UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript

1 Øvelsesoppgave i: ECON00 Dato for utlevering: Dato for innlevering: UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ved SV-infosenter mellom kl Øvrig informasjon: Denne øvelsesoppgaven er obligatorisk. Kandidater som har fått den obligatoriske øvelsesoppgaven godkjent i et tidligere semester skal ikke levere på nytt. Dette gjelder også i tilfeller der kandidaten ikke har bestått eksamen. Denne oppgaven vil IKKE bli gitt en tellende karakter. En evt. karakter er kun veiledende Du må benytte en ferdig trykket forside som du finner her: Det skal leveres individuelle besvarelser. Det er tillatt å samarbeide, men identiske besvarelser (direkte avskrift) vil ikke bli godkjent! Sammen med besvarelsen skal du levere et erklæringsskjema som du finner her: Besvarelser uten erklæringsskjema vil ikke bli rettet! NB! Du finner informasjon om innleveringsoppgaver og kildebruk på Du finner informasjon om konsekvenser ved fusk på Det er viktig at øvelsesoppgaven blir levert innen fristen (se over). Oppgaver levert etter fristen vil ikke bli rettet.*) Alle øvelsesoppgaver må leveres på innleveringsstedet som er angitt over. Du må ikke levere øvelsesoppgaven direkte til emnelæreren eller ved e-post. Dersom øvelsesoppgaven ikke blir godkjent, vil du få en ny mulighet ved at du får en ny oppgave som skal leveres med en svært kort frist. (Merk: Å levere blankt gir ikke rett til nytt forsøk.) Dersom heller ikke dette forsøket lykkes, vil du ikke få anledning til å avlegge eksamen i dette emnet. Du vil da bli trukket fra eksamen, slik at det ikke vil bli et tellende forsøk. *) Dersom en student mener at han eller hun har en god grunn for ikke å levere oppgaven innen fristen (for eksempel pga. sykdom) bør han/hun søke instituttet om utsettelse. Normalt vil utsettelse kun bli innvilget dersom det er en dokumentert grunn (for eksempel legeerklæring).

2 Obligatorisk oppgave ECON 00, Våren 01 NB: Foreløpig versjon. Selve oppgavetekstene er endelig. Ny versjon med regler for innlevering og frister må lastes ned når den foreligger, dere plikter å gjøre dere kjent med disse. Oppgave 1 (10 poeng) Deriver følgende funksjoner med hensyn på alle argumenter a) f( x) = 5x 3x x 4 b) x + 3 gx ( ) = x x 1 c) hx ( ) = f( x)( x a) d) f x ( ) = gxx (, ) e) Fxy (, ) = gxy (, ) hx ( ) f) z x z y Finn og når z = k( t, s) = (3t s) + s der s = x y og t = yx. Oppgave (5 poeng) La y være implisitt gitt av som en funksjon av x gjennom ligningen x + y = x+ y finn dy dx ved implisitt derivasjon. Oppgave 3 (10 poeng) La 4 4 f ( x, y) = x 3x + y + 3y + xy a) Sett opp førsteordensbetingelsene og vis at x= 1 og y = 1 er et stasjonærpunkt til funksjonen. b) Avgjør om stasjonærpunktet tilfredsstiller de tilstrekkelige betingelsene (andreordensbetingelsene) for maksimum eller minimum.

3 Oppgave 4 (0 poeng) Betrakt funksjonen hr () definert gjennom det betingede maksimeringsproblemet (1) hr ( ) = max xy, f( xyr,, ) under bibetingelsen gxyr (,, ) = 0 Funksjonen framkommer altså for enhver verdi av r som den maksimale verdien av f når en velger x,y under den gitte bibetingelsen. For gitt r lar vi x*( r) og y*( r ) være de verdiene av x og y som gir maksimum. Funksjonen kan da også skrives som () hr () = f( x*(), r y*(),) r r a) Bruk ligning () til å finne et uttrykk for h'( r ). b) Sett opp Lagrangefunksjonen Lxyr (,, ) for problemet i (1) og finn førsteordensbetingelsene. Altså ligningene for stasjonærpunktet til Lagrangefunksjonen. c) Forklar hvordan vi kan vite at gx ( *( r), y*( r), r) = 0 for alle r. Vis ved implisitt derivasjon av denne ligningen at g' x*'( r) + g' y*'( r) = g' x y r d) Prøv til slutt å kombinere resultatene fra a)-c) til å vise at h'() r = L'( x*(), r y*(),) r r r Oppgave 5 (0 poeng) Betrakt en bedrift med produktfunksjon x An k, der det antas at produksjonsfaktoren k er realkapital og er gitt på kort sikt i mengde k k. På kort sikt er derimot den andre faktoren (arbeidskraft gitt ved n ) variabel. A og er positive konstanter, med mindre enn én. Bedriften er prisfast kvantumstilpasser i alle markeder. a) Finn et eksplisitt uttrykk for nødvendig innsats av arbeidskraft på kort sikt for en gitt produktmengde x. 0

4 b) Pris per enhet arbeidskraft er w, mens leiepris per enhet realkapital er q. Utled kostnadsfunksjonen, både den variable kostnaden og totalkostnadene. Utled også variabel gjennomsnittskostnad og grensekostnad. c) Sett A 1, 0, 5 og 0, 5. Hvilken mengde av ferdigvaren vil maksimere bedriftens profitt? d) Hvordan påvirkes bedrifens tilbud av ferdigvaren av at Produktprisen øker Arbeidslønna øker Produktpris og arbeidslønna øker prosentvis like mye Tilgangen på den faste faktoren øker Oppgave 6 (0 poeng) En bedrift produserer en vare i mengde x ved hjelp av arbeidskraft ( n) og energi ( E ). Produktfunksjonen er x FnE (, ). Bedriften minimerer kostnadene for gitt produktmengde, til gitte priser på de to produksjonsfaktorene. La lønn per enhet arbeidskraft være w og pris per enhet energi er q. i) Vis at produktfunksjonen ii) F( n, E) 1 1 An E, med A som en positiv konstant, har konstant skalautbytte og avtakende marginal teknisk substitusjonsbrøk. Formuler kostnadsminimeringsproblemet til bedriften med den gitte produktfunksjonen, og utled de betingede faktoretterspørselsfunksjonene nxwq (;,) og Exwq (;,). Illustrer løsningen, for gitte priser, i en figur. (Anta indre løsning.) iii) Vis at kostnadsfunksjonen i dette tilfellet kan skrives som: Cxwq ( ;, ) ( wq, ) x, med ( w, q) ( wq ) for den gitte produktfunksjonen. A C iv) Vis at nxwq (;,) x, og forklar hvorfor 0 og q 0.

5 Oppgave 7 (15 poeng) m Produktfunksjonen fnk (, ) er homogen av grad m hvis vi kan skrive f ( tn, tk) t f ( n, k). Bruk denne til å vise følgende: f ( tn, tk) ( tn) f ( tn, tk) ( tk) m 1 a) Passuslikningen: mt f ( n, k) ( tn) t ( tk) t b) For m 1 (dvs. for konstant skalautbytte) er resultatet for substitumalen? f ( tn, tk) ( tk) f ( n, k). Hva betyr dette ( tk) k k