Test, 4 Differensiallikninger

Transkript

1 Test, 4 Differensiallikninger Innhold 4.1 Førsteordens differensiallikninger Modellering Andreordens homogene differensiallikninger Oppgaver og løsninger Grete Larsen/NDLA 4.1 Førsteordens differensiallikninger 1) Differensiallikningen y y 4x er av andre orden ) Differensiallikningen y y x er av første orden 3 4 cos 3) Differensiallikningen y y 3x 1er separabel 4) Differensiallikningen y xy cos x er separabel 1

2 5) Differensiallikningen y xy 0er en homogen likning av første orden. 6) Kurveskaren ovenfor representerer løsningene på differensiallikningen y x y x y x C 7) Gitt differensiallikningen y. I tillegg vet vi at når x1, er y. Løsningen på likningen er y x yx y x C

3 8) I retningsdiagrammet over er det tegnet inn tre integralkurver. De representerer tre løsninger på differensiallikningen y 3x 1. Du får i tillegg oppgitt at når x1 er y 0. Hvilken kurve er da løsning på differensiallikningen? Den øverste. Den midterste. Den nederste. 3

4 9) I retningsdiagrammet over er det tegnet inn tre integralkurver. De representerer tre løsninger på x differensiallikningen y 3y. Den generelle løsningen på likningen er y Ce. Du får i 3 tillegg oppgitt at C. Hvilken kurve kan da være løsning på differensiallikningen? 3 Den øverste. Den nederste. Ingen av dem.. 3 4

5 10) y y 4 ye y e 4e x x x y e 4 e x x x x y e 4 e dx y e 4e x x y e 4e e e y 4 x x x x y 4 Ovenfor har vi løst en differensiallikning. Hvor mange feil er gjort? Ingen feil Én feil To feil 11) x x x y y x ye y e x e y e x e x x x x y e x e dx Ovenfor har vi begynt å løse en differensiallikning. For å komme videre, må vi bruke integrasjon med variabelskifte delvis integrasjon ingen av delene 1) ye xy e x e x x x y e x e x x x x y e x e dx Ovenfor har vi begynt å løse en differensiallikning. For å komme videre, må vi bruke integrasjon med variabelskifte delvis integrasjon ingen av delene 5

6 13) y sinx y 0 1 dy sinx y dx 1 dy sinx dx y 1 dy sinxdx y Ovenfor har vi begynt å løse en differensiallikning. Hva blir løsningen av likningen? y C e cosx y cos x C cos x y e C 14) y 4 5x er en løsning av likningen xy 4y 0 15) y y x 1 1 dy y x x 1 1 dx Ovenfor har vi begynt å løse en differensiallikning. For å komme videre, må vi bruke integrasjon med variabelskifte delvis integrasjon delbrøkoppspalting 6

7 4. Modellering 1) Når veksten av en størrelse er proporsjonal med størrelsen selv, har vi differensiallikningen y k y ) I en logistisk vekstmodell er veksten proporsjonal med populasjonen og omvendt proporsjonal med differensen mellom bæreevnen og populasjonen. 3) Newtons. Lov sier at summen av alle krefter som virker på et legeme er lik legemets masse multiplisert med den akselerasjonen legemet får, F m a, der F brukes som betegnelse på summen av kreftene som virker på legemet. 4) Grafen viser en matematisk modell for veksten i en dyrepopulasjon. Denne modellen er eksponentiell lineær logistisk 7

8 5) Grafen viser en matematisk modell for veksten i en dyrepopulasjon. Bæreevnen for populasjonen er ) Grafen viser en matematisk modell for veksten i en dyrepopulasjon. Veksten er størst i 1950 ca 1960 ca

9 7) Grafen viser en matematisk modell for veksten i en dyrepopulasjon. Det er også tegnet inn en tangent i punktet 10,100. For å finne et funksjonsuttrykk for modellen, kan vi løse differensiallikningen 000, bestemme k ved likningen10 k N k N N initialbetingelsenn 100 når t 10 og bruke 000, bestemme k ved likningen96 k N k N N initialbetingelsenn 100 når t 10 og bruke 000, bestemme k ved likningen96 k N k N N initialbetingelsenn 96 når t 10 og bruke 9

10 8) Grafen viser en matematisk modell for veksten i en dyrepopulasjon. Veksten er proporsjonal med størrelsen på populasjonen Denne modellen er eksponentiell lineær logistisk 9) Grafen viser en eksponentiell modell for veksten i en dyrepopulasjon. Her er veksten proporsjonal med størrelsen på populasjonen omvendt proporsjonal med størrelsen på populasjonen Proporsjonal med størrelsen på populasjonen og med differensen mellom bæreevnen og størrelsen på populasjonen 10

11 10) Grafen viser en eksponentiell modell for veksten i en dyrepopulasjon. Det er også tegnet inn en tangent i punktet 5,100. For å finne et funksjonsuttrykk for modellen, kan vi løse differensiallikningen N k N 000 N, bestemme k ved likningen 63 k 100 og bruke initialbetingelsen y100 når x 5 N k N, bestemme k ved likningen 63 k 100 og bruke initialbetingelsen N 100 når t 5 N k N, bestemme k ved likningen 63 k 100 og bruke initialbetingelsen y 63 når x 5 11) Innbyggertallet i en kommune er 9500 og det antas at kommunen har en kontinuerlig nedgang i folketallet på 1,8 % de neste årene. For å få en matematisk modell for innbyggertallet kan vi løse differensiallikningen N 0,98Nmed initialbetingelse N9500 når x N 0,018N N 0,018Nmed initialbetingelse N9500 når x 0 11

12 1) Innbyggertallet i en kommune er 9500 og det antas at kommunen har en kontinuerlig nedgang i folketallet på 1,8 % de neste årene. For å få en matematisk modell for innbyggertallet kan vi løse differensiallikningenn 0,018N. Løsning av likningen er N ,98 t N9500 N C e 0,018t 0,018t e 13) Newtons avkjølingslov sier at hastigheten på avkjølingen av et objekt er proporsjonal med differansen mellom temperaturen på objektet og temperaturen i omgivelsene der objekt befinner seg. Du setter en flaske vann med en temperatur på 0 C inn i kjøleskapet der temperaturen er 6 C. Hvilken differensiallikning kan du sette opp for å få en modell for temperaturen i vannet? T k 0 6 T k T 6 T k 6 T 14) Newtons avkjølingslov sier at hastigheten på avkjølingen av et objekt er proporsjonal med differansen mellom temperaturen på objektet og temperaturen i omgivelsene der objekt befinner seg. Du setter en flaske vann med en temperatur på 0 C inn i kjøleskapet der temperaturen er 6 C. Du har nå tilstrekkelige opplysninger til å finne en matematisk modell for temperaturen i vannet t timer etter at flaska ble satt inn i kjøleskapet 15) Du har en bøtte som er full med 10 liter saltvann med en saltkonsentrasjon på 3,5%. Du fyller på med ferskvann fra hageslangen. Hvert minutt renner det én liter vann inn i bøtta og dermed også én liter vann ut av bøtta. Vi forutsetter at saltvannet hele tida er jevnt fordelt i hele bøtta. La St være antall gram salt som finnes i bøtta etter t minutter. Hvilken differensiallikning kan du bruke for å få en matematisk modell for saltmengden t minutter etter starten? 1 St S t med initialbetingelse S St St med initialbetingelse S St St med initialbetingelse S

13 4.3 Andreordens homogene differensiallikninger 1) Differensiallikningen y 3y 4y x er av andre orden av andre grad homogen ) Differensiallikningen y 3y 4xy 0 har konstante koeffesienter er av andre grad er homogen 3) Differensiallikningen y 3y 4y 5 har konstante koeffisienter er av andre grad er homogen 4) For å løse differensiallikningen y 3y 4y 0, kan vi benytte den karakteristiske likningen r 3r 4 0 5) Når den karakteristiske likningen r br c 0 har to reelle løsninger r 1 og r, så har r1x rx differensiallikningen y by cy 0 den generelle løsningen y Ce De hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter. 6) Når den karakteristiske likningen r br c 0 har én reell løsning r, så har differensiallikningen rx rx y by cy 0 den generelle løsningen y Ce De hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter. 13

14 7) Når den karakteristiske likningen r br c 0 har to komplekse løsninger r 1 A Bi og r A Bi, så har differensiallikningen y by cy 0 den generelle Ax løsningen sin cos y e C Bx D Bx hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter. 8) Grafen over viser en harmonisk svingning dempet svingning overdempet svingning 9) Grafen over viser en harmonisk svingning dempet svingning overdempet svingning 14

15 10) Grafen over viser en harmonisk svingning dempet svingning overdempet svingning 11) Differensiallikningen y y 0 x x y C e D e x x y C e Dxe x x y C e Dxe har den generelle løsningen 1) Differensiallikningen y 4y 0 y C e D e x x y C sin x Dcos x y C sin x Dcos x har den generelle løsningen 13) Differensiallikningen y 4y 4 0 y C e D e x x y C e Dxe x x y C sin x Dcos x har den generelle løsningen 15

16 14) Differensiallikningen y y 5y 0 y C e D e x x x y e C sin x Dcos x x y e C sin x Dcos x har den generelle løsningen 15) Gitt differensiallikningen y y 0 Vi får også oppgitt at når x 0 er y 3 og når x er y 1. Løsning på likningen er y sinx cos x y sinx 3cos x y 3sinx cos x 16