Eksamen MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål

2 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgåvene. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser reknedugleik og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 2 av 20

3 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (13 poeng) a) Vi har to punkt A ( 2, 5) og ( 4,3) B i eit koordinatsystem. 1) Finn AB. 2) Rekn ut avstanden frå A til B. b) Løys likninga x 2 + 6x = 16 c) På tallinja ovanfor har vi merkt av 12 punkt. Kvart av tala nedanfor tilsvarer eitt av punkta A - L på tallinja. Rekn ut eller forklar kvar kvart av tala skal plasserast. 1) 2) ,5 3) 21 4) tan30 5) 6) Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 3 av 20

4 d) Løys ulikskapen x 2 x > 0 e) I koordinatsystemet ovanfor har vi teikna ei rett linje. Finn ei parameterframstilling for linja. f) Ein ettermiddag sit åtte elevar på skolen og arbeider. Dei bestemmer at to av dei skal gå og kjøpe pizza. På kor mange måtar kan dei to veljast ut? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 4 av 20

5 Oppgåve 2 (6 poeng) 2 Ein funksjon f er gitt ved f ( x) = x 2. a) Teikn grafen til f i eit koordinatsystem for x 3, 3. b) Finn ved rekning likninga for den rette linja som går gjennom punkta ( 0, f (0)) og ( 2, f (2)). c) Finn likninga for tangenten til f i punktet der x = 1 ved rekning. Teikn denne tangenten i same koordinatsystem som du brukte i a). Oppgåve 3 (5 poeng) Figuren ovanfor viser eit kvadrat ABCD. Sidene i kvadratet har lengd 1. E er midtpunkt på BC, og F er midtpunkt på CD. a) 5 Bruk Pytagoras setning til å vise at AE og AF har lengd. 2 b) Vis at arealet av AEF er 3 8. c) Vis at 3 sinα =. 5 Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 5 av 20

6 DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 4 (8 poeng) Kjelde: ( ) Kor mange gram CO2 ein bil slepper ut per kilometer er gitt ved fx x x 2 ( ) = 0,046 6, der x er farten til bilen målt i km/h. a) Teikn grafen til f i eit koordinatsystem for x 20, 100. b) Finn grafisk og ved rekning 1) kor fort bilen køyrer dersom han held konstant fart og slepper ut 150 g CO2 per kilometer. 2) kva fart som gir minst CO2-utslepp per kilometer og kor stort CO2-utsleppet per kilometer er da. Bilen køyrer i 70 km/h i ein halv time. c) Kor mykje CO2 slepper bilen ut i løpet av denne halvtimen? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 6 av 20

7 Oppgåve 5 (6 poeng) Kjelde: ( ) Ovanfor ser du eit utdrag frå ein artikkel henta frå nettsidene til Teknisk Ukeblad. Artikkelen refererer til ei undersøking som viser at éin av fem har same passord overalt. Vi går ut frå at dette også gjeld for elevar i vidaregåande skole i Noreg. I ein klasse ved ein vidaregåande skole i Noreg er det 25 elevar. a) 1) Finn sannsynet for at ingen av elevane har same passord overalt. 2) Finn sannsynet for at minst éin av elevane har same passord overalt. b) Finn sannsynet for at fleire enn fem av elevane har same passord overalt. I ein annan klasse er det 20 elevar. Det viser seg at 6 av desse har same passord overalt. Vi vel tilfeldig fem elevar frå denne klassen. c) Finn sannsynet for at to av desse elevane har same passord overalt. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 7 av 20

8 Oppgåve 6 (7 poeng) Eit tre står på ei horisontal slette. Ved eit gitt tidspunkt kastar sola ein 12 m lang skugge bak treet. Ein pinne som er 1,2 m lang, har ved same tidspunkt ein 1,6 m lang skugge. Sjå skissa ovanfor. a) Kor høgt er treet? b) Vis at solstrålane ved dette tidspunktet dannar ein vinkel på 36,9 med sletta. I enden av sletta er det ei skråning som dannar vinkelen u med horisontallinja. I skråninga står det også eit tre. Dette treet står vinkelrett på horisontalplanet. Sjå skissa ovanfor. Per og Kari vil prøve å rekne ut kor høgt treet i skråninga er, ved hjelp av trigonometri. Dei tek med seg eit metermål, ein planke og ein kalkulator. c) Korleis kan Per og Kari gå fram for å bestemme vinkelen u? Per og Kari reknar ut at u = 25. Skuggen frå treet fell 17 m nedover skråninga. Vi går ut frå at vinkelen mellom solstrålane og horisontallinja er den same som i b). d) Kor høgt er treet i skråninga? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 8 av 20

9 Oppgåve 7 (9 poeng) År Samla opplag (i 1 000) Kjelde: ( ) Tabellen ovanfor viser det samla opplaget til norske aviser i perioden frå 2002 til a) 1) Marker verdiane frå tabellen som punkt i eit koordinatsystem. La x vere åra etter 2002 og y det samla opplaget ( i 1 000). 2) Vis ved regresjon at funksjonen f gitt ved fx ( ) = 54,61x er ein god modell for det samla opplaget av aviser. b) Når vil, ifølgje modellen i a) 2), det samla opplaget vere halvert i forhold til det samla opplaget i 2008? Vi vil no finne ein ny modell for det samla opplaget av aviser. c) 1) Bruk regresjon og finn ein eksponentialfunksjon som passar godt med datamaterialet. 2) Når vil, ifølgje modellen i c) 1), det samla opplaget vere halvert i forhold til opplaget i 2008? I dag (2011) er det ca. 4,9 millionar innbyggjarar i Noreg. Vi går ut frå at innbyggjartalet vil auke med 0,9 % per år framover. d) I kva år vil da det samla opplaget av aviser her i landet utgjere 25 % av innbyggjartalet dersom vi legg modellen i c) 1) til grunn? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 9 av 20

10 Oppgåve 8 (6 poeng) Figuren ovanfor viser ein halvsirkel med diameter AB. S er midtpunktet på AB, og C er eit punkt på sirkelperiferien. Vi set u = SB og v = SC. a) Forklar at AC = u + v og at BC = u + v. b) Forklar at u = v. c) 1) Bruk resultata i a) og b) til å vise at AC BC = 0. 2) Formuler ei setning som seier noko om kva slags trekant ABC må vere. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 10 av 20

11 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 11 av 20

12 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Vi har to punkter A ( 2, 5) og ( 4,3) B i et koordinatsystem. 1) Finn AB. 2) Regn ut avstanden fra A til B. b) Løs likningen x 2 + 6x = 16 c) På tallinjen ovenfor har vi merket av 12 punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene A L på tallinjen. Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres. 1) 2) ,5 3) 21 4) tan30 5) 6) Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 12 av 20

13 d) Løs ulikheten 2 x x > 0 e) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet en rett linje. Finn en parameterframstilling for linjen. f) En ettermiddag sitter åtte elever på skolen og arbeider. De bestemmer at to av dem skal gå og kjøpe pizza. På hvor mange måter kan de to velges ut? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 13 av 20

14 Oppgave 2 (6 poeng) 2 En funksjon f er gitt ved f ( x) = x 2. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x 3, 3. b) Finn ved regning likningen for den rette linjen som går gjennom punktene ( 0, f (0)) og ( 2, f (2)). c) Finn likningen for tangenten til f i punktet der x = 1 ved regning. Tegn denne tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a). Oppgave 3 (5 poeng) Figuren ovenfor viser et kvadrat ABCD. Sidene i kvadratet har lengde 1. E er midtpunkt på BC, og F er midtpunkt på CD. a) 5 Bruk Pytagoras setning til å vise at AE og AF har lengde. 2 b) Vis at arealet av AEF er 3 8. c) Vis at 3 sinα =. 5 Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 14 av 20

15 DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 4 (8 poeng) Kilde: ( ) Antall gram CO2 en bil slipper ut per kilometer er gitt ved fx x x 2 ( ) = 0,046 6, der x er farten til bilen målt i km/h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x 20, 100. b) Finn grafisk og ved regning 1) hvor fort bilen kjører dersom den holder konstant fart og slipper ut 150 g CO2 per kilometer. 2) hvilken fart som gir minst CO2-utslipp per kilometer og hvor stort CO2-utslippet per kilometer er da. Bilen kjører i 70 km/h i en halv time. c) Hvor mye CO2 slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 15 av 20

16 Oppgave 5 (6 poeng) Kilde: ( ) Ovenfor ser du utdrag fra en artikkel hentet fra nettsidene til Teknisk Ukeblad. Artikkelen refererer til en undersøkelse som viser at én av fem har samme passord overalt. Vi antar at dette også gjelder for elever i videregående skole i Norge. I en klasse ved en videregående skole i Norge er det 25 elever. a) 1) Finn sannsynligheten for at ingen av elevene har samme passord overalt. 2) Finn sannsynligheten for at minst én av elevene har samme passord overalt. b) Finn sannsynligheten for at flere enn fem av elevene har samme passord overalt. I en annen klasse er det 20 elever. Det viser seg at 6 av disse har samme passord overalt. Vi velger tilfeldig fem elever fra denne klassen. c) Finn sannsynligheten for at to av disse elevene har samme passord overalt. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 16 av 20

17 Oppgave 6 (7 poeng) Et tre står på en horisontal slette. Ved et gitt tidspunkt kaster solen en 12 m lang skygge bak treet. En pinne som er 1,2 m lang, har ved samme tidspunkt en 1,6 m lang skygge. Se skissen ovenfor. a) Hvor høyt er treet? b) Vis at solstrålene ved dette tidspunktet danner en vinkel på 36,9 med sletten. I enden av sletten er det en skråning som danner vinkelen u med horisontallinjen. I skråningen står det også et tre. Dette treet står vinkelrett på horisontalplanet. Se skissen ovenfor. Per og Kari vil prøve å regne ut hvor høyt treet i skråningen er, ved hjelp av trigonometri. De tar med seg et metermål, en planke og en kalkulator. c) Hvordan kan Per og Kari gå fram for å bestemme vinkelen u? Per og Kari regner ut at u = 25. Skyggen fra treet faller 17 m nedover skråningen. Vi antar at vinkelen mellom solstrålene og horisontallinjen er den samme som i b). d) Hvor høyt er treet i skråningen? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 17 av 20

18 Oppgave 7 (9 poeng) År Samlet opplag (i 1 000) Kilde: ( ) Tabellen ovenfor viser det samlede opplaget til norske aviser i perioden fra 2002 til a) 1) Marker verdiene fra tabellen som punkter i et koordinatsystem. La x være antall år etter 2002 og y det samlede opplaget ( i 1 000). 2) Vis ved regresjon at funksjonen f gitt ved fx ( ) = 54,61x er en god modell for det samlede opplaget av aviser. b) Når vil, ifølge modellen i a) 2), det samlede opplaget være halvert i forhold til det samlede opplaget i 2008? Vi vil nå finne en ny modell for det samlede opplaget av aviser. c) 1) Bruk regresjon og finn en eksponentialfunksjon som passer godt med datamaterialet. 2) Når vil, ifølge modellen i c) 1), det samlede opplaget være halvert i forhold til opplaget i 2008? I dag (2011) er det ca. 4,9 millioner innbyggere i Norge. Vi antar at innbyggertallet vil øke med 0,9 % per år framover. d) I hvilket år vil da det samlede opplaget av aviser her i landet utgjøre 25 % av antall innbyggere dersom vi legger modellen i c) 1) til grunn? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 18 av 20

19 Oppgave 8 (6 poeng) Figuren ovenfor viser en halvsirkel med diameter AB. S er midtpunktet på AB, og C er et punkt på sirkelperiferien. Vi setter u = SB og v = SC. a) Forklar at AC = u + v og at BC = u + v. b) Forklar at u = v. c) 1) Bruk resultatene i a) og b) til å vise at AC BC = 0. 2) Formuler en setning som sier noe om hva slags trekant ABC må være. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Våren 2011 Side 19 av 20

20 Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon