Matematikk for økonomer Del 2

Transkript

1 Matematikk for økonomer Del 2 Oppgavedokument Antall oppgaver: 75 svar Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 15 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere

2 Kapittel 1 Derivasjon 1. f (x) = 2x 2 x f (x) = 6x 4 x x 3. f (x) = -7x 4 + 5x 5x f (x) = (x 2 + 4)(2x 7) 5. f (x) = (3x 2 + 5x)(x 4 7) 6. f (x) = 7. f (x) = 8. f (x) = 9. f (x) = (x 2 + 4x) f (x) = (x 2 + 2) f (x) = (x 2 + 4x)(x 1) f (x) = ln(3x + 9) 13. f (x) = e 14. f (x) = lnx e 5x 15. f (x) = 3x 2 lnx 2

3 16. f (x) = x + 3x 17. f (x) = 4x + 2x 3

4 Kapittel 2 Likninger 2. Gradslikninger med x 2 og konstantledd: 18. 5x = x 2 49 = 0 2. Gradslikninger med x 2 og x: 20. 4x 2 = 2x = 3x + 2. gradslikninger med alle ledd (x 2, x og konstantledd): 22. x 2 + 4x = () x = x Spesiell likning: 24. x + 2 = x 4

5 Kapittel 3 Eksponential- og logaritmelikninger x = ,06 x = x = 5 2 x x = 4 3 x 29. lnx 3 = (lnx + 3) = -3(lnx 7) 31. 6e 2x-1 = ln(2x 6) = ln (3x + 10) = 1 5

6 Kapittel 4 Integraler 34. 6x + 3x 7 dx 35. 7x + 6x x dx 36. ( x 6x + x 3)dx x dx 38. ( x + )dx 39. 8e dx 40. 8e dx 41. (3x + x x)dx 42. ( )dx 43. ( x)dx 44. (e )dx 45. Hva må a være for uttrykket blir 20? x dx => 20 6

7 Kapittel 5 Ulikheter x + 10 < 47. > 48. x < x 2 6x 49. 6x 2 16x 6 < e 3x-9 < ln(3x 9) > 1 7

8 Kapittel 6 Ligningssystemer 52. 4x + 3y = 44 2x + 6y = x y = 7 x + 2y = x + y z = 0 2x y + 2z = 13 3x y z = x y + 3z = 4-2x 3y + z = 2 5x + 2y z = x 2y + z = 3-2x + 3y + 4z = -1 -x + y + z = -2 8

9 Kapittel 7 Funksjoner 57. Brøk Vi har følgende funksjon: f (x): a) Når er f (x) = 0, f (x) > 0 (Positiv) og f (x) < 0 (Negativ)? b) Beregn f (x), og avgjør når f (x) er voksende eller avtagende. c) Finn vertikale og horisontale asymptotene til f (x) Gradsfunksjon Vi har følgende funksjoner: f (x) = (x + 6)(x 9) a) Finn f (x) og avgjør når f (x) er voksende og når f (x) er avtagende. Finn deretter eventuelle minimums- og maksimumspunktene. En annen funksjon h (x) har stigningstall -3 og går gjennom punkt (-4, -6) b) Finn likningen for h (x) c) Finn skjæringspunktene mellom f (x) og h (x) i samme koordinatsystem d) Beregn arealet mellom grafene til f (x) og h (x) Gradsfunksjon Vi har følgende funksjon: f (x) = x 3 9x a) Når er f (x) = 0 b) Beregn f (x) og avgjør når f (x) vokser og avtar c) Finn f (x) og avgjør når f (x) er konveks og når f (x) er konkav. d) Anta videre at a > 0 (altså større enn null). Hva må a være for at det bestemte integralet (x 9x)dx 9

10 Anta videre at vi har følgende funksjon: g (x) = x 3 8x 2 + 4x e) Vis at g (x) er 0 når x = 2. Deretter bruk dette til å finne de andre nullpunktene til g (x). 60. Eksponentialfunksjoner Vi har følgende funksjon: f (x) = (x 8)xe x a) Når er f (x) = 0? Når er f (x) > 0 (Positiv) og når er f (x) < 0 (Negativ). b) Finn f (x) og avgjør når f (x) er voksende og når f (x) er avtagende. c) Finn eventuelle minimumspunkt og maksimumspunkt. Anta videre at vi har følgende funksjon: g (x) = (x 5)e x d) Finn g (x), og avgjør når g (x) er konveks og når g (x) er konkav. Deretter finn eventuelle vendepunkter til g (x). 10

11 Kapittel 8 Rekker 61. Du låner kroner med 4,5 % årlig rente. Låne skal tilbakebetales med 20 årlige tilbakebetalinger etter annuitetsprinsippet. Første tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling skjer ett år etter låneopptaket. a) Hvor stor er den faste årlige innbetalingene/nedbetalingene/tilbakebetalingene? b) Hvor mye betaler du i renter og avdrag i den første innbetalingen? c) Hvor mye betaler du i renter og avdrag i den siste innbetalingen? Du velger å nedbetale beløpet som gjenstår hos banken (Restgjeld) d) Hvor mye er restgjelden rett etter den 15. Innbetalingen? e) Hvor mye er restgjelden rett før den 10. innbetalingen? Rett etter at du har betalt den første innbetalingen settes renten opp til 5 % f) Hvor store blir de faste årlige innbetalingene nå? 62. En BI student bestemmer seg å sette inn et fast årlig beløp på kroner i sparekontoen sin med årlig forrentning (rente) på 3,4 %. a) Hvor stort er totale oppspart beløpet rett etter den 5. Innbetalingen? b) Hva er den oppsparte kapitalen like før den 8. Innskuddet? c) Hvor stort må det årlige sparebeløpet være hvis totale oppsparte beløpet rett etter den 9. Innbetalingen skal være kroner. Nå har det gått 10 år, og BI studenten velger å ta ut beløpet i 6 like store årlige utbetalinger. Den første utbetaling skjer om ett år. d) Hvor mye blir den årlige utbetalingen når renten på kontoen fortsatt er 3,4 % 11

12 63. Du er finansierings rådgiver, og skal hjelpe to kunder i dag med å velge det mest gunstige alternativet. Kunde 1: Hvilken alternativ burde han velge, når årlig renten er 2,9 % Alt. 1 Han mottar kroner hvert år i 20 år. Han får sitt første beløpet utbetalt om ett år Alt. 2 Han mottar kroner hvert år i 10 år. Han får sitt første utbetaling om to år. Alt. 3 Han mottar kroner i kontanter og deretter mottar han 5000 kroner hvert år i 13 år. Først utbetaling er om ett år. Kunde 2: Kunden skal kjøpe ett bolig, og kan velge mellom to ulike alternativer. Alternativ A, er å betale kroner nå. Alternativ B er å betale kroner nå og deretter kroner årlig hvert år i 11 år. Første betaling om ett år, med årlig rente på 3,9 %. d) Hvilken alternativ burde han velge? 64. Du er en entreprenør som liker å investere i ulike prosjekter. Du investerer kroner. Investeringen gir en rente på 4 %. Hvor lang tid tar det før verdien av investeringen er kroner når: a) investeringen forrentes med årlig diskret forrentning? b) Investeringen forrentes med kontinuerlig forrentning? Du gjør en ytterligere ny investering på kroner. Investeringen din forrentes med 4 % årlig rente. (Regn med diskret forrentning). c) Hva har beløpet vokst til etter 5 år? d) Hvor lang tid tar det før beløpet har økt til kroner. 12

13 Kapittel 9 Funksjoner med flere variabler 65. Vi har en følgende funksjonen: F (x, y) = -6x 2 + 9xy 4.5y x 89y 540 a) Finn de partielle deriverte av første orden til funksjonen f (x, y). 66. En bedrift produserer samme vare i to ulike produksjonsfabrikker. La x være antall enheter som produseres i produksjonsfabrikk A og la y være antall enheter som produsere i fabrikk B. Prisen p av varen og den totale etterspørsel funksjonen er: p = 500 2x y a) Vis at inntekten ved å produsere og selge x enheter produsert i produksjonsfabrikk A og y enheter produsert i produksjonsfabrikk B er: I (x, y) = -2x 2 3xy y x y De totale kostnadene C A (x) ved å produsere x enheter i produksjonsfabrikk A og de totale kostnadene C B (y) ved å produsere y enheter i produksjonsfabrikk B er gitt ved: C A (x) = x x C B (y) = 3y y b) Vis at den samlede overskuddet/fortjeneste ved å produsere og selge x enheter i produksjonsfabrikk A og y enheter produsert i produksjonsfabrikk B gitt ved: f (x, y) = -3x 3 3xy 4y x + 275y Vi har en følgende funksjon: f (x, y) = -2x 2 + 4xy 4y x + 40y 400 a) Finn det stasjonære punktet til funksjonen f (x, y). b) Avgjør om punktet du har funnet er et maksimumspunkt, minimumspunkt eller sadelpunkt? 13

14 68. En bedrift produserer to typer varer, vare A og vare B. La x være antall enheter som produseres av vare A og la y være antall enheter som produseres av vare B. Den samlede fortjeneste ved å produsere og selge x enheter av vare A og y enheter av vare B er: f (x, y) = -2x 2 2xy 3y x + 190y 2000 a) Hvor mye bør bedriften produsere av hver av de to varene for å oppnå maksimalt overskudd eller for å maksimere fortjenesten? b) Avgjør om punktet du har funnet er et maksimumspunkt eller minimumspunkt? c) Hva blir det maksimale overskuddet eller samlede fortjeneste i det tilfelle? 69. En bedrift produserer to typer varer. La x være antall enheter som produseres av vare A og la y være antall enheter som produseres av vare B. Den totale inntektene ved å produsere og selge x enheter av vare A og y enheter av vare B er: f (x, y) = -2x 2 2xy 3y x + 400y På grunn av råvarebegrensninger har bedriften kun muligheten for å produsere 70 enheter til sammen av de to varene. a) Hvilken følgende bibetingelse gjelder i dette tilfelle b) Hvor mye må bedriften nå selge av de varene for å oppnå maksimale inntekten? c) Hvor mye er den maksimale inntekten nå? 14

15 Kapittel 10 Lineær algebra 70. Finn determinantene: 3x 2y = 7 2x + 8y = Bruk cramers regel og finn x og y: 3x 7y = 27 2x + 5y = Finn determinantene: 2x y + z = 0 x + 3y 4z = 3 3x + 2z = Bruk cramers regel til å finne z i likningssettet 2x y + z = 0 x + 3y 4z = 3 3x + 2z = Bruk determinantregning til å avgjøre for hvilke verdier av a i likningssettet ikke har noen entydig løsning: 2ax + ay = 3 ax + 2y = Bruk determinantregning til å avgjøre om ligningssystemet har noen entydig løsning: x + 2y = 17 2x y = 4 15