GAMLE EKSAMENSOPPGAVER I SVSØ 106 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER

Transkript

1 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi GAMLE EKSAMENSOPPGAVER I SVSØ 106 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER VÅR 00 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (1998): Matematisk formelsamling for økonomer, Oslo. Knut Sydsæter, Arne Strøm and Peter Berck (1999): Economists' mathematical manual, Berlin. Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgave 1 Finn den 1. deriverte av følgende funksjoner: a) b) c) d) e) f ( ) = f 3 ( ) = f ( ) = f( ) = ( 3) ( + 1) 1 f ( ) = ( + 5 ) Oppgave Gitt følgende funksjon 1 3 f ( ) = definert over intervallet [0, 10]. 3 a) Finn funksjonens stasjonære punkter, det vil si hvor f '( ) = 0. b) Finn globalt maksimums- og minimumspunkt for f over det angitte intervallet. Oppgave 3 Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

2 Innbyggertallet i et land i år t er gitt ved følgende eksponentialfunksjon f( t ) = t hvor t = 0 tilsvarer året 1960, t = 1 tilsvarer 1961 osv. a) Hva var innbyggertallet i 1960? b) Med hvor mange prosent vokser befolkningen per år? c) Hvor lang tid tar det før innbyggertallet er tredoblet? (Svaret gis i logaritmer). d) Hvordan må funksjonen ovenfor omformuleres dersom befolkningen i landet antas å: - Vokse med 1.% per år? - Vokse med 15% per år? - Avta med % per år? Oppgave 4 Gitt funksjonen z F y y 3 = (, ) = +, hvor og y avhenger av t : t y = t. = + 1 og Finn dz, det vil si den totalderiverte av z med hensyn på t. dt Oppgave a) Finn maksimum til U(, y) = y under bibetingelsen 3+ 5y = 0. b) Hvilke betingelser må være oppfylt for at løsningen i oppgave a) skal være et maksimumspunkt? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

3 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi HØST 00 EKSAMENSOPPGAVE I SV SØ 106 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Eksamenstid: 4 timer Vekttall: Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (1998): Matematisk formelsamling for økonomer, 3 utg. Universitetsforlaget. Språkform: Bokmål og nynorsk Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. BOKMÅL Oppgave 1 Finn den 1. deriverte av følgende funksjoner: a) b) c) d) f( ) = f = ( ) ( 1)( ) 3 f( ) = f( ) = 3+ 7 Finn de partielle deriverte av 1.orden med hensyn på og y av følgende funksjon: 3 3 e) f ( y, ) = y 4y + Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

4 Oppgave Finn grenseverdien til følgende uttrykk: a) lim når 3 1 b) lim ln e + når c) lim når 0 d) lim 6 + når - Oppgave 3 Anta du kjøper en maskin for 5000 kr i Maskinens verdi avtar (depresierer) med 15% per år. a) Sett opp en funksjon som beskriver utviklingen i maskinens verdi, A(t), over tid. La t = 0 tilsvare b) Hvor lang tid tar det før verdien av maskinen er halvert? (Svaret gis i logaritmer) c) Hvordan må funksjonen for maskinens verdi omformuleres dersom verdien antas å: - avta med 7% per år? - avta med 0.5% per år? - vokse med 3% per år? Oppgave 4 Gitt følgende funksjon: 1 3 f ( ) = a) Finn funksjonens stasjonære punkter. b) Bruk 1.derivert-testen til å avgjøre hvorvidt de stasjonære punktene er lokale minimumspunkt, lokale maksimumspunkt, eller ingen av delene. c) Vis at bruk av.derivert-testen gir samme resultat som under b. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

5 d) Finn eventuelle vendepunkter for funksjonen, og forklar med ord hva som kjennetegner funksjonen i dette punktet. Oppgave a) Finn maksimum til U(, y) = 1 y under bibetingelsen + 3y = 10. b) Finn maksimum og minimum til f ( y, ) = yunder bibetingelsen 4 + 9y = 36. NYNORSK Oppgåve 1 Finn den 1. deriverte av fylgjande funksjoner: a) b) c) d) f( ) = f = ( ) ( 1)( ) 1 3 f( ) = f( ) = 3+ 7 Finn dei partielle deriverte av 1.orden med omsyn til og y av fylgjande funksjon: 3 3 e) f ( y, ) = y 4y + Oppgåve Finn grenseverdien til fylgjande uttrykk: a) lim når 3 1 b) lim ln e + når Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

6 c) lim når 0 d) lim 6 + når - Oppgåve 3 Føreset at du kjøper ei maskin for 5000 kr i Maskina sin verdi fell (depresierer) med 15% per år. a) Set opp ein funksjon som beskriv utviklinga i maskina sin verdi, A(t), over tid. La t = 0 tilsvare b) Kor lang tid tar det før verdien av maskina er halvert? (Svaret gis i logaritme) c) Korleis må funksjonen for maskina sin verdi omformulerast dersom vi føreset at verdien: - fell med 7% per år? - fell med 0.5% per år? - veks med 3% per år? Oppgåve 4 Gitt fylgjande funksjon: 1 f = ( ) 5 4 a) Finn stasjonære punkt til funksjonen. b) Bruk 1.derivert-testen til å avgjere om dei stasjonære punkta er lokale minimumspunkt, lokale maksimumspunkt, eller ingen av delane. c) Vis at bruk av.derivert-testen gir same resultat som under b. d) Finn eventuelle vendepunkt for funksjonen, og forklar med ord kva som kjenneteiknar funksjonen i dette punktet. Oppgåve a) Finn maksimum til U(, y) = 1 y under vilkåret + 3y = 10. b) Finn maksimum og minimum til f ( y, ) = yunder vilkåret 4 + 9y = 36. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

7 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SVSØ 106 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER VÅR 003 Oppgave 1 Finn den 1. deriverte av følgende funksjoner: a) f( ) = b) c) d) f ( ) = f( ) = f( ) = 3 Oppgave a) Bestem likningene til følgende rette linjer, og gi svaret på formen y = a + b, hvor a og b er konstanter: 1 i) L 1 som går gjennom punktene 3, og 5 1,. 3 ii) L som går gjennom punktene ( 1, 3 ) og, 1. b) Hva forteller konstantene a og b om grafen til de lineære funksjonene du fant i oppgave a. Oppgave 3 Anta at y er en deriverbar funksjon av som tilfredsstiller likningen: 3 + y = y Beregn y og y ved bruk av implisitt derivasjon. Oppgave Gitt funksjonen F(, y) = y 4y+ + 7y. 3 a) Finn de partielle deriverte med hensyn på og y av 1. og. orden. b) Finn funksjonens stasjonære punkter. 3 1 Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

8 c) Avgjør for hvert stasjonært punkt hvorvidt det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller et sadelpunkt. Oppgave a) Finn maksimum til U(, y) = 4 y under bibetingelsen 3+ 5y = 6. b) Finn maksimum og minimum til 1 f ( y, ) = yunder bibetingelsen y = EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER HØST 003 Oppgave 1 a) Finn grenseverdien til følgende uttrykk: i) lim 1 1 ii) 1 ln 4 e + lim iii) lim b) Vis at fortegnet til konstanten a i den generelle kvadratiske funksjonen y = a + b+ c bestemmer om grafen har toppunkt eller bunnpunkt. Oppgave Gitt følgende funksjon a) Finn funksjonens stasjonære punkter. 3 f( ) = definert over intervallet [-10, 1]. b) Finn globalt maksimums- og minimumspunkt for f over det angitte intervallet. c) Skisser grafen til funksjonen i intervallet [-10, 1] basert på resultatene ovenfor. Oppgave 3 1 Likningen 3 y+ y = 15 fremstiller en kurve i y-planet som er vist i figuren under. (Legg merke til at det er forskjellige skalaer på aksene). a) Finn y' ved bruk av implisitt derivasjon. b) Hvor er tangenten til kurven horisontal? Undersøk fortegnet og verdien til y'' i disse punktene. c) I hvilke punkter er tangenten vertikal? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

9 Oppgave 4 Finn maksimum og minimum til f ( y, ) 4 9y = + under bibetingelsen =. y y 3 English SØK 1001 Problem 1 a) Find the limit of the following epressions: 1 i) lim 1 ii) 1 ln 4 e + lim iii) lim b) Show that the sign of the constant a in the general quadratic function y = a + b+ c determines whether the graph has a maimum or a minimum point. Problem Given the following function 3 f( ) = defined over the interval [-10, 1]. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

10 a) Find the stationary points of the function. b) Find the global maimum- and minimum point for f over the given interval. c) Sketch the graph of the function over the interval [-10, 1] based on the above results. Problem 3 1 The equation 3 y+ y = 15 represents a curve in the y-plane as illustrated in the figure below. (Notice that the scale of the aes differs). a) Find y' by using implicit derivation. b) Where is the tangent of the curve horizontal? Eamine the sign and the value of y'' in these points. c) In which points are the tangent vertical? Problem 4 Find the maimum and the minimum of f ( y, ) 4 9y = + given the condition =. y y 3 Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

11 EKSAMENSOPPGAVE I SØK INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER VÅREN 004 Eksamenstid: 3 timer Studiepoeng: 7,5 Eksamensoppgaven består av 4 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgave 1 Finn grenseverdien til følgende uttrykk: a) b) lim lim c) ln e lim 4 Oppgave Finn tall a og b slik at grafen til f ( ) = a + b 3 går gjennom punktet (1, 1) og har stasjonært punkt for Oppgave 3 Gitt følgende funksjon f( ) = =. 3 a) Finn funksjonens stasjonære punkter og tilhørende funksjonsverdi. b) Bruk 1.derivert testen til å avgjøre hvorvidt de stasjonære punktene er lokale minimumspunkt, lokale maksimumspunkt, eller ingen av delene. c) I hvilke intervall er funksjonen konkav? d) Finn eventuelle vendepunkter, og forklar hva som karakteriserer funksjonen i disse punktene. Oppgave 4 Finn maksimum til 1 3 f ( y, ) = 3y under bibetingelsen 5+ y = 35. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

12 EKSAMENSOPPGAVE I SØK INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER HØSTEN 004 Eksamenstid: 4 timer Studiepoeng: 7,5 Eksamensoppgaven består av 4 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgave 1. a) La f ( ) = + Finn et uttrykk for e f( + h) f( ) og bruk dette til å finne b) La y = ' Finn y og angi intervallet der funksjonen er voksende. (Husk: ( e )' = e ) c) La y = ln(+ 1) ' Angi definisjonsmengden til funksjonen og finn y. 1 (Husk: (ln ) ' = ) d) La y = ln(ln ) ' Angi definisjonsmengden til funksjon og finn y. e) Finn dz når dt z = ( u ) og u t f) Finn den annenderiverte til ln y = f ' ( ) Oppgave 3 La f( ) = ln( + 1) + 6 a) Finn D f og vis at 3 f ' ( ) = ( + 1) b) Finn eventuelle ekstrempunkter for funksjonen. c) Finn eventuelle vendepunkter for funksjonen. d) Skisser grafen til f i intervallet ( 1,] Oppgave 3 La f ( y, ) = + y 5 y 3 a) Beregn de partielle deriverte av første og annen orden. b) Finn de stasjonære punktene og klassifiser dem. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

13 Oppgave 4 a) Finn maksimum for f ( y, ) = 4+ 1y y når + y = m (m er en konstant) b) Tegn nivåkurvene f(, y ) = 48 og f (, y ) = 36, samt kurven + y = 8 i samme diagram. Avgjør ved figurbetraktning om punktet ( y=, ) (4,4) er et maksimums- eller minimumspunkt. c) Finn helningen til nivåkurven f(, y ) = 48 i punktet ( y=, ) (4,4). Kommenter svaret. d) I oppgave a) vil maksimumsverdien for f (, y) være en funksjon av m, dvs. f*(m). df *( m) Finn f*(m), beregn og kommenter svaret. dm English Problem 1. a) Let f ( ) = + Find an epression for e f( + h) f( ) and use this epression to find b) Let y = ' Find y and identify the interval where the function is increasing. (Remember: ( e )' = e ) c) Let y = ln(+ 1) ' Identify the function s domain and find y. 1 (Remember: (ln ) ' = ) d) Let y = ln(ln ) ' Identify the function s domain and find y. e) Find dz when dt z = ( u ) and u t f) Find the second derivative for ln y = f ' ( ) Problem 3 Let f( ) = ln( + 1) + 6 a) Find D f and show that 3 f ' ( ) = ( + 1) b) Find the etreme points for the function c) Find possible inflection points for the function. d) Sketch the graph for f in the interval ( 1,] Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

14 Problem 3 3 Let f ( y, ) = + y 5 y a) Find the first-order and second-order partial derivates for the function b) Find the stationary points and classify them Problem 4 a) Find maimum for f ( y, ) = 4+ 1y y when + y = m (m is a constant) b) Draw the level curves f(, y ) = 48 and f (, y ) = 36, in addition to the curve + y = 8 in the same figure. Decide by looking at the figure whether ( y=, ) (4,4) is a maimum- or minimum point. c) Find the slope of the level curve f (, y ) = 48 for ( y=, ) (4,4). Make a comment to your answer. d) In problem a) the maimum value for f (, y) will be a function of m, that is, f*(m). df *( m) Find f*(m), calculate and make a comment to your answer. dm Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

15

16

17

18 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Torberg Falch Tlf.: Eksamensdato: Mandag 1. desember 005 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (1998): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strø, og Peter Berck (1999): Economists mathematical manual, Berlin. Godkjent lommekalkulator HP 30 S. Sensur : 1. januar 006 Eksamensoppgaven består av 6 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke senuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

19 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer BOKMÅL Oppgave 1: Finn den 1. deriverte av følgende funksjoner: a) f 8 b) f c) f d) f e) f 10 5 f) f e 5 3 g) f ln 3 5 Oppgave : Løs følgende likninger: a) b) 8 0 c) Oppgave 3: Hvis Per setter inn kroner i banken med en rente på 4%, hvor mange år tar det innen beløpet er tredoblet?

20 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 4: a) Bestem følgende integral: d b) Beregn følgende integral: d Oppgave 5: Finn eventuelle maks, min- (lokale/globale) og vendpunkter før følgende funksjoner: a) f b) f Finn eventuelle maks, min- og sadelpunkter før følgende funksjon: c) f,y 4 y y 3

21 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 6: En student ønsker å allokere tilgjengelig tid på 60 timer per uke mellom to emner på en slik måte at hun maksimerer sine karakterer. Problemet kan formuleres som følger: maksimer g 1 t 1 g t hvis t 1 t 60 der t i er tiden som brukes på emne i 1, og g i beskriver forventete karakterer som funksjon av studietid: g t 1, g 80 3t Løs problemet med Lagranges multiplikatormetode.

22 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer NYNORSK Oppgåve 1: Finn den 1. deriverte av følgjande funksjonar: a) f 8 b) f c) f d) f e) f 10 5 f) f e 5 3 g) f ln 3 5 Oppgåve : Løs følgjande likningar: a) b) 8 0 c) Oppgåve 3: Dersom Per setter kroner inn i banken med ein rente på 4%, kor mange år vil det ta innan beløpet er tredobla?

23 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 4: a) Bestem følgjande integral: d b) Beregn følgjande integral: d Oppgåve 5: Finn eventuelle maks, min- (lokale/globale) og vendpunkter før følgjande funksjonar: a) f b) f Finn eventuelle maks, min- og sadelpunkter før følgjande funksjon: c) f,y 4 y y 3

24 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 6: Ein student ønskjar å allokere tilgjengelig tid på 60 timer per uke mellom två emnar på ein slik måte at ho maksimerer sine karakterar. Problemet kan formulerast som følgjar: maksimer g 1 t 1 g t dersom t 1 t 60 der t i er tida som brukast på emne i 1, og g i beskriver forventa karakterar som funksjon av studietid: g t 1, g 80 3t Løs problemet med Lagranges multiplikatormetode.

25 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Ekroll Stokke Tlf.: Eksamensdato: Onsdag 4. mai 006 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (1998): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strø, og Peter Berck (1999): Economists mathematical manual, Berlin. Godkjent lommekalkulator HP 30 S. Sensur: Eksamensoppgaven består av 6 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk.

26 BOKMÅL Oppgave 1: Finn den 1. deriverte av følgende funksjoner: a) f b) f 4 3 c) f d) f 4 5 e) f 3 4 f) f e g) f ln 3 1/ Oppgave : Løs følgende likninger: a) 5 6 b) c) Oppgave 3: Hvis en vare i dag koster 150 kroner, og den årlige prisøkningen er 3%, hvor mange år tar det før prisen er 300 kroner? Vis hvordan du løser problemet!

27 Oppgave 4: a) Bestem følgende integral: e d b) Beregn følgende integral: 50 (100 ) d 0 Oppgave 5: Finn eventuelle maks, min- (lokale/globale) og vendepunkter før følgende funksjoner: a) f 3 ( ) = b) f Finn eventuelle maks-, min- og sadelpunkter før følgende funksjon: c) f,y y y y Oppgave 6: Løs følgende optimeringsproblem med Lagranges multiplikatormetode. Maksimer f y y y y når g y y (, ) = (, ) = = 90

28 NYNORSK Oppgåve 1: Finn den 1. deriverte av følgjande funksjonar: a) f b) f 4 3 c) f d) f 4 5 e) f 3 4 f) f e g) f ln 3 1/ Oppgåve : Løs følgjande likningar: a) 5 6 b) c) Oppgåve 3: Dersom ein vare i dag kostar 150 kroner og den årlige prisauka er på 3%, kor mange år tar det innan prisen er 300 kroner? Vis korleis du løyser problemet!

29 Oppgåve 4: a) Bestem følgjande integral: e d b) Berekn følgjande integral: 50 (100 ) d 0 Oppgåve 5: Finn eventuelle maks-, min- (lokale/globale) og vendpunkt før følgjande funksjonar: a) f 3 ( ) = b) f Finn eventuelle maks-, min- og sadelpunkt før følgjande funksjon: c) f,y y y y Oppgåve 6: Løs følgjande optimeringsproblem med Lagranges multiplikatormetode. Maksimera f,y 40 y 56y y når g,y 5 8y 90

30 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Rune Skarstein Eksamensdato: Tirsdag 1. desember 006 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (1998): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (1999): Economists mathematical manual, Berlin. Godkjent lommekalkulator HP 30S Sensur: 15. januar 007 Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Bokmål Oppgave 1 a) Finn den første- og andrederiverte av følgende to funksjoner: (i) f() = (ii) f () = ln + e 3 Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

31 b) Gitt likningen + y y = 0 (i) (ii) Finn dy/d = y ved implisitt derivasjon Finn y (uttrykt ved, y og y ). Oppgave Finn eventuelle maksimums-, minimums- eller vendepunkter for følgende to funksjoner: 1 a) f() = 4 e4 b) f() = Vis hvilken type punkt du har funnet og regn ut funksjonsverdien i stasjonærpunkt. Oppgave 3 Finn eventuelle maksimums-, minimums- eller sadelpunkter for følgende to funksjoner: a) f(, y) = + 4y y +11 b) f(, y) = + ey e e y Vi hvilke typer stasjonærpunkt du har funnet og regn ut funksjonsverdiene i disse punktene. Oppgave 4 a) Gitt funksjonen f() = e +. Finn ved integrasjon arealet under denne funksjonen over intervallet [0, ]. b) Gitt funksjonen f() = over intervallet [1, 4]. 1+. Finn ved integrasjon arealet under denne funksjonen Oppgave 5 Gitt funksjonen f(, y) = 1/ y 1/. Finn de verdiene av, y og λ som gir maksimum for denne funksjonen under restriksjonen g(,y) = 4 + y = 100. Regn ut den maksimale funksjonsverdien. Kan du sannsynliggjøre at det er et maksimum du har funnet? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

32 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Egil Matsen Tlf.: Eksamensdato: Fredag 18. mai 007 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Godkjent lommekalkulator HP 30S Sensur: 11. juni 007 Eksamensoppgaven består av 4 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

33 SØK 1001 Innføring i matematikk for økonomer Bokmål Oppgave 1 Finn eventuelle maksimumspunkt, minimumspunkt og vendepunkt for disse funksjonene: a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e e) f() = e + 1 Oppgave Gitt likningen + y y = 100 a) Finn y = dy/d og y = d y/d ved implisitt derivasjon. b) (8,14) er et punkt på grafen til likningen. Regn ut y og y i dette punktet. Er grafen konkav eller konveks i (8,14)? Oppgave 3 1 a) Gitt funksjonen f() = + 4 Beregn det bestemte integralet av denne funksjonen over intervallet [0, 9]. b) Gitt funksjonen f() = 1 Gjennom punktene (1, 1) og (5, 1/5) på grafen til denne funksjonen trekkes en sekant. Beregn arealet mellom sekanten og grafen til funksjonen over intervallet [1, 5]. Oppgave 4 a) Finn verdiene for, y og λ som gir maksimumsverdi for funksjonen U(,y) = y under restriksjonen y = 40. b) Regn ut maksimumsverdien under a) og drøft betingelsene for at dette faktisk er et maksimumspunkt. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

34 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Rune Skarstein Tlf.: Eksamensdato: Fredag 13. desember 007 Eksamenstid: 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator HP 30S. Sensur: 14. januar 008 Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

35 Bokmål Oppgave 1 a) Regn ut den første- og andrederiverte av følgende to funksjoner: i) f() = ii) f() = ln + e b) Gitt funksjonen f() = ( 1) ln Hva er definisjonsmengden til denne funksjonen? Regn ut den første- og andrederiverte av funksjonen og bruk disse resultatene til å vise at det fins iallfall en -verdi som gir et stasjonærpunkt. Bestem dessuten om funksjonen har noe vendepunkt. Oppgave Gitt funksjonen f() = definert for intervallet 5 5. a) Bruk den første-, og andrederiverte til å finne eventuelle stasjonær- og vendepunkt. b) Er stasjonærpunktene du har funnet, lokale eller globale maksimums-/minimumspunkter? Begrunn svaret. Oppgave 3 a) Beregn integralet over intervallet [0, 4] av følgende funksjon: f() = 3 + e 0,5 b) Beregn integralet over intervallet [1, 5] av følgende funksjon: f() = Oppgave 4 Bestem og klassifiser eventuelle maksimums-, minimums- eller sadelpunkter for funksjonen f(,y) = 4 + 4y 10 y Oppgave 5 a) Finn stasjonærpunkt for følgende funksjon og vis at det er et minimumspunkt du har funnet: f(,y) = 30 y + y b) Gitt funksjonen under a). Bruk nå Lagranges metode til å finne minimum for denne funksjonen under restriksjonen + y = 50 Kan du forklare forskjellen når du sammenligner minimumsverdiene funnet under a) og b)? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

36 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Rune Skarstein Tlf.: Eksamensdato: Fredag 6. juni 008 Eksamenstid: 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 3utg. Universitetsforlaget, Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator HP 30S. Sensur: 7. juni 008 Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

37 Bokmål SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 1 Bruk de første- og andrederiverte til å finne eventuelle maksimumspunkt, minimumspunkt eller vendepunkt for følgende funksjoner: a) f() = b) f() = + 1 c) f() = e d) f() = e Oppgave Gitt likningen + y 3y = 0 a) Finn y = dy/d og y = d y/d ved implisitt derivasjon. b) (8,16) er et punkt på grafen til likningen. Regn ut y og y i dette punktet. Er grafen konkav eller konveks i (8,16)? Oppgave 3 Gitt funksjonen f(, y) = y Beregn eventuelle stasjonærpunkter for denne funksjonen og bestem om det er maksimums-, minimums- eller sadelpunkt du har funnet. Oppgave 4 a) Gitt funksjonen f() = 3 Beregn det bestemte integralet for denne funksjonen over intervallet [0, 3]. Forklar hvorfor dette integralet blir negativt. 3 3( ) b) Gitt funksjonen f() = 1+ Beregn det bestemte integralet for denne funksjonen over intervallet [0, 4] Oppgave 5 Bruk Lagranges metode til å finne de verdiene av, y og λ som gir maksimum/minimum for funksjonen f(, y) = + y under restriksjonen g(, y) = + y + y = 1 Beregn også funksjonsverdiene for f(, y) med de verdiene du har funnet for, y og λ og drøft hvorvidt disse funksjonsverdiene er maksimums- eller minimumsverdier. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

38 SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer Nynorsk Oppgåve 1 Bruk dei første- og andrederiverte til å finne eventuelle maksimumspunkt, minimumspunkt eller vendepunkt for følgjande funksjonar: a) f() = b) f() = + 1 c) f() = e d) f() = e Oppgåve Gitt likninga + y 3y = 0 a) Finn y = dy/d og y = d y/d ved implisitt derivasjon. b) (8,16) er eit punkt på grafen til likninga. Regn ut y og y i dette punktet. Er grafen konkav eller konveks i (8,16)? Oppgåve 3 Gitt funksjonen f(, y) = y Rekn ut eventuelle stasjonærpunkt for denne funksjonen og avgjer om det er maksimums-, minimumseller salpunkt du har funne. Oppgåve 4 a) Gitt funksjonen f() = 3 Rekn ut det bestemte integralet til denne funksjonen over intervallet [0, 3]. Forklar kvifor dette integralet blir negativt. 3 3( ) b) Gitt funksjonen f() = 1+ Rekn ut det bestemte integralet til denne funksjonen over intervallet [0, 4] Oppgåve 5 Bruk Lagranges metode til å finne dei verdiane av, y og λ som gir maksimum/minimum for funksjonen f(, y) = + y under restriksjonen g(, y) = + y + y = 1 Rekn òg ut funksjonsverdiane for f(, y) med dei verdiane du har funne for, y og λ og drøft om disse funksjonsverdiane er maksimums- eller minimumsverdiar. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

39 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Torberg Falch Tlf.: Eksamensdato: Fredag 5. desember 008 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-70 el. HP 30S. Sensur: 5. januar 009. Eksamen består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål, nynorsk og engelsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

40 Bokmål SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 1 To rette linjer har skjæringspunkt i (3,). Den første linjen har helning lik, den andre går gjennom punktet (5,1). a) Finn likningene til begge linjene. b) Den første linjen skifter oppover slik at den vertikale avstanden til den opprinnelige linjen er lik. Finn likningen til den nye linjen. Oppgave Finn den deriverte til funksjonen gitt ved: a) b) c) d) e) Oppgave 3 Gitt funksjonen a) Finn de første- og andrederiverte b) Finn de stasjonære punktene og de globale maksimums- og minimumspunktene. c) Undersøk om funksjonen har et vendepunkt. d) Finn likningen til tangenten til f() i punktet (1,0). e) Hvor mange nullpunkter har f()? Begrunn svaret. Oppgave 4 Gitt funksjonen a) Finn de partielle deriverte og. b) Finn et så enkelt uttrykk som mulig for. Likningen U(, y) = c representerer en nivåkurve for U(, y). c) Hvilken tolkning vil du gi for? Oppgave 5 Gitt funksjonen a) Klassifiser de stasjonære punktene til denne funksjonen. b) Bestem maksimum eller minimum for f under bibetingelsen +y=10. c) Finn f(,8) og f(5,5). Kan du ut fra dette si om punktet du fant under b) er et maksimums- eller minimumspunkt? Begrunn svaret. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

41 Nynorsk SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 1 To rette linjer har skjeringspunkt i (3,). Den første linja har helling lik, den andre går gjennom punktet (5,1). a) Finn likningane til begge linjene. b) Den første linja skifter oppover slik at den vertikale avstanden til den opphavlege linja er lik. Finn likninga til den nye linja. Oppgåve Finn den deriverte til funksjonen gitt ved: a) b) c) d) e) Oppgåve 3 Gitt funksjonen a) Finn dei fyrste- og andrederiverte. b) Finn de stasjonære punkta og de globale maksimums- og minimumspunkta. c) Undersøk om funksjonen har eit vendepunkt. d) Finn likninga til tangenten til f() i punktet (1,0). e) Kor mange nullpunkt har f()? Grunngje svaret. Oppgåve 4 Gitt funksjonen a) Finn dei partielle deriverte og. b) Finn eit så enkelt uttrykk som mogleg for. Likninga U(, y) = c representerer en nivåkurve for U(, y). c) Kva for tolking vil du gi av? Oppgåve 5 Gitt funksjonen a) Klassifiser dei stasjonære punkta til denne funksjonen. b) Finn maksimum eller minimum for f under restriksjonen +y=10. c) Finn f(,8) og f(5,5). Kan du ut frå dette si om punktet du fant under b) er eit maksimums- eller minimumspunkt? Grunngje svaret. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

42 English SØK Introduction to Mathematics for Economists Problem 1 Two straight lines have the intersection point (3,). The first straight line has a slope equal to, while the second line goes through the point (5,1). a) Find the equations for both lines. b) The first straight line shifts upwards with a vertical distance equal to. Find the equation for the new line. Problem Find the derivatives of the following functions: a) b) c) d) e) Problem 3 The following function is given a) Find the first and second-order derivatives. b) Find the stationary points and the global maimum and minimum points. c) Does this function have an inflection point? d) Find the equation for the tangent to f() in the point (1,0) e) How many solutions are there to the equation f()= 0? Eplain. Problem 4 The following function is given: a) Find the partial derivatives and. b) Find a simple epression as possible for. The equation U(, y) = c represents a level curve for U(, y). c) How will you interpret? Problem 5 The following function is given: a) Classify the stationary points for this function. b) Find the maimum or minimum for f under the restriction +y=10. c) Find f(,8) and f(5,5). Can you from these function values tell whether the point found under b) is a maimum or minimum point? Eplain. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

43 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Hans Bonesrønning Tlf.: Eksamensdato: Fredag 15. mai 009 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-70 el. HP 30S. Sensur: 10. juni 009. Eksamen består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

44 Bokmål SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 1 Finn likningene til tangentene til grafene til de følgende funksjonene i de spesifiserte punktene: a) y = 3 for = 1 b) 3 y = for = Oppgave Finn den deriverte til følgende funksjoner: 1 1 a) f( ) = + 3 b) f = ( ) / 10 c) f ( ) = (ln ) d) f( ) = e ln( + ) + 1 1/3 e) f( ) = ( ) 1 e Oppgave 3 La f ( ) = + + e være definert i området [-3,3]. a) Finn f () og f (). Hvor er f () økende/avtagende? b) Diskuter hvor mange løsninger likningen f () = 0 har i intervallet[-3,3]. c) Finn maksimum for f() i [-3,3]. Oppgave 4 a) Profitten til en bedrift som produserer og selger enheter av gode 1 og y enheter av gode er gitt ved: π ( y, ) = y 0.y y 600 Finn produksjonsnivåene som maksimerer profitten. b) Tilgangen på råvarer er begrenset slik at produksjonen må begrenses til 00 enheter totalt. Finn produksjonsnivåene som maksimerer profitten i dette tilfellet. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

45 SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 5 En konsument har nyttefunksjonen U(, y) = y+ + y og budsjettrestriksjonen + y = m. a) Finn godekombinasjonen som maksimerer konsumentens nytte gitt budsjettrestriksjonen. b) Konsumentens problem kan alternativt løses ved at vi først finner at y = m fra budsjettrestriksjonen, og deretter setter dette uttrykket inn i nyttefunksjonen. Vi får da en funksjon i en variabel: N( ) = ( m ) + + ( m ) Finn stasjonære punkter for denne funksjonen, og kommenter svaret. Nynorsk Oppgåve 1 Finn likningane til tangentane til grafane til dei fylgjande funksjonane i dei spesifiserte punkta: a) y = 3 for = 1 b) 3 y = for = Oppgåve Finn dei deriverte til fylgjande funksjoner: 1 1 a) f( ) = + 3 b) f( ) = / 10 c) f ( ) = (ln ) d) f( ) = e ln( + ) 1/3 e) f( ) = ( ) e Oppgåve 3 La f ( ) = + + e vere definert i området [-3,3]. a) Finn f () og f (). Kor er f () aukande/avtakande? b) Diskuter kor mange løysingar likninga f () = 0 har i intervallet[-3,3]. c) Finn maksimum for f() i [-3,3]. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

46 SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 4 a) Profitten til ei verksemd som produserer og sel einingar av gode 1 og y einingar av gode er gitt ved: π ( y, ) = y 0.y y 600 Finn dei produksjonsnivåa som maksimerer profitten. b) Tilgangen på råvarer er avgrensa slik at produksjonen må avgrensas til 00 einingar totalt. Finn dei produksjonsnivåa som maksimerer profitten i dette tilfellet. Oppgåve 5 Ein konsument har nyttefunksjonen U(, y) = y+ + y og budsjettrestriksjonen + y = m. a) Finn godekombinasjonen som maksimerer konsumenten si nytte gitt budsjettrestriksjonen. b) Konsumenten sitt problem kan alternativt løysast ved at vi først finn at frå budsjettrestriksjonen, og deretter sett dette uttrykket inn i nyttefunksjonen. Vi får da ein funksjon i ein variabel: N( ) = ( m ) + + ( m ) Finn stasjonære punkt for denne funksjonen, og kommenter svaret. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

47 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn E. Stokke Tlf.: Eksamensdato: Fredag 4. desember 009 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-70 el. HP 30S. Sensur: 4. januar 010. Eksamen består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

48 Bokmål SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 1 Bestem tangentlikningen for funksjonen i det oppgitte punktet, og tegn grafen og tangenten a) b) Oppgave Finn den førstederiverte til følgende funksjoner: a) b) c) d) e) f) Oppgave 3 Gitt funksjonen, a) Finn nullpunkter for funksjonen b) Finn f () og f () c) Finn de stasjonære punktene og klassifiser disse d) Finn globale maksimums- og minimumspunkter e) Hvor er funksjonen konveks/konkav? Finn vendepunktene f) Skisser grafen til f Oppgave 4 Gitt funksjonen a) Finn de stasjonære punktene til f(,y) b) Klassifiser de stasjonære punktene Oppgave 5 Gitt funksjonen og bibetingelsen a) Tegn nivåkurver for f(,y) og bibetingelsen g(,y)= 1 i samme diagram Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

49 SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer b) Løs problemet Ma/min f(,y)= +y gitt ved Lagranges metode c) Bruk figuren i a) til å diskutere om du har funnet et maksimums- eller minimumspunkt i b). Nynorsk Oppgåve 1 Finn tangentlikninga for funksjonen i det oppgitte punktet, og teikn grafen og tangenten a) b) Oppgåve Finn den førstederiverte til følgjande funksjoner: a) b) c) d) e) f) Oppgåve 3 Gitt funksjonen, a) Finn nullpunktane for funksjonen b) Finn f () og f () c) Finn dei stasjonære punktane og klassifiser disse d) Finn globale maksimums- og minimumspunkt e) Kor er funksjonen konveks/konkav? Finn vendepunkta f) Skisser grafen til f Oppgåve 4 Gitt funksjonen a) Finn dei stasjonære punkta til f(,y) b) Klassifiser dei stasjonære punkta Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

50 SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 5 Gitt funksjonen og restriksjonen a) Teikn nivåkurver for f(,y) og restriksjonen g(,y)= 1 i samme diagram b) Løs problemet Ma/min f(,y)= +y gitt ved Lagrange sin metode c) Bruk figuren i a) til å diskutere om du har funne eit maksimums- eller minimumspunkt i b). Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

51 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Hans Bonesrønning Tlf.: Eksamensdato: Fredag 1. mai 010 Eksamenssted: Eksamenstid: Dragvoll 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-70 el. HP 30S. Sensur: 14. juni 010. Eksamen består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

52 Bokmål SØK1001-Innføring i matematikk for økonomer Oppgave 1 Finn tangentlikningene til a) i punktet (1,-1) b) i punktet (0.3) Oppgave Deriver følgende funksjoner: a) b) c) d) Oppgave 3 Gitt, a) Finn koordinatene til de stasjonære punktene og avgjør om disse er lokale topp- eller bunnpunkter. Finn globale topp- og bunnpunkter. b) Finn koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til f. c) Den rette linja y = skjærer grafen til f i ett punkt. Hvilken tolkning vil du gi denne rette linja? Oppgave 4 Gitt a) Finn stasjonære punkter. Klassifiser de stasjonære punktene ved å bruke andrederiverttesten. b) Finn globale maksimum og minimum for f(,y) når Oppgave 5 a) Finn godekombinasjonen (,y) som maksimerer under bibetingelsen Finn også maksimumsverdien for U(,y). b) Finn godekombinasjonen (,y) som minimerer utgiften under bibetingelsen Kommenter svaret.. Hvor stor må utgiften E være for å gi U=? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

53 Nynorsk SØK1001 Innføring i matematikk for økonomer Oppgåve 1 Finn tangentlikningane til a) i punktet (1,-1) b) i punktet (0.3) Oppgåve Deriver fylgjande funksjoner: a) b) c) d) Oppgåve 3 Gitt, a) Finn koordinatane til de stasjonære punkta og avgjør om disse er lokale topp- eller botnpunkt. Finn globale topp- og botnpunkt. b) Finn koordinatane til eventuelle vendepunkt på grafen til f. c) Den rette linja y = skjærer grafen til f i eit punkt. Kva for tolking vil du gi denne rette linja? Oppgåve 4 Gitt a) Finn stasjonære punkt. Klassifiser dei stasjonære punkta ved å bruke andrederiverttesten. b) Finn globale maksimum og minimum for f(,y) når Oppgåve 5 a) Finn godekombinasjonen (,y) som maksimerer under bibetingelsen Finn også maksimumsverdien for U(,y). b) Finn godekombinasjonen (,y) som minimerer utgifta under bibetingelsen Kommenter svaret.. Hvor stor må utgifta E vere for å gi U=? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur på stud.web eller ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

54 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK1001 INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMER Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn E. Stokke Tlf.: Eksamensdato: Mandag 6. desember 010 Eksamenssted: Dragvoll Eksamenstid: 4 timer Studiepoeng: 7,5 Tillatte hjelpemidler: Flg formelsamling: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (006): Matematisk formelsamling for økonomer, 4utg. Gyldendal akademiske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (005): Economists mathematical manual, Berlin. Enkel kalkulator Citizen SR-70 el. HP 30S. Sensur: 6. januar 011 Oppgaveteksten er skrevet på bokmål og nynorsk. Bokmål Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Vekting av oppgavene er gitt i parentes. Oppgave 1 (0%) a) La f = e. Finn f '( ). ( ) ( 1) ( ) = b) La f. Finn '( ) + 1 f. c) La f( ) = ln( 3 ). Angi definisjonsmengden til funksjonen og finn f '( ). d) La f( ) 3 4 =. Finn elastisiteten av f med hensyn på. Gi en kort tolkning av svaret. e) La f( y, ) = 5 y. Angi definisjonsmengden til funksjonen og illustrer definisjonsmengden grafisk i et y-diagram. Oppgave (0%) a) Utfør følgende divisjoner: : i. ( ) ( ) ii. ( ) :( + 1) Merk! Det blir sendt automatisk varsel om sensur på e-post. Du kan se hva som er registrert ved å gå inn på Stud.web. Evt andre telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

55 SØK Innføring i matematikk for økonomer b) Produsert kvantum (Y) i en bedrift avhenger av bruken av kapital (K) og arbeidskraft (L), og er gitt ved følgende Cobb-Douglas produktfunksjon: Y= FKL (, ) = K L. Finn de partielle deriverte med hensyn på K og L av 1. og. orden og gi en kort økonomisk tolkning av resultatene. Oppgave 3 (15%) Befolkningen i et land var 4 millioner i 009, og det ble estimert at den ville vokse med 1.8% årlig. a) Sett opp en funksjon, Pt (), som beskriver utviklingen i befolkningen over tid. La t = 0 tilsvare 009. b) Hvor lang tid tar det før befolkningen når 7 millioner? c) Hvordan må funksjonen for befolkningsutvikling omformuleres dersom befolkningen: - vokser med 3% per år? - vokser med 0.7% per år? - avtar med 1.% per år? Oppgave 4 (0%) Gitt følgende funksjon: f( ) = a) Finn funksjonens stasjonære punkter og tilhørende funksjonsverdier. b) Bruk 1.derivert-testen til å avgjøre hvorvidt de stasjonære punktene er lokale minimumspunkt, lokale maksimumspunkt, eller ingen av delene. c) Vis at bruk av.derivert-testen gir samme resultat som i b). d) Finn eventuelle vendepunkter for funksjonen, og forklar hva som karakteriserer funksjonen i disse punktene. Oppgave 5 (5%) a) Løs følgende optimeringsproblem ved bruk av Lagranges metode: Ma / Min f( y, ) = + 4+ y gitt at + y = m der m er en konstant. 5 b) Sett m =. Tegn nivåkurvene f( y=, ) og f( y, ) = 6, samt kurven for bibetingelsen y = i samme diagram. Avgjør ved figurbetraktning om punktet ( y, ) = 1, er et maksimums- eller minimumspunkt. c) I oppgave a) er den optimale verdien av f( y, ) en funksjon av m, dvs f *( m ). Finn df *( m) f *( m ), beregn og kommenter svaret. dm Merk! Det blir sendt automatisk varsel om sensur på e-post. Du kan se hva som er registrert ved å gå inn på Stud.web. Evt andre telefoner om sensur må rettes til instituttet. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.