Asymptotiska metoder och gruppanalys

Transkript

1 Asymptotiska metoder och gruppanalys Kursmaterial. Del I Lektor: Yury Shestopalov youri.shestopalov@kau.se Tel Hemsidan: youri Karlstads Universitet 23

2 Innehåll Grupper 6. Grundbegrepp Definition av en grupp Isomorfism Generatorer och cykliska grupper Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering Rotation av koordinater Generatorer av kontinuerliga grupper Serier 2. Grundbegrepp Serier med ickenegativa termer Funktionsserier Likformig konvergens Potensserier Geometriska matrisserien Problem Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner Komplexa tal Konjugerade komplexa talet Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet Polär form av komplexa tal De Moivres formel Komplexvärd funktion av en komplex variabel Real- och imaginärdel till en komplex funktion Analytiska funktioner. Cauchy Riemanns ekvationer Gränsvärden Derivata Cauchy Riemanns ekvationer Analytiska funktioner Cauchys integralformel Komplexa kurvintegraler Cauchys integralsats Cauchys integralformel Cauchys generella integralformel Taylors och Laurents utveckling Komplexa serier Potensserie

3 3.5.3 Taylors utveckling Laurents utveckling Residykalkyl Isolerade singulariteter. Poler Metoder för residyberäkning Residysats Beräkning av reella integraler med residykalkyl Differentialekvationer: Grundbegrepp 5 4. Differentialekvationer av första ordningen Linjära differentialekvationer av första ordningen Separabla ekvationer Begynnelsevärdesproblem Linjära differentialekvationer av andra ordningen Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter Singulära punkter Frobenius metod Randvärdesproblem Generaliserade integraler. Likformig konvergens Generaliserade integraler Likformig konvergens Eulers Γ-funktion Generaliserade komplexvärda integraler Eulers Γ-funktion Laplaces integraler Laplaces integral som analytisk funktion Vissa egenskaper av Laplaces integraler Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion Heavisides stegfunktion Diracs deltafunktion Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform Vissa tillämpningar av Laplaces integraler: lösning av ordinära diffekvationer Grundbegrepp av asymptotiska metoder 8 7. O- och o-symboler (Landaus symboler) Likformiga relationer Algebraiska regler

4 7.2 Asymptotiska följder Ekvivalenta följder Algebraiska regler Asymptotiska serier Linjära operationer Ickelinjära operationer Asymptotiska potensserier Summation av asymptotiska serier Addition, multiplikation och division av potensserier Partiell integration Partiell integration och generaliserade integraler Succesiv partiell integration Problem Asymptotisk utveckling av Laplaces integraler 2 8. Två satser om asymptotisk utveckling Asymptotisk utveckling och asymptotiska följder Referenser 6 4

5 Förord Huvudmålet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om vissa matematiska metoder som används inom den allmänna teorin av asymptotiska metoder: serier, funktionsserier och likformig konvergens; grundbegrepp av komplex analys och gruppteori; ordinära differentialekvationer. I Kompendiet, motsvarar problemnummer PROBLEM a.b.c detta i boken E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM), t ex PROB- LEM 8.. är problemet 8.. på s. 47 i AEM, avsnitt 8.. Exempel- och problemnummer (... Example, s., A) mostvarar detta i boken R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison Wesley, 999 (A), t ex Example 8, s. 845, A är exemplet 8 på s. 845 i A, avsnitt 4. 5

6 Grupper. Grundbegrepp Antag att är en kompositionsregel på mängden M. Vad måste då krävas av för att varje linjär ekvation med koefficienter i M, dvs a x = b, där a, b M, skall ha en lösning i M? Och vad skall gälla för att en sådan lösning skall vara entydig? Det finns flera matematiska system där motsvarande ekvation har en entydig lösning. Om t ex A och B är kvadratiska matriser av samma storlek med reella element, så vet vi att om A är inverterbar (deta ) så har den linjära ekvationen AX=B en entydig lösning X=A B. Det visar sig finnas tre nödvändiga egenskaper som en kompositionsregel på en mängd M måste ha för att en linjär ekvation skall ha en entydig lösning i M. Om dessa egenskaper är uppfyllda, så säges M tillsammans med utgöra en grupp..2 Definition av en grupp Definition. En grupp Ĝ = (G, ) är en mängd G tillsammans med en kompositionsregel på mängden G (i) om a Ĝ och b Ĝ är två Ĝ s element, då a b Ĝ, dvs (a, b) a b är en avbildning G G G. (ii) är associativ: (a b) c =a (b c). (iii) G innehåller ett neutralt element e med avseende på sådant att a e = e a = a (iv) varje element i G har en invers i G med avseende på. Om dessutom är kommutativ så säges (G, ) vara en abelsk grupp. Exempel. Om Z, Q, R och C är resp. mängder av heltal, ±, ±2,..., rationella tal p/q p, q Z, q, reella (rationella och irrationella) tal och komplexa tal a + bi, a, b R, i =, då ser vi att (Z, +), (Q, +), (R, +) och (C, +) är abelska grupper (med avseende på addition +). Däremot är inte (N, +) en grupp (där N är en mängd av naturliga tal,, 2,... ), eftersom t. ex. talet 2 N inte har någon invers (-2/ N ). Att (Q, ), (R, ) och (C, ) inte är grupper med avseende på multiplikation beror på att saknar invers med avseende på kompositionsregeln. Exempel.2 Om M m n (R) är en mängd av alla m n rektangulära matriser A = a kl med 6

7 rationella element a kl, då är M m n (R, +) en abelsk grupp under (elementvis) matrisaddition +. Vi ser också att mängden M n n (R) = M n (R) tillsammans med matrismultiplikation inte utgör en grupp eftersom (singulära) matriser med determinant lika med noll inte är inverterbara (de saknar invers). Om vi sorterar bort alla sådana erhåller vi dock en grupp, den så kallade allmänna linjära gruppen GL n (R) = {A M n (R) : det A }. () Eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ är GL n (R) inte en abelsk grupp..3 Isomorfism Definition. En avbildning f : A B (från A till B, där A är fs definitionsmängd och B är fs målmängd) säges vara (i) injektiv, om f(a ) = f(a 2 ) medför att a = a 2 för alla a och a 2 i A. (ii) surjektiv, om fs målmängd sammanfaller med B: Im f = B. En avbildning f : A B säges vara bijektiv, om f är både injektiv och surjektiv. Sats. En avbildning f : A B är bijektiv, om och endast om den är inverterbar. Exempel.3 Funktionen f(x) = 3x + 5 är en inverterbar avbildning från R till R (där R är mängden av reella tal), och dess invers ges av g(y) = (y 5)/3. Vi har nämligen att ( ) y 5 (f g)(y) = f[g(y)] = f = 3 y = y 3 3 och (g f)(x) = g[f(x)] = g(3x + 5) = (3x + 5) 5 3 = x. Definition. Låt G och H vara två grupper. En bijektiv avbildning φ : G H säges vara enisomorfism, om den upfyller φ(ab) = φ(a)φ(b) (2) för alla a, b G. Om det finns en isomorfism från G till H, så säges G och H vara isomorfa, vilket betecknas G H. Med hjälp av induktion kan man enkelt visa att φ(a a 2... a n ) = φ(a )φ(a 2 )... φ(a n ) (3) 7

8 gäller för alla a a 2... a n Exempel.4 Avbildningen φ : Z 2Z definierad som φ(a) = 2a för alla heltal a är en isomorfism (med avseende på addition), eftersom den är bijektiv, φ(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = φ(a) + φ(b) (4) Därmed är grupperna Z och 2Z isomorfa. Exempel.5 Betrakta avbildningen φ : GL n (R) R definierad φ(a) = det A A GL n (R) (5) Av räknelagarna för determinanter följer att φ(ab) = det AB = det Adet B = φ(a)φ(b) (6) så (2) är uppfylt. Men φ är inte en isomorfism eftersom den inte är bijektiv. Två olika matriser kan nämligen ha samma determinant. Till exempel har 2 2 matriser [ ] [ ] 2 och 4 2 båda determinanten 4. Sats.2 För gruppisomorfismer gäller följande påståenden: (i) identitetsavbildningen ɛ : G G är en isomorfism; (ii) om avbildningen φ : G H är en isomorfism, så är dess invers φ : H G också en isomorfism..4 Generatorer och cykliska grupper Antag att G är en grupp och att a är ett element i denna. En undergrupp H i G som innehåler a måste innehålla också varje potens a k av a, där k. Man kan visa att H = {a k, k Z} (7) är en undergrupp i G. H kallas cykliska undergruppen genererad av a och betecknas < a >. 8

9 Exempel.6 Den undergrupp i Z som genereras av talet 5 ges av 5Z =< 5 >= {k 5, k Z} = {5k, k Z} (8) Detta är precis mängden av alla heltalsmutipler av 5. Sats.3 Varje oändlig cyklisk grupp är isomorf med Z. Låt G =< a > vara en oändlig cyklisk grupp. Vi påstår att avbildningen φ(n) = a n för alla n Z (9) är en isomorfism från Z till G..5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering.5. Rotation av koordinater Rotation av koordinater (med vinkeln φ) enligt x = x cos φ + y sin φ, () y = x sin φ + y cos φ, definierar en mäng av rotationsmatriser [ cos φ sin φ R(φ) = sin φ cos φ ] () Superposition av två rotationer med vinklarna φ och φ 2 ges som produkten av motsvarande rotationsmatriser [ ] [ ] cos φ sin φ R(φ )R(φ 2 ) = cos φ2 sin φ 2 = (2) sin φ cos φ sin φ 2 cos φ 2 [ ] cos(φ + φ = 2 ) sin(φ + φ 2 ) sin(φ + φ 2 ) cos(φ + φ 2 ) är en ny rotationsmatris. Mängden av sådana rotationsmatriser tillsammans med en kompositionsregel som är kommutativ matrismultiplikation bildar en abelsk grupp Ĝ = SO(2). Kolla definitionen: (i) om A och B är två element av mängden av rotationsmatriser, då A B SO(2) enligt (2). 9

10 (ii) matrismultiplikationen är associativ: (A B) C = A (B C). (iii) ett neutralt element E med avseende på matrismultiplikationen (sådant att A E = A E = E A = A) är enhetsrotationsmatrisen [ ] E = R() = (3) med φ =. (iv) varje element har en invers med avseende på matrismultiplikationen, som är rotationsmatrisen [ ] cos φ sin φ R = R( φ) = (4) sin φ cos φ eftersom, enligt (2), R(φ)R( φ) = R( φ)r(φ) = [ cos(φ φ) sin(φ φ) sin(φ φ) cos(φ φ).6 Generatorer av kontinuerliga grupper ] = E. En rotationsmatris kan skrivas [ ] cos φ sin φ R(φ) = = sin φ cos φ 2 cos φ + iσ 2 sin φ = exp (iσ 2 φ) (5) där Paulis matriser [ σ = ] [ i, σ 2 = i ] [, σ = Då är matrismultiplikationen av rotationsmatriser ekvivalent med addition av deras argument, R(φ 2 )R(φ ) = exp (iσ 2 φ 2 )exp (iσ 2 φ ) = exp (iσ 2 (φ + φ 2 )) = (6) = R(φ + φ 2 ) Vi söker efter exponentmatriser S sådana att R = exp (iɛs), ɛ (7) när gruppelement R är i omgivningen av enhetselementet E. Infinitesimala transformationer S kallas generatorer av en kontinuerlig grupp. ].

11 2 Serier 2. Grundbegrepp Låt a n vara en serie. Partialsumman S N och resttermen R N definieras n= S N = N a n, R N = n= n=n+ a n. (8) Om talföljden {S N } har ett gränsvärde S, så säges den serien konvergent (konvergera) och ha summan S = a n. n= n= a n vara Resttermuppskattning innebär att vi uppskattar trunkeringfelet, dvs försöker finna ett tal R sådan att R N R (en övre grans för R N ). Nödvändigt villkor för konvergens av en serie a n är serien Absolutkonvergent serie. En serie a n är konvergent. n= n= lim a n =. (9) n a n kallas absolutkonvergent om den n= Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien så konvergerar också den serien a n. n= 2.2 Serier med ickenegativa termer Vi ska betrakta serier med ickenegativa termer a n konvergerar, n= a n, a n. (2) n=

12 För en serie med ickenegativa termer n= a n gäller Serien är konvergent Partialsummorna är uppåt begränsade (2) Partialsummorna är uppåt begränsade Serien är konvergent. (22) Jämförelsekriteriet. Antag att a n b n för alla n. Då gäller b n konvergent n= a n konvergent, (23) n= a n divergent n= b n divergent. (24) n= Integralkriteriet. Antag att funktionen f(x) är kontinuerlig, positiv och avtagande för x. Då gäller f(x)dx konvergent f(n) konvergent, (25) n= f(x)dx divergent f(n) divergent. (26) n= Man kan visa att resttermen kan uppskattas R N = S S N = Rotkriteriet. Om gränsvärdet existerar, så gäller n=n+ f(n) lim a n /n = k n N f(x)dx. (27) k < a n är absolutkonvergent. (28) n= k > a n är divergent. (29) n= 2

13 Kvotkriteriet. Om gränsvärdet lim a n+ n a n = k existerar, så gäller k < a n är absolutkonvergent. (3) n= k > a n är divergent. (3) n= Exempel 2. Betrakta en alternerande serie ( ) n+ S = = n (32) n= Man kan visa att i det fallet R N a N+. Vi har a N+ = /(N + ) 2 och R N (N + ) 2. (33) Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med 3 KD: R N.5 3, vilket ger en olikhet Dess lösning är (N + ) (34) N 2 3 = 2 (35) och man kan ta N = 44 eftersom 44 2 = 936 < 2 < 45 2 = 225. Exempel 2.2 Betrakta en serie med positiva termer S = n= n 4 = (36) 3

14 Man kan skriva om (36) S = f(n), f(x) = (x ) (37) x 4 n= och visa att resttermen kan uppskattas Här R N R N = S S N = N n=n+ f(n) dx r dx = lim x 4 r N x = lim 4 r = lim r = x 3 r N r N f(x)dx. (38) x 4 dx = ( r 3 N 3 ) = ( 3) = N 3 lim r 3N. (39) 3 Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med 3 KD: R N.5 3, vilket ger en olikhet Dess lösning är 3N (4) ( ) 2 3 /3 ( ) /3 2 N = 8.7 (4) 3 3 och man kan ta N = 9 eftersom 8 < N < 9. Exempel 2.3 Betrakta en serie med positiva och negativa termer S = a n, n= a n = e bn2 n sin(cn), (42) Här är b > och c givna tal (parametrar). Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med noggranhet ɛ; dvs, bestäm N sådan att R N < ɛ, R N = S S N = 4 n=n+ a n. (43)

15 Jämför (42) med en känd serie som har positiva termer, dvs skriv en olikhet e bn2 a n = n sin(cn) = e bn2 n sin(cn) A n = e bn2 n (n > ) (44) och använd (38) för en serie Vi har R N = A n n=n+ r 2 = 2 lim r N+ S = A n. n= r e bx2 xdx = lim e bx2 xdx = r r N+ 2 lim e bx2 dx 2 = r N+ (N+) 2 e bu du = 2b lim r r 2 = 2b lim r e bu r2 (N+) 2 = 2b e b(n+)2. Nu lös olikheten (N+) 2 de bu = (45) och bestäm gränsen för N: R N < ɛ : e b(n+)2 2b < ɛ N > b ln. (46) 2bɛ Om t ex b = och ɛ = 4, får vi N > ln = (47) 2 Då är det tillräckligt att ta med tre termer för att beräkna S i (42) (om b = och c är ett godtyckligt tal) med noggranheten ɛ = 4. Kolla resultatet (ta c = och räkna med fyra KD): och S S 3 n= 2 n= e n2 n e n2 n sin n = e sin + e 4 2 sin n = e sin + e 4 2 sin 2 + e 9 3 sin 2 =.7 sin 3 =.7, 5

16 eftersom e 9 3 sin 3 <.5 4. Om b = 2 och ɛ = 4, får vi N > ln = (48) 2 4 Då är det tillräckligt att ta med två termer. 2.3 Funktionsserier k= u k (x) kallas en funktionsserie; här är termen u k = u k (x) en funktion av variabeln x. Partialsumman S n = S n (x) och resttermen R n = R n (x) definieras S n (x) = n u k (x), R n (x) = u k (x). (49) k= k=n+ Om till varje x [a, b] har funktionsföljden {S n (x)} ett gränsvärde S = S(x), så säges den funktionsserien u k (x) vara konvergent (konvergera) och ha summan S(x) = u k (x). k= k= 2.4 Likformig konvergens Definition. Om till varje tal ɛ > finns det ett heltal N oberoende av x [a, b] sådant att S n (x) S(x) < ɛ för alla n N och a x b, (5) kallas funktionsserien likformigt konvergent i intervallet [a, b]. Weierstrass jämförelsekriteriet (M-kriteriet). Antag att u n (x) a n för alla x [a, b]. Då gäller a n konvergent n= u n (x) likformigt konvergent, x [a, b]. (5) n= 6

17 2.5 Potensserier En funktionsserie av den speciella typen a n (x x ) n (52) n= kallas en potensserie. Den geometriska serien och x =. För varje potensserie ax k är en potensserie med a k = a k= a n (x x ) n gäller: det finns ett icke-negativt tal R n= sådant att potensserien absolutkonvergent för alla x med x x < R och divergent för alla x med x x > R. Här R = om a n (x x ) n konvergerar endats för x = x och R = om n= a n (x x ) n konvergerar för alla reella x. n= Talet R kallas konvergensradie och intervallet x x < R kallas konvergensintervall till potensserie a n (x x ) n (som konvergerar inom intervallet x x < R). För konvergensradien gäller n= R = lim a n /n, (53) n R = lim a n+ n a n, (54) Exempel 2.4 Geometriska serien. Varje polynom av formen x n har uppenbart nollstället och är därmed enligt faktorsatsen jämnt delbart med x : x n = (x )(x n + x n x + ). (55) Då kan man beräkna en geometrisk summa med kvoten x n a + ax + ax ax n = ax k = a xn x 7 k= (56)

18 och visa att geometriska serien ax k k= är konvergent om x < (divergent om x ) och ax k = a x = a( x), x <. (57) k= T ex, om x = 3/4 och a =, den geometriska serien ( ) k 3 = = 4. (58) 4 (3/4) Den geometriska serien k= ax n är en potensserie med a n = a (a ) som har n= konvergensintervallet x < och konvergensradien R =, eftersom Exempel 2.5 Betrakta en geometrisk serie R = lim a n a =. x n i intervallet x q, där < q < Vi har n= u n (x) = x n a n = q n för alla x [, q]. Då gäller, enligt M-kriteriet, q n konvergent u n (x) likformigt konvergent (59) n= i intervallet x q. Exempel 2.6 Visa att den geometriska serien (, ). Partialsumman S n = S n (x) = n k= n= x k inte är likformigt konvergent i intervallet k= x k = xn+ x = x xn+ x. (6) 8

19 Till varje x (, ) har funktionsföljden {S n (x)} ett gränsvärde S = S(x) = ( ) x = lim n x xn+, x och resttermens absolutbelopp S n (x) S(x) = x n+ x. (6) Vi ser att till varje tal ɛ > finns det ett värde x (, ) i omgivningen av x = sådant att x n+, δ = x är infinitesimalt och S n (x) S(x) = x n+ δ > ɛ om δ < ɛ. (62) Exempel 2.7 Visa att Dirichlets serie s x <, där s >. Vi har n= är likformigt konvergent i intervallet [s, ) : nx s x n x n s (n =, 2,... ) n x n s. Serien n är konvergent enligt integralkriteriet: funktionen f(x) = är kontinuerlig, positiv och avtagande för x > och den generaliserade integralen s xs n= är konvergent, eftersom dx r = lim x s r = lim r = Vidare, enligt M-kriteriet, s x s dx = x s r s (s > ). = s lim r ( ) = r s dx x s n= n s konvergent n= n x likformigt konvergent, x [s, ). 9

20 Exempel 2.8 Visa att serien är likformigt konvergent i intervallet [s, ) : s + xn n= x <, där s >. Vi har lim n lim n + x n = om x <, + x n = 2 om x =, så att serien divergerar om x, eftersom det nödvändiga villkoret för konvergens av en serie a n är n= lim a n =. n Vidare, använd olikheterna och sedan M-kriteriet x s x n s n + x n + s n (n =, 2,..., s > ) + x n + s n + s n s = n qn, q = s <. Serien q n, q <, är konvergent. Då är serien likformigt konvergent + xn n= n= i intervallet x [s, ) enligt M-kriteriet. Exempel 2.9 Visa att serien a n cos nx är likformigt konvergent i intervallet (, ), n= dvs, för alla reella x, om serien Vi använder M-kriteriet. Här a n är absolutkonvergent. n= u n (x) = a n cos nx a n för alla x. Då gäller a n konvergent n= a n cos nx likformigt konvergent för alla x. n= 2

21 Exempel 2. De serierna är potensserier med cos x = sin x = n= n= ( ) n (2n)! x2n, ( ) n (2n + )! x2n+ a 2n = ( )n (2n)!, a 2n+ = (n =,, 2,... ) a 2n+ = ( ) n (2n + )!, a 2n = (n =,, 2,... ), som har konvergensintervallet x < och konvergensradien R = (dvs konvergerar för alla reella x), eftersom, t ex R = lim a 2n /n = lim =. n n ((2n)!) /n 2.6 Geometriska matrisserien Man kan generalisera (57) och få geometriska matrisserien genom att använda matrispotenser, matrisaddition och definition av konvergens i matrisnormer. Då får man k= A m = lim m m A m = (I A), A <, (63) k= där A är en kvadratisk matris av typ n n. 2.7 Problem Problem 4. Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med tre och fyra 2

22 KD: a) S = b) S = c) S = ( ) n+ ; n n ; 3 sin n n ; 2 n= n= n= 3 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner 3. Komplexa tal Mängden av komplexa tal z = x + iy, där x och y är reella tal och i är imaginära enheten (i 2 = ), kan betraktas som mängden av reella talpar z (x, y) Observera att (x, y) (y, x) (x + iy y + ix). x = Re z och y = Im z kallas resp. realdelen och imaginärdelen av komplexa talet z = x + iy. Realdelen och imaginärdelen betecknas också x = Rz och y = Iz. Addition av komplexa tal definieras komponentvis z + z 2 = (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) = (x + x 2 ) + (y + y 2 )i. Multiplikation av komplexa tal definieras z z 2 = (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 ). Särskild i 2 = i i = (, ) (, ) = (, + ) =. 3.. Konjugerade komplexa talet Om vi har ett komplext talet z = x + iy, då kallas z = x iy det konjugerade komplexa talet z kallas också z konjugerat eller konjugatet till talet z = x + iy. 22

23 3..2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet Det komplexa talet z = x + iy kan tolkas i planet, försett med ett ortonormerat (cartesiskt) koordinatsystem, antingen som punkten (ett reellt talpar) (x, y) med koordinaterna x, y eller som vektorn z med komponenterna x, y. I detta sammanhang kallas planet det komplexa talplanet (eller z-planet). Absolutbeloppet av det komplexa talet z = x + iy definieras z = x 2 + y 2. z kan tolkas som längden av vektorn z. z z 2 kan därför tolkas som längden av vektorn z z 2, dvs avståndet mellan punkterna z och z 2. Uppenbarligen är z z 2 = z 2 z och z = z. Observera att zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2. Sats 3. (dubbelsidiga triangelolikheten). För två godtyckliga komplexa tal z och z 2 gäller z z 2 z z 2 z ± z 2 z + z 2 (64) Bevis. Olikheten z + z 2 z + z 2 gäller, eftersom summan av två sidors längder i en triangel alltid är större än längden av den tredje sidan. Olikheten z z 2 z z 2 gäller enligt följande: z = (z z 2 ) + z 2 z z 2 + z 2 z z 2 z z 2 som kan skrivas z 2 z ( z z 2 ) eller z z 2 z z 2 (65) Olikheten z z 2 z + z 2 gäller enligt följande: z + z 2 = z ( z 2 ) z z 2 = z z 2. Exempel 3. Tag komplexa talen z = x + iy = + 2i och z 2 = x 2 + iy 2 = 4 3i. Vi har z = z z 2 = x y2 2 = = 34, z z 2 = (x x 2 ) + i(y y 2 ) = 3 + 5i, x 2 + y 2 = 5, z 2 = z z 2 = 5 5 <. 23 x y 2 2 = 25 = 5,

24 Den dubbelsidiga triangelolikheten (64) ger alltså z z 2 = 5 5 z z 2 = 5 5 z z 2 = = 34 z + z 2 = (66) eller med 2 decimaler 2.76 < 2.76 < 5. < 5.83 < Polär form av komplexa tal Det komplexa talet z = x + iy som tolkas som vektorn z med komponenterna x, y kan framställas i polär form z = x + iy = re iθ = r(cos θ + i sin θ) (67) där r = z och θ = arg z (argumentet för z). Argumentet θ = θ + n 2π, där n är ett godtyckligt heltal, och man kan välja n så att π < θ π. θ = arctan y/x kallas argumentets principalvärde. Exempel 3.2 Skriv på polär form z = = cos + i sin = cos 2π + i sin 2π = e i = e 2iπ, z = i = cos π/2 + i sin π/2 = e i π 2, z = = cos π + i sin π = e iπ, z = i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = e i 3π 2, z = 2 2i = 2 2 ( ) i = (68) = 2 2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) = 2 2e i 7π De Moivres formel Man kan skriva också (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (69) z n = (re iθ ) n = r n (cos nθ + i sin nθ). (7) 24

25 3.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel En komplexvärd funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z säges föreligga om mot varje komplext tal z i en given mängd D f svarar ett eller flera komplexa tal w = f(z). D f kallas funktionens definitionsmängd. En komplex funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z kallas entydig om mot varje z i D f svarar ett och endast ett w = f(z). En komplex funktion f = f(z) av z kallas flertydig om mot varje z i D f svarar flera w = f(z). Exempel 3.3 f(z) = z 2 är en entydig funktion. Funktionens definitionsmängd är hela komplexa planet C: D f = C. Exempel 3.4 Den exponentialfunktionen definieras e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), (7) a z = e z ln a = e (x+iy) ln a = e x ln a [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] = (72) = a x [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] (a > ). Den logaritmiska funktionen definieras ln z = ln(re iθ ) = ln z + iarg z = ln r + iθ. (73) f(z) = ln z är en flertydig funktion eftersom ln z = ln(re iθ ) = ln r + i(θ + 2πn), n =, ±, ±2,..., och den har oändligt många värden för varje z. Låt z = x + iy = re iθ och w = u + iv. Den potensfunktionen definieras z w = e w ln z = e (u+iv)(ln z +iarg z = Om v = (w = u), får vi = e u ln z varg z e i[v ln z +uarg z] = (74) = z u e varg z [cos(v ln z + uarg z) + i sin(v ln z + uarg z)]. z w = z u = z u [cos(uarg z) + i sin(uarg z)]. (75) Om y = och x > (dvs arg z = ), får vi z w = x w = x u [cos(v ln x) + i sin(v ln x)], (76) 25

26 och (75) sammanfaller med (72). Om y =, v = och x > (dvs arg z = arg w = ), får vi z w = x u. Exempel 3.5 Om t är en reell variabel (It = ), vi har, enligt (7), cos t = eit + e it 2 och man kan definiera funktionerna sin z och cos z cos z = eiz + e iz 2 och hyperboliska funktionerna sinh z och cosh z, sin t = eit e it. (77) 2, sin z = eiz e iz. (78) 2i Vi har också cosh z = ez + e z, sinh z = ez e z. (79) 2 2 cos it = e t + e t = cosh t, (8) 2 sin it = e t e t = i e t e t = i sinh t. 2i Real- och imaginärdel till en komplex funktion Betrakta en komplex funktion w = f(z) av den komplexa variabeln z, där z = x+iy och w = u + iv. Då är Härav fås u + iv = f(x + iy). (8) Rf(x + iy) = u = u(x, y), If(x + iy) = v = v(x, y) (82) där u(x, y) och v(x, y) är reellvärda funktioner av två rella variabler x och y. (8) kan alltså skrivas f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (83) 26

27 Funktionerna u(x, y) och v(x, y) kallasreal- resp. imaginärdelen till den komplexa funktionen f(z). Exempel 3.6 f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (84) Rf = u(x, y) = x 2 y 2, If = v(x, y) = 2xy. så att Exempel 3.7 Använd (8) och bestäm sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y (85) cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y i sin x sinh y, R sin z = sin x cosh y, I sin z = cos x sinh y. R cos z = cos x cosh y, I cos z = sin x sinh y. 3.3 Analytiska funktioner. Cauchy Riemanns ekvationer 3.3. Gränsvärden Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln z och z är en punkt som tillhör antingen definitionsmängden D f eller dess randkurva. Om till varje tal ɛ > finns det ett tal δ > sådant att f(z) w < ɛ om < z z < δ, z D f, (86) kallas w funktionens gränsvärde då z z och betecknas lim f(z) = w. (87) z z OBS! Denna definition kräver ingenting för z = z. Definitionen innebär att oberoende av hur z z f(z) w. (z går mot z ) så skall 27

28 3.3.2 Derivata Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln z på ett öppet område Ω och att z Ω. Då definieras derivatan f (z) i punkten z som gränsvärdet f (z) = lim z f(z + z) f(z). (88) z OBS! Enligt gränsvärdetsdefinitionen skall gränsvärdet (88) vara oberoende av hur z genom komplexa värden. Detta är mycket strängare krav än det som gäller vid definitionen av derivata till en funktion av en reell variabel. Exempel 3.8 Bestäm derivatan f (z) till funktionen f(z) = z 2 : f (z + z) 2 z 2 (z) = lim z z Exempel 3.9 = lim z z 2 + 2z z + z 2 z 2 z = (89) = lim (2z + z) = 2z. z Bestäm derivatan f (z) till konjugatet till talet z = x + iy, f(z) = z = x iy: f (z) = (z + z) z lim z z = z + ( z) z lim z z () = lim x (2) = lim z ( x x (i( y) i y = lim x = lim z och derivatan till f(z) = z existerar inte Cauchy Riemanns ekvationer = ( z) = lim z z ( x x = ( i y i y = ( z = x), = ( z = i y), (9) Antag att f(z) = u(x, y) + iv(x, y) är definierad och entydig på en cirkelskiva z z < δ kring en punkt z = x + iy och f (z ) existerar. Då gäller Cauchy Riemanns ekvationer u x(x, y ) = v y(x, y ), u y(x, y ) = v x(x, y ), (9) f (z ) = u x(x, y ) + iv x(x, y ) = v y(x, y ) iu y(x, y ). (92) 28

29 Exempel 3. Betrakta f(z) = z 2 och kolla Cauchy Riemanns ekvationer: f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (93) u x = v y = 2x, u y = v x = 2y Analytiska funktioner Funktionen f(z) kallas analytisk i punkten z om f (z) existerar på någon cirkelskiva z z < δ. Funktionen f(z) kallas analytisk på området Ω om f(z) är analytisk i alla punkter i Ω. Exempel 3. Funktionen f(z) = z 2 är analytisk i varje punkt z C och därmed analytisk på området C. Funktionen f(z) = z är däremot inte analytisk i någon punkt. Vi ser att om en funktion f(z) är analytisk i punkten z, då gäller Cauchy Riemanns ekvationer. För att få en omvändning måste vi lägga till en förutsättning enligt följande. Antag att () f(z) = u(x, y)+iv(x, y) är definierad och entydig på en cirkelskiva z z < δ kring punkten z = x + iy, (2) u x(x, y), u y(x, y), v x(x, y) och v y(x, y) existerar på cirkelskivan z z < δ och kontinuerliga i punkten z, (3) Cauchy Riemanns ekvationer är uppfylda i punkten (x, y ). Då existerar derivatan f (z ) = u x(x, y ) + iv x(x, y ) = v y(x, y ) iu y(x, y ). (94) Exempel 3.2 Betrakta en analytisk funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Påminn att vektorfunktionen grad f(x, y) = f = f x i + f y j = = [ f x, f y ] 29

30 kallas gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f(x, y). Vi har grad u(x, y) = [ u x, u y ], grad v(x, y) = [ v x, v y ]. I ortogonala koordinatsystem (i planet) q, q 2, q = q (x, y), q 2 = q 2 (x, y), gäller villkoret g 2 = g 2 =, där g 2 = g 2 = q q x y + q 2 q 2 x y. Man kan betrakta realdelen och imaginärdelen till den analytiska funktionen f(z) = u(x, y) + iv(x, y) som ett koordinatsystem u, v (i planet) u = u(x, y), v = v(x, y), Då får man enligt Cauchy Riemanns ekvationer (9) u u x y + v v x y = v v y x + v v x y =. Detta innebär att u, v är ett ortogonalt koordinatsystem, dvs u(x, y) = c och v(x, y) = c 2 är ortogonala kurvor (se Ex. 6.2.). Påminn att om grad f så är grad f en normalvektor till nivåkurvan f(x, y) = c. Då är grad u ortogonal mot kurvan u(x, y) = c och grad v ortogonal mot kurvan v(x, y) = c 2 och grad u och grad v är ortogonala. 3.4 Cauchys integralformel 3.4. Komplexa kurvintegraler Antag att C är en kontur z = z(t), a t b, från punkten z = z(a) till punkten z 2 = z(b), och f(z) är en komplexvärd kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig) funktion definierad på C (dvs f(z(t)) är kontinuerlig eller styckevis kontinuerlig funktion av t på [a, b]). Då definieras konturintegralen b f(z)dz = f(z(t))z (t)dt. (95) C a 3

31 En komplex kurvintegral av f(z) = u + iv kan definieras som kurvintegralen av vektorfunktionen F(r) = [u, v] f(z)dz = F(r) dr = (u+iv)(dx+idy) = (udx vdy)+i (vdx+udy). C C C C C Exempel 3.3 Beräkna C z2 dz då C är linjesegmentet från till 2 + i: C = {z : z = (2 + i)t, t }. Vi har z = ((2 + i)t) = 2 + i och z 2 dz = (2 + i) 2 t 2 (2 + i)dt = (2 + i) 3 t 2 dt = C = (2 + i) 3 t3 t= 3 = 3 (2 + i)3 = i. Exempel 3.4 Beräkna dz då C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led) C z C = {z : z = e it, t 2π}. Vi har z = ie it och C z dz = 2π t= ie it 2π dt = i dt = 2πi. (96) eit Exempel 3.5 Beräkna 2πi C zn dz då C är cirkeln (ett varv i positiv led) C = {z : z = re it, t 2π}. Vi har z = ire it och z n dz = 2π r n e int ire it dt = 2πi 2πi C 2π = rn+ = om n. Om n =, 2πi 2π r n+ 2i(n + )π C z n dz = 2πi C e i(n+)t dt = rn+ 2π i(n + ) ei(n+)t t=2π t= = (97) [cos(n + )t + i sin(n + )t] t=2π t= = dz = 2πi z 2πi 3 =. (98)

32 Uppskattning av absolutbeloppet av en komplex integral. Antag att C är en given kontur med längden L(C), f(z) är kontinuerlig på C och f(z) M på C. Då är f(z)dz ML(C). (99) Cauchys integralsats C Om f(z) är analytisk inom och på en enkel, sluten kontur C, så är f(z)dz =. () Cauchys integralformel C Om f(z) är analytisk inom och på en enkel, sluten kontur C och z är en godtycklig punkt inom C, då är f(z ) = f(z) dz. () 2πi C z z Exempel 3.6 Beräkna C C = {z : z = 2, : z = 2e it, t 2π}. Sätt f(z) = z dz då C är cirkeln (ett varv i positiv led) (9 z 2 )(z+i) z 9 z 2. f(z) är analytisk inom och på C. Vi har z (9 z 2 )(z + i) dz = f(z) i dz = 2πif( i) = 2πi z + i 9 i = π 2 5. (2) C Cauchys generella integralformel C Om f(z) är analytisk inom och på en enkel, sluten kontur C och z är en godtycklig punkt inom C, då existerar derivatan f (n) (z) för alla n och f (n) (z ) = n! f(z) dz. (3) 2πi (z z ) n+ C 32

33 Cauchys uppskattning av f (n) (z). Om f(z) är analytisk inom och på cirkelskivan D r = {z : z z < r} och f(z) M r på cirkeln C r = {z : z z = r}, då är f (n) (z) M rn!, n =,, 2,.... (4) rn Man kan uppskatta derivatorna f (z) (n = ) och f (z) (n = 2): f (z) M r r, f (z) 2M r r 2. (5) Exempel 3.7 Låt f(z) = e 2z och låt C vara en cirkel C = {z : z = r, r > }. Beräkna e 2z (z + ) dz. 4 Vi har C 8e 2z C f (3) (z ) = (e 2z ) (3) = 8e 2z, z = 3! f(z) = 2πi (z z ) 4 dz = 3 z = πi e 2z πi dz = (z + ) 4 3 8e 2 = 8πi 3e. 2 Exempel 3.8 C C e 2z dz, (6) (z + ) 4 Om f(z) på cirkeln C = {z : z = 2} och f(z) är analytisk inom cirkelskivan D 2 = {z : z < 2}, så måste, enligt (5), f (z) 2, f (z) = 2, (7) f (z) = Taylors och Laurents utveckling 3.5. Komplexa serier Låt u k vara en komplex serie. Partialsumman S n och resttermen R n definieras k= S n = n u k, R n = S S n = k= 33 k=n+ u k. (8)

34 Om den komplexa talföljden {S n } har ett (komplext) gränsvärde S, så säges den givna komplexa serien u k vara konvergent (konvergera) och ha summan S = u k. k= k= Nödvändigt villkor för konvergens av en komplex serie Absolutkonvergent serie. En komplex serie u k kallas absolutkonvergent om den reella serien u k är k= lim u k =. (9) k u k är konvergent. k= k= Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien så konvergerar också den komplexa serien u k. k= u k konvergerar, Geometriska serien. En komplex serie av formen az k = a + az + az , () k= där a och z är komplexa tal, kallas en (komplex) geometrisk serie med kvoten z. Den är absolutkonvergent för z <, eftersom den reella serien az k = a z k k= är konvergent. Dess summa az k = a z = a( z), z <. () k= Potensserie En funktionsserie av den speciella typen a k (z z ) k (2) k= 34 k= k=

35 kallas en potensserie. Den geometriska serien och z =. För varje potensserie az k är en potensserie med a k = a k= a k (z z ) k gäller: det finns ett icke-negativt tal R k= sådant att potensserien absolutkonvergent för alla z med z z < R och divergent för alla z med z z > R. Här R = om a k (z z ) k konvergerar endats för z = z och R = om k= a k (z z ) k konvergerar för alla komplexa z. k= Talet R kallas konvergensradie och cirkeln {z : z z = R} kallas konvergenscirkel till potensserie a k (z z ) k (som konvergerar inom cirkelskivan k= D R = {z : z z < R}). För konvergensradien gäller R = lim a k /k, k (3) Exempel 3.9 Den geometriska serien R = lim k a k+ a k, (4) az k är en potensserie med a k = a (a ) som har k= konvergenscirkeln {z : z = } och konvergensradien R =, eftersom R = lim a k a =. Serien divergerar i alla punkter på denna cirkeln. Exempel 3.2 är en potensserie som konvergerar för alla komplexa z, eftersom k= R = lim /(k + )! k /k! z k k! = lim k k + 35 (5) =. (6)

36 3.5.3 Taylors utveckling Antag att f(z) är analytisk inom och på en enkel, sluten kontur C och skriv Cauchys integralformel f(z) = f(z ) 2πi z z dz = = 2πi = 2πi C C C f(z ) (z z ) (z z ) dz = (7) f(z ) (z z )[ (z z )/(z z )] dz där q = (z z )/(z z ) < eftersom (z z ) < (z z ) (z C och z inom C). Vidare (z z )/(z z ) = q = +q+q2 + = + z z ( ) 2 z z + + = z z z z n= (z z ) n (z z ) n och f(z) = f(z ) 2πi C q = f(z ) 2πi C = f(z ) 2πi C n= = (z z ) n 2πi n= = 2πi n= (z z ) (z z ) dz = n= (z z ) n (z z ) n dz = (z z ) n (z z ) n+ dz = (8) C (z z ) n f (n) (z ) n! f(z ) (z z ) n+ dz =, som är den sökte Taylors utveckling av f(z). Observera att vi använde formeln (3) f (n) (z ) = n! f(z) dz. 2πi C (z z ) n+ Potensserieutveckling av analytiska funktioner. Antag att f(z) är analytisk för alla z inom cirkelskivan D R = {z : z z < R}. Då gäller för alla dessa 36

37 z f(z) = k= f (k) (z ) (z z ) k. (9) k! Exempel 3.2 Betrakta f(z) = e z. Vi har f (n) (z) = e z (n =, 2,... ), f (n) () = (n =, 2,... ), f(z) = e z är analytisk i hela komplexa planet C. Då e z = k= z k k! (2) enligt (8) och (9). Speciellt fås, t ex e +i = ( + i) k. (2) k! k= och Exempel 3.22 På samma sätt erhålles sin z = ( ) k z 2k+ (2k + )! = z z3 3! + z5 5!... (22) för alla komplexa z Exempel 3.23 cos z = k= ( ) k z2k (2k)! = z2 2! + z4 4!..., (23) k= Man finner analogt (med z = ) att f(z) = z + = ( ) k z k = z z + z 2 + z 4... (24) k= för z <. Punkten z = är singulär för f(z) = /( + z). För z > är f(z) analytisk med potensserien (24) divergent; den framställer alltså inte f(z) för alla dessa z. 37

38 3.5.4 Laurents utveckling Antag att f(z) är analytisk inom och på den öppna cirkelringen z : r < z z < R med < r < R. Då finns det komplexa tal a, a, a 2,..., a k,..., och a, a 2, a 3,..., a k,..., sådana att likheten f(z) = a k (z z ) k + k= k= a k (z z ) k. (25) för alla z i den öppna cirkelringen. Serien i högerledet av (25) kallas Laurentserien till f(z) på cirkelringen z : r < z z < R. Koefficienterna a k är bestämda av formeln a k = 2πi C f(z) dz, k =, ±, ±2,..., (26) (z z ) k+ där C är en godtycklig cirkel z : z z = r med r < r < R. Exempel 3.24 Betrakta f(z) = (z a)(z b) = ( a b z a ) z b (a b). Här r = och R = a b. Exempel 3.25 Funktionen f(z) = (z 2)(z + 3) är analytisk överallt utom i z = 2 och z = 3. Antag att vi vill utveckla f(z) i en Laurentserie innehålande potenser av z. Då är z = och det finns tre möjliga områden där f(z) kan utvecklas i Laurentserie av önskat slag: z : z < 2, z : 2 < z < 3 och z : 3 < z. Vi har f(z) = (z 2)(z + 3) = /5 z 2 + /5 z + 3 På cirkelskivan z : z < 2 är z/2 < och då kan vi med hjälp av den geometriska 38

39 serien skriva f(z) = z/ z/3 = = ( z ) k k= k= ( = 2 + ( ) k k 5 3 k k= ( z 3) k = ) z k. (27) På cirkelskivan z : 2 < z < 3 är 2/z < och z/3 < och då kan vi med hjälp av den geometriska serien skriva 2/z z/3 = = ( ) k 2 + 5z z 5 k= k= ( ) k = z k k 5 f(z) = 5z k= k= ( z 3) k = ( 2k På cirkelskivan z : z > 3 är 3/z < och då kan vi skriva 2/z + 5z + 3/z = = ( ) k 2 + 5z z 5z k= k= = ( 2k + ( 3)k 5 5 f(z) = 5z k= ( 3 z ) k = ) z k. (28) ) z k. (29) Att de erhållna serierna är Laurentserien till f(z) på resp. områden följer av entydighetssatsen: om f(z) = a k (z z ) k k= för alla z i en öppen cirkelring z : r < z z < R så måste denna serie vara Laurentserien till f(z) på cirkelringen. Exempel 3.26 Betrakta funktionen f(z) = z(z ) = z z. 39

40 Bestäm koefficienterna a k k =, ±, ±2,... (z = i (26)) a k = dz = 2πi C z(z ) zk+ 2πi C z k+2 (z ) dz = = z m dz = 2πi zk+2 = 2πi = 2πi C m= m= m= C C dz z k+2 m = z m k 2 dz. Cirkelns ekvationer på parameterform är z = re it, z = ire it och vi har, enligt (96) och (98), att z n dz =, n, 2πi C z n dz =, n =. 2πi Då och a k = a k = m= 2πi 2πi C C C ( 2πi ( 2πi m= z m k 2 dz =, m k, z m k 2 dz =, m k =, C C ) z m k 2 dz =, k =,,, 2,..., ) z m k 2 dz =, k =..., 2,. Laurentserieutveckling av f(z) = i den öppna cirkelringen z : < z < z(z ) är då = a k z k a k + z(z ) z = k k= k= = z z z2 = z k. 4 k=

41 Observera att man får samma resultat med med hjälp av den geometriska serien (): f(z) = z(z ) = z z = z z k = z k. 3.6 Residykalkyl 3.6. Isolerade singulariteter. Poler k= k= Antag att f(z) är analytisk för z : z z < R utom i punkten z, dvs f(z) har isolerad singularitet i z. Då har f(z) på en öppen cirkelring z : < z z < R Laurentserien f(z) = a k (z z ) k = = k= a k (z z ) k + k= = Σ + Σ 2. k= a k (z z ) k = (3) Summan Σ 2 brukar kallas den singulära delen till f(z) kring punkten z. Σ är en analytisk funktion för z : z z < R. Pol av ordning n. Antag att f(z) har isolerad singularitet i punkten z och låt Σ 2 vara den singulära delen till f(z) kring z. Om Σ 2 = n k= a k (z z ) = a + + a n k z z (z z ), a n n, (3) så kallas z en pol av ordning n till f(z) (n =, 2,... ). Exempel 3.27 Laurentserieutveckling av f(z) = z(z ) z(z ) = Σ + Σ 2 = f ör z : < z < är z k z, och z = en pol av ordning n = till f(z) = med a z(z ) n = a =. Laurentserieutveckling till f(z) = f ör z : < z < är z(z ) k= z(z ) == Σ + Σ 2 = z z 4

42 och z = en pol av ordning n = till f(z) = z(z ) med a n = a =, eftersom Σ = /z är en analytisk funktion för z : z <. Exempel 3.28 Laurentserieutveckling av f(z) = sin z z 3 godtyckligt positivt tal) är sin z = Σ z 3 + Σ 2 = = ( ) z z3 z 3 3! + z5 5!... = ( = ) ( ) k z 2k+ = z 3 (2k + )! k= f ör z : < z < R (där R är ett = z 2 3! + z2 5!... (32) och z = en pol av ordning n = 2 till f(z) = sin z z 3 med a n = a 2 = (och a = ), eftersom Σ 2 = /z 2 och Σ = /3! + z 2 /5!... är en analytisk funktion för z : z < R Metoder för residyberäkning Om a är en pol av ordning m till f(z), så är res z=a f(z) = lim z a (m )! d m Speciellt är, om a är en enkelpol av ordning m =, Exempel 3.29 dz m [(z a)m f(z)]. (33) res z=a f(z) = lim z a [(z a)f(z)]. (34) Betrakta f(z) = z = z + 2i z 2i. Då är z = ±2i enkelpoler av ordning och, enligt (34), res z=2i f(z) = lim z 2i [(z 2i)f(z)] = 4i = i 4, res z= 2i f(z) = lim z 2i [(z + 2i)f(z)] = 4i = i 4. 42

43 Exempel 3.3 Betrakta f(z) = z3 + 2z (z i) 3. Då är z = i en pol av ordning m = 3 och, enligt (33), Residysats res z=i f(z) = lim z i (m )! z i Integrera termvis Laurentserieutvecklingen d 2 d m dz m [(z i)3 f(z)] = = lim 2 dz 2 [z3 + 2z] = = 2 lim d z i dz [3z2 + 2] = 2 lim [6z] = 3i. z i f(z) = k= a k (z z ) k till f(z) längs cirkeln C = {z : z z = r (z z = re θ, θ < 2π): a k (z z ) k (z z ) k+ z=z = a k C k + =, k, z=z så att och a C (z z ) = a C C ire θ re θ dθ = 2πia, f(z)dz = + 2πia = 2πia, k = f(z)dz = a. (35) 2πi C Med residyn till f(z) i punkten z menas koefficienten a för i Laurentserieutveckling till f(z) på området z : < z z R. z z Beteckning: a = a,z = res z=z f(z). (36) 43

44 Residysatsen. Antag att f(z) är analytisk inom och på en enkel, sluten kontur C utom i ett ändligt antal punkter z, z 2,..., z n inom C. Då är C f(z)dz = 2πi n res z=zk f(z) = 2πi k= n a,zk. (37) k= Exempel 3.3 Betrakta funktionen f(z) = z (e z ) = z(e z ) = g(z). Här g(z) = z(e z ) och g(z ) =, där z =. Taylorserieutveckling av g(z) är ( ) g(z) = z(e z z k ) = z k! = k= ) ) = z ( + z + z2 2 + = z (z + z2 2 + z = ( = z 2 + z ) 2 + z = z 2 g(z), där g(). Vidare kommer vi att använda funktionen Vi har q(z) = z 2 + z2 6 + = z ( 2 + z ( q 2 (z) = z z ) 2 [ ( z ) ] = z = (38) [ ( z ) ( z ) ] 2 = z = ). Skriv om = z2 4 + z f(z) = g(z) = z 2 + z + z = 2 6 = z 2 G(z), 44

45 där G(z) är analytisk f ör z : z < R (R är något positivt tal), G() = och Taylorserieutveckling av G(z) är då G(z) = = + z + z = q(z) = q + q2 = = z 2 z z2 4 + z3 6 + = = + G z +..., där G = 2. Laurentserieutveckling av f(z) är då f(z) = z G(z) = 2 z ( 2 2 z +... ) = z 2 2 z + = = Σ + Σ 2 f ör z : < z < R (där R är ett godtyckligt positivt tal) och z = en pol av ordning n = 2 till f(z) = z(e z ) med a n = a 2 = och a =.5, eftersom Σ 2 = z 2 2 z och Σ är en analytisk funktion för z : z < R. Residyn till f(z) = z(e z ) i punkten z = är a = a, = res z= f(z) = 2. (39) Här Exempel 3.32 Betrakta funktionen f(z) = z n (e z ) = z n (e z ) = g(z). g(z) = z n (e z ) = z n (z + z 2 / ) = z n+ ( + z/ ) och g() =, där z = är ett nollställe av ordning n + till g(z) och alltså en pol av ordning n + till f(z). Man kan skriva f(z) = z e z z = g (z) n+ z, g () =. n+ 45

46 Taylorserieutveckling av g (z) är, enligt Arfken, (5.44), där B k = lim z g (z) = d k dz k [g (z)] = lim z B k z k, k! k= ( ) d k z, k =,, 2,..., (4) dz k e z är Bernoullis tal. Vi har g (z) = k=,k n B k z k k! + B nz n n! (n =, 2,... ), f(z) = = B n n! ( B n z n + z n+ n! z + z n+ k=,k n k=,k n ) B k z k = k! B k z k, k! och res z= f(z) = B n, n =, 2,.... (4) n! Speciellt är, om n = och z = är en pol av ordning 2, ( ) d z B = lim = z dz e z ( ) e z ze z = lim = z (e z ) ( 2 ) z + z 2 /2 z z 2 + O(z 3 ) = lim = z (z + z 2 /2 + O(z 3 )) ( ) 2 z 2 /2 + O(z 3 ) = lim = z z 2 ( + z/2 + O(z 2 )) ( ) 2 /2 + O(z) = lim = /2 + = z ( + z/2 + O(z 2 )) 2 ( + ) 2 2, som sammanfaller med (39) i exemplet ovan. Här, betecknar O(z m ) (m =, 2, 3) en funktion sådan att O(z m ) = z m P m (z), där P m () och P m (z) är analytisk för z : z < R med något R >. 46

47 3.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl Betrakta reella integraler av typ I I = 2π f(sin θ, cos θ)dθ, (42) där integranden f = f(x, y) är en rationell funktion i x och y (dvs, f är kvoten mellan två polynom). Sätt z = e iθ, θ < 2π, (43) och bestäm dz = ie iθ dθ = iz dθ och dθ = i dz z, sin θ = eiθ e iθ = ( z ), (44) 2 2i z cos θ) = eiθ + e iθ = ( z + ). (45) 2 2 z Alltså är I = 2π f(sin θ, cos θ)dθ = C f( z z 2i, z + z, )dθ, (46) 2 där C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led) C = {z : z = e it, t 2π} (eller C = {z : z = }). Den sistnämnda komplexa integralen (46) beräknas med residysatsen. Exempel 3.33 Beräkna integralen Vi har I = = I = 2π C C f(sin θ, cos θ)dθ = dz 2π iz ( z z 2i dz 2iz +.5 3z = 2 3 dθ sin θ. (47) ) = (48) C dz z 2 + 4i 3 z, där C är enhetscirkeln C = {z : z = }. 47

48 Låt h(z) = z 2 + 4i 3 z. Då h(z) = (z + 2i 3 ) 2 = = 3 z = 2i 3 ± i 3 z = z = i 3, z = z 2 = i 3. Dessa båda punkter z och z 2 är nollställen till h(z) och alltså enkelpoler till integranden /h(z). Av dessa poler, ligger endast z = i 3 inom enhetscirkeln C (eftersom z = 3 < och z 2 = 3 > ). z är en enkelpol, och enligt (34) res z=z h(z) = res z=z z 2 + 4i 3 z = [ ] = lim (z z ) = z z (z z )(z z 2 = = ( z z 3 ). 2 i 3 Enligt residysatsen (37) får vi Exempel 3.34 Beräkna integralen I = 2 2πires z=z 3 h(z) = 4πi ( 3 ) = 3 i 3 = 4π 3 = 2π. Vi har I = 2π f(sin θ, cos θ)dθ = C 2π dθ, < ɛ <. (49) + ɛ cos θ dz I = i C z [ + (ɛ/2)(z + z )] = (5) = i 2 dz ɛ z 2 + (2/ɛ)z +, 48

49 där C är enhetscirkeln C = {z : z = }. Låt h(z) = z z +. Då h(z) = ɛ z = z = ɛ ɛ ɛ2, z = z 2 = ɛ + ɛ ɛ2, Dessa båda punkter z och z 2 är nollställen till h(z) och alltså enkelpoler till integranden /h(z). Av dessa poler, ligger endast z 2 inom enhetscirkeln C, eftersom z 2 < och z >. Visa att z 2 < : ɛ < ɛ 2 < ɛ ɛ 2 ɛ <, 2 ɛ 2 2 ɛ <, 2 ɛ + ɛ 2 < ɛ 2 2 ɛ + ɛ 2 < ɛ 2 ( ɛ ) 2 < ( ɛ 2 ) 2 ( ɛ 2 > ) ɛ < ɛ 2 ɛ 2 < ɛ ɛ 2 < ɛ ɛ 2 ɛ < z 2 <. z 2 är en enkelpol, och enligt (34) res z=z h(z) Enligt residysatsen (37) får vi = res z=z z 2 + 2z + = ɛ [ ] = lim (z z 2 ) = z z2 (z z )(z z 2 = = z 2 z = ɛ ɛ 2 2. ɛ 2 2 ɛ 2π dθ I = + ɛ cos θ = i 2 ɛ 2πires z=z = 2π 2 ɛ h(z) ɛ 2 = ɛ 2 2π =, ɛ <. ɛ 2 49

50 4 Differentialekvationer: Grundbegrepp 4. Differentialekvationer av första ordningen Den enklaste formen för en differentialekvation av första ordningen är y = h(x). (5) En sådan ekvation kan lösas direkt. Om H(x) = h(x)dx [H (x) = h(x)] är en primitiv till h(x) så är ju y(x) = H(x) + C den almänna (fullständiga) lösningen till (5). Konstanten C bestäms av något begynnelsevillkor. Exempel 4. En differentialekvation av första ordningen y = 2x (52) kan lösas direkt: dy dx = 2x, dy = 2xdx, dy = 2xdx, y = x 2 + C. (53) Exempel 4.2 Differentialekvationen av första ordningen y = y (54) satisfieras av y = ce x eftersom y = (ce x ) = c(e x ) = ce x = y. 5

51 4.. Linjära differentialekvationer av första ordningen En linjär differentialekvation av första ordningen är L(y) y + g(x)y = h(x). (55) Här är g och h givna kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall på reela axeln x. L kallas en linjär differentialoperator (av första ordningen) eftersom L(y + y 2 ) = (y + y 2 ) + g(x)(y + y 2 ) = y + y 2 + g(x)y + g(x)y 2 = L(y ) + L(y 2 ). och L(αy) = (αy) + g(x)(αy) = αy + αg(x)y = αl(y) L(αy + βy 2 ) = αl(y ) + βl(y 2 ). (56) Om y och y 2 löser de två ekvationerna så löser y + y 2 ekvationen och αy löser ekvationen L(y) = h (x) respektive L(y) = h 2 (x) Detta kallas superpositionprincipen. Exempel 4.3 Lös differentialekvationen L(y) = h (x) + h 2 (x) L(y) = αh (x). y (x) = x + y. (57) Lösning. Funktionen y (x) = ce x satisfierar den homogena ekvationen y y = (58) som motsvarar ekvationen y = x + y. Man kan kolla detta genom att visa att (58) har karakteristiska polynomet r 5

52 med nollstället r =. Den fullständiga lösningen y (x) till homogena ekvationen (58) är då y = ce x. Bestäm en partikulär lösning y p (x) till ekvationen (57): y p = ax + b : y p y p = (ax + b) (ax + b) = ax + (a b) = x a =, b = a =, och y p (x) = x. Den (fullständiga) lösningen till ekvationen (57) blir 4..2 Separabla ekvationer y = y + y p = ce x x. (59) En differentialekvation av första ordningen säges vara separabel eller ha separabla variabler om den kan skrivas på formen En sådan ekvation kan lösas direkt. Exempel 4.4 Differentialekvationen av första ordningen g(y)y = h(x). (6) y = y har separabla variabler och kan lösas direkt: dy dx = y, dy dy y = dx, y = dx, ln y = x + C, y = e x+c = e x e C = ce x. (6) 4.2 Begynnelsevärdesproblem För att fixera vilken av oändligt många lösningar man söker måste man ge tilläggsvillkor av typen y(a) = α (eller y(x ) = y ). Detta kallas ett begynnelsevillkor och problemet att lösa y = f(x, y) y(x ) = y, (62) 52