Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi

Transkript

1 Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn E. Stokke Tlf.: Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): 5 timer ( ) Sensurdato: 16. januar 2014 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: C /Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (2006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (2005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-270x, HP 30S eller SR-270X College Målform/språk: Bokmål og nynorsk Antall sider: 6 Antall sider vedlegg: 0 Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2 SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Bokmål Eksamen består av 5 oppgaver som alle skal besvares. Vekting ved sensur er gitt i parentes. Oppgave 1 (20%) a) Finn den førstederiverte til følgende funksjoner 3 2 i) f( x) 2x 5x 3 ii) f( x) 1 x 2 3 2x 1 iii) f() x 2ln(5 3) x iv) f( x) e x 2x 3 b) Befolkningen i et land er 10 millioner i 2013, og det er estimert at den fremover vil vokse med 2,3% årlig. i) Sett opp en funksjon, Pt (), som beskriver utviklingen i befolkningen over tid. La t 0 tilsvare ii) Hvor lang tid tar det før befolkningen når 18 millioner? iii) Hvordan må funksjonen for befolkningsutvikling omformuleres dersom befolkningen: - vokser med 1% per år? - vokser med 0,3% per år? - avtar med 0,8% per år? Oppgave 2 (15%) 2 2 Likningen 3x 2xy y 18 fremstiller en kurve i xy-planet som er vist i figuren under. (Legg merke til at det er forskjellige skalaer på aksene) a) Beregn kurvens skjæringspunkter med koordinataksene. b) Finn y i et vilkårlig punkt ( xy, ) på kurven. c) Finn y i et vilkårlig punkt ( xy, ) på kurven. d) I hvilke punkter er tangenten til kurven horisontal? Undersøk fortegnet og verdien til y i disse punktene. e) I hvilke punkter er tangenten til kurven vertikal? Side 2 av 6

3 SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Oppgave 3 (15%) Gitt funksjonen f( x, y) x 4xy y 7x 3 Finn eventuelle stasjonære punkt og klassifiser disse. Oppgave 4 (30%) a) Forklar begrepene nyttefunksjon, indifferenskurve og marginal substitusjonsbrøk. b) Analyser en konsuments valg av forbrukssammensetning. Begrunn at de ønskede mengder av varene (etterspørselsfunksjonene) kan skrives som funksjoner av priser og inntekt. c) Analyser virkningene av en prisøkning på en av varene konsumenten etterspør. Dekomponer effekten av en prisøkning i en prisvridningseffekt og en inntektseffekt. a b d) Anta at konsumenten har nyttefunksjon Ux ( 1, x2) xx 1 2, der x 1 og x 2 er konsumet av to goder og a og b er positive parametere. Utled konsumentens etterspørselsfunksjoner og finn utrykk for inntekts- og priselastisitetene. e) Sammenlikn krysspriseffektene i d) med det generelle tilfellet i c). Oppgave 5 (20%) Betrakt en bedrift som produserer ett produkt ( y ) ved bruk av arbeidskraft ( L ) og realkapital ( K ). Produktfunksjonen er gitt ved y f( L, K) og er kjennetegnet ved konstant skalautbytte. a) Forklar hva som menes med konstant skalautbytte. Side 3 av 6

4 SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi b) Hva menes med den tekniske substitusjonsbrøk? Finn et uttrykk for den tekniske substitusjonsbrøk. c) Løs bedriftens kostnadsminimeringsproblem og vis at bedriftens valg av arbeidskraft og realkapital kan skrives som funksjoner av faktorpriser og produktmengde. Hvordan påvirkes faktorsammensetningen av faktorprisene? d) Illustrer ved hjelp av figurer hvordan totale kostnader, marginalkostnad og gjennomsnittskostnad varierer med omfanget av produksjonen. Begrunn figurene. Illustrer bedriftens tilbudskurve. Nynorsk Eksamen inneheld 5 oppgåver som alle skal svarast på. Vekting ved sensur er gitt i parentes. Oppgåve 1 (20%) a) Finn den førstederiverte til fylgjande funksjoner 3 2 i) f( x) 2x 5x 3 ii) f( x) 1 x 2 3 2x 1 iii) f() x 2ln(5 3) x iv) f( x) e x 2x 3 b) Befolkninga i eit land er 10 millionar i 2013, og det er estimert at den framover vil vekse med 2,3% årleg. i) Sett opp ein funksjon, Pt (), som beskriv utviklinga i befolkninga over tid. La t 0 tilsvare ii) Kor lang tid tek det før befolkninga når 18 millionar? iii) Korleis må funksjonen for befolkningsutvikling omformulerast dersom befolkninga: - veks med 1% per år? - veks med 0,3% per år? - fell med 0,8% per år? Oppgåve 2 (15%) 2 2 Likninga 3x 2xy y 18 framstiller ei kurve i xy-planet som er vist i figuren under. (Legg merke til at det er forskjellige skalaer på aksane) a) Berekn kurva sine skjeringspunkt med koordinataksane. b) Finn y i eit vilkårleg punkt ( xy, ) på kurva. c) Finn y i eit vilkårleg punkt ( xy, ) på kurva. Side 4 av 6

5 SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi d) I kva for punkt er tangenten til kurva horisontal? Undersøk forteiknet og verdien til y i desse punkta. e) I kva for punkt er tangenten til kurva vertikal? Oppgåve 3 (15%) Gitt funksjonen f( x, y) x 4xy y 7x 3 Finn eventuelle stasjonære punkt og klassifiser desse. Oppgåve 4 (30%) a) Forklar omgrepa nyttefunksjon, indifferenskurve og marginal substitusjonsbrøk. b) Analyser en konsuments val av forbrukskombinasjon. Grunngje at dei ønska kvanta av varane (etterspurnadsfunksjonane) kan skrivast som funksjonar av prisar og inntekt. c) Analyser verknadene av ei prisauke på ei av varane konsumenten etterspør. Dekomponer effekten av prisauke i ein prisvridingseffekt og ein inntektseffekt. a b d) Anta at konsumenten har nyttefunksjon Ux ( 1, x2) xx 1 2, der x 1 og x 2 er konsumet av to godar og a og b er positive konstantar. Utlei konsumenten sine etterspurnadsfunksjonar og finn utrykk for inntekts- og priselastisitetane. e) Jamfør krysspriseffektane i d) med det generelle tilfellet i c). Side 5 av 6

6 SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Oppgåve 5 (20%) Sjå på ei bedrift som produserer eit produkt ( y ) ved bruk av arbeidskraft ( L ) og realkapital ( K ). Produktfunksjonen er gjeve ved y f( L, K) som har konstant skalautbytte. a) Forklar kva som meinast med konstant skalautbytte. b) Kva meinast med den tekniske substitusjonsbrøk? Finn et uttrykk for den tekniske substitusjonsbrøk. c) Løys bedrifta sitt kostnadsminimeringsproblem og vis at bedrifta sitt val av arbeidskraft og realkapital kan skrivast som funksjonar av faktorprisar og produsert mengde. Korleis blir faktorsamansettinga påverka av faktorprisane? d) Illustrer ved hjelp av figurar korleis totale kostnadar, marginalkostnad og gjennomsnittskostnad varierer med omfanget av produksjonen. Grunngjev figurane. Illustrer bedrifta si tilbodskurve. Side 6 av 6

7 Kommentar besvarelse SØK1010 høsten 2013 kandidat nr Dette er en særdeles god besvarelse, der kandidaten både viser solide analytiske evner og god økonomisk forståelse. De tre første oppgavene tester matematikkdelen av pensum, mens de to siste omhandler mikroøkonomi. Kandidaten gjør ingen feil i de rene matematikkoppgavene, og gir tilstrekkelige forklaringer av de ulike fremgangsmåtene som benyttes. Oppgave 4a gir presise definisjoner av de aktuelle begrepene, og det styrker besvarelsen at også sammenhengen mellom begrepene forklares. Optimal tilpasning i 4b er grundig forklart (ved hjelp av budsjettkurven og tangeringsbetingelsen). Ryddig grafisk fremstilling i 4c, og god forståelse av dekomponeringen i prisvridnings og inntektseffekt. Fordel at også tilfellet med mindreverdige goder så vidt nevnes. Bra at etterspørselsfunksjonene i 4d finnes for det generelle tilfellet gitt i oppgaveteksten (og ikke for spesialtilfellet med a = b = 1, som mange valgte å gjøre). Merk at utregningen av de direkte priselastisitetene er feil. Formelen for elastisiteten er rett, men utregningen er mangelfull (har kun funnet uttrykket for den deriverte). Det kan vises at begge de direkte priselastisitetene er lik 1. God forståelse i 4e. I oppgave 5 gir kandidaten gode forklaringer av konstant skalautbytte og teknisk substitusjonsbrøk. Kostnadsminimeringsproblemet løses både analytisk og grafisk. Spesielt bra at også effekt av økt faktorpris vises grafisk. Det styrker også oppgaven at de aktuelle kurvene i 5d vises for tilfellet med konstant skalautbytte (siden det er antatt i starten av oppgaven). Alt i alt, en solid besvarelse som fikk en klar A. Trondheim Hildegunn E. Stokke

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40