. La X være antall utførte eksperimenter. Da sier vi at X er en geometrisk stokastisk variabel med parameter p. Det er ikke vannskelig å finne sannsynlighetstetteten til en geoemtrisk stokastisk variabel X. Sannsynligheten for at vi får suksess i n te kast, er ( p) n p, siden ( p) n er sannsynligheten for n forsøk uten suksess. Vi bruker her at forsøkene er uavhengige. Setning. Sannsynlighetstettheten til en geometrisk stokastisk variabel er gitt ved p(n) = P ({X = n}) = ( p) n p, n =,,... Er det klart at dette er en sannsynlighetstetthet? Eksempel 3. La Vis at p(n) = ( p) n p. p(n) =. n= Løsning. p(n) = ( p) n p n= Dette er en geometrisk rekke med k = p og første ledd i rekka er p. Derfor får vi ( p) n p = p ( p) =. n= n= Vi returnerer litt til binomialfordelingen. Når n er stor og p er liten kan denne tilnærmes med den såkaldte Poisson fordelingen. Denne fordeling opptrer dessuten også i andre sammenhenger.

68 Setning 4. Når n er stor og p er liten har vi følgende tilnærming ( n )( p) n i p i e for i =,,,..., n i der λ = np. λ λi i! Definisjon 5. La X være en stokasatisk variabel slik at λ λi p(i) = P ({X = i}) = e for i =,,,... i! Da sier vi at X er Poissonfordelt eller at X er en Poisson stokastisk variabel. Anta at vi utfører n uavhengige eksperimenter, hver med sannsynlighet p for suksess. Hvis X er antall suksesser i løpet av n eksperimenter, er som vi husker X binomialt fordelt med parametere (n, p). Hvis n er stor og p er liten, kan vi bruke Poisson i stedet. Eksempel 6. La n = og p =.. Regn ut ( n )( p) n p λ λ og e! og sammenlikn. der λ = np, Løsning. Vi har at λ = np =. =. Vi får ( ) ( ) n ( p) n p = (.). = og λ λ e = e!! =.83 94

69 8.. Kontinuerlige stokastiske variable. Som vi har sett, kan vi ha stokastiske variable som ikke er diskrete. Det er ikke mulig å telle de mulige verdiene som en slik stokastisk variabel kan ha. Definisjon 7. La X være en stokastisk variabel som ikke er disktret. Vi sier at X er en kontinuerlig stokastisk variabel dersom det finnes en funksjon f(x) slik at P ({a X b}) = b Funksjonen f(x) kalles sannsynlighetstettheten til X. Siden P ({ X }) =, må vi ha at Vi har også a f(x)dx =. P ({X = a}) = P ({a X a}) = Vi kan også definere den kumulative fordelingen til X. f(x)dx. a a f(x)dx =. Definisjon 8. La X være en kontinuerlig stokastisk variabel. Den kumulative fordelingen til X er gitt ved Vi har følgende sammenhenger. F (b) = P ({ X b}) = b f(x)dx. Setning 9. Gå ut fra at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x) og kumulativ fordeling F (b). Da er d () db (F (b)) = f(b). Med andre ord er sannsynlighetstettheten den deriverte av den kumulative fordelingen. () P ({a ε X a + ε }) = a+ ε f(x)dx εf(x) når ε > er liten. Med andre ord a ε er sannsynligheten for at X er i et lite intervall av langde ε rundt a gitt ved εf(x). Setningens del () følger siden det er kjent at d db b a f(x)dx = f(b). For å begrunne del (), kan det hjelpe å se på følgende figur: y f(a) f(x) a ε a a+ ε x 3

70 Som vi vet er arealet avgrenset under grafen og over x-aksen mellom de to vertikale strekende, gitt ved integralet a+ ε a ε f(x)dx. Når ε er tilstrekkelig liten kan vi late som om dette området er et rektagel, og arealet av dette rektangelet er da gitt som grunnlinjen ganger høyden: εf(x). Derfor kan vi si at a+ ε f(x)dx εf(x) når ε > er liten. a. ε Eksempel. Du kaster en dartpil på en avlang blink. X Anta at blinken er en meter lang, og at vi treffer helt tilfeldig. La X være den stokastiske variabelen som gir avstanden fra treffpunktet til venstre side av blinken. (Vi ser bort fra de gangene vi treffere utenom blinken.) Finn P ({X }). Løsning. X er en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjon {, < x < f(x) = ellers Vi får P ({X }) = f(x)dx = dx = [x] =. Vi sier at X er uniformt fordelt når sannsynlighetstettheten er gitt ved f(x) = { β α, α < x < β ellers. Definisjon. Vi sier at en kontinuerlig stokastisk variabel X er normalfordelt med parametre µ og σ hvis sannsynlighetstettheten til X er gitt ved f(x) = e (x µ) /σ πσ Eksempel. Anta at X er normaltfordelt med µ = og σ = 9. Finn sannsynligheten for at X er mellom 4 og 6. Løsning. P ({4 X 6}) = f(x)dx = π e (x ) / 9 dx = 4 3 π e (x ) /8 dx Dette integralet kan ikke regnes ut analytisk, men kan beregnes nummerisk på kalkulator. Man får da P ({4 X 6}) =. Alternativt, kan man slå opp i en tabell. 4

71 Grafen til f(x) i eksempelet over ser slik ut: Setning 3. Hvis X er normalfordelt med parametre µ og σ, så er Y = αx+β normalfordelt med parametre αµ + β og α σ. Vi ser på et eksempel. Eksempel 4. Gå ut fra at X er normalfordelt med parametre µ = og σ = 9. Vis at Y = (X ) 3 er normalfordelt. Hva er parametrene? Løsning. Vi har at at Hvis vi setter α = 3 parametre αµ + β = 3 og β = 3 (X ) Y = = 3 3 X 3., får vi fra setningen over at Y er normalfordelt med + ( 3 ) = og α σ = ( 3) 9 =. Når en stokastisk variabel Y er normalfordelt med µ = og σ =, sier vi at Y har standard normalfordeling. 5

72 8.3. Forventing. Vi vil ofte være intressert i å finne det vektede gjennomsnittet av en stokastisk variabel. Definisjon 5. Gå ut fra at X er en diskret stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet p(x). Forventingsverdien til X er definert som E[X] = xp(x) Vi ser på et eksempel. x slik at p(x) Eksempel 6. La X være resultatet av et terningkast. Finn E[X]. Løsning. Vi har at og p() = 6, p() = 6, p(3) = 6, p(4) = 6, p(5) = 6, p(6) = 6, E[X] = p() + p() + 3 p(3) + 4 p(4) + 5 p(5) + 6 p(6) = = 7 I det kontinuerlige tilfellet, er forventingsverdi definert som følger: Definisjon 7. Gå ut fra at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x). Forventingsverdien er definert ved Vi avslutter med et eksempel. E[X] = xf(x)dx. Eksempel 8. Gå ut fra at X har sannsynlighetstetthet { λe λx for x f(x) = for x < Finn E[X]. Løsning. Fra definisjonen av forventingsverdi, får vi E[X] = xf(x)dx = xf(x)dx + = + xλe λx dx = [ ( e xλ xλe xλ) ] λ = λ. xf(x)dx Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring 6

73 [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

74

75 Oppgaveark 8: Kontinuerlige fordeligner. Forventing. Trond Stølen Gustavsen. mars, Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. La X være en Poisson stokastisk variabel med parameter λ.vis at P ({X = i}) først er stigende og så avtangende, med maksimum nor i er det største heltallet mindre eller lik λ. Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. Sammenlikn Possion tilnærmingen med den korrekte binomialsannsynligheten i følgende tilfeller: (i) P ({X = }) når n = 8, p =.. (ii) P ({X = 9}) når n =, p =.95. (iii) P ({X = }) når n =, p =.. (iv) P ({X = 4}) når n = 9, p =.. Oppgave 3. Oppgave.3 i [ROSS]. Du kjøper et lodd i 5 forskjellige lotterier. I hvert lotteri har du sjanse til å vinne. Hva er sannsynligheten for at du vinner (i) minst en gang, (ii) nøyaktig en gang, (iii) minst to ganger? Oppgave 4. Oppgave.33 i [ROSS]. La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { c( x f(x) = ), < x <, ellers (a) Hva må c være? (b) Finn den kumulative fordelingen til X. Oppgave 5. Oppgave.34 i [ROSS]. Gå ut fra at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved { c(4x x f(x) = ), < x <, ellers (a) Hva må c være? (c) Regn ut P ({ < x < 3 }). Oppgave 6. Vi sier at en stokastisk variabel X er uniformt fordelt på intervallet (α, β) hvis sannsynlighetstettheten er gitt ved f(x) = { β α hvis α < x < β ellers Beregn den kumulative fordelingen til en uniformt fordelt stokastisk variabel X. Oppgave 7. Vi ser at en kontinuerlig stokastisk variabel er en eksponensiel stokastisk variabel med parameter λ, hvis sannsynlighetstettheten er gitt ved { λe λx hvis x f(x) = hvis x < Beregn den kumulative fordelingen til en eksponensiel stokastisk variabel med parameter λ.

76 Oppgave 8. Oppgave.35 i [ROSS]. Gå ut fra at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved { f(x) = x, x >, x (a) Finn den kumulative fordelingen til X. (b) Finn P ({X > }). Oppgave 9. Oppgave.38 i [ROSS]. La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { ce x for < x < f(x) =, x < Finn c og P ({X > }). Oppgave. Oppgave.39 i [ROSS]. La X være en diskret stokastisk variabel med sannsynlighetstettet gitt ved Beregn E[X]. p() =, p() = 3, p(4) = 6. Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Anta at to lag spiller en serie kamper. Kampene er uavhengige, og lag A vinner med sannsynlighet p og lag B vinner med sannsynlighet p. Det første laget som vinner fire kamper, har vunnet serien. Finn det forventede antall kamper, og beregn denne i tilfellet p =. Oppgave. Gå ut fra at X være en binomiel stokastisk variabel med parametre n = og p. Regn ut forventingsverdien E[X]. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

77 Forelesning 9: Mer om forventning. Simultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 9. mars, Innhold Lesning 9.. Mer om forventingsverdi 9.. Simultanfordelinger 5 Referanser 7 Lesning. Denne forelesningen dekker deler av avsnitt.4 og.5 i [ROSS]. 9.. Mer om forventingsverdi. I denne delen av forelesningen skal vi lære mer om forventingsverdi, og først skal vi se på hvordan vi beregner forventingsverdien til en funksjon av en stokastisk variabel. Eksempel. Anta at X har følgende sannsynlighetstetthet: Beregn E[X ]. p X () =., p X () =.5, p X () =.3 Løsning. Definer Y = X. Da er Y en stokastisk variabel som kan være =, = og = 4, og Y må ha følgende sannsynlighetstetthet: Derfor får vi Vi legger merke til at p Y () = P ({Y = }) = P ({X = }) =. p Y () = P ({Y = }) = P ({X = }) =.5 p Y (4) = P ({Y = 4}) = P ({X = }) =.3 E[X ] = E[Y ] = p Y () + p Y () + 4 p Y (4) = =.7 E[X] = =. så E[X ] =.7 og (E[X]) = (.) =. er forskjellige.

78 La oss også se på et eksempel i det kontinuerlige tilfellet. Eksempel. Gå ut fra at X er uniformt fordelt over (, ). Beregn E[X 3 ]. Løsning. At at X er uniformt fordelt over (, ), betyr at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved {, < x < f X (x) =, ellers. Den kumulative fordelingsfunksjonen er dermed gitt ved F X (b) = P ({X b}) = b f X (x)dx, b < = dx = b, b b dx =, b > Det viktige er at for b, er F X (b) = b. Setter vi nå Y = X 3, ser vi at den kumulative fordelingsfunksjonen til Y er F Y (a) = P ({Y a}) = P ({X 3 a}) = P ({X a 3 }) = F X (a 3 ) = a 3 Vi får fra dette sannsynlighetstettheten ( < a ) Derfor har vi at f Y (y) = 3 y 3 f Y (a) = d da (F Y (a)) = d da (a 3 ) = 3 a 3 når < y, og f Y (y) = ellers. Vi kan nå beregne E[X 3 ] = E[Y ] = = = 4. yf Y (y)dy y 3 y 3 dy = 3 y 3 dy Metoden fra de to foregående eksemplene kan være komplisert, og heldigvis finnes det en enklere metode. Dette ser vi fra følgende setning. Setning 3. () Hvis X er en diskret stokastisk variabel X med sannsynlighetstetthet p(x), så er E[g(X)] = g(x)p(x) for en vilkårlig funksjon g(x). () Hvis X er en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x), så er E[g(X)] = for en vilkårlig funksjon g(x). g(x)f(x)dx Vi kan nå gå tilbake til forrige eksempel å løse dette ved hjelp av setningen.

79 Eksempel 4. Gå ut fra at X er uniformt fordelt over (, ). Beregn E[X 3 ]. Løsning. At at X er uniformt fordelt over (, ), betyr at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved {, < x < f(x) =, ellers. Fra setningen får vi dermed E[X 3 ] = x 3 f(x)dx når vi bruker punkt () med g(x) = x 3. Regner vi ut, får vi Følgende setning er viktig. E[X 3 ] = x 3 dx = [ 4 x4 ] = 4. Setning 5. Hvis a og b er konstanter og X er en stokastisk variabel, har vi E[aX + b] = ae[x] + b. I noen av oppgavene på oppgavearket, vil vi benytte denne formelen. Vi merker oss også følgende definisjon: Definisjon 6. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel. Vi kaller E[X n ] for det n te momentet til X. Vi kommer nå til begrepet varians. Dette er definert som følger: Definisjon 7. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel. Variansen til X er definert ved Vi ser på et par eksempler. Var(X) = E[(X E[X]) ]. Eksempel 8. Gå ut fra at X er eksponensielt fordelt med prameter λ =. Finn forventing E[X] og varians Var(X). Løsning. Sannsynlighetstettheten til X er gitt ved { λe f(x) = λx = e x, x, x < Dermed får vi og E[X] = xf(x)dx = Var(X) = E[(X E[X]) ] = E[(X ) ] = = = (x ) e x dx xe x dx = [ e x xe x ] = (x e x xe x + e x )dx = [ ( x ) e x ] Ved å gå frem på tilsvarende måte kan vi også formelt regne ut forventning og varians for en normalfordelt stokastisk variabel. 3

80 Eksempel 9. Hvis X er en normalfordelt med parametre µ og σ, så er E[X] = µ Var(X) = σ (Se utregning i [ROSS].) Før vi foreløpig forlater forventing og varians, nevner vi følgende setning: Setning. Gå ut fra at X er en stokastisk variabel Var(X) = E[X ] (E[X]) 4

81 9.. Simultanfordelinger. Til nå har vi jobbet med en stokastisk variabel om gangen. Vi skal nå se på simultanfordelinger, og vi kommer til å fokusere på bivariate fordelinger. I forbindelse med dette trenger vi å regne ut såkaldte dobbeltintegraler. Vi kommer ikke til å gå inn på dette i full generalitet, og introduserer metoden for å beregne slike integraler som ittererte integraler i et eksempel. Eksempel. Regn ut dobbeltintegralet xydxdy Løsning. Vi leser integralet fra innerst mot ytterst: xydxdy = ( xydx)dy Vi oppfatter xydx som et vanlig integral der y er en konstant. Vi får: Setter vi dette inn, får vi xydx = [ x y] = y xydxdy = ydy. Dette er et vanlig integral i en variabel, og regner vi ut får vi xydxdy = Vi har følgende definisjon. ydy = [ y ] = 4 [y ] = 4 ( ) = 3 4. Definisjon. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable. Vi sier at X og Y er simultant kontinuerlige hvis det finnes en funksjon f(x, y) slik at P ({a X b, c Y d}) = d b Funksjonen f(x, y) kalles simultan sannsynlighetstetthet. Vi ser på et eksempel. c a f(x, y)dxdy. Eksempel 3. Gå ut fra at X og Y er simultant kontinuerlige med sannsynlighetstetthet gitt ved { x, y f(x, y) = ellers Beregn f(x, y)dxdy og finn P ({ X, Y }). Løsning. Vi får og f(x, y)dxdy = P ({ X, Y }) = = dxdy = f(x, y)dxdy = dy = [ y] = 4 [x] dy = dy = [y] = dxdy = Vi kan også snakke om simultane kumulative sannsynlighetsfordelinger. [x] dy 5

82 Definisjon 4. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable. Den simultane kumulative sannsynlighetsfordelingen til X og Y er definert ved F (a, b) = P ({X a, Y b}) = b a f(x, y)dxdy der f(x, y) er den simultane sannsynlighetstettheten til X og Y. La oss beregne den kumulative sannsynlighetsfordelingen i eksemplet over. Eksempel 5. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet { x, y f(x, y) = ellers Finn den simultane kumulative fordelingen F (a, b) i det tilfellet at a, b. Løsning. F (a, b) = = = = b a b a b b [x] a dy ady f(x, y)dxdy dxdy = [ay] b = ab Til sist skal vi ut fra en simultan sannsynlighetstetthet for X og Y utlede utlede sannsynlighetstetthetene for X og Y. Setning 6. Gå ut fra at X og Y er to simultant kontinuerlige stokastiske variable med sannsynlighetstetthet f(x, y). Da er X og Y kontinuerlige stokastiske variable med sannsynlighetstetthet f X (x) = f Y (y) = f(x, y)dy f(x, y)dx 6

83 Vi avslutter med et enkelt eksempel. Eksempel 7. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet { x, y f(x, y) = ellers Finn sannsynlighetstettheten f X (x) for X. Løsning. Når x får vi ellers får vi Dermed har vi f X (x) = = f X (x) = = f(x, y)dy dy = [y] = =. f(x, y)dy dy f X (x) = Altså er X uniformt fordelt over (, ). { x ellers. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

84

85 Oppgaveark 9: Forventing. Simultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 9. mars, Oppgave. Oppgave.48 i [ROSS]. Gå ut fra at X er uniformt fordelt over (, ). Beregn E[X]. Oppgave. Oppgave.49 i [ROSS]. Vis at E[X ] (E[X]). Når har vi likhet? Oppgave 3. Oppgave.5 i [ROSS]. La c være en konstant. Vis at (i) Var(cX) = c Var(X). (ii) Var(c + X) = Var(X). Oppgave 4. Oppgave.37 og.5 i [ROSS]. (a) La X, X,..., X n være uavhenige stokastiske variable som alle er uniformt distribuert over (, ). Vis at den kumulative sannsynlighetsfordelingen F M til M = max(x, X,..., X n ) er gitt ved, b F M (b) = x n < b < b Finn også sannsynlighetstettheten, og forventingsverdien E[M]. (b) Gå ut fra at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { 3 f(x) = 4 ( x ) < x < ellers Finn forventingsverdien E[X]. (c) Gå ut fra at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { 3 f(x) = 8 (4x x ) < x < ellers Finn forventingsverdien E[X]. Oppgave 5. Oppgave.53 i [ROSS]. Gå ut fra at X er uniform over (, ). Beregn E[X n ] og Var(X n ). Oppgave 6. Oppgave.55 i [ROSS]. Gå ut fra at X er en positiv stokastisk variabel med tetthetsfunksjon f(x). Hvis f(x) c for alle x, vis at, for a >, P ({X > a}) ac

86 Oppgave 7. Eksamen Oppgave 3. (a) Anta at levetiden X for en komponent av type A har en sannsynlighetstetthet gitt ved: {.5x, x f(x) = ellers Beregn F (a) = P (X a). Hva er sannsynligheten for at komponenten har en levetid mindre eller lik? Hva er den forventede levetiden, E(X)? (b) Fra to komponenter av type A lages en komponent av type B. Komponent B virker dersom minst en av de av de to komponentene av type A virker. Dersom ingen av de to komponentene av type A virker vil ikke komponent B virke. Levetiden Y for komponent B vil derfor være maksimum av levetidene X og X for de to komponentene av type A. Regn med at X og X er uavhengige. Hva er sannsynligheten for at begge komponentene av type A har en levetid mindre enn? (c) La F B (x) = P (Y x) være sannsynligheten for at en komponent av type B skal ha en levetid mindre eller lik x. Forklar hvorfor F B (x) = (x.5x ) (d) Hva er sannsynlighetstettheten f B (x) for levetiden for komponent B? Hva er den forventede levetiden for komponent B? (e) Komponent C består også av to komponenter av type A. Komponent C virker hvis og bare hvis begge komponenter av type A virker. Hva er sannsynligheten for at komponent C skal ha en levetid mindre eller lik? Oppgave 8. Beregn følgende dobbeltintegraler. (a) (x + y)dxdy (b) yex dxdy (c) xy dydx Oppgave 9. Eksamen.6.3, Oppgave 3. Funksjonen f(x, y) er gitt ved: f(x, y) = x+ey e dersom x, y og f(x, y) = ellers. (a) Vis at f(x, y) er en sannsynlighetstetthet. To stokastiske variable X og Y er simultanfordelt med sannsynlighetstetthet f(x, y). (b) Beregn F (a, b) = b a f(x, y)dx dy. Beregn F (.5,.5). Hvordan vil du tolke dette svaret. (c) Vis at Beregn E(X). f x (x) = f(x, y)dy = x + e e Eksamensoppgavene er laget av Tron Foss. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

87 Forelesning : Mer om simultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 6. mars, Innhold Lesning.. Simultanfordelinger og forventning.. Uavhenige stokastiske variable 4.3. Kovarians 5 Referanser 8 Lesning. Denne forelesningen dekker deler av avsnittet.5 i [ROSS]. Det siste vi gjennomgår er eksempel.33 (i 8. utgave)... Simultanfordelinger og forventning. I forrige forelesning så vi på simultanfordelinger for kontinuerlige stokastiske variable. Vi kan også definer simultan sannsynlighetstetthet for diskrete stokastiske variable. Definisjon. Gå ut fra at X og Y er diskrete stokastiske variable. Den simultane sannsynlighetstettheten er definert ved p(x, y) = P ({X = x, Y = y}). La oss finne den simultane sannsynlighetstettheten i et eksempel. Eksempel. Vi kaster en mynt tre ganger. La X være antall kron, og la Y = hvis første kast gir kron, og Y = ellers. Finn den simultane sannsynlighetstettheten p(x, y). Løsning. Det er følgende muligheter: Vi får X Y MMM MMK MKM MKK KMM KMK KKM KKK 3 p(, ) = 8, p(, ) = 8, p(, ) = 8 p(, ) = 8, p(, ) = 8 p(3, ) = 8

88 Sannsynlighetstetthetene for X og Y kan finnes fra den simultane sannsynlighetstettheten. Eksempel 3. Finn sannsynlighetstetthetene for X og Y. Løsning. Vi får p X () = p(, ) = 8 p X () = p(, ) + p(, ) = = 3 8 p X () = p(, ) + (, ) = = 3 8 og p X (3) = p(3, ) = 8 p Y () = p(, ) + p(, ) + p(, ) = = 4 8 = p Y () = p(, ) + p(, ) + p(3, ) = = 4 8 = Vi kan også beregne forventingsverdier ut fra simultanfordelinger. Setning 4. Gå ut fra at g(x, y) er en funksjon i to variable, og at X og Y er to stokastiske variable. () E[g(X, Y )] = g(x, y)p(x, y) y x hvis X og Y er diskrete stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet p(x, y). () E[g(X, Y )] = g(x, y)f(x, y)dxdy hvis X og Y er simultant kontinuerlige stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet f(x, y). Vi kan beregne forventingsverdier i eksemplet over. Eksempel 5. Beregn E[X Y ] og E[X] E[Y ] i eksemplet over. Løsning. E[X Y ] = (x y)p(x, y) = p(, ) + ( )p(, ) + ( )p(, ) + ( )p(, ) + ( )p(, ) + (3 )p(3, ) = = E[X] = p X () + p X () + p X () + 3 p X (3) = = 3 E[Y ] = p Y () + p Y () = + = E[X] E[Y ] = 3 = Vi så i eksempelet at E[X Y ] = E[X] E[Y ]. Dette gjelder mer generelt.

89 Setning 6. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable, og at a og b er konstanter. Da gjelder: E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Det er også mulig å se på flere enn to stokastiske variable. Hvis man ønsker, kan man betrakte n stokastiske variable X, X,..., X n og definere simultanfordeling og simultan sannsynlighetstetthet på tilsvarende måte som for to variable X og Y. I dette tilfellet har vi: Setning 7. Går ut fra at X, X,..., X n er stokastiske variable, og a, a,..., a n er konstanter. Da gjelder E[a X + a X + + a n X n ] = a E[X ] + a E[X ] + + a n E[X n ]. Setningen over er nyttig i mange sammenhenger. I [ROSS] er det flere eksempler som er verdt å merke seg, se eksempel.9,.3,.3 og.3. 3

90 .. Uavhenige stokastiske variable. I dette avsnittet ser vi på hva det vil si at to stokastiske variable er uavhenige. Definisjon 8. To stokastiske variable X og Y sies å være uavhengie hvis for alle a og b. P ({X a, Y b}) = P ({X a})p ({Y b}) Husk at den simultane kumulative fordelingen F (a, b) er gitt ved F (a, b) = P ({X a, Y b})og at F X (a) = P ({X a}) og F Y (b) = P ({X b}). Derfor er X og Y sies å være uavhengie hvis uavhengige hvis F (a, b) = F X (a)f Y (b). Setning 9. Gå ut fra at X og Y er to stokastiske variable () Hvis X og Y er simultant kontinuerlige er X og Y uavhenige hvis og bare hvis f(x, y) = f X (x)f Y (y). () Hvis X og Y er diskrete, er X og Y uavhenigne hvis og bare hvis p(x, y) = p X (x)p Y (y) For uavhenige stokastiske variable, har vi følgende formel for forventingsverdier. Setning. Gå ut fra at X ogy er uavhenige, og at g og h er funksjoner. Da gjelder E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[g(Y )]. 4

91 .3. Kovarians. Kovairansen til to stokastiske variable utrykker noe om hvordan de tenderer til å variaere i forhold til hverandre. Definisjon. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable Cov(X, Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])] Kovarians kan også utrykkes ved en annen formel. Eksempel. Gå ut fra at X og Y er stokastiske variable.vis at Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ]. Løsning. Ut fra definisjonen har vi at Cov(X, Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])] For enkelthets skyld setter vi a = E[X] og b = E[Y ]. Med dette får vi Cov(X, Y ) = E[(X a)(y b)] = E[XY ay bx + ab] Vi har en formel som sier at E[cZ + d] = ce[z] + d. Bruker vi denne får vi Cov(X, Y ) = E[XY ay bx + ab] Nå kan vi sette inn a = E[X] og b = E[Y ], får vi = E[XY ] ae[y ] be[x] + ab Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] E[Y ]E[X] + E[X]E[Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Vi har fra setningen over, at hvis X og Y er uavhengige stokastiske variable, så er E[XY ] = E[X]E[Y ]. Dermed ser vi at X og Y uavhengige = Cov(X, Y ) =. Andre viktige egenskaper ved kovarians er oppsummert i følgende setning. Setning 3. Gå ut fra at X, Y og Z er stokastiske variable og at c er en konstant. () Cov(X, X) = Var(X) () Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (3) Cov(cX, Y ) = c Cov(X, Y ) (4) Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) Ut fra egenskapene i setningen kan vi utlede andre nyttige egenskaper. Eksempel 4. Gå ut fra at X og X er uavhengige stokastiske variable. Vis at Var(X + X ) = Var(X ) + Var(X ) Løsning. Var(X + X ) = Cov(X + X, X + X ) = Cov(X + X, X ) + Cov(X + X, X ) = Cov(X, X ) + Cov(X, X ) + Cov(X, X ) + Cov(X, X ) = Var(X ) Var(X ) = Var(X ) + Var(X ) 5

92 På samme måte kan det vises at dersom X, X,..., X n er parvis uavhengige, er Var(X + X + + X n ) = Var(X ) + Var(X ) + + Var(X n ). Denne sammenhengen er nyttig i flere sammenhenger. Eksempel 5. Beregn Var(X) når X er en binomial stokastisk variabel X med parametre n og p. Løsning. Husk at X betegner antall suksesser etter n uavhengige eksperimenter, der hvert eksperiment har sannsynlighet p for suksess. Vi kan skrive X som en sum av n stokastiske variable X = X + X + + X n der {, i te eksperiment er en suksess X i = ellers Ut fra antagelsen at eksperimentene er uavhengige følger det at X, X,..., X n er parvis uavhengige stokastiske variable, derfor har vi Var(X + X + + X n ) = Var(X ) + Var(X ) + + Var(X n ). Det gjenstår å finne Var(X i ). Vi har at Var(X i ) = E[X i ] (E[X i ]). Siden = og =, så må X i = X i. Derfor har vi og videre er Altså kommer vi til at og dermed får vi at Var(X i ) = E[X i ] (E[X i ]) E[X i ] = P ({X i = }) + P ({X i = }) = ( p) + p = p Var(X i ) = E[X i ] (E[X i ]) = p p = p( p) Var(X) = Var(X + X + + X n ) = Var(X ) + Var(X ) + + Var(X n ) = np( p) Hvis vi ønsker å finne svar på hvor stor prosentandel av Norges befolkning som er for EU, gjør man dette ved å undersøke prosentandelen i et utvalg. Eksempel 6. Anta at Norge har N innbyggere som har stemmerett ved et valg om norsk EU-medlemskap. Anta at Np er for EU medlemskap N Np er mot EU medlemskap hvor p er den ukjente andelen av befolkningen som er for. Vi velger ut n personer og lar {, i te person er for EU medlemskap X i = ellers Vis at E [ ] ( X +X + +X n n = p og beregn Var X+X ) + +X n n 6

93 Løsning. Vi beregner [ ] X + X + + X n E n [ ] = E n (X + X + + X n ) = n E[X + X + + X n ] = n (E[X ] + E[X ] + + E[X n ]) Vi har at Dermed får vi at E[X i ] = P ({X i = }) + P ({X i = }) = N Np N [ ] X + X + + X n E n + Np N = p = (p + p + + p) n = n np = p Vi kan nå beregne Var ( ) X +X + +X n n. Først får vi akkurat som i forrige eksempel at Var(X i ) = p( p). Videre når i j får vi Cov(X i, X j ) = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ] Vi må beregne E[X i X j ]. Vi har { Xi = og X X i X j = j = ellers og vi får Dermed får vi at Vi har at og E[X i X j ] = P ({X i X j = }) + P ({X i X j = }) = P ({X i X j = }) = P ({X i =, X j = }) = P ({X i = }) P ({X j = X i = }) = Np n Np N Cov(X i, X j ) = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ] = Np N Np N p(p ) p = N ( ) X + X + + X n Var = n n Var (X + X + + X n ) Var (X + X + + X n ) = Cov(X + X + + X n, X + X + + X n ) = Cov(X + X + + X n, X ) + + Cov(X + X + + X n, X n ) n n = Cov(X i, X j ) i= j= = Var (X ) + + Var (X n ) + = np( p) + (n p(p ) n) N (p ) (n N) np = N n n i= j=,j i Cov(X i, X j ) 7

94 Løsning. (fortsetter.) Dermed får vi at ( ) X + X + + X n Var n = (p ) (n N) np n N = (p ) (n N) p N Vi legger merke til at hvis n = N, så er ( ) X + X + + X n Var =. n Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 8

95 Løsninger til oppgaveark : Mer om siumultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 6. mars, Oppgave. Oppgave.55 i [ROSS]. La X og Y være stokastiske variable som kan anta verdiene og. La Anta at E[X] = E[Y ] =. Vis at (a) p(, ) = p(, ) (b) p(, ) = p(, ) Finn (c) Var(X) (d) Var(Y ) (e) Cov(X, Y ) p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) Oppgave. Oppgave.76 i [ROSS]. La X og Y være uavhengige stokastiske variable med forventingsverdier E[X] = µ x og E[Y ] = µ y og varians Var(X) = σ x og Var(Y ) = σ y. Vis at Var(XY ) = σ xσ y + µ yσ x + µ xσ y. Oppgave 3. Gå ut fra at X, Y og Z er stokastiske variable og at c er en konstant. Vis at () Cov(X, X) = Var(X) () Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (3) Cov(cX, Y ) = c Cov(X, Y ) (4) Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) Oppgave 4. Gå ut fra at X og X er stokastiske variable. Vi kan definere matrisen [ ] Cov(X, X Σ = ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) La Y = a X + a X. Vis at der og Var(Y ) = a T Σa a = [ a a ] a T = [ a a ]. Oppgave 5. Gå ut fra at X, X,..., X n er uavhenige stokastiske variable med samme sannsynlighetsfordeling med µ = E[X i ] og σ = Var(X i ). Definer X = n X i n Vis at (a) E[X] = µ (b) Var(X) = σ n i=

96 Oppgave 6. I en populasjon er det følgende inntekter: x = 6, x = 6, x 3 = 6, x 4 = 7, x 5 = 7, x 6 = 8, x 7 = 8, x 8 = 8, x 9 = 8, x = 8, x = 9, x =. i= x i. Beregn Beregn gjennomsnittsinntekten (populasjonsgjennomsnittet) µ = x = populasjonsvariansen σ = i= (x i µ). La X være den stokastiske variabelen du får dersom du trekker en tilfeldig inntekt fra populasjonen. Hvilke verdier kan X ha? Finn sannsynlighetstettheten til X. Beregn E[X] og Var(X). Oppgave 7. Eksamen Oppgave 4. a) Det kan vises at I(n) = x n ln xdx = ( ) n + xn+ ln x x n+ + C n + Her er n (Du skal ikke vise dette.) Benytt formelen ovenfor til å beregne I(), I() og I(). Noe av dette vil du muligens få bruk for senere i oppgaven. b) To stokastiske variabler X og Y er simultanfordelt med sannsynlighetstetthet f(x, y) er gitt ved: { f(x, y) = ln x + e y, x e og y ellers Beregn og f x (x) = f y (y) = f(x, y)dy f(x, y)dx Oppgave 8. I en tenniskamp mellom to spillere a og b vinner den spilleren som først har vunnet to sett. La A være begivenheten at a vinner settet, og la B være begivenheten at b vinner settet. Sannsynligheten for at a vinner settet er P (A) =.6, og sannsynligheten for at b vinner settet er P (B) =.4 a) Hva er sannsynligheten for at b vinner de to første settene? b) Hva er sannsynligheten for at b vinner det første settet og a vinner sett nummer og tre? La X være antall sett som spilles inntil en spiller har vunnet kampen. c) Beregn P ({X = }) og P ({X = 3}). d) Beregn E[X] og Var(X). e) Anta at P (A) = p og P (B) = p. For hvilke verdier av p er E[X] =.8? Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

97 Forelesning : Matrisealgebra og determinanter. Trond Stølen Gustavsen. mars, Innhold Lesning.. Addisjon og multiplikasjon av matriser.. Determinanter 6.3. Adjungert matrise 8 Referanser Lesning. Det meste av denne forelesningen er repetisjon fra MET 4, og dekker deler av kapittel 8 i [BOST]... Addisjon og multiplikasjon av matriser. En matrise er en samling av tall ordnet på en bestemt måte. Definisjon. En m n matrise består av m n tall som er ordnet i m rader og n kolonner. Matriser av samme størrelse kan adderes komponentvis, og det er også mulig å multiplisere en matrise med et tall. Eksempel. Gå ut fra at Regn ut 3A B. A = ( 3 5 ) og B = ( 3 ). Løsning. ( 3 3A B = 3 5 ) ( 3 ( ) ( 3 3 ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) 3 =. 6 ) ) Vi har følgende regneregler.

98 Setning 3. Gå ut fra at A, B og C er matriser med samme størrelse, og at r og s er tall. Da gjelder: () A + B = B + A () (A + B) + C = A + (B + C) (3) A + = A (4) r(a + B) = ra + rb (5) (r + s)a = ra + sa (6) r(sa) = (rs)a Matriser kan også multipliseres. Definisjon 4. Gå ut fra at A er en m n matrise og at B er en n p matrix. Matriseproduktet AB er en m p matrise som kan kalkuleres ut fra følgende oppsett: b... b j... b p... = B b n... b nj... b np A = a... a n.. a i... a in.. c... c j... c p... c i... c ij... c ip... = AB a m... a mn c m... c mj... c mp Elementet c ij beregnes som c ij = a i b j + a i b j a in b nj Du kan tenke på dette på følgende måte. Linjen gjennom rad i i A og linjen gjennom kolonne j i B møtes der hvor c ij er plassert i produktet. Tallet c ij beregnes på følgende måte. Vi multipliserer det første tallet i rad i i A med det første tallet i kolonne j i B, det andre tallet i rad i i A multipliseres med det andre tallet i kolonne j i B og så videre, og til slutt adderer vi disse tallene for å få c ij. Vi ser at produktet AB har samme antall rader som A og samme antall kolonner som B. Eksempel 5. Gå ut fra at A = ( 3 ) og at B =. Beregn BA. Løsning. ( 3 ) = A B = 3 4 = BA Legg merke til at AB ikke er definert.

99 Setning 6. Gå ut fra at A, B og C er matriser og at r er et tall. Følgende regler gjelder når matriseproduktene som inngår er definert. () A(B + C) = AB + AC (distributiv lov) () (A + B)C = AC + BC (distributiv lov) (3) (AB)C = A(BC) (assosiativ lov) (4) (ra)b = A(rB) Definisjon 7. Matriser som består av bare en rad eller kolonne, kalles ofte for en vektor. Linære likningssystemer kan skrives på matriseform. Eksempel 8. Gå ut fra at A = 3, x = x x x 3 Vis at likningssystemet x +x 3 = x x x 3 = x 3x 3 = er ekvivalent med matriselikningen Ax = b. og b =. Løsning. Vi beregner 3 x x x 3 = og ser dermed at Ax = b er det samme som at x + x 3 x x x 3 x + 3x 3 = som igjen er det samme som likningssystemet. x + x 3 x x x 3 x + 3x 3 På grunn av begrepet invers matrise, kan man ofte skrive opp en formel for løsningen av en matriselikning. Definisjon 9. Vi definerer den n te enhetsmatrisen I n ved I n = Gå ut fra at A er en n n-matrise. Hvis det eksisterer en n n-matrise B, slik at AB = BA = I n sier vi at A er invertibel og A = B kalles den inverse til A. Vi ser på et eksempel. 3

100 Eksempel. Gå ut fra at Vis at A er invertibel og at A = A = B = og bruk dette til å finne en løsning av Ax = b fra eksemplet over. Løsning. Vi beregner og Vi har AB = BA = Setter vi inn får vi = = Ax = b = A Ax = A b = I n x = A b = x = A b x x x 3 Vi har følgende definisjon. = = 4 = I 3 = I 3 Definisjon. Gå ut fra at A er en n m-matrise. Den transponerte til A skrives A T og er matrisen som fremkommer ved å bytte rader og kolonner i A. En matrise sies å være symmetrisk dersom A = A T. For en 3 3-matrise er det lett å skrive opp den transponerte matrisen. Eksempel. Gå ut fra at Finn A T. A = 3 5. Løsning. A T = 3 5. Vi har følgende regneregler. 4

101 Setning 3. Gå ut fra A og B er n n-matriser, og at r er et tall () I n A = A, AI n = A () A A = AA = I n (når A eksisterer) (3) (AB) = B A (4) (ra) = r A (5) (A T ) = (A ) T (6) (ra) T = ra T (7) (AB) T = B T A T (8) (A + B) T = A T + B T Eksempel 4. Gå ut fra at P er en invertibel n n-matrise og D og A er matriser slik at D = P (ra)p. Vis at D = r P A P og finn et utrykk for A. Løsning. D = (P (ra)p )(P (ra)p ) = P (ra)(p P )(ra)p = P (ra)(i n (ra))p = P (ra)(ra)p = P (r A )P = r P A D = P (ra)p = P D = P P (ra)p = P D = I n (ra)p = rap = P DP = rap P = ra = A = r (P DP ) 5

102 .. Determinanter. I dette avsnittet repeterer vi determinanter og kofaktorer. Definisjon 5. Gå ut fra at A er en -matrise: ( ) a a A =. a a Determinanten A til A er tallet definert ved A = a a a a = a a a a. Vi ser på et enkelt eksempel. Eksempel 6. Beregn 3 4 og. Løsning. 3 4 = 4 3 = 8 3 = 5. = = =. Vi skal nå se på kofaktorer som vil gjøre oss i stand til å beregne determinanter av større matriser og til å finne den inverse matrisen. Definisjon 7. Gå ut fra at A er en n n-matrice. Kofaktoren A ij er definert som ( ) i+j ganger determinanten som fremkommer ved å slette rad i og kolonne j i A. Eksempel 8. Gå ut fra at Beregn kofaktoren A 3. A = 3 5. Løsning. A 3 = ( ) +3 3 = ( )( 3) = 6 Legg merke til at ( ) i+j fortegnet dette møsnteret er med for å få riktig forteng. For en 3 3-matrise følger ( ) + ( ) + ( ) +3 ( ) + ( ) + ( ) +3 ( ) 3+ ( ) 3+ ( ) 3+3 =. 6

103 Definisjon 9. Gå ut fra Determinanten A til A er gitt ved A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33. A = a i A i + a i A i + a i3 A i3 der i =, eller 3. Dette kalles kofaktorutviklingen av A etter rad i. Definisjonen er lettere å forstå dersom vi ser på et eksempel. Eksempel. Beregn A = 3 5. Løsning. 3 5 = A + 3 A + 5 A 3 = = ( ) 3 ( ) + 5 ( ) = 3( ) + 5( ) = 3. Det er flere måter å gjøre dette på. Eksempel. Gå ut fra at A = 3 5. Beregn A ved hjelp av kofakturutvikling etter andre rad. Løsning. Vi får A = A + A + A 3 = ( ) ( )+ 5 = + ( 5) ( 3) = = 3. + ( )+3 3 Determinanten definerers og beregnes på tilsvarende måte for større matriser. Vi har følgende egenskaper. Setning. Gå ut fra at A og B er n n-matriser. () A T = A () AB = A B 7

104 .3. Adjungert matrise. Vi definerer kofaktor matrisen. Definisjon 3. Gå ut fra at A = a a a n a a a n.. a n a n a nn er en n n-matrise. Vi definerer kofaktormatrisen ved A A A n A A A n cof(a) =... A n A n A n Den adjungerte matrisen er definert som den transponerte til kofaktormatrisen, Vi beregner et eksempel. adj(a) = (cof(a)) T. Eksempel 4. Gå ut fra Beregn adj(a). A =. Løsning. A = ( ) + = ( )+ = A = ( ) + = ( )+ ( ) = A 3 = ( ) +3 = ( )+3 ( 4) = 4 A = ( ) + = A = ( ) + = ( )+ = A 3 = ( ) +3 = A 3 = ( ) 3+ = A 3 = ( ) 3+ = ( )3+ = A 33 = ( ) 3+3 = ( )3+3 = adj(a) = 4 T =. 4 8

105 Setning 5. Gå ut fra at A er en n n-matrise. Hvis A, så er A invertibel og A = A adj(a). Når A =, er A ikke invertibel. Eksempel 6. Gå ut fra som i eksemplet over. Beregn A. A = Løsning. Vi har allerede regnet ut at adj(a) = 4 og regner også ut at og A =. Derfor får vi A = A adj(a) = 4 = Eksempel 7. Gå ut fra at ( ) a b A = c d og anta at A = ad bc. Finn en formel for A. Løsning. For å beregne den inverse til A, finner vi kofaktorene. Vi får A ved å fjerne første rad og første kolonne i A. Dette gjør at vi står igjen med d, og vi får På samme måte får vi Dermed får vi Dette gir oss A = ( ) + d = d. A = ( ) + c = c A = ( ) + b = b A = ( ) + a = a ( ) T ( ) d c d b adj(a) = = b a c a A = A adj(a) = ad bc ( d b c a ). 9

106 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

107 Løsninger til oppgaveark : Matrisealgebra og determinanter. Trond Stølen Gustavsen. mars, Oppgave. Følgende matriser er gitt: [ ] [ 7 4 A =, B = ] [, C = 4 4 ] [, D = Beregn følgende uttrykk. Hvis et uttrykk ikke er definert, gi en begrunnelse for hvorfor ikke. () A () B A (3) AC (4) CD ] Oppgave. A er en 3 5 matrise, produktet AB er en 3 7 matrise. Hva er størrelsen av B? Oppgave 3. Beregn determinanten ved hjelp av kofaktorutviklingen () etter. rad () etter. kolonne A = Oppgave 4. Gå ut fra at A = Regn ut B T ((AB) (3A)) T og B = Oppgave 5. Gå ut fra at A og B er invertible matriser. Vis (a) (AB) = B A (b) (ra) = r A Oppgave 6. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen () etter. rad () etter. kolonne A =

108 Oppgave 7. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen. For hvert skritt, velg en rad eller en kolonne som fører til minst mulig regning A = Oppgave 8. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen. For hver skritt, velg en rad eller en kolonne som fører til minst mulig regning A = Oppgave 9. Gå ut fra at Regn ut A. A = Oppgave. Finn den inverse matrisen til [ ] 4 5 A = 5 6 Oppgave. Eksamen MET () La matrisen x 4 A = Beregn AA. () For en bestemt verdi av x er AA = A. Finn denne verdien. (3) Med den x verdien du fant i spørsmål (b) ovenfor eksisterer ikke A. Vis det. Oppgave. Finn den inverse til A = 5 4. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty

109 Forelesning : Vektorer. Kvadratisk form. Trond Stølen Gustavsen 6. april, Innhold Lesning.. Vektorer.. Kvadratiske former 5 Referanser 8 Lesning. Denne forelesningen dekker deler av kpittel 8 i [BOST]... Vektorer. En vektor som består av m tall kalles ofte for en m-vektor, enten det er en radvektor eller en kolonnnevektor. Eksempel. Følgende vektorer er kolonnevektorer ( ),, Den første er en 3-vektor, den andre en -vektor og den tredje en 4-vektor. Følgende vektorer er radvektorer. ( 5 ), ( ) Den første er en 3-vektor og den andre er en -vektor. Disse vektorene kunne også vært skrevet som(,, 5), (, ) Vi kan regne med vektorer på samme måte som vi regner med matriser. Eksempel. For eksempel, så har vi 3 + = 6. Det er vanlig å tegne -vektorer i planet, slik som i følgende eksempel. Eksempel 3. Tegn vektorene i planet. a = ( ) og a = ( ) Løsning. 3 a a 3

110 Definisjon 4. Mengden av alle m-vektroer betegnes med R m. Definisjon 5. Gå ut fra at a, a,..., a n er i R m, og la a være en annen m-vektor. Hvis vi kan finne tall c, c,..., c n slik at a kan utrykkes som a = c a + c a + + c n a n, sier vi at a er en lineær kombinasjon av a, a,..., a n. Noen eksempler vil forhåpentligvis klargjøre denne definisjonen. Eksempel 6. Regn ut ( og konkluder at a = 3 ( ) ( + 3 ) ) er en linær kombinasjon a = ( ) og a = ( ), Løsning. Siden ser vi at a = a + 3a. ( ) ( + 3 ) ( = 3 ) Eksempel 7. Er det mulig å skrive e = 3 5, e = som en lineær kombinasjon av, e 3 =? Løsning. Svaret er ja, siden 3 5 = ( ) Nå kommer vi til det viktige begrepet, lineær uavhenigighet. Definisjon 8. Vektorene a, a,..., a n i R m er lineært avhengige hvis vi kan finne tall c, c,..., c n, hvor minst et av tallene ikke er, slik at c a + c a + + c n a n =. Hvis denne likningen er oppfylt bare når c =, c =,..., c n =, sier vi at a, a,..., a n er lineært uavhengige. Det er ikke alltid så lett å avgjøre om vektorer er lineært uavhengige, men i følgende eksempel går det greit å finne ut. ( ) ( ) Eksempel 9. Vis at a = og a = er lineært avhengige. 4

111 Løsning. Vi ser at ( ) ( = 4 ), altså er a = a. Fra dette har vi at a + ( )a =. Dermed kan vi velge c = og c = i definisjonen over. Vi ser altså at a og a er lineært avhenige. Eksempel. Vis at e = ( ) og e = ( ) er lineært uavhengige. Løsning. Vi må vise at de eneste verdiene for c og c som passer inn i likningen c e + c e =, er c = og c =. Vi regner ut venstre side i likningen: ( ) ( ) c e + c e = c + c = Siden høyre side er -vektoren, får vi altså ( ) ( c = c og dette betyr at både c og c må være. ), ( c c ), Eksempel. Avgjør om vektorene ( ) og ( ) er lineært uavhengige. Løsning. Vi må se på likningen c ( ) + c ( ) ( = ). Denne er ekvivalent med ( c ) som igjen er det samme som Vi må altså finne løsningen av + ( ) ( c = c ( ) ( c + c = c + c c + c = c + c =. Ved å trekke fra første likningen fra den andre, ser vi at c =. Setter vi dette inn i en av likningene, ser vi at også c =. Vi konkluderer at den eneste løsningen av ( ) ( ) ( ) c + c = ). ) er c = og c =. Dette beviser at ( ) og ( ) er lineært uavhengige. 3

112 Følgende setning gir i mange tilfeller en grei måte å finne ut om vektorer er lineær avhengige. Setning. Vektorene er lineært avhenige når og bare da. Vektorene a = er lineært avhenige når og bare da. a = a a a 3 ( a a ) a a a a, a = og a = a a a 3 = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Vi bruker denne setningen i et eksempel. ( a a ) og a 3 = = a 3 a 3 a 33 Eksempel 3. Vis at er lineært uavhenige. a = 4, a = 6, a 3 = 3 Løsning. Vi setter opp vektorene som kolonnene i en matrise, og beregner determinanten = 4 ( ) ( )+3 6 = ( 4) = 4 Fra setningen konkluderer vi med at a, a og a 3 er lineært uavhengige. 4

113 .. Kvadratiske former. Vi begynner med et eksempel på en kvadratisk form. Eksempel 4. Definer en funksjon f i tre variable x, x og x 3 ved f(x, x, x 3 ) = x T Ax, hvor A = 3 3 x og x = x. 3 8 x 3 Finn et utrykk for f. Løsning. f(x, x, x 3 ) = x T Ax = ( x x x 3 ) = ( x x x 3 ) x + 3x 3 x x 3 3x x + 8x 3 = 6x x 3 4x x 3 + 3x + x + 8x 3. x x x 3 En funksjon som den vi har i eksemplet, kalles for en kvadratisk form. Legg merke til at hvert ledd i uttrykket enten er et tall ganger med et kvadrat av en av de variable, eller et tall multiplisert med et produkt av to variable. Definisjon 5. En funksjon i n variable, sies å være en kvadratisk form dersom den kan uttrykkes som f(x, x,..., x n ) = x T Ax der A er en symmetrisk n n matrise og x = La oss se på en kvadratisk form i to variable. Eksempel 6. Skriv den kvadratiske formen x x. x n. Q(x, x ) = x + 4x x + 3x som Q(x, x ) = x T Ax der A er en symmetrisk matrise. Løsning. Q(x, x ) = x + 4x x + 3x = ( x x ) ( 3 ) ( x x ). Metoden som vi bruker i eksemplet, er som følger. Først skriver vi A = ( ) a a. a a Koeffisienten foran x = x x er, og dermed setter vi a =. Koeffisienten foran x = x x er 3, og derfor setter vi a = 3. Med andre ord setter vi koeffisientene foran kvadratene 5

114 på diagonalen i matrisen A. Koeffisienten foran x x er 4. For å få en symmetrisk matrise, deler vi dette tallet på, og setter a 4 = a 4 = 4/ =. Definisjon 7. En kvadratisk form Q(x) = x T Ax og den tilhørende symmetriske matrisen A sies å være () positivt definitt hvis Q(x) > for alle x. () positivt semidefinitt hvis Q(x) for alle x. (3) negativt definitt hvis Q(x) < for alle x. (4) negativt semidefinitt hvis Q(x) for alle x. (5) indefinitt hvis Q(x) antar både positive og negative verdier. For å avgjøre hvilket av de fem alternativene, en kvadratisk form hører inn under, er det lurt å se på de såkaldte egenverdiene. Definisjon 8. Gå ut fra at A er en n n matrise. Egenverdiene til A er løsningene av likningen A λi =. La oss se på et eksempel. Eksempel 9. La Finn egenverdiene til A. A = ( 3 3 ). Løsning. ( ) ( ) A λi = 3 λ 3 = 3 λ 3 λ = λ 6λ + 8 =. Løser vi denne får vi egenverdiene og 4. Følgende setning viser hvordan egenverdiene kan brukes. Setning. Gå ut fra at Q(x) = x T Ax er en kvadratisk form hvor A er en symmetrisk matrise, og la λ,..., λ n være egenverdiene til A. Da gjelder: () Q(x) er positivt definitt hvis og bare hvis når λ >,..., λ n >. () Q(x) er positivt semidefinitt hvis og bare hvis når λ,..., λ n. (3) Q(x) er negativt definitt hvis og bare hvis λ <,..., λ n <. (4) Q(x) er negativt semidefinitt hvis og bare hvis λ,..., λ n. (5) Q(x) er indefinitt hvis A har både positive og negative egenverdier. Eksempel. Finn ut om den kvadratiske formen Q(x) = x T Ax = ( x x ) ( 3 3 ) ( x x ) er positivt definit. = 3x x x + 3x 6

115 Løsning. Vi har allerede funnet ut at egenverdiene til ( ) 3 A = 3 er λ = og 4. Siden disse begge er positive, er Q(x) positivt definit. La oss se på et eksempel til. Eksempel. Gå ut fra at Q(x, x, x 3 ) = 9x 6x x 3 + 4x x. Vis at Q(,, ) = er maksimumsverdien til Q. Løsning. Vi kan skrive Q = x T Ax med Vi finner egenverdiene: A = A λi = λ 6 λ λ 9 λ 6 λ = ( λ) = ( λ)(λ + 5λ + 5) = Løser vi denne likningen får vi egenverdiene λ =, λ = 5 og λ =. Dette betyr at Q er negativt definit, og fra definisjonen betyr det at Q(x, x, x 3 ) < for alle (x, x, x 3 ) (,, ). Med andre ord er den største verdien som Q oppnår. Vi går litt tilbake til engenverdiene til en matrise. Eksempel 3. Finn egenverdiene til A = ( 3 3 ). Løsning. Vi beregner 3 λ 3 λ og vi ser at λ = 3 er eneste mulighet. = (3 λ) ( ) = (3 λ) =, Selv om vi bare fant en egenverdi i eksemplet over, vil vi ofte si at egenverdien λ = 3 forekommer to ganger. Vi sier at egenverdien λ = 3 har multiplisitet fordi vi får (3 λ)(3 λ) når vi faktoriserer. Setning 4. Gå ut fra at A er en n n matrise med egenverdier λ, λ,..., λ n hvor vi lister opp egenverdiene med multiplisitet. Da er A = λ λ λ n 7

116 Definisjon 5. Gå ut fra at A er en n n matrise, sporet til A er definert som summen av elemtene på diagonalen. Vi skriver tr(a) for sporet (trace på engelsk.) Hvis er altså tr(a) = a + a + a 33. A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Setning 6. Gå ut fra at A er en n n matrise med egenverdier λ, λ,..., λ n hvor vi lister opp egenverdiene med multiplisitet. Da er tr(a) = λ + λ + + λ n. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 8

117 Oppgaveark : Vektorer. Kvadratisk form. Trond Stølen Gustavsen 6. april, Oppgave. Avgjør i hvert tilfelle oma er en linær kombinasjon av a, a og a 3. (a) a = 3, a =, a =, a 3 = (b) a = (c) a =, a =, a =, a =, a = 5 5, a 3 =, a 3 = Oppgave. Avgjør i hvert tilfelle om vektorene er lineært avhenige eller uavhengige. (a) a =, a =, a 3 = (b) a = (c) a = (d) a = 3, a =, a =, a = 5 5 5, a 3 = Oppgave 3. Finn verdi(er) for hslik at vektorene er lineært avhenige. a) 3 3, 4, h b), 5 7, h Oppgave 4. I hvert tilfelle skal du tegne vektorene i et koordinatsystem, og avgjør om vektorene er( lineært ) avhengige ( eller ) uavhenige: (a) a =, a = ( ) ( ) (b) a =, a =

118 Oppgave 5. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og hvilke som er gale. Begrunn svarene. (a) Hvis kolonnene i matrisen A er lineært uavhenige, så er A inverterbar. (b) Hvis a, a og a 3 er lineært uavhengige, så er a en lineær kombinasjon av a og a 3. (c) Gå ut fra at a og a 3 er lineært uavhengige, og anta at a er en lineærkombinasjon av a og a 3. Da er a,a og a 3 lineært avhengige. (d) Gå ut fra at a og a er vektorer i R 4, og at ikke a kan skrives som ka. Da er a og a lineært uavhenige. Oppgave 6. Gå ut fra at a, a, a 3 og a 4 er lineært uavhengige vektorer i R 4. Vis at da er også a, a og a 3 lineært uavhengige. Oppgave 7. I hvert tilfelle finn et uttrykk for Q(x) = x T Ax, finn egenverdiene til A, beregn det(a) = A og sporet tr(a) og avgjør om den kvadratiske formen er postitivt definitt. (a) A = ( ) (b) A = 3 (c) A = 4 5 Oppgave 8. Finn i hvert tilfelle en symmetrisk matrise A slik at Q(x) = x T Ax, (a) Q(x) = 3x + x x x (b) Q(x) = 3x 4x x + x x 3 x 3 Oppgave 9. Gå ut fra at A er symmetrisk en -matrise. (a) Vis at A er positivtt definitt hvis og bare hvis det(a) > og tr(a) >. (b) Vis at A er indefinitt hvis og bare hvis det(a) <. Oppgave. Gå ut fra at B er en m n. La A = B T B. Vis at A er symmetrisk, og positivt semidefinitt. Vis at hvis B er n n og B er invertibel, så er A = B T B positivt definitt. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

119 Forelesning 3: Mer om kvadratiske former. Kovariansmatrisen. Trond Stølen Gustavsen 3. april, Innhold Lesning 3.. Derivasjon av en kvadratisk form 3.. Kovariansmatrisen 5 Referanser 6 Lesning. For denne forelesningen er det desverre ikke litteraturhenvisning. 3.. Derivasjon av en kvadratisk form. I dette avsnittet skal vi komme frem til en formel for de partielle deriverte til en kvadratisk from som er blitt brukt i for eksempel finans. For å utlede denne formelen vil vi først se litt generelt på (komponentvis) derivasjon av matriser av funksjoner i en variabel. Definisjon. Gå ut fra at A = a a a n a a a n... a m a m a mn er en m n-matrise hvor alle elementene a ij er funksjoner a ij = a ij (t) av en variabel t. Vi skriver da da da dt dt n dt da dt = d da da da dt (A) = dt dt n dt... da m da m da dt dt mn dt for matrisen vi får når vi deriverer alle elementene med hensyn på t. Vi tar et enkelt eksempel. Eksempel. Gå ut fra at Finn A = ( ( + t ) 3t 5t 4 da dt. ). Løsning. Vi får ( da t 3 dt = t 3 ). Fra de vanlige reglene for derivasjon, får vi:

120 Setning 3. Gå ut fra at A og B er matriser av samme størrelse, og at r er et tall. Da gjelder følgende: () d dt () d dt da (A + B) = dt + db dt (ra) = r da dt (3) d dt (AT ) = ( da dt )T Vi har også noe som svarer til produktregelen: Setning 4. Gå ut fra at A er en m n-matrise, og at B er en n p-matrise. Da gjelder: d (AB) = (da)b + AdB dt dt dt. Vi bruker produktregelen i et eksempel. Eksempel 5. Gå ut fra at A = ( t t ) og B = ( 3 3 Regn ut d dt (AB) ved å bruke produktregelen og ved å først multiplisere matrisene. ). også nullma- Løsning. Produktregelen sier d (AB) = (da)b + AdB dt dt dt og siden B inneholder bare konstanter er db dt null matrisen, og derfor er A db dt trisen. Vi får ( ) da dt = = I. Dermed får vi Vi regner ut Vi deriverer og får ( d 3 (AB) = (da)b + AdB dt dt dt = I B + = B = 3 AB = ( t t ) ( 3 3 ) = ( d 3 dt (AB) = 3 ( 3t t t + 6 3t 4 ). ) ). Vi har kaldt variablen som vi deriverer med hensyn på for t, og vi har gått ut fra at det bare er en variabel. Det er tilsvarende mulig å snakke om partielle deriverte slik som følgende eksempel indiketer. Alle regnereglene over vil fortsatt gjelde. Eksempel 6. Gå ut fra at Finn ( ) x + x A = x 4 3 x 3 x A x 3. Løsning. Vi oppfatter x og x som konstanter og deriverer med hensyn til x 3. Dette gir ( ) A 4x 3 = 3. x 3

121 Vi innfører følgende notasjon. Definisjon 7. Hvis f = f(x, x,..., x n ) er en funksjon i n variable, definerer vi f x = Fra reglene for derivasjon over, kan man utlede følgende setning. Hvordan dette gjøres er forklart i en av oppgavene på oppgaveark 3. Setning 8. Gå ut fra at Q(x, x,..., x n ) = x T Ax, der A er en symmetrisk n n-matrise som bare inneholder konstanter. Da er Q x = Ax. Vi kan også derivere lineære former. Definisjon 9. En funksjon L = L(x, x,..., x n ) i n variable, kalles for en lineær form dersom den kan skrives som L(x, x,..., x n ) = Bx der B er en n matrise (radvektor) av konstanter. Vi ser på et eksempel. Eksempel. Gå ut fra at B = ( 3 ) og la L(x, x, x 3 ) = Bx. Finn et uttrykk for L. f x f x. f x n. Løsning. L(x, x, x 3 ) = Bx = ( 3 ) x x x 3 = 3x x + x 3 Vi har følgende. Setning. Gå ut fra at L = L(x, x,..., x n ) = Bx er en lineær form. Da gjelder L x = BT. Eksempel. Skriv den lineære formen L(x, x, x 3, x 4 ) = x 3x + 4x 3 + 7x 4 på formen L = Bx, og finn L x. 3

122 Løsning. L(x, x, x 3 ) = ( ) L x = L x L x L x 3 f x 4 = BT = x x x 3 x 4. Vi ser på et ekempel hvor vi kombinerer en lineær og en kvadratisk form. Eksempel 3. Finn de stasjonære punktene til funksjonen. f(x, x ) = x + 6x x x + 4x + 5x +. Løsning. Vi kan skrive f som der A = ( 3 3 f(x, x ) = x T Ax+Bx + ), B = ( 4 5 ) ( ) x, x =. x Fra setningene over, får vi dermed at f x = Ax + BT. For å finne de stasjonære punktene, setter vi dette til, og får Ax + B T = = Ax = BT Fra formel for invers av -matrise, får vi og dermed ( x A = ( ) = x ( 9 = 7 Det er altså et entydig stasjonært punkt. 3 3 ( 3 3 ). = x = A B T ) ) ( 4 5 ) 4

123 3.. Kovariansmatrisen. Vi har allerede sett i oppgave 4 på oppgaveark at matrisenotasjon kan brukes i forbindelse med varians og kovarians. Dette skal vi nå se litt mer systematisk på. Definisjon 4. Gå ut fra at X = ( ) T X X X n er en vektor der Xi er stokastiske variable. Da definerer vi () µ = E[X] = ( E[X ] E[X ] E[X n ] ) T () Σ = Cov(X) = Vi ser på et eksempel. Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n )... Cov(X n, X ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X n ) Eksempel 5. Gå ut fra at X = ( X X ) T er en vektor der X og X er stokastiske variable, og la Σ = Cov(X). La Y = a T X = a X + a X, der a = ( a a ) T. Vis at Var(Y ) = a T Σa. Løsning. Vi har Var(Y ) = Cov(Y, Y ) = Cov(a X + a X, a X + a X ) = Cov(a X + a X, a X ) + Cov(a X + a X, a X ) = Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) = a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) På den andre siden har vi ( Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) og dermed får vi ) ( ) ( a a Cov(X =, X ) + a Cov(X, X ) a a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) a T Σa = ( a a ) ( a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) = a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) Ved å gå frem på tilsvarende måte som i eksemplet, kan man vise følgende: ) ) Setning 6. Gå ut fra at X = ( X X X n ) T er en vektor der Xi er stokastiske variable, og at a = ( a a a n ) T er en vektor av konstanter. La Y være den lineære kombinasjonen Y = a T X = a X + a X + + a n X n. Da gjelder: () E[Y ] = E[a T X] = a T E[X] = a T µ. () Var(Y ) = a T Cov(X)a = a T Σa. Vi avslutter med et enkelt eksempel. 5

124 Eksempel 7. Gå ut fra at X = ( ) T X X X 3, og at 4 µ =, Σ = 3 6 La Y = X X + X 3. Finn E[Y ] og Var(Y ). Løsning. Vi definerer a = ( ) T og har da at Y = a T X. Fra setningen over, får vi da E[Y ] = a T µ = ( ) 4 3 = 8 Var(Y ) = a T Σa = ( ) = 8 6 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 6

125 Løsninger til oppgaveark 3: Mer om kvadratiske former. Kovariansmatrisen. Trond Stølen Gustavsen 3. april, Oppgave. Gå ut fra at ( ) t 3 t A = og B = t ( t t t 3 Finn den deriverte med hensyn på t av følgende matrisefunksjoner. (a) A (b) A T (c) B (d) 3A + B (e) A (f) AB ) Oppgave. Gå ut fra at ( ) t A = t Finn den deriverte med hensyn på t av følgende matrisefunksjoner. (a) A (b) A Oppgave 3. Gå ut fra at funksjonen f er gitt ved Finn f x. f(x, x ) = x + x + x 3. Oppgave 4. Skriv den kvadratiske formen f på matriseform og finn f x når (a) f(x, x ) = x + 6x x + x (b) f(x, x, x 3 ) = x + x x x 3 Oppgave 5. Skriv funksjonen f på formen x T Ax+Bx + c og finn de stasjonære punktene. (a) f(x, x ) = x + 6x x + x + 3x + x + 3 (b) f(x, x, x 3 ) = x + x x x 3 x Oppgave 6. Gå ut fra at b = 3 4 og definer f(t) = b T Ac. Finn f t, A = (t + ) t t t t og c = ( t ved hjelp av produktregelen for derivasjon av matriser. )

126 Oppgave 7. Gå ut fra at X = ( ) T X X X 3, og at µ = 4, Σ = La Y = 5X X + X 3. Finn E[Y ] og Var(Y ). Oppgave 8. Gå ut fra at X og X er stokastiske variable med forventingsverdi og kovariansmatrise ( ) ( ) 4 µ =, Σ = 7 Hvis mulig, bestem a og a slik at Y = a X + a X gir Var(Y ) er minst mulig samtidig som E[Y ] = 6. Oppgave 9. Vi vil nå bruke regnereglene for derivasjon av matrisefunksjoner til å derivere Q = x T Ax. Vi vil anta at A er en n n-matrise som inneholder bare konstanter, og vi setter som vanling x x x = (a) Vis at Q x = e T Ax + (x T A)e, der e er n-(kolonne)vektoren som har på første plass og ellers. (b) Vis at (x T A)e = e T A T x og konkluder at Q x = e T (A+A T )x. (c) Forklar at Q x i = e T i (A+AT )x der e i er kolonnevektoren som har på i te plass og ellers. Q x Q (d) Vis at Q x := x.. = (A+AT )x. Q x n. x n. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5).

127 Forelesning 4: Matriser og regresjon. Trond Stølen Gustavsen 7. april, 9 Innhold Lesning 4.. Estimering med minste kvadraters metode Referanser 4 Lesning. Det er desverre ikke litteraturhenvisning for denne forelesningen. 4.. Estimering med minste kvadraters metode. Vi skal vise hvordan man kan bruke matriseregning i forbindelse med regresjonsmodeller. Hovedmålet er å vise hvordan matriser kan benyttes for å få en kompakt notasjon. La oss ta utganspunkt i et eksempel. Eksempel. La Y være prisen på en bolig, og la x = antall kvadratmeter x = standard x 3 = beliggenhet En linær regresjonsmodell er i dette tifellet Y = β + β x + β x + β 3 x 3 + ɛ. Her er ɛ et feilledd som tar opp i seg målefeil og effekter som ikke er tatt med i modellen. Hvis vi har n tilfeller, så har vi Y = β + β x + β x + β 3 x 3 + ɛ Y = β + β x + β x + β 3 x 3 + ɛ. Y n = β + β x n + β x n + β 3 x n3 + ɛ n De n likningene fra forrige eksempel, kan skrives kompakt ved hjelp av matrisenotasjon. Eksempel. La ( x x X = x 3 x x x 3 Regn ut Xβ + ɛ. ), β = β β β β 3 og ɛ = ( ɛ ɛ ). Løsning. Vi får ( ) x x Xβ + ɛ = x 3 x x x 3 = β β β β 3 ( ) + ɛ ɛ ( ) β + x β + x β + x 3 β 3 + ɛ β + x β + x β + x 3 β 3 + ɛ

128 e e 3 Denne skrivemåten gjelder mer generelt. Definisjon 3. En lineær regresjonsmodell kan skrives Y = Xβ + ɛ der Y = Y Y. Y n x x r x x r, X =... x n x nr Her er det r uavhengige variable x,..., x n. β= β β. β r og ɛ= ɛ ɛ. ɛ n. Ta utganspunkt i en lineær regresjonsmodell som kan skrives Y = Xβ + ɛ som i definisjonen over. Vi vil nå se på hvordan vi kan estimere β med minste kvadraters metode. Man pleier da å skrive med y = y y. y n hvor b i ene og e i ene kan variere. y = Xb + e b, b = b. b r og e = e e. e r Eksempel 4. I figuren y y = b + b x y y 3 y e x x x 3 x har vi tre observasjoner (x, y ) = (.7, ), (x, y ) = (.8,.5) og (x 3, y 3 ) = (.3,.8). Linjen er tegnet slik at e + e + e 3 blir minst mulig. Vi skal nå se hvordan vi kan finne b slik at e +e + +e n blir minst mulig. Utledningen er gitt skritt for skritt i eksempler. Eksempel 5. La y = Xb + e. Vis at e + e + + e n = y T y y T Xb + b T (X T X)b Løsning. Først merker vi oss at e T e = ( ) e e e n e e. e n = e + e + + e n.

129 Løsning. (fortsetter.) Vi skal finne et uttrykk for e T e. Fra y = Xb + e følger det at e = y Xb, og dermed får vi e T e = (y Xb) T (y Xb) = (y T b T X T )(y Xb) = y T y y T Xb b T X T y + b T X T Xb. Det vi nå legger merke til er at y T Xb og b T X T y er matriser, og siden en -matrise alltid er symmetrisk, får vi at Setter vi inn dette, kommer vi frem til b T X T y = (b T X T y) T = y T Xb. e T e = y T y y T Xb + b T (X T X)b. Eksempel 6. Gå ut fra at Vis at S = y T y y T Xb + b T (X T X)b. S b = XT y + X T Xb. Løsning. Vi oppfatter S som en funksjon i variablene b, b,..., b n. Da blir y T y konstant, y T Xb er en lineær form og b T (X T X)b er en kvadratisk form. Etter reglene for derivasjon fra forrige forelesning får vi derfor S b = (yt X) T + (X T X) = X T y + X T Xb. Vi kan nå konkludere. Eksempel 7. Ta utganspunkt i en lineær regresjonsmodell Anta at vi har n observasjoner Y = β + β x + β x + + β r x r + ɛ. (y, x, x,..., x r ) (y, x, x,..., x r ) Sett y = y y. y n. (y n, x n, x n,..., x nr ) og anta at X T X er invertibel. Vis at gjør e T e minst mulig. x x r x x r og X =... x n x nr b =(X T X) X T y Løsning. Minimumsverdien for S må være et stasjonært punkt. Altså har vi S b = XT y + X T Xb =. Fra dette får vi X T y + X T Xb = X T Xb =X T y b = (X T X) X T y. 3

130 Vi er nå kommet frem til et viktig resultat. Setning 8. Beste tilpassning for β med minste kvadraters metode, er gitt ved β=(x T X) X T y Vi kan nå bruke formelen β=(x T X) X T y til å estimere β i et konkret eksempel. Eksempel 9. Gå ut fra tre observasjoner (x, y ) = (.7, ), (x, y ) = (.8,.5) og (x 3, y 3 ) = (.3,.8). En lineær regresjonsmodell er i dette tilfellet Estimer β og β. Y = β + β x + ɛ Løsning. Vi kan skrive dette som y = Xb + e med y =.5, X = Vi får da β=(x T X) X T y = = ( ) T T.5.8 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 4

131 Oppgaveark 4: Matriser og regresjon. Trond Stølen Gustavsen 7. april, 9 Oppgave. Estimer β, β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + ɛ ut fra de to observasjonene (x, y ) = (, ) (x, y ) = (, ) Kan du komme frem til svaret på en annen måte? Oppgave. Estimer β, β og β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + β x + ɛ ut fra de tre observasjonene og beregn feilleddene e, e og e 3. y =, (x, x ) = (, ) y =, (x, x ) = (, ) y 3 =, (x 3, x 3 ) = (, ) Oppgave 3. Estimer β, β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + ɛ ut fra de tre observasjonene og beregn feilleddene e, e og e 3. (x, y ) = (, ) (x, y ) = (, ) (x 3, y 3 ) = (, )

132

133 Løsninger til oppgaveark : Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen. januar, Oppgave. Finn ẏ. (a) y = t 3 t + 5t 3 (b) y = (t )(t 4 ) (c) y = (ln t) 5 ln t + 6 (d) y = ln(3t) (e) y = 5e 3t +t (f) y = 5t e 3t Løsning. (a) ẏ = 3t + 5t (b) ẏ = 4t(t 4 ) + (t )4t 3 = t 5 4t 3 4t (c) ẏ = (ln t) t 5 t (d) ẏ = t (e) ẏ = 5e 3t +t ( 6t + ) (f) ẏ = te 3t 5t e 3t Oppgave. Regn ut integralene: (a) t 3 dt (b) (t3 + t )dt (c) t dt (d) te t dt (e) ln tdt Løsning. (a) t 3 dt = 4 t4 + C (b) (t3 + t )dt = 3 4 (c) t dt = ln t + C (d) For å beregne te t dt bruker vi substitusjonen u = t. Dette gir du dt = t or du Dermed får vi te t dt = e u du = e u du = eu + C = et + C = tdt. (e) Vi bruker delvis integrasjon uv dt = uv u vdx. Vi skriver ln tdt som (ln t) dt og setter u = ln t og v =. Dermed har vi u = t and v = t, og ln tdt = (ln t)t t tdt = t ln t dt = t ln t t + C

134 Oppgave 3. Regn følgende oppgaver i [BOST]: 6. utgave: 6.4a, 6.6ab, 6.8a 5. utgave: 7.4a, 7.6ab, 7.8a Løsning. Se fasit som hører til [BOST]. Oppgave 4. Følgende differensiallikninger, kan løses ved å integrere høyre side. Finn den generelle løsningen i hvert tilfelle, og finn også partikulærløsningen som tilfredstiller y() =. (a) ẏ = t. (b) ẏ = e t (c) ẏ = (t + )e t +t Løsning. (a) y = tdt = t +C. Den generelle løsningen er y = t +C. Vi får y() = C =, slik at y = t + er partikulærløsningen som tilfredstiller y() =. (b) y = et +C er den generelle løsningen. Vi får y() = e +C = +C = = C =. Dermed er y(t) = et + partikulærløsningen. (c) For å beregne (t+)e t +t dt, bruker vi substitusjonen u = t +t. Vi får du dt = t+ = du = (t + )dt, slik at (t + )e t +t dt = e u du = e u + C = e t +t + C. Dermed er den generelle løsningen y(t) = e t +t +C. Dette gir y() = +C = = C =. Partikulærløsningen er y(t) = e t +t. Oppgave 5. Vis at y(t) = Ce t + et er en løsning av ẏ + y = e t. Løsning. y(t) = Ce t + et = ẏ = Ce t + et. Fra dette får vi ẏ + y = Ce t + et + Ce t + et = e t Dermed ser vi at ẏ + y = e t er tilfredstilt når y = Ce t + et. Oppgave 6. Løs differensiallikningen y ẏ = t +. Finn løsningen som tilfredstiller y() =. Løsning. Likningen y ẏ = t + er separabel: y dy dt = t + gir y dy = (t + )dt Tar vi tredjeroten, får vi 3 y3 = t + t + C y 3 = 3 t + 3t + 3C y(t) = 3 3 t + 3t + K

135 Løsning. (fortsettelse) Vi ønsker partikulærløsningen som er slik at y() = : y() = K = 3 K + 9 = = K + 9 = Vi får K = 7 slik at er partikulærløsningen. y(t) = 3 3 t + 3t 7 Oppgave 7. Løs følgende differensiallikninger: (a) ẏ = t 3 t (b) ẏ = te t t (c) e y ẏ = t + Løsning. (a) ẏ = t 3 t gir Vi får y = (t 3 t)dt y = 4 t4 t + C. (b) Vi må beregne integralet (te t t)dt, og regner først ut te t dt ved delvis integrasjon uv dt = uv u vdt med v = e t og u = t. Vi får u = and v = e t, og dermed te t dt = te t e t dt = te t e t + C Dette gir (c) e y ẏ = t + kan separeres som Dermed får vi y = (te t t)dt = te t e t t + C e y dy = (t + )dt = e y = t + t + C. Tar vi den naturlige logaritmen på begge sider, får vi y(t) = ln( t + t + C). e y dy = (t + )dt 3

136 Oppgave 8. Løs følgende differensiallikninger: (Her er det x som er den uavhengige variabelen og ikke t slik som i tidligere oppgaver.) (a) y = x y (b) y = e x y (c) x y = Løsning. (a) dy dt = x y = x y så likningen er separabel. Ved å multiplisere med y på begge sider, får vi y dy = x = ydy = xdx dx Vi kan nå integrere, og får ydy = xdx = y = x + C Multipliserer vi begge sider med, får vi y = x + C = y = ± x + C (b) dy dx = ex y = e x e y så likningen er separabel. Ved å multiplisere begge sider med e y, får vi e y dy = e x dx = e y dy = e x dx = e y = e x + C. For å isolere y tar vi logaritmen på begge sider (c) x dy dx = = x x dy dx = x y = x dx = x dx = ln(e y ) = ln(e x + C) = y = ln(e x + C). = dy dx = x = + x + + C = x = x + C. Noen av oppgavene er hentet fra kapittel 5 i boken [FMEA]. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5). 4

137 Løsninger til oppgaveark : Førsteordens lineære differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 9. januar, Oppgave. Finn den generelle løsningen av ẏ+ y = 4. Er løsningen stabil? Bestem likevektstilstanden. Tegn noen typiske løsninger i et koordinatsystem. Løsning. Integrerende faktor er e t. Etter å ha multiplisert med denne blir likningen ẏe t + ye t = 4 e t. Dette kan skrives som Ved å integrere får vi Dette gir d dt (ye t ) = 4 e t. ye t = 4 e t dt = e t + C y(t) = + Ce t. Når t vil e t. Derfor er løsningen stabil. Likevektstilstanden er y(t) =. Tegn løsningene for C =, C = og C =. Oppgave. Finn den generelle løsningen i hvert tilfelle: (a) ẏ + y = (b) ẏ 3y = 7 (c) 4ẏ + 5y = Løsning. (a) Integrerende faktor er e t. Den generelle løsningen er y(t) = Ce t + (b) y = Ce 3t 9 (c) Vi må først dividere likningen med 4 slik at den blir: ẏ y = 5. Den generelle løsningen blir y = Ce 5t/4 +. Oppgave 3. Finn i hvert enkelt tilfelle den generelle løsningen. Finn også partikulærløsningen som tilfredstiller y() =. (a) ẏ 3y = 5 (b) 3ẏ + y + 6 = (c) ẏ + y = t Løsning. (a) y = Ce 3t 5/3, y() = = C = 8/3. (b) Vi må først dividere likningen med 3 og flytte over slik at vi får ẏ + 3 y = 6 3 Den generelle løsningen blir y = Ce t/3 8, og y() = = C = 9.

138 Løsning. (fortsetter) (c) Integrerende faktor er e t. Multipliserer vi med denne får vi Dette gir at d dt (yet ) = t e t. ye t = t e t dt. For å beregne integralet t e t dt bruker vi formelen uv = uv u v for delvis integrasjon med u = t og v = e t. Vi får u = t og v = et. Dermed t e t dt = t et t et dt = t e t te t dt. Vi må altså beregne integralet te t dt. Til dette bruker vi nok en gang delvis integrasjon, med u = t og v = e t. Vi får u =, v = et og dermed te t dt = t et et dt = tet 4 et Dermed har vi kommet frem til t e t dt = t e t ( tet 4 et ) + C = 4 et tet + t e t + C Den generelle løsningen blir y(t) = Ce t + t t + 4 og y() = = C = 3/4. Oppgave 4. Finn den generelle løsningen. (a) tẏ + y + t = (t ) (b) ẏ t y = t (t > ) (c) ẏ y = t (t > ) t t Løsning. (a) Siden t, kan vi dividere med t og får da ẏ + t y =. For å finne integrerende faktor må vi beregne t dt = ln t. Dette gir e ln t som integrerende faktor: Dermed får vi d dt (ye ln t ) = e ln t. ye ln t = e ln t dt Faktoren e ln t kan omskrives e ln t = e ln t = t = t. Setter vi inn dette, ser det slik ut: yt = t dt = 3 t3 + C Deler vi med t på begge sider, finner vi et uttrykk for den generelle løsningen y = 3 t + C t.

139 Løsning. (fortsetter) (b) dt = ln t + C. t Siden t > får vi e ln t ln t = e = (c) Dette gir løsning d dt (yt ) = t t = = yt = t som integrerende faktor: dt = t + C = y(t) = t + Ct t t dt = ln ( t ) + C y(t) = C t + t Oppgave 5. Finn i hvert enkelt tilfelle den generelle løsningen. Finn også partikulærløsningen som tilfredstiller den gitt initialbetingelsen. (a) ẏ = 4(y )(y 3), y() = (b) e t ẏ y y =, y() = (c) ẏ t t + y =, y() = Løsning. (a) Dette er ikke en førsteordens lineær likning, men den er separabel så den kan løses. ẏ = 4(y )(y 3) = (y )(y 3)ẏ = 4 = dy (y )(y 3) dt dt = 4dt Vi må beregne (y )(y 3) dy Dette gjøres med delbrøksoppspaltning og man får (y )(y 3) dy = ln y 3 ln y Dermed får vi Vi har at Dermed har vi Løser vi for y får vi Partikulærløsning gitt ved C =. ln y 3 ln y = 4t + C ln y 3 ln y = ln y 3 y = y 3 y y 3 y = e 4t+C = y 3 y = e8t+c = e 8t e C = y 3 y = ±e8t e C = y 3 y = Ke8t y(t) = 3 Ke8t Ke 8t 3

140 Løsning. (fortsetter) (b) Dette er ikke en førsteordens lineær differensiallikning, men den er separabel: e t ẏ y y = = e t ẏ = + y + y = e t + y + y ẏ = = + y + y ẏ = e t + y + y dy = e t dt Vi har at + y + y = (y + ) og får + y + y dy = (y + ) dy = y + + C Dermed: y + = e t C = y + = e t + C Dermed blir den generelle løsningen y(t) = e t + C = e t C C + e t y() = = = = C = e +C e (c) Denne likningen er både førsteordens lineær og separabel. La oss løse den som en lineær differensiallikning: t t + dt = ln ( t + ) + C Integrerende faktor blir da e +) ln(t = (t + ), og vi får d dt (y(t + ) ) = = y(t + ) = C = y = C t +. Partikulærløsning er gitt ved C =. 4

141 Løsninger til oppgaveark 3: Andreordens lineære differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 6. januar, Oppgave. Finn de generelle løsningene av følgende differensiallikninger. (a) ÿ = t (b) ÿ = e t + t Løsning. (a) ÿ = t = ẏ = t + C = y = 6 t3 + C t + C (b) ÿ = e t + t = ẏ = e t + 3 t3 + C = y = e t + t4 + C t + C Oppgave. Løs initialverdiproblemet ÿ = t t, y() = og ẏ() =. Løsning. ÿ = t t = ẏ = 3 t3 t + C = y = t4 4 t + C t + C y() = C + C = C = ẏ() = C = C = Løsning: y(t) = t4 4 t + t +. Oppgave 3. Løs initialverdiproblemet: ÿ = ẏ + t, y() = og y() =. Løsning. Vi setter u = ẏ. Da blir ÿ = ẏ + t u = u + t u u = t. Vi får e t, som integrerende faktor, og ue t = te t dt = e t te t + C. Fra dette: u = ( e t te t + C )e t = C e t t = y = (C e t t )dt = C e t t t + C. y() = = C + C = = C = C =. Derfor: y() = = C e + C = C + ec 3 = = C + ec 3 C = 5 (e ) og C = C = 5 (e ) = e 7 (e ). Løsning: y(t) = 5 (e ) et t t + e 7 (e ). Oppgave 4. Finn den generelle løsningen: (a) ÿ 3y = (b) ÿ + 4ÿ + 8y = (c) 3ÿ + 8ẏ = (d) 4ÿ + 4ẏ + y = (e) ÿ + ẏ 6y = 8 Løsning. (a) Karakteristisk likning r 3 = = r = ± 3 = y(t) = C e 3t +C e 3t. (b) Karakteristisk likning er r + 4r + 8 =. Denne har ingen reelle løsninger. Vi setter derfor α = a = b 4 =, β = 4 a = =. Det følger at den generelle løsningen er y(t) = e αt (A cos βt + B sin βt) = e t (A cos t + B sin t). (c) 3ÿ + 8ẏ = ÿ + 8 3ẏ =. Den karakteristiske likningen r + 8 3r = = r = eller r = 8 3. Den generelle løsningen er y(t) = C e t + C e 8 3 t = C + C e 8 3 t. (d) 4ÿ + 4ẏ + y = har karakteristisk likning 4r + 4r + =. Det er én løsning r =. Den generelle løsningen er y(t) = (C + C t)e t.

142 Løsning. (fortsetter.) (e) Vi løser først den homogene likningen ÿ + ẏ 6y =. Den karakteristiske likningen er r + r 6 =. Den har løsning r = 3 og r =. Den generelle løsningen av den homogene likningen er derfor y h (t) = C e 3t + C e t. Vi får y p (t) = 8 6 = 4 3 Den generelle løsningen er derfor: y(t) = y h (t) + y p (t) = C e 3t + C e t 4 3. Oppgave 5. Løs differensiallikningen y + y 6y = 7. Løsning. Løsning: y(x) = C e x + C e 3x 7 6 Oppgave 6. Finn løsningen av differensiallikningen y y + 5y = 4 som tilfredstiller y() = 9 5 og y() = e Løsning. Løsning: y(x) = ( + x)e 5x Oppgave 7. Ta utgangspunkt i likningen ÿ + aẏ + by = og anta at 4 a b = slik at den karakteristiske likningen har én reel løsning r = a. La y(t) = u(t)e rt og vis at dette er en løsning av differensiallikningen hvis og bare hvis ü =. Konkluder fra dette at y(t) = (A + Bt)e rt er den generelle løsningen. Løsning. y = ue rt = ẏ = ue rt + ure rt = e rt ( u + ur) = ÿ = üe rt + ure rt + r( ue rt + ure rt ) = e rt (ü + r u + ur ). Fra dette får vi ÿ + aẏ + by = e rt [(ü + r u + ur ) + a( u + ur) + bu] = e rt [ü + (r + a) u + (r + ar + b)u] Den karakteristiske likningen er antatt å ha løsningen r = a a. Setter vi inn r = blir vi stående med: ÿ + aẏ + by = e rt ü Dermed er y = ue rt en løsning hvis og bare hvis e rt ü = ü =. Differensiallikningen ü = har løsningen u = A + Bt. Dermed har vi at y = (A + Bt)e rt er den generelle løsningen av ÿ + aẏ + by =. Oppgave 8. Avgjør om funksjonen er konveks, konkav eller begge deler. (a) f(x, y) = x + y (b) f(x, y) = 3x y (c) f(x, y) = e x + e y (d) f(x, y) = e x y (e) f(x, y) = ln(x) + ln(y)

143 Løsning. (a) Vi får f x = og f y =. Dette gir f xx = f xy = f yy =. Dermed er f xx og f yy, og f xxf yy (f xy) =. Dette viser at funksjonen er konveks. Tilsvarende ser vi at funksjonen også konkav. (b) Funksjonen er konkav og konveks. (c) Vi får f xx = e x, f yy = e y, f xy =. Dermed er f xx og f yy, og f xxf yy (f xy) = e x e y = e x+y. Vi ser altså at funksjonen er konveks. (d) Vi får f xx = e x y, f yy = e x y og f xy = e x y. Dermed er f xx og f yy, og f xxf yy (f xy) =. Vi ser at funksjonen er konveks. (e) Vi får f xx = x, f xy = og f yy = y. Dermed er f xx og f yy, og f xxf yy (f xy) = ( x )( y ) = x y. Dermed ser vi at funksjonen er konkav. Oppgave 9. Vis at funksjonen er konveks. g(x, y) = x + 4xy + 4y + e y y Løsning. Vi får g xx = g xy = 4 g yx = 4 g yy = e y + 8 Dermed er g xx og g yy, og g xxg yy (g xy) = (e y + 8) 4 = e y. Dermed ser vi at funksjonen er konveks. En del av oppgavene er hentet fra kapittel 6 i boken [FMEA]. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5). 3

144

145 Løsninger til oppgaveark 4: Variasjonsregning. Trond Stølen Gustavsen. februar, Oppgave. Gitt problemet min (tẏ + ẏ )dt, y() = og y() =. a) Finn Euler-ligningen og løs den. Vis at vi får et minimum. b) Finn den løsningen som tilfredsstiller initialbetingelsene. Løsning. a) Vi har integralet F (t, y, ẏ)dt der F (t, y, ẏ) = tẏ + ẏ. Vi har F y = og F ẏ = t + ẏ. Euler-likningen, blir da F y d dt ( F ẏ ) = d (t + ẏ) = ( + ÿ). dt Vi kan forenkle og får (t + ẏ) = ÿ =. Denne likningen løses ved integrasjon, og vi får ẏ = ( )dt = t + C. Ved ennå en integrasjon får vi y = ( t + C )dt = C t 4 t + C Vi må vise at F (t, y, ẏ) = tẏ + ẏ er konveks som funksjon i ẏ og y. Vi har { F F y yy = = = F yẏ { = F F ẏ = t + ẏ = ẏy = F ẏẏ = Vi have F yy and F ẏẏ and F yyf ẏẏ (F yẏ ) = =. Dette viser at F (t, y, ẏ) = tẏ + ẏ er konveks som funksjon i ẏ og y. b) Vi skal bruke betingelsene y() = og y() = til å bestemme verdien av C og C. Fra løsningen har vi y() = C og y() = C 4 + C. Dermed får vi at C = og at C 4 + =. Dette gir Løsningen blir dermed C = + 4 = 3 4 C = y(t) = 3 4 t 4 t +

146 Oppgave. Finn Euler-likningen som er tilordnet integralet a) F (t, y, ẏ) = ty + 3yẏ + tẏ b) F (t, y, ẏ) = eẏ ay c) F (t, y, ẏ) = ((y ẏ) + y )e at t t F (t, y, ẏ)dt. Løsning. a) Vi har Euler-likningen blir da Dermed blir Euler-likningen: b) F y = t + 3ẏ og F ẏ = 3y + tẏ F y d dt ( F ẏ ) = t + 3ẏ d (3y + tẏ) dt = t + 3ẏ (3ẏ + ẏ + tÿ) = t ẏ tÿ t ẏ tÿ = t ẏ tÿ =. F y = eẏ ay ( a) = aeẏ ay F ẏ = eẏ ay = eẏ ay Euler-likningen blir da F y d dt ( F ẏ ) = aeẏ ay d dt ( eẏ ay ) Siden e ẏ ay > får vi c) = aeẏ ay + e ẏ ay d (ẏ ay) dt = aeẏ ay + eẏ ay (ÿ aẏ) = e ẏ ay (a + ÿ aẏ) e ẏ ay (a + ÿ aẏ) = ÿ aẏ + a =. F y = ((y ẏ) + y)e at = (4y ẏ)e at F ẏ = ((y ẏ)( ) + )e at = (ẏ y)e at Euler-likningen blir da F y d dt ( F ẏ ) = (4y ẏ)e at d dt ((ẏ y)e at ) Siden e at > får vi = (4y ẏ)e at ((ÿ ẏ)e at + (ẏ y)e at ( a)) = e at (4y ẏ (ÿ ẏ) + a(ẏ y)) = e at (4y ẏ ÿ + ẏ + aẏ ay) = e at (4y ay + aẏ ÿ) e at (4y ay + aẏ ÿ) = ( a)y + aẏ ÿ =

147 Oppgave 3. Vis at Euler-likningen som svarer til problemet b min (x + txẋ + t ẋ )dt a blir t ẍ + tẋ x =. Løsning. Legg merke til at x er kommet inn istedet for y. Euler-likningen blir i dette tilfellet F x d dt ( F ẋ ) =. Vi har F = x + tẋ x F ẋ = tx + t ẋ = tx + t ẋ Fra dette får vi F x d dt ( F ẋ ) = (x + tẋ) d dt (tx + t ẋ) Euler-likningen blir derfor = x + tẋ (x + tẋ + 4tẋ + t ẍ) = x + tẋ x tẋ 4tẋ t ẍ = x 4tẋ t ẍ x 4tẋ t ẍ = t ẍ + tẋ x =. Oppgave 4. (a) Løs differensiallikningen ÿ + t ẏ =. (b) Løs Euler-likningen som svarer til problemet min / max (ty + 3yẏ + tẏ )dt, y() = og y() =. Løsning. (a) Likningen inneholder ikke y. Derfor substituerer vi u = ẏ. Dette gir u = ÿ, og likningen blir da u + t u =. Dette er en førsteordens lineær likning som vi løser ved å finne integrerende faktor: e t dt = e ln t = t. Siden vi kan anta at t >, er t integrerende faktor. Vi multipliserer likningen med denne og får t u + u = t Dette kan som vanlig skrives som d (tu) = t. dt Itegrasjon gir Vi deler med t på begge sider og får tu = t + C u = t + C t. 3

148 Løsning. (fortsetter.) Vi har altså og vi finner y ved integrasjon ẏ = t + C t y = 4 t + C ln t + C Siden t > får vi (b) Vi har F (t, y, ẏ) = ty + 3yẏ + tẏ og får Euler-likningen blir da Altså: y(t) = 4 t + C ln t + C F = t + 3ẏ y F = 3y + tẏ ẏ F y d dt ( F ẏ ) = t + 3ẏ d (3y + tẏ) dt = t + 3ẏ (3ẏ + ẏ + tÿ) = t + 3ẏ 3ẏ ẏ tÿ = t ẏ tÿ t ẏ tÿ = ÿ + t ẏ =. Denne har vi løst og vi trenger bare bruke y() = og y() = for å bestemme C og C i løsningen Vi får y(t) = 4 t + C ln t + C. y() = 4 + C ln + C = 4 + C y() = 4 + C ln + C = + C ln + C Vi får 4 + C = = C = 4 + C ln + C = = + C ln 4 = = C = 4 ln Derfor er løsningen y(t) = 4 t + 4 ln ln t 4. 4

149 Oppgave 5. Vi har gitt variasjonsproblemet max T e t 4 ln(k K)dt, K() = K og K(T ) = K T. (a) Vis at funksjonen F (t, K, K) = e t 4 ln(k K) er konkav som funksjon i K og K. (b) Vis at Euler-likningen kan skrives på formen a K + b K + ck = der a, b og c er konstanter. (c) Løs variasjonsproblemet. Løsning. (a) Vi har F K = e t 4 K K = F K = e t 4 = K K F KK = 4e t 4 (K K) F K K = e t 4 (K K) F KK = e t 4 (K K) F K K = e t 4 (K K) Vi har at F KK = t 4e 4 (K K) og at F K K = t e 4 (K K). Videre er F KKF K K ( F ) 4e t 4 K = ( K (K K) )( e t 4 (K K) ) ( e t 4 (K K) ) = Dette viser at F (t, K, K) = e t 4 ln(k K) er konkav som funksjon i K og K. (b) Euler: F K d dt ( F K ) = e t 4 K K d dt ( e t 4 ) =. K K Vi må være litt forsikninge når vi regner ut d dt ( t e 4 K K ) og huske på at K og K er funksjoner i t : d dt ( e t 4 K K ) = 4 e t 4 (K K) ( e t 4 )( K K) (K K) Dermed blir Euler-likningen: = e t 4 = e t 4 K 4 K + K K (K K) K K K (K K) e t 4 K K e t 4 K + 3 K 4 K (K K) = e t (K K) ( 4 K + 7 K 4 K) (K K) For at dette skal være tilfredstilt må vi ha K 5 4 K + 7 K = = e 4K K t 4 K 7 K 4 + K (K K) K = e 5 K t K (K K) = 5

150 Løsning. (fortsetter.) (c) Karakteristisk likning er r 5 4 r + 7 =. Denne har løsningene r = og r = 7 4. Derfor får vi: K(t) = Ae t + Be 7 4 t. Videre er K() = A + B = K og K(T ) = Ae T + Be 7 4 T = K T. Dette gir B = K A og Ae T + (K A)e 7 4 T = K T. Løser vi den siste likningen med hensyn på A får vi: Dermed er Løsningen blir derfor K(t) = A = K T K e 7 4 T e T e 7 4 T B = K K T K e 7 4 T e T e 7 4 T = K e T K T e T e 7 4 T e T e 7 4 T ((K T K e 7 4 T )e t + (K e T K T )e 7 4 t ). 6

151 Løsninger til oppgaveark 5: Summer, rekker og Taylorpolynomer. Trond Stølen Gustavsen 9. februar, Oppgave. Oppgave 5.3 i [BOST] (6. utgave) Løsning. Se fasit til læreboka. Oppgave. Oppgave 5.3 i [BOST] (6. utgave) Løsning. Se fasit til læreboka. Oppgave 3. Regn ut summen k= n (k + 5k + ) k= ved å bruke formlene n k = n n(n + )(n + ) og 6 Sjekk svaret i tilfellet n = 3 ved direkte utregning. Løsning. Vi bruker regnereglene for summer og får n n n (k + 5k + ) = k + 5k + k= = k= k= k= k= n n k + 5 k + k= k = n(n + ). n k= n = 6 n(n + )(n + ) + 5 n(n + ) + n = 3 n + 3n + 3 n3 For n = 3 får vi 3 (k + 5k + ) = ( ) + ( ) + ( ) k= Fra formelen får vi = 47 k= = 47. Oppgave 4. Oppgave 5.5 og 5.6 i [BOST] (6. utgave) Løsning. Se fasit til læreboka.

152 Oppgave 5. Regn ut s n = n. Hva vil s n gå mot når n går mot uendelig? Regn ut 4 n. Løsning. I følge formel har vi n= s n = n = ( ) n 4 4 = Når n går mot uendelig vil ( n 4) gå mot. Derfor vil sn gå mot 4 3. Fra formel har vi 4 n = = n= ( ) n. 4 Oppgave 6. Oppgave 5.5 og 5.6 i [BOST] (6. utgave) Løsning. Se fasit til læreboka. Oppgave 7. La f(x) = x + = x x Finn Taylorpolynomet P (x) av grad rundt x = til denne funksjonen. Tegn f(x) og P (x) i samme koordinatsystem. Løsning. For å finne dette Taylorpolynomet må vi finne de deriverte av første og andre orden: f(x) = x + = f (x) = (x ) = f (x) = (x ) 3 Dermed får vi f() =, f () =, f (x) =. Taylorpolynomet blir da: P (x) = f() + f ()x + f () x! = x x = x x y x P 3 (x) = x x f(x) = x x

153 Oppgave 8. Anta at vi har funnet løsningen y(t) av initialverdiproblemet ẏ = y, y() = 3. Finn Taylorpolynomet P (t) av grad rundt t = uten å løse differensiallikningen. (For de intereserte: Løs deretter differensiallikningen, og finn Taylorpolynomet på en annen måte.) Løsning. Taylorpolynomet er gitt ved P (t) = y() + y ()t + y (t) t! Vi har y() = 3. For å finne y () bruker vi at y = ẏ = y. Derfor har vi y () = y() = 3 = 8. Siden ẏ = y får vi at ÿ = yẏ Derfor er y () = y()y () = 3 ( 8) = 48. Dermed: P (t) = 3 + ( 8) t + 48! t = 3 8t + 4t. Likningen ẏ = y er separabel og vi får dy y dt = = y dy = dt Integralet y dy løses ved delbrøkoppspaltning og gir Derfor får vi y dy = ln (y + ) ln (y ) + C når y > ln = ln y + y + y + C = ln y + C. y + y = t + C = Vi setter nå y = 3 og t = : = e e C Dermed får vi at e C =. Vi har altså kommet frem til y + y = e t. Hvis vi opphøyer i andre på begge sider, får vi y + y = et Dette kan vi løse med hensyn på y: y(t) = + et e t. Regner vi ut Taylorpolynomet på vanlig måte, får vi: Dette gir y + y = et+c = e t e C. y(t) = + et e t = y() = + = 3 y e t (t) = 8 4e 4t 4e t + = y () = = 8 y 6e t + 3e 4t (t) = 6e t e 4t + 8e 6t = y () = = 48 = 48 P (t) = 3 + ( 8) t + 48! t = 3 8t + 4t. 3

154 Oppgave 9. Finn Taylorrekken til rundt x =. f(x) = x Løsning. Vi får: f(x) = x = f (x) = = f (n) (x) = Taylorrekken blir: n= ( x) = f (x) = ( x) 3 = f (x) = 3 ( x) 4 n! ( x) n+ = f (n) () = n! f (n) () x n = n! = n! n! xn x n = + x + x + x 3 + n= n= Kan du se sammenhengen med geoemtriske rekker? Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5). 4

155 Løsninger til oppgaveark 6: Introduksjon til sannsynlighetsregning. Trond Stølen Gustavsen 6. februar, 9 Oppgave. Gå ut fra at utfallsrommet er S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Definer begivenhetene E = {, 4, 5} og F = {5, 6, }. Finn utfallene som er gunstige for F E. Finn E c og F c. Finn E F. Finn en mengde G slik at F og G er disjunkte samtidig som også E og G er disjunkte og slik at G E F = S. Løsning. F E = {5} så 5 er det eneste gunstige utfall for F E. E c = {, 3, 6, 7, 8, 9, }. F c = {,, 3, 4, 7, 8, 9}. E F = {, 4, 5, 6, }. G = (E F ) c = {, 3, 7, 8, 9}. Oppgave. Foss og Gustavsen er de eneste som kan svare på et matematisk spørsmål. Vi kan betrakte følgende begivenheter F = Gustavsen er tilstede G = Foss er tilstede H = Minst en er tilstede I = Ingen er tilstede J = Begge er tilstede Gå ut fra at P (G) =.9, P (F ) =.9. Anta at F og G er uavhengige hendelser. Finn P (H) og P (I). Løsning. Vi har at J = F G og H = F G Dessuten vet vi at P (F G) = P (F ) + P (G) P (F G) og P (J) = P (F G) = P (F ) P (G) =.9.9 =.8 siden F og G er uavhengige. Derfor får vi: P (H) = P (F ) + P (G) P (J) = =.99 For å finne P (I) legger vi merke til at I = H c. Derfor får vi P (I) = P (H c ) = P (H) =.99 =. Oppgave 3. I en hatt har vi nummererte lapper, med et av tallene fra til på hver lapp. Jeg trekker en lapp fra hatten, og forteller deg at tallet på lappen er minst 3. Regn ut sannsynligheten for at tallet er.

156 Løsning. Vi har utfallsrommet S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } Vi lar E = {} betegne begivenheten at jeg har trukket tallet, og vi lar F = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } betegne begivenheten at tallet er minst 3. Da er sannsynligheten for at tallet er gitt opplysningen om at tallet er minst 3, gitt ved P (E F ) = E F P (F ) Vi har at E F = {} {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } = {} = E så hvis siden alle tallene i utgangspunktet er like sannsynlige, har vi P (F ) = P (E F ) = E F P (F ) = P (E) 8 = 8. Oppgave 4. Oppgave.3 i [ROSS]. Du slår mynt inntill du får kron to ganger på rad. Hva er utfallsrommet til dette eksperimentet. Hva er sannsynligheten for at du kastet mynten nøyaktig fire ganger? Løsning. Utfallsrommet er mengden av alle sekvenser X X X n KK av variabel lengde n + hvor det ikke er to K er etterhverandre bortsett fra på de to siste plassene. De to enste mulighetene for sekvenser av lengde 4 er MMKK KMKK Vi har P ({MMKK}) = = 6 og P ({MMKK}) = = 6. Vi får derfor P ({MMKK, MMKK}) = = 8. Oppgave 5. Oppgave.4 i [ROSS]. Gå ut fra at E, F og G er tre begivenheter. Finn utrykk for begivenheten at blandt begivenhetene E, F og G, så () inntreffer bare E, () inntreffer både E og F men ikke G, (3) inntreffer minst en av begivenhetene, (4) inntreffer minst to av begivenhetene, (5) inntreffer alle tre begivnhetene, (6) inntreffer ingen av begivenhetene, (7) inntreffer ikke mer en en av begivenhetene, (8) inntreffer ikke mer en to av begivenhetene. Løsning. () inntreffer bare E : E F c G c () inntreffer både E og F men ikke G : E F G c (3) inntreffer minst en av begivenhetene: E F G (4) inntreffer minst to av begivenhetene: (E F ) (E G) (F G) (5) inntreffer alle tre begivnhetene: E F G (6) inntreffer ingen av begivenhetene: E c F c G c = (E F G) c (7) inntreffer ikke mer en én av begivenhetene: ((E F ) (E G) (F G)) c (8) inntreffer ikke mer en to av begivenhetene: (E F G) c Oppgave 6. Oppgave.5 i [ROSS]. En person spiller i Las Vegas som følger: Han satser en krone på at rulletten skal stoppe på rød. Hvis han vinner, så stopper han. Hvis han ikke vinner, sattser han igjen på at rulletten skal stoppe på rød, men denne gangen satser han to kroner. Etter dette slutter han uansett utfall. Hvis vi antar at sannsynligheten for rød er, hva er da sannsynligheten for at han går hjem som vinner? Hvorfor brukes ikke dette systemet av alle?

157 Løsning. Sannsligheten for at han vinn på første forsøk, er. Sannsyligheten for at han vinner på andre forsøk, er = 4. Disse to hendelsene er disjunkte, så sannsynligheten for at han vinner er dermed + 4 = 3 4. Hvis han vinner, vinner han bare krone, men dersom han taper, taper han 3 kroner. Oppgave 7. Oppgave.8 i [ROSS]. La E og F være to begivenheter. Vis at P (E F ) P (E) + P (F ) Dette kalles Bonferroni s ulikhet. Løsning. Vi har likheten P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ) P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ). Vi har dermed P (E F ) P (E) + P (F ) P (E F ) P (E F ) Siden ingen sannsynligheter er større en, er dette oppfylt. Oppgave 8. Oppgave. i [ROSS]. Hvis to terninger (rettferdige) kastes, hva er sannsynligheten for at summen er i, i =, 3,...,? Løsning. Utfallsrommet er: S = {(, ),..., (6, 6)}. i = : eneste mulighet er (, ), P ({(, )}) = 36. i = 3 : det er to muligheter (, ) og (, ), P ({(, ), (, )}) = 36 = 8 i = 4 : det er følgende muligheter: (, 3), (, ), (3, ) : P = 3 36 = i = 5 : det er følgende muligheter: (, 4), (, 3), (3, ), (4, ) : P = 4 36 = 9 i = 6 : (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, ) : P = 5 36 i = 7 : (, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, ) : P = 6 36 = 6 i = 8 : (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) : P = 5 36 i = 9 : P = 4 36 i = : P = 3 36 i = : P = 36 i = : P = 36 Legg merke til at = Oppgave 9. Oppgave. i [ROSS]. Gå ut fra at vi utfører et eksperiment med utfallsrom S. La E og F være begivenheter slik at E F =, det vil si at E of F utelukker hverandre. Anta at vi gjentar eksperimentet inntil enten E eller F inntreffer. Hvordan ser utfallsrommet til det nye eksperimentet ut? Vis at sannsynligheten for at begivenheten E inntreffer før begivenheten F, er P (E) P (E) + P (F ). 3

158 Løsning. Gå ut fra at S = {u, u,..., u m }. Det nye utfallsrommet S består av sekvenser u i u i u in av variabel lengde n der u ij ikke er med i E eller F når j < n, mens u in er i E eller F. La G være begivenheten at E inntreffer først. Vi har Vi har P ({u i u i u in }) = ( P (E F )) n P (E) hvis u in er i E P (G) = ( P (E F )) n P (E) n= = P (E) ( P (E F )) = P (E) P (E F ) P (E) = P (E) + P (F ) Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Sannsynligheten for å vinne på en enkelt terningkast er p. A starter, og hvis han ikke vinner, går turen til B. De fortsetter slik til en av dem vinner. Hva er sannsnyligheten for at A vinner? Hva er sannsnyligheten for at B vinner? Løsning. Utfallsrommet kan sies å være S = {,, 3, 4, 5,... }. Utfallet 3 betyr at terningen er kastet 3 ganger. Hvis utfallet er et partall er det B som vinner. Er utfallet et oddetall er det A som vinner. Vi har at P ({n}) = ( p) n p. Begivenheten A = {, 3, 5, 7,... } at A vinner har sannsynlighet P (A) = P ({k + }) = = k= ( p) (k+) p k= ( p) k p k= = p + ( p) p + ( p) 4 p + = p ( p) p = ( p) = p Begivenheten B = {, 4, 6,... } at B vinner har sannsynlighet P (B) = P ({k}) = k= ( p) k p k= = ( p)p + ( p) 3 p + = ( p)p ( p) = p p 4

159 Oppgave. Oppgave.5 i [ROSS]. To kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk. (a) Hva er sannsynligheten for et par? (F.eks. to konger.) (b) Hva er sannsynligheten et par gitt at kortene har forskjellige kortfarger? (F.eks. kølverkonge og sparkonge.) Løsning. (a) La A være begivenheten at vi får et par. Vi kan tenke at vi først trekker et kort. Etter dette er det 5 kort igjen i kortstokken. Blandt disse er 3 gunstige kort. Derfor er sannsynligheten for å få et par P (A) = 3 5. (b) La B være begivenheten at vi trekker to kort med forskjellige farger. Vi har at P (B) = 5 5 = 3 7. Vi har P (A B) = P (A) = 3 5 Vi har at sannsynligheten for et par gitt at kortene har forkjellige kortfarge er gitt ved P (A B) = P (A B) P (B) = = 3 Oppgave. Oppgave.46 i [ROSS]. Tre fanger blir informert av fangevokteren at en av dem har blitt tilfeldig utvalgt til å henrettes. De to andre skal settes fri. Fange A spør fangevokteren om å fortelle ham (uten at de andre hører det) hvem av de to andre fangene som skal settes fri, i det han påstår at det ikke vil skade å gi denne informasjonen siden han allerede vet at en av dem skal settes fri. Fangevokteren nekter å svare på dette spørsmålet med følgende begrunnelse: Hvis A vet hvem som skal settes fri, vil hans egen sannsnynlighet for å bli henrettet vokse fra 3 til, siden han da vil være en av to fanger. Hva mener du om fangevokterens argumentasjon? Løsning. Se Prisoners Problem Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 5

160

161 Løsninger til oppgaveark 7: Stokastiske variable. Trond Stølen Gustavsen. februar, Oppgave. Oppgave. i [ROSS].En urne inneholder fem røde, to blå og tre grønne kuler. To kuler trekkes tilfeldig (uten tilbakelegging,) Hva er utfallsrommet til dette eksperimentet? La X representere antall grønne kuler som er valgt. Hvilke mulige verdier er det for X? Beregn P ({X = }). Løsning. Utfallsrommet er S = {RR, RG, RB, GG, GB, BB}. Her betyr for eksempel RR at vi har trukket to røde kuler, og RB at vi har trukket en rød og en blå ball. X kan være, eller. Vi skal beregne P ({X = }) det vil si sannsynligheten for at ingen av de to kulene som vi har trukket, er grønne. Sannsynligheten for at den første kulen vi trekker 5+ ikke er grønn, er = 7 Sannsynligheten for at den andre kulen vi trekker er, ikke er grønn, gitt at den første ikke er grønn, er 6 9. Derfor er P ({X = }) = = 7 5 (Som en sjekk kan vi også beregne P ({X = }) og P ({X = }). Vi har at 3 P ({X = }) = 7 9 = 7 5 og P ({X = }) = 3 9 = 5 Vi har =. En annen måte å tenke på er som følger: Hver av kulene i hatten har også et nummer til. Kulene til 5 er røde, 6 og 7 er blå, og 8, 9 og er grønne. Vi trekker først en kule, deretter en kule til. Utfallsrommet er S = {(, ), (, ), (, 3),..., (, ),..., (, ),..., (, 9)}. Da er {X = } = {(x, y) x 7, y 7, x y} = {(, ),..., (7, 6)}. Vi går ut fra at alle utfallene i S er like sannsynlige. Det er 49 7 = 4 elementer i mengden {X = } og S inneholder totalt 9 utfall. Derfor får vi P ({X = }) = 4 9 = 7 5. Vi har at {X = } består av (x, y) i S hvor enten x eller y er 8, 9 eller. Denne mengden inneholder 4 elementer. P ({X = }) = 4 9 = 7 5 Vi har {X = } = {(8, 9), (8, ), (9, 8), (9, ), (, 8), (, 9)}. Derfor får vi P ({X = }) = 6 9 = 5. Oppgave. Oppgave. og.3 i [ROSS]. La X representere differansen mellom antall kron og antall mynt som vi får etter å ha kastet mynten n ganger. Hvilke verdier kan X ha? Hvis n er, hvilke sannsynligheter er tilordnet de ulike mulige verdiene X kan ha?

162 Løsning. X kan ta noen av verdiene fra n til n. La K n være antall kron og M n være antall mynt. Da er X = K n M n. Vi har at K n =,,,..., n. Vi har at M n = n K n. Derfor er X = K n (n K n ) = K n n. Dette betyr at X kan være n, n +, n + 4, n + n. For eksempel når n = :,, Når n = 3 : 3,,, 3 Når n = 4 : 4,,,, 4 I tilfelle n =, kan vi si at utfallsrommet er S = {KK, MK, KM, MM}. Alle utfallene er like sannsynlige. {X = } = {KK} = P ({X = }) = 4 {X = } = {MK, KM} = P ({X = }) = {X = } = {MM} = P ({X = }) = 4 Oppgave 3. Oppgavene.4 og.5 i [ROSS]. Anta at en terning blir kastet to ganger. Hva er de mulige verdiene som følgende stokastiske variable kan anta? Hva er sannsnyligheten knyttet til hver av mulighetene? (i) X er maksimumsverdien som forekommer i de to kastene. (ii) X er minimumsverdien som forekommer i de to kastene. (iii) X er summen av resultatene fra de to kastene. (iv) X er resultatet fra det første kastet minus resultatet fra det andre kastet.

163 Løsning. Utfallsrom S = {(, ),..., (6, 6)} (i),, 3, 4, 5, 6, {X = } = {(, )} = P ({X = }) = 36 {X = } = {(, ), (, ), (, )} = P ({X = }) = 3 36 {X = 3} = {(, 3), (, 3), (3, 3), (3, ), (3, )} = P ({X = 3}) = 5 36 {X = 4} = {(, 4), (, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 3), (4, ), (4, )} = P ({X = 4}) = 7 36 {X = 5} = {(, 5), (, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 4), (5, 3), (5, ), (5, )} = P ({X = 5}) = 9 36 {X = 6} = {(, 6), (, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, ), (6, )} = P ({X = 6}) = 36 (ii),, 3, 4, 5, 6 {X = } = {(6, ), (5, ), (4, ), (3, ), (, ), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6)} = P ({X = }) = 36 P ({X = }) = 9 36 P ({X = 3}) = 7 36 P ({X = 4}) = 5 36 P ({X = 5}) = 3 36 P ({X = 6}) = 36 (iii), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, {X = } = { (, )} = P ({X = }) = 36. {X = 3} = {(, ), (, )} = P ({X = 3}) = 36 = 8 {X = 4} = {(, 3), (, ), (3, )} = P ({X = 4}) = 3 36 = {X = 5} = {(, 4), (, 3), (3, ), (4, )} = : P ({X = 5}) = 4 36 = 9 {X = 6} = { (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, )} = P ({X = 6}) = 5 36 {X = 7} = {(, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, )} = P ({X = 7}) = 6 36 = 6 {X = 8} = {(, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, )} = P ({X = 8}) = 5 36 P ({X = 9}) = 4 36 P ({X = }) = 3 36 P ({X = }) = 36 P ({X = }) = 36 (iv) 5, 4,...,,..., 4, 5 {X = 5} = {(, 6)} = P ({X = 5}) = 36 {X = 4} = {(, 5), (, 6)} = P ({X = 4}) = 36 {X = 3} = {(, 4), (, 5), (3, 6)} = P ({X = 3}) = 3 36 {X = } = {(, 3), (, 4), (3, 5), (4, 6)} = P ({X = } = 4 36 {X = } = {(, ), (, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} = P ({X = }) = 5 36 {X = } = {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} = P ({X = }) = 6 36 {X = } = {(, ), (, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} = P ({X = }) = 5 36 P ({X = }) = 4 36 P ({X = 3}) = 3 36 P ({X = 4}) = 36 P ({X = 5}) = 36 Oppgave 4. Oppgave.6 i [ROSS]. Anta at vi kaster fem rettferdig mynter. La E være begivenheten at fem mytene lanner på kron. Definer den stokastiske variabelen I E ved at { if E inntreffer I E = if E c inntreffer For hvilke utfall i det opprinnelige utfallsrommet blir I E lik? Hva er P ({I E = })? Løsning. Utfallsrommet er S = {MMMMM, KMMMM,..., KKKKK}. Det er bare en mulighet som gjør at E intreffer nemlig KKKKK. Vi har at P ({I E = }) = P (E) = P (KKKKK) = ( ) 5 = 3 3

164 Oppgave 5. Oppgave.7 i [ROSS]. Anta at en mynt har sannsynlighet.7 for å havne på kron. La X være antall kron vi får tilsammen i tre kast. Finn sannsynlighetstettheten til X. Løsning. Vi kan få,, eller 3 kron i de tre kastene, og dette er en binomial stokastisk variabel med parametere (3,.7). Derfor er sannsynlighetstettheten gitt ved ( ) 3 p(i) = (.7) i (.3) 3 i. i Vi får: p() = ( 3 ) (.7) (.3) 3 =.7 p() = ( 3 ) (.7) (.3) =.89 p() = ( 3 ) (.7) (.3) 3 =.44 p(3) = ( 3 3) (.7) 3 (.3) 3 3 =.343 Test: = Oppgave 6. Oppgave.8 i [ROSS]. Gå ut fra at den kumulative fordelingsfunksjonen til X er gitt ved, b < F (b) =, b <, b < Finn sannsynlighetstettheten til X. Løsning. Sannsynligheten P ({X = b}) bare i diskontinuitetspunktene til F. Vi får P ({X = }) = F () F ( ) = = P ({X = }) = F () F () = = P ({X = }) = F () F () = = På samme måte får vi P ({X = b}) = for alle b >. Oppgave 7. Oppgave.9 i [ROSS]. Gå ut fra at den kumulative fordelingsfunksjonen til X er gitt ved, b < Finn sannsynlighetstettheten til X. F (b) =, b < 3 5, b < 4 5 b < b < 3.5 b 3.5 Løsning. Sannsynligheten P ({X = b}) bare i diskontinuitetspunktene til F. Vi får P ({X = }) = = P ({X = }) = 3 5 = P ({X = }) = = 5 P ({X = 3}) = = P ({X = 3.5}) = 9 = 4

165 Oppgave 8. Oppgave. i [ROSS]. Vi kaster tre terninger. Hva er sannsynligheten for at vi får maksimalt en sekser? Løsning. Vi kan modellere dette som følger. Vi kaster en terning tre ganger etter hverandre, og merker oss bare om vi får en sekser eller ikke. En sekser er suksess og det er p = 6 sannsynlighet for dette. Sannsynlighetstettheten er da ( ) 3 p() = ( 6 ) ( 6 )3 = 5 =.347 p() = ) ( 3 7 ( 6 ) ( 6 )3 = 5 6 = Sannsynligheten for at vi får maksimalt en sekser er = 5 = Oppgave 9. Oppgave. i [ROSS]. En kule trekkes fra en urne som inneholder tre hvite og tre sorte kuler. Etter at en kule er trukket, legges den tilbake, og det trekkes en ny kule. Dette forsetter i det uendelige. Hva er sannsynligheten for at eksakt to av de fire første kulene, er hvite? Løsning. Hver gang vi trekker en kule, har vi sannsynlighet en for å få hvit kule. Vi trekker fire ganger, og sannsynligheten for at vi har suksess to ganger er gitt ved p() der ( ) 4 p(i) = ( i )i ( )4 i. Dermed har vi p() = ( ) 4 ( ) ( )4 = 3 8. Oppgave. Oppgave. i [ROSS]. På en flervalgseksamen er det tre mulige svar på hver oppgave. Det er fem spørsmål. Hva er sannsynligheten for at en student skal få fire eller flere rette svar, bare ved å gjette. Løsning. På hvert spørsmål er sannsynligheten for korrekt svar 3. La X være antall riktige svar. Sannsynligheten for fire riktige svar er P ({X = 4}) = p(4) = ( 5 4 Sannsynligheten for å få 5 riktige er, P ({X = 5}) = p(5) = ) p 4 ( p) 5 4 = 5p 4 ( p) = 5 ( ) 5 p 5 ( p) 5 5 = 5 ( 3 ( ) 5 = 3 43 ) 4 ( ) = 3 43 Sannsynligheten for å få fire eller flere rette svar er dermed P ({X 4}) = P ({X = 4} + P ({X = 5}) = = 43. Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. En person påstår at han har overnaturlige evner. Som en test kaster vi en mynt ganger, og personen blir spurt om å forutse utfallet på forhånd. Han får 7 av riktige. Hva er sannsynligheten for at han hadde gjort det minst like bra uten å ha overnaturlige evner? 5

166 Løsning. La X være antall riktige forutsigelser. Uten overnaturlige evner, går vi ut fra at sannsynligheten for å forutse riktig utfall er p =.5. Vi vil se på sannsynligheten for at X 7, altså P ({X 7}). Vi har Vi har at P ({X 7}) = P ({X = 7}) + P ({X = 8}) + P ({X = 9}) + P ({X = }) P ({X = n}) = p(n) = Dermed er ( ) p n ( p) n = n P ({X 7}) = i=7 ( i ) ( ( n ) ( ) n ( ) n = ) = = ( n ) ( ). Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Gå utfra at X har en binomialfordeling med parametere n = 6 og p =. Vis at X = 3 har høyest sannsynlighet. Løsning. Vi får at X kan anta verdiene,,,..., 6. Vi har at ( ) ( ) ( 6 6 P ({X = i}) = p i ( p) 6 i = i i Fra Pascals trekant ser vi at det alltid er den (de) midterste binomialkoeffisientene som er størst, altså i = 3. Vi kan også beregne alle 6, og får da: ( ) ( ) 6 6 P ({X = }) = = 64 ( ) ( ) 6 6 P ({X = }) = = 6 64 ( ) ( ) 6 6 P ({X = }) = = 5 64 ( ) ( ) 6 6 P ({X = 3}) = = 3 64 ( ) ( ) 6 6 P ({X = 4}) = = ( ) ( ) 6 6 P ({X = 5}) = = ( ) ( ) 6 6 P ({X = 6}) = = 6 64 Vi ser at P ({X = 3}) er størst. ) 6 Oppgave 3. Oppgave.6 i [ROSS]. Et flyselskap vet av erfaring at det er 5 prosent sjanse for at en passasjer på en bestemt flygning ikke vil møte. Derfor selger de 5 biletter, selv om det kun er 5 seter. Hva er sannsynligheten for at plass til alle som møter? 6

167 Løsning. Vi tolker oppgaven slik at en person møter til avgang med sannsynlighet.95. La X være antall som møter. Da er ( ) ( ) 5 5 P ({X = n}) = p(n) = p n ( p) 5 n = (.95) n (.5) 5 n n n Vi har Dermed er ( ) 5 P ({X = 5}) = (.95) 5 (.5) 5 5 = (.95) 5 5 ( ) 5 P ({X = 5}) = (.95) 5 (.5) 5 5 = 5(.95) 5 (.5) 5 P ({X 5}) = P ({X = 5}) P ({X = 5}) = (.95) 5 5(.95) 5 (.5) =.74 5 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 7

168

169 Løsninger til oppgaveark 8: Kontinuerlige fordeligner. Forventing. Trond Stølen Gustavsen. mars, Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. La X være en Poisson stokastisk variabel med parameter λ.vis at P ({X = i}) først er stigende og så avtangende, med maksimum nor i er det største heltallet mindre eller lik λ. Løsning. Vi har Videre er λ λi P ({X = i}) = p(i) = e i!. P ({X = i}) P ({X = i }) = e λ i λ i! e λ λ i (i )! = λi (i )! λ i i! = λi (i )! λ i i(i )! = λ i Fra dette ser vi at Altså er P ({X = i}) = λ P ({X = i }) i P ({X = i}) > P ({X = i }) når λ i > og P ({X = i}) < P ({X = i }) når λ i <. Første gang P ({X = i}) < P ({X = i }) er altså første gang λ i < λ < i. Dermed for vo størst verdi i det λ er så nær opptil i som mulig, men ikke større. Oppgave. Oppgave.3 i [ROSS]. Sammenlikn Possion tilnærmingen med den korrekte binomialsannsynligheten i følgende tilfeller: (i) P ({X = }) når n = 8, p =.. (ii) P ({X = 9}) når n =, p =.95. (iii) P ({X = }) når n =, p =.. (iv) P ({X = 4}) når n = 9, p =.. Løsning. (i) n = 8, i =, p =. = ( ) n i p i ( p) n i = ( 8 ) (.) (.) 8 =.488 λ λi λ = np = 8. =.8 = e i! = e.8 (.8)! =.4379 (ii) n =, i = 9, p =.95 = ( ) n i p i ( p) n i = ( ) 9 (.95) 9 (.95) 9 =.35 λ λi λ = np =.95 = 9. 5 = e i! = e 9.5 (9.5) 9 9! =.3 (iii) n =, i =, p =. = ( ) n i p i ( p) n i = ( ) (.) (.) = λ λi λ = np =. =. = e i! = e! = e = (iv) n = 9, i = 4, p =. = ( ) n i p i ( p) n i = ( 9 4) (.) 4 (.) 9 4 =.66 6 λ λi λ = np = 9. =. 8 = e i! = e.8 (.8) 4 4! = 7. 3

170 Oppgave 3. Oppgave.3 i [ROSS]. Du kjøper et lodd i 5 forskjellige lotterier. I hvert lotteri har du sjanse til å vinne. Hva er sannsynligheten for at du vinner (i) minst en gang, (ii) nøyaktig en gang, (iii) minst to ganger? Løsning. Vi har n = 5 eksperimenter med p = sannsynlighet for suksess, så antall ganger vi vinner er en binomiell stokastisk variabel X. Dermed er ( ) ( ) n 5 P ({X = i}) = p i ( p) n i = (.) i (.) 5 i i i = ( 5 i ). i.99 5 i (i) P ({X }) = P ({X = }) = ( ) = (ii) P ({X = }) = ( ) = (iii) P ({X }) = P ({X < }) = P ({X = }) P ({X = }) = ( ) ( 5 ) = Med Possiontilnærmingen: λ λi (np)i.5 (.5)i P ({X = i}) = e = e np = e i! i! i! (i) P ({X }) = P ({X = }) = e.5 (.5)! = (ii) P ({X = }) = e.5 (.5)! =.33 7 (iii) P ({X }) = P ({X < }) = P ({X = }) P ({X = }) = e.5 (.5)! e.5 (.5)! = 9. 4 Oppgave 4. Oppgave.33 i [ROSS]. La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { c( x f(x) = ), < x <, ellers (a) Hva må c være? (b) Finn den kumulative fordelingen til X. Løsning. (a) Vi må ha at Vi har at Derfor får vi (b) Vi har f(x)dx = f(x)dx =. F (b) = P ({X b}) = c( x )dx = 4 3 c 4 3 c = = c = 3 4. b f(x)dx hvis b b = c( x )dx hvis < b < ellers = hvis b 3 4 b 4 b3 + hvis < b < ellers

171 Oppgave 5. Oppgave.34 i [ROSS]. Gå ut fra at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved { c(4x x f(x) = ), < x <, ellers (a) Hva må c være? (c) Regn ut P ({ < x < 3 }). Løsning. (a) Vi har at Derfor får vi (b) f(x)dx = P ({ < x < 3 }) = 3 c(4x x )dx = 8 3 c 8 3 c = = c = 3 8. f(x)dx = (4x x )dx = 6 Oppgave 6. Vi sier at en stokastisk variabel X er uniformt fordelt på intervallet (α, β) hvis sannsynlighetstettheten er gitt ved f(x) = { β α hvis α < x < β ellers Beregn den kumulative fordelingen til en uniformt fordelt stokastisk variabel X. Løsning. F (b) = b f(x)dx. Vi ser at hvis b er mindre en α, så er f(x) =. Altså får vi Når α < b < β, får vi Hvis b β, får vi Dermed blir resultatet F (b) = F (b) = b F (b) = b b f(x)dx = dx = når b α. b a f(x)dx = β α dx = b a β α. β α β α dx =, b α b a F (b) = β α, α < b < β, b β. Oppgave 7. Vi ser at en kontinuerlig stokastisk variabel er en eksponensiel stokastisk variabel med parameter λ, hvis sannsynlighetstettheten er gitt ved { λe λx hvis x f(x) = hvis x < Beregn den kumulative fordelingen til en eksponensiel stokastisk variabel med parameter λ. 3

172 Løsning. Hvis b <, så får vi F (b) = og for b, F (b) = b b f(x)dx = b f(x)dx = λe λx dx = e λb. Oppgave 8. Oppgave.35 i [ROSS]. Gå ut fra at sannsynlighetstettheten til X er gitt ved { f(x) = x, x >, x (a) Finn den kumulative fordelingen til X. (b) Finn P ({X > }). Løsning. (a) (b) F (b) = P ({X b}) = b f(x)dx { b = x dx = [ x ]b hvis b > b { = b hvis b > hvis b P ({X > }) = P ({X }) = F () = ( ) = Oppgave 9. Oppgave.38 i [ROSS]. La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { ce x for < x < f(x) =, x < Finn c og P ({X > }). Løsning. Vi må ha at Vi har at Derfor får vi Dermed får vi P ({X > }) = f(x)dx = f(x)dx =. ce x dx = c c = = c = c =. f(x)dx = ce x dx = ce 4 P ({X > }) = ce 4 = e 4 = e 4 Oppgave. Oppgave.39 i [ROSS]. La X være en diskret stokastisk variabel med sannsynlighetstettet gitt ved Beregn E[X]. p() =, p() = 3, p(4) = 6. 4

173 Løsning. Vi har E[X] = p() + p() + 4 p(4) = = 3 6 Oppgave. Oppgave.4 i [ROSS]. Anta at to lag spiller en serie kamper. Kampene er uavhengige, og lag A vinner med sannsynlighet p og lag B vinner med sannsynlighet p. Det første laget som vinner fire kamper, har vunnet serien. Finn det forventede antall kamper, og beregn denne i tilfellet p =. Løsning. La X være antall kamper som blir spilt. Da kan X har verdiene 4, 5, 6, 7. Sannsynlighetsfordelingen blir p(4) = P ({X = 4}) = p 4 + ( p) 4 p(5) = P ({X = 5}) = 4p 3 ( p)p + 4( p) 3 p( p) p(6) = P ({X = 6}) = p 3 ( p) p + p ( p) 3 ( p) p(7) = P ({X = 7}) = p 3 ( p) 3 p + ( p) 3 p 3 ( p) Vi får E[X] = 4p(4) + 5p(5) + 6p(6) + 7p(7) Setter vi inn p = = 4(p 4 + ( p) 4 ) + 5(4p 3 ( p)p + 4( p) 3 p( p)) + 6(p 3 ( p) p+ p ( p) 3 ( p)) + 7(p 3 ( p) 3 p + ( p) 3 p 3 ( p)) = 4p + 4p + 4p 3 5p 4 + 6p 5 p får vi E[X] = ( ) + 4 ( )3 5 ( )4 + 6 ( )5 ( )6 + 4 = Oppgave. Gå ut fra at X være en binomiel stokastisk variabel med parametre n = og p. Regn ut forventingsverdien E[X]. 5

174 Løsning. Sannsynlighetstettheten er gitt ved ( ) ( ) n p(i) = ( p) n i p i = ( p) i p i i i ( ) = ( p) i p i i Forventignsverdien er gitt ved Vi setter k = i og får ( ) E[X] = i ( p) i p i i i=! = i ( i)!i! ( p) i p i i=! = i ( i)!i(i )! ( p) i p i = = = E[X] = i= i= i= i=! ( i)!(i )! ( p) i p i 99! (99 (i ))!(i )! ( p) i p i 99! (99 (i ))!(i )! ( p) i p i 99 99! (99 k)!k! ( p) (k+) p k+ k= 99 ( ) 99 = ( p) 99 k p k+ k k= 99 ( ) 99 = p ( p) 99 k p k k k= = p(p + ( p)) 99 = p Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 6

175 Løsninger til oppgaveark 9: Forventing. Simultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 9. mars, Oppgave. Oppgave.48 i [ROSS]. Gå ut fra at X er uniformt fordelt over (, ). Beregn E[X]. Løsning. Svar 3. Oppgave. Oppgave.49 i [ROSS]. Vis at E[X ] (E[X]). Når har vi likhet? Løsning. Fra en setning har vi at E[X ] (E[X]) = Var(X) = E[(X E[X]) ] Siden (X E[X]), må vi også ha E[(X E[X]) ]. Derfor får vi E[X ] (E[X]) som er ekvialent med at E[X ] (E[X]). Når har vi likhet? E[X ] = (E[X]) er det samme som å si at E[X ] (E[X]) = E[(X E[X]) ] =. Men siden (X E[X]), kan E[(X E[X]) ] =, bare hvis hvis X er konstant. Oppgave 3. Oppgave.5 i [ROSS]. La c være en konstant. Vis at (i) Var(cX) = c Var(X). (ii) Var(c + X) = Var(X). Løsning. Vi har en setning som sier at hvis a og b er konstanter, er E[aX + b] = ae[x] + b Vi vet også at Var(X) = E[X ] (E[X]). (i) Var(cX) = E[(cX) ] (E[cX]) = E[c X ] (ce[x]) = c E[X ] c (E[X]) = c Var(X) (ii) Var(c + X) = E[(c + X) ] (E[c + X]) = E[c + cx + X ] (c + E[X]) = c + ce[x] + E[X ] (c + ce[x] + (E[X]) ) = c + ce[x] + E[X ] c ce[x] (E[X]) ) = E[X ] (E[X]) = Var(X)

176 Oppgave 4. Oppgave.37 og.5 i [ROSS]. (a) La X, X,..., X n være uavhenige stokastiske variable som alle er uniformt distribuert over (, ). Vis at den kumulative sannsynlighetsfordelingen F M til M = max(x, X,..., X n ) er gitt ved, b F M (b) = x n < b < b Finn også sannsynlighetstettheten, og forventingsverdien E[M]. (b) Gå ut fra at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { 3 f(x) = 4 ( x ) < x < ellers Finn forventingsverdien E[X]. (c) Gå ut fra at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { 3 f(x) = 8 (4x x ) < x < ellers Finn forventingsverdien E[X]. Løsning. (a) Per definisjon er F M (b) = P ({M b}). Men vi har at P ({M b}) = P ({max(x, X,..., X n ) b}) = P ({X b, X b,..., X n b}) = P ({X b}) P ({X n b}) Siden X i er uniformt distribuert over (, ), er den kumulative sannsynlighetsfordelingen F Xi gitt ved, b F Xi (b) = x < b < b Vi ser derfor at F M (b) = F X (b) F Xn (b), b = b n < b < b Vi finner sannsynlighetstettheten ved å derivere den kumulative sannsynlighetsfordelingen f M (b) = d, b db F M (b) = nb n < b < b Vi kan nå finne forventingsverdien E[M] = = xf M (x)dx xnx n dx n = [ n + xn ] = n n +. b) E[X] = xf(x)dx = x 3 4 ( x )dx = c) E[X] = xf(x)dx = x 3 8 (4x x )dx =

177 Oppgave 5. Oppgave.53 i [ROSS]. Gå ut fra at X er uniform over (, ). Beregn E[X n ] og Var(X n ). Løsning. E(X n ) = x n dx = n+ Var(X n ) = E [ (X n ) ] ( (E(X n )) = E(X n ) (E(X n )) = n+ ) n+ Oppgave 6. Oppgave.55 i [ROSS]. Gå ut fra at X er en positiv stokastisk variabel med tetthetsfunksjon f(x). Hvis f(x) c for alle x, vis at, for a >, P ({X > a}) ac Løsning. Da X er en positiv stokastisk variabel kan X bare anta positive verdier. Det vil si f(x) = for alle verdier av x. Dersom f(x) c for alle x så er Derfor P (X a) = a f(x)dx a cdx = ca P (X > a) = P (X a) ac. Oppgave 7. Eksamen Oppgave 3. (a) Anta at levetiden X for en komponent av type A har en sannsynlighetstetthet gitt ved: {.5x, x f(x) = ellers Beregn F (a) = P (X a). Hva er sannsynligheten for at komponenten har en levetid mindre eller lik? Hva er den forventede levetiden, E(X)? (b) Fra to komponenter av type A lages en komponent av type B. Komponent B virker dersom minst en av de av de to komponentene av type A virker. Dersom ingen av de to komponentene av type A virker vil ikke komponent B virke. Levetiden Y for komponent B vil derfor være maksimum av levetidene X og X for de to komponentene av type A. Regn med at X og X er uavhengige. Hva er sannsynligheten for at begge komponentene av type A har en levetid mindre enn? (c) La F B (x) = P (Y x) være sannsynligheten for at en komponent av type B skal ha en levetid mindre eller lik x. Forklar hvorfor F B (x) = (x.5x ) (d) Hva er sannsynlighetstettheten f B (x) for levetiden for komponent B? Hva er den forventede levetiden for komponent B? (e) Komponent C består også av to komponenter av type A. Komponent C virker hvis og bare hvis begge komponenter av type A virker. Hva er sannsynligheten for at komponent C skal ha en levetid mindre eller lik? 3

178 Løsning. (a) F (a) = a f(x)dx = a [ (.5x)dx = x.5 x ] a = a.5a Sannsynligheten for at komponenten har en levetid mindre eller lik er F () =.5 =.75 Forventet levetid E(X) = xf(x)dx = x (.5x)dx = (x.5x )dx = [ x ] x3.5 3 = = 3 =.6667 (b) Da levetiden for de to komponentene er uavhengige er sannsynligheten for at begge komponentene av type A har en levetid mindre enn lik F () F () =.75 =.565 (c) Skal komponent B skal ha en levetid mindre eller lik x må begge komponentene av type A ha en levetid på mindre eller lik x. Da levetiden for de to komponentene er uavhengige vil derfor F B (x) = P (X x) P (X x) = F (x) F (x) = (x.5x ) (d) f B (x) = F B (x) = (x.5x )(.5x) = (x.5x )(.5x) = x x.5x +.5x 3 =.5x 3.5x + x E(Y ) = xf B (x)dx = x(.5x 3.5x + x)dx = (.5x 4.5x 3 + x )dx = [ ].5 x5 x x3 3 =.9333 (e) Dersom komponent C skal ha en levetid som er mindre eller lik så må minst en av komponentene av typea ha en levetid som er mindre eller lik. La A være begivenheten at den første komponenten av type A har en levetid mindre eller lik. Definer A tilsvarende. Fra a) har vi funnet at P (A ) =.75, P (A ) =.75 Vi får derfor at sannsynligheten for at komponent C skal ha en levetid mindre eller lik er P (A A ) = P (A ) + P (A ) P (A A ) = =.9375 (Her har vi benyttet oss av at A og A er uavhengige.) Oppgave 8. Beregn følgende dobbeltintegraler. (a) (x + y)dxdy (b) yex dxdy (c) xy dydx 4

179 Løsning. (a) (b) ye x dxdy = (x + y)dxdy = = = = [ye x ] dy [ x + xy] dy ( + y)dy ( + y)dy = [y + y ] = 3 (ye y)dy = [ y e y ] = e ( e ) = 3 (e ) (c) xy dydx = = 4 Oppgave 9. Eksamen.6.3, Oppgave 3. Funksjonen f(x, y) er gitt ved: f(x, y) = x+ey e dersom x, y og f(x, y) = ellers. (a) Vis at f(x, y) er en sannsynlighetstetthet. To stokastiske variable X og Y er simultanfordelt med sannsynlighetstetthet f(x, y). (b) Beregn F (a, b) = b a f(x, y)dx dy. Beregn F (.5,.5). Hvordan vil du tolke dette svaret. (c) Vis at Beregn E(X). f x (x) = f(x, y)dy = x + e e 5

180 Løsning. f(x, y) = x+ey e dersom x, y og f(x, y) = ellers. ( ) [ ] x+e (a) f(x, y)dxdy = y x e dx dy = +e y x e dy = +e y e dy = (b) F (a, b) = b ( ) a +ae y e dy = [ ] y+e y e = +e ( b a [ ] b a y+ae y e e = ) f(x, y)dx dy = b = a b+ae b a e ( a ) x+e y e dx dy = b [ x +e y x e ] a dy = F (.5,.5) = e.5.5 e =.653 Sannsynligheten for at både X og Y samtidig skal anta verdier mindre eller lik.5 er.653. Det vil si P (X.5, Y.5) =.653 (c) f x (x) = x+e y e dy = E(X) = xf x (x)dx = 3 + e e [ ] xy+e y e x x+e e dx = = x+e e x +(e )x e dx = = 4+3e 3 6e = 3e+ 6e.563 Eksamensoppgavene og løsning er laget av Tron Foss. Referanser [ x 3 3 +(e ) x e [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty ] = 6

181 Løsninger til oppgaveark : Mer om siumultanfordelinger. Trond Stølen Gustavsen 6. mars, Oppgave. Oppgave.55 i [ROSS]. La X og Y være stokastiske variable som kan anta verdiene og. La Anta at E[X] = E[Y ] =. Vis at (a) p(, ) = p(, ) (b) p(, ) = p(, ) Finn (c) Var(X) (d) Var(Y ) (e) Cov(X, Y ) Løsning. Jeg innfører følgende notasjon Ut fra dette har vi p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) p(, ) = P ({X =, Y = }) p x ( ) = P ({X = }) = p(, ) + p(, ) p x () = P ({X = }) = p(, ) + p(, ) p y ( ) = P ({Y = }) = p(, ) + p(, ) p y () = P ({Y = }) = p(, ) + p(, ) E[X] = p x ( ) + p x () = p(, ) p(, ) + p(, ) + p(, ) = E[Y ] = p y ( ) + p y () = p(, ) p(, ) + p(, ) + p(, ) = Vi har E[X] + E[Y ] = p(, ) + p(, ) =. Dette medfører at p(, ) = p(, ). Videre har vi E[X] E[Y ] = p(, ) + p(, ) =. Dette medfører at p(, ) = p(, ). La nå p = p(, ). Siden p(, ) + p(, ) + p(, ) + p( ) = følger at p(, ) + p(, ) = (p(, ) + p(, )) = p(, ) = p. Dermed får vi Var(X) = E[X ] (E[X]) = ( ) p x ( ) + p x () = p x ( ) + p x () = Tilsvarende vil vi finne at og vi får Var(Y ) =, Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = E[XY ] = E[XY ] = ( )( )p(, ) + ( )()p(, ) + ()( )p(, ) + ()()p(, ) = p(, ) p(, ) p(, ) + p(, ) = p(, ) + p(, ) (p(, ) + p(, )) = p(, ) ( p(, )) = p ( p) = p Oppgave. Oppgave.76 i [ROSS]. La X og Y være uavhengige stokastiske variable med forventingsverdier E[X] = µ x og E[Y ] = µ y og varians Var(X) = σ x og Var(Y ) = σ y. Vis at Var(XY ) = σ xσ y + µ yσ x + µ xσ y.

182 Løsning. En setning sier at X og Y er uavhengige så vil E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]. Benytter vi denne setningen får vi: E[XY ] = E[X]E[Y ] = µ x µ y. Nå vet vi at σ x = Var(X) = E[X ] (E[X]) = E[X ] µ x. Fra dette følger at E[X ] = σ x + µ x. Tilsvarende finner vi at E[Y ] = σ y+µ y, E [ (XY ) ] = E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] = (µ x+σ x)(µ y+σ y), og Var(XY ) = E [ (XY ) ] (E [XY ]) = (µ x + σ x)(µ y + σ y) µ xµ y = σ xσ y + µ yσ x + µ xσ y Oppgave 3. Gå ut fra at X, Y og Z er stokastiske variable og at c er en konstant. Vis at () Cov(X, X) = Var(X) () Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (3) Cov(cX, Y ) = c Cov(X, Y ) (4) Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) Løsning. () Cov(X, X) = E[XX] E[X]E[X] = E[X ] (E[X]) = Var(X) () Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = E[Y X] E[Y ]E[X] = Cov(Y, X) (3) Cov(cX, Y ) = E[cXY ] E[cX]E[Y ] = ce[xy ] ce[x]e[y ] = c Cov(X, Y ) (4) Cov(X, Y + Z) = E[X(Y + Z)] E[X]E[Y + Z] = E[XY + XZ] E[X]E[Y + Z] = E[XY ] + E[XZ] E[X](E[Y ] + E[Z]) = E[XY ] + E[XZ] (E[X]E[Y ] + E[X]E[Z]) = E[XY ] E[X]E[Y ] + E[XZ] E[X]E[Z] = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) Oppgave 4. Gå ut fra at X og X er stokastiske variable. Vi kan definere matrisen [ ] Cov(X, X Σ = ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) La Y = a X + a X. Vis at der og Løsning. Vi har Var(Y ) = a T Σa a = [ a a ] a T = [ a a ]. Var(Y ) = Cov(Y, Y ) = Cov(a X + a X, a X + a X ) = Cov(a X + a X, a X ) + Cov(a X + a X, a X ) = Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) + Cov(a X, a X ) = a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) På den andre siden har vi [ Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) og dermed får vi ] [ ] a = a a T Σa = [ a a ] [ a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) [ a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) = a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a a Cov(X, X ) + a Cov(X, X ) ] ]

183 Oppgave 5. Gå ut fra at X, X,..., X n er uavhenige stokastiske variable med samme sannsynlighetsfordeling med µ = E[X i ] og σ = Var(X i ). Definer X = n X i n Vis at (a) E[X] = µ (b) Var(X) = σ n Løsning. (a) E[X] = E[ n (X + X + + X n )] = n (E[X ] + + E[X n ]) = µ n n = µ (b) Var(X) = Cov(X, X) = Cov( n (X + X + + X n ), n (X + X + + X n )) = ( n ) Cov( X i, X j ) = ( n ) n i,j= Cov(X i, X j ). Siden X, X,..., X n er uavhenige, er Cov(X i, X j ) = når i j. Dermed får vi Var(X) = ( n ) i= n i= = ( n ) (nσ ) = σ n Oppgave 6. I en populasjon er det følgende inntekter: Cov(X i, X i ) x = 6, x = 6, x 3 = 6, x 4 = 7, x 5 = 7, x 6 = 8, x 7 = 8, x 8 = 8, x 9 = 8, x = 8, x = 9, x =. i= x i. Beregn Beregn gjennomsnittsinntekten (populasjonsgjennomsnittet) µ = x = populasjonsvariansen σ = i= (x i µ). La X være den stokastiske variabelen du får dersom du trekker en tilfeldig inntekt fra populasjonen. Hvilke verdier kan X ha? Finn sannsynlighetstettheten til X. Beregn E[X] og Var(X). Løsning. µ = x = i= x i = ( ) = 55 6 = σ = i= (x i µ) = (3(6 µ) +(7 µ) +5(8 µ) +(9 µ) +( µ) ) = µ µ + 3 = ( 55 6 ) = = X kan være 6, 7, 8, 9 eller. p(6) = P ({X = 6}) = 3 p(7) = P ({X = 7}) = p(8) = P ({X = 8}) = 5 p(9) = P ({X = 9}) = p() = P ({X = }) = E[X] = 6p(6) + 7p(7) + 8p(8) + 9p(9) + p() = = 55 6 = Var(X) = E[X ] E[X] = ( 55 6 ) = =

184 Oppgave 7. Eksamen Oppgave 4. a) Det kan vises at I(n) = x n ln xdx = ( ) n + xn+ ln x x n+ + C n + Her er n (Du skal ikke vise dette.) Benytt formelen ovenfor til å beregne I(), I() og I(). Noe av dette vil du muligens få bruk for senere i oppgaven. b) To stokastiske variabler X og Y er simultanfordelt med sannsynlighetstetthet f(x, y) er gitt ved: { f(x, y) = ln x + e y, x e og y ellers Beregn og f x (x) = f y (y) = f(x, y)dy f(x, y)dx Løsning. (a) I() = I() = I() = x ln(x)dx = ln xdx = ( ) x ln x x + C = x ln x x + C x ln xdx = x ln x 4 x + C x ln xdx = 3 x3 ln x 9 x3 + C (b) f x (x) = f(x, y)dy = ( ln x + e y)dy = ln x dy + e = ln x [y] + [ ] y = e ln x + =.5 ln x +.9 (e ) e f y (y) = f(x, y)dx = ( ln x + [ e y)dx = (x ln x x) + e y x = (e ln e e) ( ln ) + y(e ) =.5 + y e y ] e Oppgave 8. Eksamen.6.3 Oppgave 4 I en tenniskamp mellom to spillere a og b vinner den spilleren som først har vunnet to sett. La A være begivenheten at a vinner settet, og la B være begivenheten at b vinner settet. Sannsynligheten for at a vinner settet er P (A) =.6, og sannsynligheten for at b vinner settet er P (B) =.4 a) Hva er sannsynligheten for at b vinner de to første settene? b) Hva er sannsynligheten for at b vinner det første settet og a vinner sett nummer og tre? La X være antall sett som spilles inntil en spiller har vunnet kampen. c) Beregn P ({X = }) og P ({X = 3}). d) Beregn E[X] og Var(X). e) Anta at P (A) = p og P (B) = p. For hvilke verdier av p er E[X] =.8? 4

185 Løsning. a) Da vi har uavhengighet er sannsynligheten for at b vinner de to første settene P (BB) = P (B)P (B) =.4.4 =.6 b) Da vi har uavhengighet er sannsynligheten for at b vinner det første settet a vinner sett nr to og tre P (BAA) = P (B)P (A)P (A) = =.44 c) Skal X = må enten a vinne de to første settene eller b vinne de to første settene. Vi får derfor P ({X = }) = P (AA) + P (BB) = =.5 Da P ({X = }) + P ({X = 3}) = vil P ({X = 3}) = P ({X = }) =.5 =.48 d) µ = E(X) = =.48 E[X ] = = 6.4 Var(X) = E(X ) µ = 6.4 (.48) =.496 e) Nå er P ({X = }) = P (AA) + P (BB) = p + ( p) = p + p + p = p p + P ({X = 3}) = P (X = ) = p p Dermed E(X) = (p p + ) + 3(p p ) = p + p + Skal E[X] =.8 må p + p + =.8 p + p.8 = Dette gir p =. eller p =.9. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 5

186

187 Løsninger til oppgaveark : Matrisealgebra og determinanter. Trond Stølen Gustavsen. mars, Oppgave. Følgende matriser er gitt: [ ] [ 7 4 A =, B = ] [, C = 4 4 ] [, D = Beregn følgende uttrykk. Hvis et uttrykk ikke er definert, gi en begrunnelse for hvorfor ikke. () A () B A (3) AC (4) CD Løsning. [ ] 4 () A = 4 [ ] () B A = (3) AC er [ ikke definert siden antall rader i A] er ikke [ lik antall ] kolonner i B. + 4 ( ) (4) CD = = 4 + ( ) ] Oppgave. A er en 3 5 matrise, produktet AB er en 3 7 matrise. Hva er størrelsen av B? Løsning. Antall rader i B = Antall kolonner i A = 5 Antall kolonner i B = Antall kolonner i AB = 7 Dermed er B en 5 7 matise. Oppgave 3. Beregn determinanten ved hjelp av kofaktorutviklingen () etter. rad () etter. kolonne A = Løsning. () Kofaktorutviklingen etter. rad: A = = 3 ( 3) + 4 = () Kofaktorutviklingen etter. kolonne: A = ( ) 3 4 = 3 ( 3) + 5 ( ) ( ) =

188 Oppgave 4. Gå ut fra at A = Regn ut B T ((AB) (3A)) T og B = Løsning. B T ((AB) (3A)) T = B T ((B A )(3A)) T = B T (3(B (A A)) T = B T (3B I 3 ) T = B T (3B ) T = B T 3(B ) T = 3B T (B T ) = 3I 3 3 = 3 3 Oppgave 5. Gå ut fra at A og B er invertible matriser. Vis (a) (AB) = B A (b) (ra) = r A Løsning. (a) (B A )AB = B (A A)B = B IB = B B = I AB(B A ) = ABB A = AA = I Dette viser at den inverse til AB er B A. (b) (ra)( r A ) = r r AA = r r I = I og tilsvarande er ( r A )(ra) = I. Dette viser at den inverse til (ra) er r A. Oppgave 6. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen () etter. rad () etter. kolonne A = Løsning. () Kofaktorutviklingen etter. rad: A = 4 4 ( ) = ( 9) 4 ( ) ( 5) + 3 = 5 () Kofaktorutviklingen etter. kolonne: A = 4 ( ) ( ) 3 3 = 4 ( ) ( 5) + ( 5) + 4 ( ) ( 5) = 5

189 Oppgave 7. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen. For hvert skritt, velg en rad eller en kolonne som fører til minst mulig regning A = Løsning. Vi bruker mange forskjellige kofaktorer i regningen nedenfor. Vi får 3 7 A = 3 5 = 3 5 = 3 = Enda smartere er det å bruke formelen for determinanter til triangulere matriser: n A = i= a ii = 3 = Oppgave 8. Beregn determinaten ved hjelp av kofaktorutviklingen. For hver skritt, velg en rad eller en kolonne som fører til minst mulig regning A = Løsning A = ( ) = ( ) [ = ( ) 3 ( ) ( ) = ( ) 3 [( ) ( ) 3 + ( 7)] = 6 (3 4) = 6 ] 3

190 Oppgave 9. Gå ut fra at Regn ut A. A = Løsning. A = AA = A A = 6 6 = 36. Mindre lurt er det å regne ut at A = = og at = Oppgave. Finn den inverse matrisen til [ ] 4 5 A = 5 6 Løsning. Determinanten er det A = 4 6 ( 5) 5 = A er dermed en regulær matrise og den inverse til A er A = [ ] [ ] A 6 5 = 5 4 Oppgave. Eksamen MET () La matrisen A = 3 4 x 4 3 Beregn AA. () For en bestemt verdi av x er AA = A. Finn denne verdien. (3) Med den x verdien du fant i spørsmål (b) ovenfor eksisterer ikke A. Vis det. 4

191 Løsning. () AA = x x = x 5x + 8 4x + 4 x 4 x 3 () For verdien x = så vil AA = A = A (3) Desom den inverse matrisen A hadde eksistert så ville A AA = A A som gir A = I som åpenbart ikke er sant. Alternativt bevis : Setter vi inn x = i A får vi: 4 A = = Da A = eksisterer ikke A Oppgave. Finn den inverse til A = 5 4. Løsning. A = 4 5 Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (4). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (5). [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (7) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 5

192

193 Løsninger til oppgaveark : Vektorer. Kvadratisk form. Trond Stølen Gustavsen 6. april, Oppgave. Avgjør i hvert tilfelle oma er en linær kombinasjon av a, a og a 3. (a) a =, a =, a =, a 3 = 3 (b) a =, a =, a =, a 3 = (c) a =, a =, a = 5 5, a 3 = Løsning. (a) a = c a + c a + c 3 a 3 er det samme som = c + c + c 3 3 = c c 3 c Vi får c =, c 3 = og c = 3, og konkluderer at a er en linær kombinasjon av a, a og a 3. (b) a = c a + c a + c 3 a 3 er det samme som Vi får = c + c + c 3 c = c c = c 3 = = c c c c 3 Setter vi c = inn i c c = får vi c =. Fra dette får vi c = 3, og konkluderer at a er en linær kombinasjon av a, a og a 3. (c) a = c a + c a + c 3 a 3 er det samme som Fra dette får vi = c + c c 3 c + 5c + c 3 = = c 5c = = c + 5c + c 3 c 5c Siden dette ikke er mulig, konkluderer vi at a ikke er en linær kombinasjon av a, a og a 3.

194 Oppgave. Avgjør i hvert tilfelle om vektorene er lineært avhenige eller uavhengige. (a) a =, a =, a 3 = (b) a = (c) a = (d) a = 3, a =, a =, a = 5 5 5, a 3 = Løsning. (a) = = lineært uavhenige (b) 5a + a = = lineært avhenige (c) lineært avhenige. F.eks. a + a = (d) = = lineært uavhengie Oppgave 3. Finn verdi(er) for h slik at vektorene er lineært avhenige. 4, h a) 3, 3 b), Løsning. a) b) 5 7 h 5 7, h h = h + 4 = = h = 7 = h 6 = = h = 3 Oppgave 4. I hvert tilfelle skal du tegne vektorene i et koordinatsystem, og avgjør om vektorene er( lineært ) avhengige ( eller ) uavhenige: (a) a =, a = ( ) ( ) (b) a =, a = Løsning. (a) = = lineært uavhenige. (b) = = lineær avheninge. To vektorer i planet er lineært avheninge når de ligger på en linje, og lineært uavhengige når de ikke ligger på en linje.

195 Oppgave 5. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og hvilke som er gale. Begrunn svarene. (a) Hvis kolonnene i matrisen A er lineært uavhenige, så er A inverterbar. (b) Hvis a, a og a 3 er lineært uavhengige, så er a en lineær kombinasjon av a og a 3. (c) Gå ut fra at a og a 3 er lineært uavhengige, og anta at a er en lineærkombinasjon av a og a 3. Da er a,a og a 3 lineært avhengige. (d) Gå ut fra at a og a er vektorer i R 4, og at ikke a kan skrives som ka. Da er a og a lineært uavhenige. Løsning. (a) Ikke riktig, fordi A ikke behøver å være kvadratisk. Riktig hvis A er kvadratisk. (b) Ikke riktig. Hvis a er en lineær kombinasjon av a og a 3, så er a, a og a 3 er lineært avhengige. (c) Riktig. a = c a + c 3 a 3 = ( )a + c a + c 3 a 3 =. (d) Ikke riktig. Vi kan ha at a ikke er, men a =. Da vil a og a være lineært avhenige. Oppgave 6. Gå ut fra at a, a, a 3 og a 4 er lineært uavhengige vektorer i R 4. Vis at da er også a, a og a 3 lineært uavhengige. Løsning. Gå ut fra at c a + c a + c 3 a 3 =. Vi må vise at dette betyr at c =, c = og c 3 =. Vi innfører nå en ny variabel c 4, og setter c 4 =. Da gjelder c a + c a + c 3 a 3 + c 4 a 4 =. Siden a, a, a 3 og a 4 er lineært uavhengige, konkluderer vi med at c =, c = og c 3 =. Oppgave 7. I hvert tilfelle finn et uttrykk for Q(x) = x T Ax, finn egenverdiene til A, beregn det(a) = A og sporet tr(a) og avgjør om den kvadratiske formen er postitivt definitt. (a) A = ( ) (b) A = 3 (c) A = 4 5 λ Løsning. (a) λ = ( λ)( λ)( λ) = = egenverdier λ λ =,,, det(a) = A = ( )( )( ) =, tr(a) = = 4. Formen er negativt definitt. (b) λ λ = λ 3λ + =, = λ = 3 5 =.38 97, =. 68 = det(a) = A = = ( 3 5)( ) =, tr(a) = + = ( 3 5) + ( ) = 3. Formen er positivt definitt. 3 λ (c) 4 λ 5 λ = (λ 4) ( λ 8λ + 4 ) = = λ = 4, + 4, 4. det(a) = 4 ( + 4)( + 4) = 56, tr(a) = = 4 + ( + 4) + (4 ) =. Formen er positivt definitt. Oppgave 8. Finn i hvert tilfelle en symmetrisk matrise A slik at Q(x) = x T Ax, (a) Q(x) = 3x + x x x (b) Q(x) = 3x 4x x + x x 3 x 3 3

196 ( ) 3 Løsning. (a) A = 3 (b) A = Oppgave 9. Gå ut fra at A er symmetrisk en -matrise. (a) Vis at A er positivt definitt hvis og bare hvis det(a) > og tr(a) >. (b) Vis at A er indefinitt hvis og bare hvis det(a) <. ( a b Løsning. (a) A = b d (ad b ) = = ). a λ b b d λ = ad aλ dλ b + λ = λ (a + d)λ + λ = (a+d)± (a+d) 4(ad b ) = (a+d)± (d a) +4b. Siden (d a) + 4b, vil vi alltid ha minst en løsning. La λ og λ være læsningene. Hvis det er bare løsning, tar vi med denne løsningen to ganger. Vi vet at det(a) = λ λ og tr(a) = λ + λ. Anta at A er positivt definitt. Da vet vi at λ > og λ >. Fra dette ser vi at det(a) > og tr(a) >. Hvis vi på den andre siden vet at det(a) > og tr(a) >, kan vi konkludere fra det(a) > at enten er både λ og λ positive, eller så er begge negative, men siden tr(a) = λ + λ >, konkluderer vi at begge må være positive. Fra dette følger det at A er positivt definitt. (b) Gå ut fra at A er indefinitt. Da vet vi at A må ha en positiv og en negativ egenverdi. Derfor blir det(a) = λ λ negativ. Hvis det(a) = λ λ er negativ, er eneste mulighet at vi har en positiv og en negativ egenverdi. Derfor må A være indefinitt. Oppgave. Gå ut fra at B er en m n. La A = B T B. Vis at A er symmetrisk, og positivt semidefinitt. Vis at hvis B er n n og B er invertibel, så er A = B T B positivt definitt. Løsning. A er n n matrise. x T Ax = x T B T Bx =(Bx) T (Bx). Matrisen (Bx) er en m matrise og c c. c m c m (Bx) T (Bx)= ( ) c c c m c m = c + c + + c m + c m c c. c m c m Derfor er den kvadratiske formen x T Ax positivt semidefinitt. Dette betyr at ingen av egenverdiene kan være negative. Hvis B er invertibel n n-matrise er også A invertibel. Siden A og siden A er produktet av egenverdiene, kan ingen av egenverdiene være. Derfor må x T Ax være positivt definitt. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5). 4

197 Løsninger til oppgaveark 3: Mer om kvadratiske former. Kovariansmatrisen. Trond Stølen Gustavsen 3. april, Oppgave. Gå ut fra at ( ) t 3 t A = og B = t ( ) t t t 3 Finn den deriverte med hensyn på t av følgende matrisefunksjoner. (a) A (b) A T (c) B (d) 3A + B (e) A (f) AB ( 3t Løsning. (a) da dt = t ( 3t t (b) dat dt = ( da dt )T = (c) db dt = ( t 3t (d) d(3a+b) dt (e) d(a ) dt = da ) ) ) T = ( 3t = 3 da dt + db dt = 3 t dt A + A da ( ) 3t + 6t 5 t + 5t 4 4t 3 + 3t (f) d(ab) dt = da dt B + A db ( ) 3t + 4t 3 4t 3 + 5t 4 t + t + 3t dt = dt = ( 3t t ) ( 3t t ( 3t t ) ( + ) ( t 3t ) t 3 t t ) ( ) ( t t 3 t t t 3 + t ) ( ) 9t 6t + = ( 4t + ) 3 ( 6t ) t 3 t + 3t t t ) ( ) t 3t = = Oppgave. Gå ut fra at ( ) t A = t Finn den deriverte med hensyn på t av følgende matrisefunksjoner. (a) A (b) A Løsning. (a) da dt = (b) d(a ) dt ( t ( t = da dt A + A da ) ) ( t dt = t t ) ( t ) ( t + t t ) ( t t ) =

198 Oppgave 3. Gå ut fra at funksjonen f er gitt ved Finn f x. f(x, x ) = x + x + x 3. Løsning. f x = ( f x f x ) ( x = + 3x ) Oppgave 4. Skriv den kvadratiske formen f på matriseform og finn f x når (a) f(x, x ) = x + 6x x + x (b) f(x, x, x 3 ) = x + x x x 3 Løsning. (a) f(x, x ) = x T Ax hvor A = ( ) ( ) ( ) 8 x x + 6x = 8 x 6x + x (b) f(x, x, x 3 ) = x T Ax hvor A = x x x 3 = x + x x x 3 ( 8 8 ). Dermed er. Dermed er f x = Ax = f x = Ax = Oppgave 5. Skriv funksjonen f på formen x T Ax+Bx + c og finn de stasjonære punktene. (a) f(x, x ) = x + 6x x + x + 3x + x + 3 (b) f(x, x, x 3 ) = x + x x x 3 x ( ) 8 Løsning. (a) f(x, x ) = x T Ax+Bx + c hvor A =, B = ( 3 ) og c = 3. ( ) ( ) 8 ( ) ( ) Dermed er f 8 x = Ax + x 3 x + 6x BT = + = x 6x + x + De stasjonære punktene er gitt ved Ax + B T =. Dette gir x = A B T = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = siden = (b) f(x, x, x 3 ) = x T Ax+Bx + c hvor A =, B = ( ) og c =. Det er et entydig stasjonært punkt gitt ved x = A B T = = Oppgave 6. Gå ut fra at b = 3 4 og definer f(t) = b T Ac. Finn f t, A = (t + ) t t t t og c = ( t ved hjelp av produktregelen for derivasjon av matriser. )

199 Løsning. f t b T A c t = t (bt A)c + b T A c t = ( bt t = + b T A t c + bt A c t = bt ( A t c + A c Dermed har vi at f t = bt ( A t c + A c t ) = ( 3 4 ) = ( 3 4 ) = t + 3t + t ) (t + ) 4t + 3t + t A A + bt t ))c + bt A c t ( t ) + = bt t (t + ) t t t t Vi kan sjekke dette ved først å multiplisere ut a T Ac og derivere etterpå. (t + ) t f(t) = ( 3 4 ) ( ) t t t t Fra dette ser vi at som vi ser er det samme. = t + 5t + t 3 f t = + t + 3t Ac + bt A t c + ( ) Oppgave 7. Gå ut fra at X = ( ) T X X X 3, og at µ = 4, Σ = La Y = 5X X + X 3. Finn E[Y ] og Var(Y ). Løsning. Y = ( 5 ) E[Y ] = ( 5 ) Var(Y ) = ( 5 ) X X X = 8 5 = 89 Oppgave 8. Gå ut fra at X og X er stokastiske variable med forventingsverdi og kovariansmatrise ( ) ( ) 4 µ =, Σ = 7 Hvis mulig, bestem a og a slik at Y = a X + a X gir Var(Y ) er minst mulig samtidig som E[Y ] = 6. 3

200 Løsning. Vi definerer f(a, a ) = Var(Y ) = a T Σa g(a, a ) = E[Y ] = µ T a Vi ønsker altså å minimere f(a, a ) under bibetingelsen g(a, a ) = 6. Fra Lagrange metode har vi da f a λ g = Σa λµ = Σa = λµ a Siden Σ er invertibel er a = λ Σ µ. Hvis vi multipliserer med µ T fra venstre, får vi µ T a = λ µt Σ µ. Dermed har vi at 6 = λ µt Σ µ. Siden ( ) ( Σ 7 ) = = Fra dette får vi at Dermed får vi λ = µ T Σ µ = ( ) ( 7 4 a = λ Σ µ = 3 7 ( altså a = 7 og a = 3 7. Dette gir Var(Y ) = ) ( 4 3 ) ( 4 ) = ) = 8 = 3 7 ( Oppgave 9. Vi vil nå bruke regnereglene for derivasjon av matrisefunksjoner til å derivere Q = x T Ax. Vi vil anta at A er en n n-matrise som inneholder bare konstanter, og vi setter som vanling x x x =.. x n (a) Vis at Q x = e T Ax + (x T A)e, der e er n-(kolonne)vektoren som har på første plass og ellers. (b) Vis at (x T A)e = e T A T x og konkluder at Q x = e T (A+A T )x. (c) Forklar at Q x i = e T i (A+AT )x der e i er kolonnevektoren som har på i te plass og ellers. (d) Vis at Q x := Q x Q x. Q x n = (A+AT )x. (e) Vis at når A er symmetrisk, så er Q x = Ax. ), 4

201 Løsning. (a) Ved å bruke produktregelen får vi Vi får Vi trenger også å beregne Q = (x T Ax) = ( (x T A))x+(x T A) x x x x x x = e. x x (x T A), ved igjen å bruke produktregelen får vi x (x T A) = xt x A + x T A x = ( x x ) T A + = e T A (Husk A består av konstanter.) Til sammen får vi derfor Q x = e T Ax + (x T A)e (b) Siden (x T A)e er en -matrise har vi (x T A)e = ((x T A)e ) T = e T A T x. Derfor får vi Q x = e T Ax + (x T A)e = e T Ax + e T A T x = e T (Ax+A T x) = e T (A+AT )x hvor vi har brukt de to distributive lovene for matriseproduktet. (c) Regningen blir som i punkt (a) og (b) siden x x i = e i. (d) Q x = ( Q Q x Q x. Q x n ( = Q x e + + Q x n e n = e Q x i )som en -matrise. Vi har x ) ( Q x i ) = e T i (A+AT )x. Derfor Q x = e e T (A+A T )x + + e n e T n (A+A T )x = (e e T + + e n e T n )(A+A T )x. ( ) + + e Q n x n. Her tenker vi på Vi har at e i e T i er en n n-matrise som har en er på plassen som er på i te rad og i te kolonne, men ellers bare er. (Sjekk). Fra dette ser vi e e T + + e n e T n = I. Derfor får vi Q x = I(A+AT )x =(A+A T )x. Alternativt, og kanskje lettere, kan vi argumentere med at e T i (A+AT ) gir oss rad i i matrisen (A+A T )x. Derfor blir Q x = (A+AT )x. (e) Hvis A er symmetrisk, så er A T = A, så Q x =(A+AT )x =Ax Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolsciner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høgskoleforlaget AS, (4). [FMEA] Sydsæter, Hammond, Seierstad, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Financial Times, (5). 5

202

203 Løsninger til oppgaveark 4: Matriser og regresjon. Trond Stølen Gustavsen 7. april, 9 Oppgave. Estimer β, β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + ɛ ut fra de to observasjonene (x, y ) = (, ) (x, y ) = (, ) Kan du komme frem til svaret på en annen måte? Løsning. Vi har Vi skal beregne Vi regner ut at og at y = ( ) ( y = y ) og X = β=(x T X) X T y. ( ) T ( ) X T X = ( ) ( ) = = (X T X) = ( ( ) ( x = x ) = ( ( Dermed får vi ( ) ( ) ( ) ( ) β= = Setter vi inn i y = b + b x, får vi y = x som er formelen for den rette linjen gjennom (, ) og (, ). ) ) ) Oppgave. Estimer β, β og β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + β x + ɛ ut fra de tre observasjonene og beregn feilleddene e, e og e 3. y =, (x, x ) = (, ) y =, (x, x ) = (, ) y 3 =, (x 3, x 3 ) = (, ) Løsning. Vi har y = X = y y y 3 = x x x x x 3 x 3 =.

204 Løsning. (fortsetter) Vi skal beregne Vi regner ut at Dette gir Dette gir Vi har X T X = β= (X T X) = e = y X β= β=(x T X) X T y. T 3 = = 3 = = Oppgave 3. Estimer β, β i den lineære regrisjonsmodellen Y = β + β x + ɛ ut fra de tre observasjonene og beregn feilleddene e, e og e 3. Løsning. Vi har Vi skal beregne Vi regner ut at og at Dermed får vi y = Vi finner feilleddene: y y y 3 = X T X = (X T X) = β= ( 3 e = y X β= (x, y ) = (, ) (x, y ) = (, ) (x 3, y 3 ) = (, ) og X = x x x 3 β=(x T X) X T y. T ( 3 ) = ) ( = = ( 3 ) ( ) 3 ) ( = ( ) = )