x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3

Transkript

1 TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har en kamerat som er Norges nest fremste ubåtelektriker, husker vi at 3.7, og vi tar derfor dette som vår kvalifiserte gjetning x. Bruk av iterasjonen over, gir tabellen x :.7 x : x 2 : x 3 : x 4 : x 5 : x 6 : Det ser ut som om iterasjonene har stabilisert seg, og vi kan si at En vanlig laptop gjør, med mindre annet blir spesifisert, beregninger med 6 desimalers presisjon, og den siste desimalen får vi altså ikke informasjon om Vi prøver først å finne ut hvor mange løsninger som finnes. Observer at både cos x og x 2 er like funksjoner. Det følger at dersom x er en løsning, det vil si at cos x = x 2, så er også x en løsning. Videre vet vi at x 2 > når x >, og at cos x for alle x. Altså må alle løsninger ligge i intervallet x. La f(x) = cos x x 2. Vi ønsker å bestemme alle x slik at f(x) =. Vi har at f (x) = sin x 2x. Det vil si at f(x) < for x (, ], slik at f(x) er synkende her. Altså kan det bare være en løsning på dette intervallet. Endepunktet på intervallet, x =, er åpenbart ikke riktig løsning. Vi konkluderer analysen vår med at det finnes akkurat to løsninger, en i intervallet (, ] og en i intervallet [, ). Vi bruker så Newtons metode (side 224 i boka), til å bestemme roten i intervallet (, ]. I vårt eksempel får vi at f (x n ) = x n cos x n x 2 n = x n + cos x n x 2 n. sin x n 2x n sin x n + 2x n 7. november 26 Side av 5

2 Som startpunkt bruker vi midtpunktet, x =, 5, men andre punkter vil også fungere. Vi utfører første iterasjon, og får x = x + cos x x 2 cos, 5, 52 =, 5 +, , 924. sin x + 2x sin, 5 + 2, 5 Ved å iterere videre (husk å ta med alle desimaler i x n når du regner ut x n+ ), får vi følgende resultat:,5 6, 28, , 52 2, , 9 2 3, , , , 56 5, , 6 6, , 6 Fem iterasjoner er altså nok for å nå maskinpresisjon ( 6 ). De to løsningene er x = ±, Vi skal finne maksimum og minimum for funksjonen g(x) = sin x + x 2. Sinus er en oscillerende funksjon mellom og, så vi kan forvente mange lokale maksimum og minimum for g(x). Samtidig er nevneren + x 2 monotont økende, slik at vi forventer at globalt maksimum må være det lokale maksimumet som ligger nærmest x =, og tilsvarende for det globale minimumet. Vi merker oss også at g(x) er definert for alle x R. For å finne kandidater til maksimum og minimum, regner vi først ut den deriverte, g (x) = ( + x2 ) cos x sin x 2x ( + x 2 ) 2. Vi ser at g (x) = når telleren er null. Vi ønsker altså å finne røtter til funksjonen f(x) = ( + x 2 ) cos x 2x sin x. For å løse f(x) = bruker vi Newtons metode, Den deriverte til f(x) er gitt ved f (x n ). f (x) = 2x cos x + ( + x 2 )( sin x) (2 sin x + 2x cos x) = ( + x 2 ) sin x 2 sin x = (3 + x 2 ) sin x. På tilsvarende måte som i forrige oppgave itererer vi oss frem til løsningen. Merk at vi ikke kan velge x =, siden f () =. Vi velger derfor x =, i første omgang (husk at vi vet at globalt maksimum og minimum ligger nært null). 7. november 26 Side 2 av 5

3 , 6, 2, , 9 2 2, , 5 4 3, , , , 6 4 5, , 22 6 Deretter prøver vi x =,., 6, 2, , 9 2 2, , 5 4 3, , , , 6 4 5, , 22 6 Vi evaluerer så g i disse to punktene: g(, ), 437, g(, ), 437. Vi konkluderer med at maksimum til g er, 437 og minimum er, 437. Det at minimumspunktet er lik minus maksimumspunktet, er ikke tilfeldig. Dette følger av at at sin x og + x 2 er henholdsvis odde og like funksjoner, slik at også g(x) er odde Me bruker trapesmetoden, sjå side 37 i boka, først med fire delintervall. Derfor deler me integrasjonsintervallet [, 9] inn i delintervall av lengde h = 2 og les av funksjonsverdien i endepunkta av delintervalla for å finna ei tilnærming av integralet. T 4 = h 2 f() + f(3) + f(5) + f(7) + ] 2 f(9) = 2 2 (3) ] 2 (3) = 46. For å finna tilnærminga T 8 gjer me tilsvarande med halvparten så store intervall. T 8 = 2 (3) + 3, , , 2 + ] 2 (3) = 46, Vi bruker midtpunktsmetoden (The Midpoint Rule, side 372 i boka), og deler integrasjonsintervallet, [, 9], opp i n = 8 intervaller med størrelse h =. Midtpunktene 7. november 26 Side 3 av 5

4 i hvert intervall er da gitt som m j = 2 + j, for j =, 2,..., 8. Vi leser av funksjonsverdien i midtpunktene fra figuren så nøyaktig som mulig. Da har vi at 9 f(x) M 8 = h 8 f(m j ) j= (3, 4 + 4, 3 + 5, 8 + 7, 5 + 8, 2 + 7, 6 + 6, 2 + 4, ) = 47, Me vil finna den faktiske feilen ved å bruka trapesmetoden med eitt delintervall for å tilnærma x2 dx. Den eksakte verdien av dette integralet er /3, medan T = 2 [ 2 + 2] = 2. Dermed vert feilen x 2 dx T = 3 2 = 6. Frå feilestimatet på side 373 i boka har ein b f(x) dx T n a K(b a)3 2n 2, der f (x) K på [a, b]. Sidan (x 2 ) = 2 har ein ved innsetjing i estimatet ovanfor at x 2 2( )3 dx T 2() 2 = 6. Dermed har me for dette integralet at feilestimatet er likt den faktiske feilen, som viser at ein ikkje kan forbetra konstanten 2 i estimatet. Det vil seia at denne ikkje kunne vore større, for då hadde feilestimatet vore mindre enn den faktiske feilen Me skal bruka Simpsons metode, sjå side 377 i boka, med åtte delintervall til å finna ei tilnærming av integralet i oppgåve Ved å bruka funksjonsverdiane på endepunkta ein hadde for trapesmetoden T 8 i den oppgåva i uttrykket for S 8 finn ein S 8 = h [f() + 4f(2) + 2f(3) + 4f(4) + 2f(5) + 4f(6) + 2f(7) + 4f(8) + f(9)] 3 = 74 [3 + 4(3, 8) + 2(5) + 4(6, 7) + 2(8) + 4(8) + 2(7) + 4(5, 2) + 3] = 46, Me vil finna den faktiske feilen ved å bruka Simpsons metode med to delintervall for å tilnærma x4 dx. Den eksakte verdien av dette integralet er /5, medan [ S 2 = ( ) ] = Dermed vert feilen x 4 dx T = = november 26 Side 4 av 5

5 Frå feilestimatet på side 378 i boka har ein b f(x) dx S n a K(b a)5 8n 4, der f (4) (x) K på [a, b]. Sidan (x 4 ) (4) = 24 har ein ved innsetjing i estimatet ovanfor at x 4 24( )5 dx S 2 8(2) 4 = 2. Dermed har me for dette integralet at feilestimatet er likt den faktiske feilen, som viser at ein ikkje kan forbetra konstanten 8 i estimatet. Det vil seia at denne ikkje kunne vore større, for då hadde feilestimatet vore mindre enn den faktiske feilen Vi evaluerer først integralet eksakt, x 3 dx = 4 x4 = 4. Vi anvender så Simpsons metode (Simpson s Rule, side 377 i boka) med n = 2 på intervallet [, ]. Det vil si at h = 2 og y i = x 3 i, for i =,, 2, der x =, x = 2 og x 2 =. Vi har da at Vi har altså vist at x3 dx = S 2. S 2 = h 3 (y + 4y + y 2 ) = h 3 (x3 + 4x 3 + x 3 2) ( = ( ) ) 6 2 = ( ) = = november 26 Side 5 av 5