Høyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)

Transkript

1 Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) f ( ) b) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Løs ulikheten Her setter vi utrykkene på venstre side på felles brøk ( + ) Telleren må faktoriseres, vi løser den tilsvarende likning 0 Da blir ulikheten seende slik ut og den kan vi finne ut av i et fortegnsdia ( ) ( + ) + 0 gram.

2 Kapittel Brøk Ulikheten er tilfredstilt for < d) Beregn integralet ( e + ) d ( e + ) d -- --e C e C -- e) Løs likningen Vi kaller P ( ) Her må vi se at er løsning i likningen P ( ) 0 da for eksempel P( ) Da vi P ( ) være delelig med : 6 ( ) 5 ( + ) Da står det igjen å løse annengradslikningen.

3 6 0 ± ( 6) ± Løsningen til P ( ) 0 er OPPGVE. Funksjonen f er gitt ved f ( ) a) Vi skal avgjøre når f > 0, f < 0 og når f 0 Funksjonen kan skrives som f ( ) ( ) f ( ) 0 Her ser vi at f > 0 når > f 0 når 0 og f < 0 når < 0 0 < < b) For å avgjøre når f vokser og når f avtar, finner vi f ( ) -- og drøfter den i et fortegnsdiagram: f ( ) f ( ) Konklusjon f ( ) vokser når < 0 og > --

4 Kapittel Maksimalpunkt avtar når 0 < < -- 0 y 0 Minimalpunkt -- y -----, 9 7 c) Vi avgjør nå f er konveks og når f er konkav ved å se på fortegnsdiagrammet til den annenderiverte. f ( ) Fortegnet til f ( ) varierer bare med -- f ( ) er konveks for > -- konkav for < -- Vendepunkt har vi i -- y , 59 7 d) Funksjonen g er gitt ved g ( ) e f ( ) Vi skal tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. Drøft likningen g ( ) t der t er et vilkårlig reelt tall. Grafen til y t er en horisontal linje i avstand t over eller under -aksen. De to funksjonene f ( ) og g ( ) må ha ekstremalpunkter for de samme -verdier da g ( ) e f ( ) f ( ). Drøftingen av likningen kan derfor begrenses til å finne antall skjæringspunkter mellom denne linjen og y g( ) Ingen løsning t < 0 løsning når t > eller 0 < t < 0,

5 5 løsninger når t eller t 0, løsninger når 0, < t < OPPGVE. a) Vi setter Lånet L vdrag Nedbetalingstid n n 0 n 5... n , , , : : , n Summen av leddene til venstre er lik lånet L. L , , , , 08 n som gir formel for termininnbetalingen : L n , , , 08 Setter vi n 0, får vi 0 6 Setter vi n 5, får vi Differansen er kr 90 per termin.

6 6 Kapittel b) Grensekostnaden ved produksjon av enheter av en elektronisk komponent er K ( ) 0, Da er kostnadsfunkjonen K ( ): K ( ) ( 0, ) d 00, C hvor C 60000, er de faste kostnadene. c) Enhetskostnaden er gitt ved at K ( ) ( ) , Den som minimerer finnes ved å derivere ( ) 00, og løse likningen , , 0 00 Minimumsverdien av er ( 00) , OPPGVE. Vi har gitt funksjonen f fy (, ) y y + y + a) De partielle deriverte av. og. orden til fy (, ) er f y y + y f y y + f y f y y + f yy b) De stasjonære punktene til funksjonen finnes av likningene I: f y y + y 0 y( y + ) 0

7 7 II: f y y + 0 y ( + ) 0 v I y 0 som medfører av likning II at Stasj. punkt (, 0) v II 0 som medfører av likning I at y Stasj. punkt ( 0, ) v I og II 0 og y 0 Stasj. punkt ( 00, ) v I v II y + 0 y y + 0 y som gir oss to likninger med to ukjente. Løsningen er og y Stasj. punkt (, ) c) Vi klassifiser de stasjonære punktene ved hjelp av tabellen: Punkt B C C B Type ( 00, ) Sadelpunkt (, ) - Minimum (, 0) Sadelpunkt ( 0, ) Sadelpunkt La funksjonen g være gitt ved og anta at gy (, ) ln[ fy (, )] 0 y 0 y + d) Finn maksimum og minimum av g under de gitte bibetingelsene. Vi setter bibetingelsen y inn i funksjonsuttrykket for f: fy (, ) ( ) ( ) + ( ) + ( + )

8 8 Kapittel f 6 + f Ved å sette f 6 + 0, får vi -- 0, 58. Da er y 0, og fy (, ), 77 Negativ verdi forkaster vi på grunn av bibetingelsen. For denne verdien av er den annenderiverte negativ, vi har et maksimum for f, det samme for lnf. Da har gy (, ) ln[ fy (, )] 0, 98 sitt minimum. Langs randen hvor y 0 er g( 0, 0) ln [ f( 0, 0) ] som gir maksimum for gy (, ) , ln