Eksamensoppgåve i TMA4135 Matematikk 4D

Transkript

1 Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA435 Matematikk 4D Fagleg kontakt under eksamen: Gard Spreemann Tlf: Eksamensdato: 5. august 204 Eksamenstid (frå til): Helpemiddelkode/Tillatne helpemiddel: C: Rottmann, Matematisk formelsamling. Bestemt, enkel kalkulator. Annan informason: Formelliste følger vedlagt eksamensoppgåvene. Alle svar skal grunngevast. Det skal vere med så myke mellomrekning at framgangsmåten går tydeleg fram. Målform/språk: nynorsk Sidetal: 2 Sidetal vedlegg: 2 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studentane finn sensur i Studentweb. Har du spørsmål om sensuren må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2

3 TMA35 Matematikk 4D 5. august 204 Side av 2 Oppgåve Likningssystemet er løyst ved to iterasonsmetodar i Python. def iterasonein ( x0, y0, z0, n ) : x = x0 y = y0 z = z0 3x + y + z = 5 x + 3y z = 3 3x + y 5z = for i in range ( 0,n ) : # 0 <= i < n x =. 0 / 3. 0 * ( 5. 0 y z ) y =. 0 / 3. 0 * ( 3. 0 x + z ) z =. 0 / 5. 0 * ( * x + y ) return x, y, z def iterasonto ( x0, y0, z0, n ) : x = x0 y = y0 z = z0 for i in range ( 0,n ) : # 0 <= i < n x =. 0 / 3. 0 * ( 5. 0 y z ) y =.0 3.0* x + 5.0* z z = x + 3.0* y return x, y, z Ger éin iterason med kvar av metodane med x 0 = y 0 = z 0 = 0,. Kva for ein iterasonsmetode er det som er implementert? Kva kan vi sei om konvergensen til disse metodane? Oppgåve 2 Ger éin iterason med Newtons metode på likningssystemet Bruk x (0) = 0 og x (0) 2 = 0,5 som startverdiar. cos x + e x 2 2 = 0, x + (x 2 + 3) 2 4 = 0. Oppgåve 3 a) Skissér grafen og finn laplacetransformasonen, L (f ), for funksonen { t for 0 < t <, f (t) = 0 for t >. b) Løys differensiallikninga y (t) y(t) = f (t), y(0) = 0, ved help av laplacetransformason.

4 Side 2 av 2 TMA35 Matematikk 4D 5. august 204 Oppgåve 4 La f vere den 2-periodiske funksonen gitt ved f (x) = a) Vis at fourierrekka til f er gitt ved n= { 0 for x 0, x for 0 < x < cos(2n )πx π 2 (2n ) 2 + sin nπx. π n b) Bruk resultatet i a) til å bestemme summen av rekka (2n ) 2. n= n= Oppgåve 5 La f vere funksonen gitt ved f (x, y) = sin x 2 + e3y. I kva for ei retning er den retningsderiverte til f i punktet (π,0) størst? Rekn ut den retningsderiverte i denne retninga. Oppgåve 6 og randkrava Gitt den partielle differensiallikninga 2 u x 2 2 u t 2 2 u t u = 0 () u(0, t) = u(π, t) = 0 for alle t. (2) a) Vis at alle løysinger av () på forma u(x, t) = F (x)g(t) som tilfredsstiller (2) er gitt ved u n (x, t) = ( A n e t cosnt + B n e t sinnt ) sinnx, n =,2,3,... der A n og B n er vilkårlege konstantar. (Vink: Differensiallikninga y (t) + 2y (t) + ( + p 2 )y(t) = 0, p ein konstant, har generell løysing y(t) = ae t cos pt + be t sin pt, a og b konstantar.) b) Finn ei løysing av () som tilfredsstiller (2) og som i tillegg også oppfyller for alle x. u(x,0) = 0, og u t (x,0) = 2sin x sin2x Oppgåve 7 Finn ei tilnærming til y(0,2), der y (x) = [ x + y(x) + y (x) + 2 ], 2 y(0) = 0, y (0) = 0, ved help av Heuns metode med h = 0,2. Formelliste følger vedlagt på dei to neste sidene.

5 TMA35 Matematikk 4D 5. august 204 Side i av ii Formlar i numerikk La p(x) vere eit polynom av grad n som interpolerer f (x) i punkta x i,i = 0,,...,n. Dersom x og alle nodane ligg i intervallet [a,b], så geld n f (x) p(x) = (n + )! f (n+) (ξ) (x x i ), ξ (a,b). Newtons dividerte differansers interpolasonspolynom p(x) av grad n: p(x) = f [x 0 ] + (x x 0 )f [x 0, x ] + (x x 0 )(x x )f [x 0, x, x 2 ] i=0 + + (x x 0 )(x x )...(x x n )f [x 0,..., x n ] Numerisk derivason: Simpsons integrasonsformel: f (x) = [ ] f (x + h) f (x) + h 2 h f (ξ) f (x) = [ ] f (x + h) f (x h) 2h 6 h2 f (ξ) f (x) = [ ] f (x + h) 2f (x) + f (x h) h 2 2 h2 f (4) (ξ) x2 x 0 f (x) dx h 3 (f 0 + 4f + f 2 ) Newtons metode for likningssystemet f(x) = 0 er gitt ved J (k) x (k) = f ( x (k)) x (k+) = x (k) + x (k). Iterative teknikkar for løysing av eit lineært likningssystem n a i x = b i, = i =,2,...,n Jacobi: Gauss Seidel: x (k+) i = a ii ( x (k+) i = a ii ( b i i = b i i = a i x (k) n =i+ a i x (k+) n =i+ ) a i x (k) ) a i x (k) Heuns metode for løysing av y = f(x,y): k = hf(x n,y n ) k 2 = hf(x n + h,y n + k ) y n+ = y n + 2 (k + k 2 )

6 Side ii av ii TMA35 Matematikk 4D 5. august 204 Tabell over nokre laplacetransformasoner f (t) F (s) = L {f (t)} = t t n (n = 0,,2,...) s s 2 n! s n+ e at s a cosωt sinωt cosh at sinh at e at cosωt e at sinωt s 0 s 2 + ω 2 ω s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a) 2 + ω 2 ω (s a) 2 + ω 2 e st f (t) dt δ(t a) e as Tabell over nokre fouriertransformasoner f (x) g (x) = f (ax) f ˆ(ω) = F {f (x)} = f (x)e iωx dx 2π ĝ (ω) = a ( ω ) fˆ a e ax2 e ω2 4a 2a e a x 2 a π ω 2 + a 2