Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014

Transkript

1 Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014 Oppgave 1 Vi skal i denne oppgaven se nærmere på en konsuments arbeidstilbud. Konsumentens nyttefunksjon er gitt ved: U(c, f) = c + ln f, (1) der c angir konsum av en vare, mens f angir konsumentens fritid. Vi har at f = n n, der n er konsumentens arbeidstilbud, og n angir det maksimale antall timer konsumenten har tilgjengelig. a) Finn konsumentens marginale betalingsvilje for fritid i enheter av konsumvaren (MSB), og vis at denne er lavere jo mindre fritid konsumenten har. Illustrer konsumentens indifferenskurver i en figur. Konsumentens marginale betalingsvilje for fritid i enheter av konsumvaren er gitt ved marginal substitusjonsbrøk (MSB); U f U c = 1 f 1 = 1 f. Denne finner vi ved å sette konsumentens nytte til et gitt nivå, og derivere sammenhengen (enten implisitt eller ved å løse ut for konsumet): c + ln f = U 0 c = U 0 ln f dc df = 1 f 1

2 (MSB er definert som absoluttverdien av helningen på indifferenskurven, altså har vi at MSB= 1/f). Denne synker i f (mer tilgjengelig fritid reduserer konsumentens verdi av ytterligere én enhet): ( ) d 1 = 1 df f f < 0 2 Konsumentens indifferenskurver illustreres på helt standard måte i et diagram med f og c på aksene (en synkende, konveks kurve). b) Konsumentens inntekt kommer i sin helhet fra lønn, som er gitt ved w per arbeidstime. Konsumvaren handles i markedet til prisen p. Sett opp konsumentens maksimeringsproblem, finn tilpasningen, og løs ut for konsumentens arbeidstilbud og etterspørsel etter konsumvaren. Konsumenten løser følgende maksimeringsproblem: max(c + ln f) gitt pc + wf = w n c,f (der budsjettbetingelsen kan skrives på flere forskjellige måter, og utledes fra pc = wn pc = w( n f)). Problemet løses (for eksempel) ved hjelp av Lagranges metode, og fra førsteordensbetingelsene følger konsumentens tilpasningsbetingelse: L = c + ln f λ(pc + wf w n) focs: c = 1 λp = 0 c = 1 f λw = 0 1 f = w p Fra tilpasningen kan vi direkte utlede konsumentens etterspørsel etter fritid, og dermed konsumentens arbeidstilbud: f = p w n = n f = n p w. 2

3 Etterspørselen etter konsumvaren følger da direkte fra budsjettbetingelsen: c = w p n = w n 1. p c) Hvordan endres konsumentens arbeidstilbud og etterspørsel etter konsumvaren dersom en skatt settes på lønna slik at den endres til w = (1 t)w, der t (0, 1) (slik at w < w)? En reduksjon i w fører til en reduksjon i både arbeidstilbudet og etterspørselen etter konsumvaren: ñ = n p w < n p w c = w p n 1 < w p n 1 Dette kan vi også vise ved å derivere henholdsvis n og c med hensyn på w (begge de deriverte er positive, altså vil en reduksjon i w gi nedgang i både n og c). Oppgave 2 Vi skal her først se på en enkel økonomi bestående av to representative konsumenter, konsument A og konsument B. De to konsumentenes preferanser er gitt ved nyttefunksjonene: U A (c A 1, c A 2 ) U B (c B 1, c B 2 ), der c j i angir konsument j s konsum av vare i. Anta at begge nyttefunksjonene har standard egenskaper. De to konsumvarene finnes tilgjengelig i gitte mengder i økonomien, x 1 og x 2, slik at vi har: c A 1 + c B 1 = x 1 c A 2 + c B 2 = x 2. 3

4 a) Finn betingelsen for bytteeffektiv allokering av ressursene i denne økonomien, og gi en tolkning av denne. En bytteeffektiv allokering av x 1 og x 2 mellom de to konsumentene, er en allokering som løser følgende problem: max c A 1,cA 2,cB 1,cB 2 U A (c A 1, c A 2 ) gitt U B (c B 1, c B 2 ) = U B,0 c A 1 + c B 1 = x 1 c A 2 + c B 2 = x 2. Ved å sette inn de to siste betingelsene, og videre løse problemet ved hjelp av Lagranges metode finner vi effektivitetsbetingelsene: focs: L = U A (x 1 c B 1, x 2 c B 2 ) λ(u B (c B 1, c B 2 ) U B,0 ) = = = λ λ = 0 = 0 (bytteeffektivitet) Betingelsen forteller oss at verdien av vare 1 på marginen skal være den samme i begge anvendelser. Verdien av ytterligere én enhet av vare 1 for hver av konsumentene måles her i antall enheter av vare 2 de (hver for seg) er villige til å oppgi for en økning i konsumet av vare 1 (på én enhet). Eller tilsvarende, hvor mye av vare 2 hver konsument må kompenseres med, dersom konsumet av vare 1 reduseres med én enhet. I det videre skal vi oppheve antagelsen om at de to varene finnes tilgjengelig i gitte mengder. Vi skal i stedet anta at en gitt mengde arbeidskraft, N, er tilgjengelig i økonomien, og at denne benyttes i produksjonen av begge varene. Vare 1 kan i tillegg benyttes som innsatsfaktor i produksjonen av vare 2. Den realøkonomiske rammen er dermed gitt av 4

5 konsumentenes preferanser, og følgende fem likninger: N 1 + N 2 = N (1) x 1 = F (N 1 ) (2) x 2 = G(N 2, y) (3) c A 1 + c B 1 = x 1 y (4) c A 2 + c B 2 = x 2, (5) der N 1 og N 2 angir arbeidskraft som benyttes (henholdsvis) i produksjonen av vare 1 og 2, og y er mengden av vare 1 som benyttes i produksjonen av vare 2. b) Sett opp samfunnsplanleggerens maksimeringsproblem, og gjør rede for de avveiningene samfunnsplanleggeren står ovenfor. I denne økonomien er det i utgangspunktet fire avveininger som må gjøres, for å bestemme en allokering (det er ni endogene variable og fem betingelser, altså fire frihetsgrader): Hvordan fordele tilgjengelig arbeidskraft? Hvordan fordele produsert mengde av vare 1 mellom konsum og produksjon av vare 2? Hvordan fordele den resterende mengden tilgjengelig av vare 1 mellom de to konsumentene? Hvordan fordele produsert mengde av vare 2 mellom de to konsumentene? Vi ønsker imidlertid ikke å berøre fordelingsspørsmål her, og setter dermed opp følgende maksimeringsproblem (med bare 3 frihetsgrader) for samfunnsplanleggeren: max U A (c A c A 1,cA 2,cB 1,cB 2,x 1, c A 2 ) gitt U B (c B 1, c B 2 ) = U B,0 1,x 2,N 1,N 2,y (1) (5) Løsningen på dette problemet gir svar på de to første avveiningene i punktlisten ovenfor, i tillegg til at den gir oss betingelsen for (bytte-)effektiv fordeling av de to konsumvarene mellom konsumentene. Nyttenivået for konsument B, U B,0 bestemmer én allokering (besvarer altså også begge de to siste avveiningene i punktlisten over). 5

6 c) Vis at betingelsene for en samfunnsøkonomisk effektiv allokering i denne økonomien kan skrives som: = = y = og gi en tolkning av det økonomiske innholdet i disse tre betingelsene. N 2, (,, ) F (N 1 ) Disse tre betingelsene løser problemet formulert i oppgave b). Problemet kan løses for eksempel ved å bruke innsettingsmetoden for betingelsene (1)-(5), og deretter sette opp en Lagrange-funksjon: L = U A (F (N 1 ) y c B 1, G(N N 1, y) c B 2 ) λ(u B (c B 1, c B 2 ) U B,0 ) Dette gir følgende fire betingelser: = = y = λ λ + = 0 (i) = 0 (ii) y = 0 = F (N 1 ) N 1 N 2 = 0 Betingelse ( ) følger fra (i) og (ii) ved å eliminere λ, mens betingelse betingelse ( ) og ( ) følger direkte fra henholdsvis (iii) og (iv). Betingelse ( ) er betingelsen for bytteeffektivitet, og har samme tolkning som i a). Betingelse ( ) er betingelsen for produksjonseffektivitet: den forteller oss hvordan vi kan innrette produksjonen av de to varene slik at det ikke er mulig å fremskaffe mer av den ene varen, uten å redusere produksjonen av den andre varen. Venstresiden gir MTB mellom vare 1 og 2 (redukjsonen i produksjonen av vare 2 som er nødvendig for å øke den tilgjengelige mengden av vare 1 med én enhet) ved endring i mengden av vare 1 som benyttes i produksjonen av vare 2. Dette er altså marginalproduktiviteten av vare 1 i produksjonen av vare 2. Høyresiden i betingelsen er MTB mellom de to varene ved endring i mengden arbeidskraft som benyttes i produksjonen av hver vare. Produksjonen må innrettes slik at de to MTB ene er like, altså at kostnaden ved å øke tilgangen på 6 (iii) (iv)

7 vare 1 (eller gevintsen ved å redusere den) - målt i enheter av vare 2 - er den samme uavhengig av om økningen (eller reduksjonen) gøres ved å redusere mengden som benyttes som innsatsfaktor (y) eller ved å endre arbeidskraftsfordelingen. Til slutt gir betingelse ( ) betingelsen for sammensetningseffektivitet; de to varene skal produseres i et slikt omfang at kostnaden ved å produsere den siste enheten av vare 1(gitt ved hver av de to like MTB ene), er lik verdien av denne enheten for konsumentene (gitt ved hver av de to like MSB ene). Både produksjons- (eller alternativ-) kostnaden og verdien måles jo da også i enheter av vare 2. La oss nå tenke oss at en stor gruppe produsenter av hver konsumvare representeres ved to produsenter. Disse to produsentene, og de to (representative) konsumentene møtes i markedet, der varene omsettes for henholdsvis p 1 og p 2, og lønna er w per arbeidstime. Eierforholdene i økonomien er bestemt slik at konsument A eier arbeidskraften, mens konsument B eier bedriftene som produserer de to konsumvarene. d) Finn aktørenes tilpasningsbetingelser, og vis at allokeringen som realiseres i markedslikevekten er samfunnsøkonomisk effektiv. Sett opp maksimeringsproblemet for hver enkelt aktør, førsteordensbetingelsene forteller oss hvordan de tilpasser seg i markedet. Konsument A: maxu A (c A c A 1, c A 2 ) gitt p 1 c A 1 + p 2 c A 2 = R A 1,cA 2 L = U A (c A 1, c A 2 ) µ A (p 1 c A 1 + p 2 c A 2 R A ) focs: = = µ A p 1 = 0 µ A p 2 = 0 R A = wn = p 1 p 2 (tilpasning konsument A) 7

8 Konsument B: maxu B (c B c B 1, c B 2 ) gitt p 1 c B 1 + p 2 c B 2 1,cB 2 = R B L = U B (c B 1, c B 2 ) µ B (p 1 c B 1 + p 2 c B 2 R B ) focs: = = µ B p 1 = 0 µ B p 2 = 0 R B = π 1 + π 2 = p 1 p 2 (tilpasning konsument B) Produsent 1: max N 1 p 1 F (N 1 ) wn 1 foc: p 1 F (N 1 ) w = 0 F (N 1 ) = w p 1 (tilpasning produsent 1) Produsent 2: max N 2,y p 2G(N 2, y) wn 2 p 1 y focs: p 2 N 2 w = 0 p 2 y p 1 = 0 = w N 2 p 2 y = p 1 (tilpasning produsent 2) p 2 Fra disse tilpasningsbetingelsene følger betingelsene for effektiv allokering relativt direkte: Betingelse ( ) følger fra tilpasningsbetingelsene for konsument A og B sammen. Betingelse ( ) følger deretter fra siste tilpasningsbetingelse for produsent 2, sammen med konsumentenes betingelser. 8

9 Til slutt følger da ( ) fra kombinasjonen av første betingelse for produsent 2, betingelsen for bedrift 1, og de foregående. Dermed er allokeringen som realiseres i markedslikevekten samfunnsøkonomisk effektiv. Eierforholdene i økonomien vil bestemme hvilken effektiv allokering som realiseres. e) Hvordan endres allokeringen i markedslikevekten dersom konsument A i tillegg til å eie arbeidskraften også eier bedriftene som produserer vare 1? Hvordan påvirker denne endringen i eierforholdene markedsløsningens effektivitetsegenskaper? Dersom konsument A i tillegg til å eie arbeidskraften også eier bedriftene som produserer vare 1 (og dermed får inntekten proftt fra disse bedriftene genererer), vil den realiserte allokeringen endres i retning av høyere konsum (av begge varer) for konsument 1, og lavere konsum for konsument 2. Dette skjer ved at budsjettbetingelsene endrer seg for begge konsumentene: R 1 blir høyere, mens R 2 blir lavere. Gitt tilpasningsbetingelsene vil dermed konsument 1 øke sin etterspørsel etter begge varene, mens konsument 2 reduserer sin etterspørsel. Hvordan endringen slår ut på allokeringne av produksjonsfaktorene avhenger av forholdet mellom konsument 1 og konsument 2s preferanser (dersom konsument 1 har sterkere preferanser for vare 1 relativt til vare 2 i forhold til konsument 2, tilsier dette at likevektseffekten blir økt produksjon av vare 1 og/eller redusert bruk av vare 1 som innsatsfaktor i produksjonen av vare 2, for eksempel). Markedslikevektens effektivitetsegenskaper endres ikke. Tilpasningsbetingelsene er fortsatt de samme, og effektivitetsegenskapene følger fra disse. Endrede eierrettigheter fører altså til en endring i den realiserte allokeringen, men allokeringne er samfunnsøkonomisk effektiv både før og etter endringen. 9