Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger

Transkript

1 Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x f ( x) 4x 8 + 4x x x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x f ( x) ( 4x) 2 7x x x c) Utfør polynomdivisjonen ( 2x 4 + x 2 + 3x ) :( x 2 + x 4) ( 2x 4 + x 2 + 3x ) :( x 2 + x 4) 2x 2 2x + ( 2x 4 + 2x 3 8x 2 ) 2x 3 + 9x 2 + 3x + ( 2x 3 2x 2 + 8x) x 2 x ( x 2 + x 44) Rest : 6x + 43 d) Løs ulikheten 28 27x 2x x + 36 Vi må først flytte -tallet over på venstre siden og så sette de to uttrykkene på venstre siden på felles brøk x 2x x x 2x x x 2 33x x x x 2x x 36 2x 2 33x x 2 + 6x 8 2x 2 33x + 36 Her ser vi at telleren ikke kan faktoriseres den er alltid negativ.

2 2 2x 2 + 6x 8 x 8 x 8 Brøken x 2 + 6x 8 2( x 8) ( x 8 ) 8 8 Ulikheten er oppfylt for x < 8 eller x > 8 e) Finn alle asymptotene til funksjonen f( x) 2x x 2 7x + 2 Her finnes det asymptote for x ±. Avgjør for hvilke x grafen ligger over under og skjærer denne asymptoten. Vi ser at nevneren aldri kan bli derfor har ikke funksjonen noen vertikal asymptote. Men når x ± vil f( x) altså er x-aksen en asymptote. Funksjonen ligger over x-aksen (asymptoten) når 2x > x > f( x) når x og fx ( ) < når x <. OPPGAVE.2 Kostnadsfunksjonen i kr: Kx ( ) x 3 x 2 + 2x + 2 Total salgsinntekt blir: p x 22x x 2.

3 3 a) Overskuddet er Ox ( ) p x K( x) 22x x 2 ( x 3 x 2 + 2x + 2) 22x x 2 x 3 + x 2 2x 2 x 3 + 4x 2 + 2x 2 b) Vi skal finne x for maksimalt overskudd og deriverer Da x > kan bare verdien x 3 brukes Ox ( ) O ( x) 3x 2 + 9x + 2 3( x + ) ( x 3) 3 x + x 3 O ( x) Overskuddet blir maksimalt for 3 x 3 c) Elastisiteten av overskuddet med hensyn til produsert kvantum x for x 4 er E x O ( x) Ox ( ) Her er O ( 4) 67 og E ( 67) 67 4 Når produsert kvantum (x) øker med % vil overskuddet avta med ca 67%. Vi har at O( 4) 4 og kan finne at O( 4 4) 378 O ( 4 4) O( 4) O( 4) % 7% altså en nedgang på 7%. OPPGAVE.3 a) Verdien av Ivars bil vil avta slik Lines bil vil øke i verdi t 6 8 t Da får vi betingelsen 6 8 t t 8 denne likningen kan vi ordne slik: t 82 t t Her tar vi ln på begge sider t ln ln og forkorter bort fire -er. 6 ln ln6 ln6 t ln ln8 ln82 4 Til venstre har vi løst likningen med TI83.

4 4 b) Annuitetslån kr 2 Avdragstid 4 år etterskuddsvis Rente 77% pa Vi bruker formel side 37: ( + r) K K r ( + r) eller kalkulatoren. c) - -4 idag 2 6 år x x x 4982 kr Det skal settes inn kr om 6 år. OPPGAVE.4 En bedrift selger x enheter av vare A og y enheter av vare B. Vare A selges for p kr/enhet og vare B for q kr/enhet der p 2 2x + y og q x 3y. Produksjonskostnadene er + 4x for vare A og 7 + 4y + y 2 for vare B. Hver enhet av vare A veier 3 kg hver enhet for vare B veier 4 kg og transportkostnadene til markedet er 3 kr/kg. a) Overskuddet er Oxy ( ) p x+ q y ( + 4x) ( 7 + 4y + y 2 ) 33x ( + 4y) 2x 2x 2 + xy xy 3y 2 4x 7 4y y 2 9x 2y 2x 2 + 2xy 3 y x + 22y 8 b) Maksimalt overskudd finnes ved å sette de to partielle deriverte av. orden lik O x 4x + 2y + 76 O y 2x 27y + 22 som gir to likninger med to ukjente: 4x + 2y 76 2x 27y 22 Løsningen er x 3 y 82 Maksimalt overskudd blir: O( 3 82) 869

5 c) Vi skal bruke Lagranges metode til å finne maksimalt overskudd under transportbegrensningen 3x + 4y 39. Da er Lagrangefunksjonen er gxy ( ) 3x + 4y 39 Fxy ( ) Oxy ( ) λ gxy ( ) De de to partielle deriverte til Fxy ( ) er: F x 4x + 2y λ F y 2x 27y λ Dette gir oss likningen 66x 89y 22 Begrensningen er gitt ved 3x + 4y 39 og da har vi igjen to likninger med to ukjente som har løsning: x 28 4 y og maksimalt overskudd er O( ) 863 OPPGAVE. a) Vi skal finne eventuelle stasjonære punkter for funksjonen f( xy ) 2x 3 + x + ln( y 2 + 9) f x 6x 2 + > for alle x. Derfor kan ikke funksjonen ha noen stasjonære punkter. b) Gitt produktfunksjonen z f( x y) ln( 2x + ) + ln( 3y + ) der x er innsats av arbeidskraft (i timer) og y er kapitalinnsats (i kr). Stigningstallet til nivåkurven gjennom punktet ( x 3 y 4) er (se side 469) f x f y Tolkning: Dersom kapitalinnsatsen øker med (ett tusen kr) kan arbeidskraften reduseres med 34 timer for å holde produksjonen konstant. c) Den deriveret til funksjonen x + 23y ( + ) 2 ( 3 4+ ) x ( + ) 32 ( 3 + ) y + f( x) 7x + 2 7x x ( + x) /

6 6 7 ( + x) / ( 7x + 2) -- ( + x) 4 / f ( x) ( + x) 2 / 7 ( + x) / 2 ( 7x + 2) ( + x) 4 ( + x) ( + x) 2 / ( + x) 4 7 ( + x) / ( + x) 4 ( 7x + 2) ( + x) 6 7 ( + x) 4x ( + x) 6 6x ( + x) 6 d) Et lån på kr skal nedbetales med 9 månedlige tilbakebetalinger første tilbakebetaling et havt år etter låneopptak. Det er månedlig forrentning og månedsrenten er 7%. Terminbeløpet skal minke med % for hver tilbakebetaling. Finn en formel for terminbeløpene og fnn første og siste tilbakebetaling. Hvor lang tid etter låneopptak er terminbeløpet første gang mindre enn kr? Lånebeløpet Det første terminbeløpet L K K K 9 K 9 2 K 9 3 K L K K 9 K K L K K Det første teminbeløpet er: K L Det n te terminbeløpet K n K 9 n Det siste terminbeløpet K 9 K Terminbeløpet er mindre enn kr når:

7 7 K 9 n 9 n ( n ) ln9 ln34 ln34 n ln9 n NB! ln( 9 ) er negativ. Derfor snur vi ulikhetstegnet i 4. linje.

8