OPPGAVER FOR FORUM

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "OPPGAVER FOR FORUM"

Transkript

1 OPPGAVER FOR FORUM MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk språk. Du får ikke godkjent en besvarelse som ikke er motivert, som jeg ikke forstår, eller som jeg ikke kan lese. En betyr at oppgaven er litt mer utfordrende enn vanlig OPPGAVESETT 6. Innleveres senest 10/5 Oppgave 6.1. En normal undergruppe H av en gruppe G er en gruppe slik at g 1 Hg H for alle g i G, d.v.s. g 1 hg er i H for alle g i G og h i H. Bestem alle normale undergrupper i S 3. Oppgave 6.2. For hver undergruppe H av en gruppe G setter vi N(H = {g G : g 1 Hg = H} og kaller N(H normalisatoren til H i G. La G = S 3. Hva er N(H for H som i Eksempel side 27. Oppgave 6.3. Vis at H er en normal undergruppe av G hvis og bare hvis N(H = G. ( ( Oppgave 6.4. La T og U bestå av matriser på formen a b, respektive 1 b, 0 c 0 1 der ac 0. (1 Vis at T er en undergruppe av Gl 2 (R. (2 Vis at U er en undergruppe av Gl 2 (R. (3 Vis at U er en abelsk gruppe, det vil si AB = BA for alle A, B i U. (4 Vis at T ikke er abelsk. (5 Vis at U er en normal undergruppe av T. (6 Beskriv for hver matrise A i T sideklassen AU. (7 Vis at T/U er en abelsk gruppe. (8 Vis at T er en normal undergruppe i Gl 2 (R. Oppgave 6.5. Bestem undergruppene i A 4 og finn de som er normale. Oppgave 6.6. For hvert par av elementer g, h i en gruppe G definerer vi kommutatoren av g, h ved [g, h] = ghg 1 h 1. La H være en undergruppe av G. Vis at følgende betingelser er ekvivalente: (1 H inneholder kommutatoren til alle par av elementer. (2 H er en normal undergruppe av G og G/H er en abelsk gruppe, det vil si gh = hg for alle par av elementer g, h i G/H. 1

2 2 OPPGAVESETT 1. Innleveres senest 9/11 Oppgave 1.1. La A, B, C være matriser i M n (R. Vis regnereglene: (1 I n A = A = AI n. (2 (ABC = A(BC. (3 tr (AB = tr B tr A. (4 Vis at om A, B er i Gl n (R så vil AB være i Gl n (R. Mer bestemt, gjør dette ved å vise at (AB 1 = B 1 A 1. (Ledetråd: De tre første punktene blir letter om du bruker kortformen A = (a ij n for matriser. Oppgave 1.2. La S være en mengde og la F(S bestå av alle avbildningene f : S S. For to avbildninger f : S S og g : S S i F(S definerer vi produktet fg som sammensetningen S g S f S av avbildningene f og f, det vil si, for alle x i S setter vi (fg(x = f(g(x. La i : S S være enhetsavbildningen, eller identitetsavbildningen, definert ved i(x = x for alle x i S. Vi følgende regneregler for alle f, g, h i F(S: (1 if = f = fi. (2 (fgh = f(gh. Oppgave 1.3. La F(S være som i Oppgave 1.2 og la P(S være de avbildningene f : S S som er bijektive, det vil si, for hvert y i S finnes det nøyaktig et x i S slik at f(x = y. La f, g være i P(S: (1 Vis at det finnes nøyaktig en funksjon f 1 i P(S slik at f 1 f = i = ff 1. (2 Vis at (gf 1 = f 1 g 1. Oppgave 1.4. La A være i M n (R. Som i heftet kan vi betrakte A som en funksjon f A : R n R n ved f A (v = Av for alle v in R n. Her er Av matriseproduktet av A og v, og vi merker at vi har endret notasjon fra boken der f A ble betegnet med A. La A, B være i M n (R. (1 Vis at f B f A = f BA, der f B f A er produktet av f A og f B gitt i Oppgave 1.2, og der BA er matriseproduktet. (2 Bruk (1 og Oppgave 1.2 til å gi et enkelt bevis for formel (2 i Oppgave 1.1. Oppgave 1.5. La A være i M n (R. (1 Med betegnelsene i Oppgave 1.4, vis at f A er i P(R n hvis og bare hvis A er i Gl n (R. (2 Vis at når A er i Gl n (R så vil f A 1 = f 1 A. (Ledetråd: Vis at om f A er i P(R n så vil (f A 1 være en lineær avbildning. Oppgave 1.6. La A, B i M n (R n være slik at BA = I n. (1 Vis at da vil A og B være i Gl n (R og B = A 1. (2 Vis (1 uten å bruke determinanter.

3 ( 3 5 Oppgave Matrisen A = 4 5 er en speiling om en linje L i planet og ( matrisen B = er en rotasjon θ grader av planet om origo (1 Bestem L på formen t ( a b for noen tall a, b, der t er en parameter. (2 Bestem vinkelen θ. 3

4 4 OPPGAVESETT 2. Innleveres senest 7/12 Oppgave 2.1. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (0, 0, (1, 0, (1, 1, (0, 1. Oppgave 2.2. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (1, 0, (2, 0, (2, 1, (1, 1. Oppgave 2.3. Finn symmetriene med hensyn til origo for trekanten med hjørner (1, 0, ( 1/2, 3/2, ( 1/2, 3/2. Oppgave 2.4. Vis at funksjonen : Z n Z, definert ved (m 1,..., m n = 1 i<j n (m i m j, ikke er null funksjonen, det vil si, (m 1,..., m n er ikke null for alle (m 1,..., m n i Z n. Regn ut verdien av funksjonen på n tuplet (1, 2,..., n. Oppgave 2.5. La n være et positivt heltall. (1 Vis at alle permutasjonene i S n kan skrives som et produkt av høyst n 1 transposisjoner. (2 Anta n > 1. Vis at en fremstilling av en permutasjon som et produkt av transposisjoner aldrig er entydig. (Ledetråd: Bruk induksjon etter n for den første delen. Oppgave 2.6. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Skriv permutasjonen σ = som et produkt av disjunkte sykler. ( ( (2 Skriv τ = som et produkt av disjunkte sykler (3 Skriv σ 1 som et produkt av disjunkte sykler. (4 Skriv τ 1 som et produkt av disjunkte sykler. Oppgave 2.7. La (i 1, i 2,..., i r betegne permutasjonen som tar i j til i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og som tar i r til i 1. Vi kaller en slik permutasjon en sykel. To sykler (i 1, i 2,..., i r og (j 1, j 2,..., j s er disjunkte om ingen av i 1, i 2,..., i r forekommer blandt j 1, j 2,..., j s. (1 Vis at hver permutasjon i S n entydig kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. (2 Vis at (i 1, i 2,..., i r = (i 1 i 2 (i 2 i 3 (i r 2 i r 1 (i r 1 i r. (3 La (i, i 2,..., i r og (j, j 2,..., j s være disjunkte sykler og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (j, j 2,..., j s (i, i 2,..., i r = (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s. (4 La (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s være en sykel og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s = (i, i 2,..., i r (j, j 2,..., j s. (5 Vis at antallet disjunkte sykler i permutasjonene σ og τ ij σ skiller seg med 1.

5 5 (6 Vis at om σ = σ 1 σ 2 σ r = τ 1 τ 2 τ s der σ 1, σ 2,..., σ r og τ 1, τ 2,..., τ s er transposisjoner så er r s et like tall. (7 Vis at vi entydig kan definere en funksjon sgn : S n {±1} ved at vi skriver hver permutasjon σ som et produkt σ = τ 1 τ 2 τ s av transposisjoner og setter sgn(σ = ( 1 s. (8 Vis at for alle permutasjoner σ og τ vil sgn(στ = sgn(σ sgn τ. (Ledetråd: For den første delen begynn med 1 og betrakt følgen σ(1, σ 2 (1 = σσ(1, σ 3 (1 = σσ 2 (1,... til du får tilbake σ(1. Ta deretter et tall som ikke er i denne følgen og fortsett på samme måte. Oppgave 2.8. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Vis at om r er et odde tall så er σ 2 en sykel. (2 Vis at om r er et like tall større enn 2 så er σ 2 ikke en sykel.

6 6 OPPGAVESETT 3. Innleveres senest 1/2-07 Oppgave 3.1. Vi betegner Kronecker deltaet med δ ij, det vil si, { 1 om i = j δ ij = 0 om i j. La P M n (R være matrisene i M n (R som er på formen (δ iσ(j n for en permutasjon σ i S n, det vil si, n n-matriser med 1 i posisjon (i, j om i = σ(j og 0 ellers. Vi kaller matrisene i P M n (R for permutasjonsmatriser. La ϕ : S n P M n (R være avbildningen definert ved ϕ(σ = (δ iσ(j n. (1 Vis at ϕ(ι = I n. (2 Vis at for σ, τ i S n så vil ϕ(στ = ϕ(σϕ(τ. (3 Vis at ϕ(σ er invertibel. (4 Vis at ϕ(σ 1 = ϕ(σ 1. (5 Determinanten det(a til en matrise A = (a ij n er definert ved det(a = σ S n sign(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. Skriv ut det(a for n = 1, 2, 3. (6 Vis at det(ϕ(σ = sign(σ. (7 Vis at ϕ avbilder den alternerende gruppen A n til den spesielle lineære gruppen Sl n (R. Oppgave 3.2. La S være en matrise i M n (R og la G S (R være matrisene i Gl n (R slik at tr ASA = S. Vis at: (1 I n er i G S (R. (2 Om A og B er i G S (R vil AB være i G S (R. (3 Om A er i G S (R vil A 1 være i G S (R. (4 Om S er i Gl n (R og A er i G S (R så vil det(a = ±1. (5 Om A, B, C er i G S (R vil (i AI n = A = I n A (ii A 1 A = I n = AA 1 (iii (ABC = A(BC.

7 7 OPPGAVESETT 4. Innleveres senest 8/3 Oppgave 4.1. Vi at de relle tallene bortsett fra tallet 1 med produktet a b = a + b + ab, der ab er produktet av relle tall, og a + b er summen av reelle tall, er en gruppe. Oppgave 4.2. La G være en gruppe med et endelig antall elementer og la H være en undermengde. Anta at om g 1 og g 2 ligger i H så vil g 1 g 2 ligge i H. Vis at H er en undergruppe av G. oppgave 4.3. Er {A Gl 2 (R : A 2 = I 2 } en undergruppe av Gl 2 (R? Oppgave 4.4. Vis at (g m 1 1 gm 2 2 g m r r 1 = g m r r g m r 1 r 1 g m 1 1. Oppgave La G være en mengde med et produkt slik at: (1 Det finnes et element e i G slik at eg = g for alle g i G. (2 For hvert element g i G finnes det et element g slik at g g = e. (3 For alle elementer f, g, h i G vil (fgh = f(gh; Vis at G er en gruppe. (Ledetråd: Vi har g gg = eg = g. La g g = e. Da får vi gg = egg = g g gg = g eg = g g = e og ge = g(g g = (gg g = eg = g.

8 8 OPPGAVESETT 5. Innleveres senest 29/3 Oppgave 5.1. La H være en undergruppe av gruppen G og la g være et element i G. (1 Vis at g 1 Hg er en undergruppe av G. (2 Vis at H og g 1 Hg er isomorfe grupper. Oppgave 5.2. Hvilke av følgende avbildninger ϕ : Gl n (R Gl n (R er gruppehomomorfier? (1 ϕ(a = tr A. (2 ϕ(a = A 1. (3 ϕ(a = tr A 1. (4 ϕ(a = B 1 AB, med B i Gl n (R. Oppgave 5.3. La U være undergruppen av Gl 2 (R av matriser på formen med ac 0. Vis at avbildningen ϕ : U Gl 2 (R definert av ϕ = en homomorfi av grupper. Bestem kjernen. ( a b 0 c ( a 0 0 c ( a b 0 c er Oppgave 5.4. La G være en gruppe og ϕ : G G avbildningen ϕ(g = g 1. vis at ϕ er en gruppehomomorfi hvis og bare hvis gh = hg for alle g, h i G. Oppgave 5.5. La g være et element i gruppen G. Vis at avbildningen ϕ : G G definert ved ϕ(h = g 1 hg er en isomorfi av grupper. Oppgave 5.6. Vis at avbildningen sign : S n {±1} er karakterisert av de to egenskapene i Proposisjon ( (Ledetråd: Bruk Eksempel (2.2.8.

GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006

GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006 GRUPPETEORI VIA MATRISER Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006 GRUPPETEORI VIA MATRISER Gruppeteori via Matriser Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Oblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer

Oblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen

Detaljer

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På

Detaljer

Vi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner. " "Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle

Vi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner.  Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle TMA4150 Algebra Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Seksjon 16 2 Fasit: G 1 = {ρ 0, δ 2 } = G 3 = G P1 = G P3 G S1 = {ρ 0, µ 1 } = G S3 G m1 = {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ

Detaljer

MA2201/TMA4150 Vår 2018

MA2201/TMA4150 Vår 2018 MA2201/TMA4150 Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Seksjon 14 34 La G = n < og la H G være eneste undergruppe av G av orden m.

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte

Detaljer

Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5

Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Oppgave 1 isomorfi, nemlig 24 = 2 3 3, så det finnes tre abelske grupper av orden 24 opp til Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 ; Z 2 Z 4 Z 3 ; Z 8 Z 3. O

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra

Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere betyr å bytte om, og ombyttinger, eller altså permutasjoner, er noe vi kjenner fra dagliglivet. I matematikk er de også flittig i bruk, de fleste har

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

Grupper de første egenskaper

Grupper de første egenskaper Grupper de første egenskaper Definisjonen av en gruppe Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, så vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier; De kunne settes sammen og de kunne inverteres.

Detaljer

Eksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.

Eksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det. Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1 Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

x A e x = x e = x. (2)

x A e x = x e = x. (2) Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper 4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker

Detaljer

Forelesning i Matte 3

Forelesning i Matte 3 Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 9

MAT Grublegruppen Notat 9 MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017

En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn som en del av programspesialiseringen Matematikk under Lektorprogrammet

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3

MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Når er to grupper strukturlike? Avsnitt 13: Homomorfier av grupper Stoff: Gruppehomomorfi (en-til-en og på), gruppeisomorfi, kjernen og bildet til en

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7 til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple

Detaljer

Geometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved

Geometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

MAT1140 Strukturer og argumenter

MAT1140 Strukturer og argumenter 12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7 INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus.

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Kontakt under eksamen Navn: Bawfeh Kingsley Kometa kontor: 7359975, mobil: 936 24 483) Sensur: 06.0.20 EKSAMEN I NUMERISK

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

5.5 Komplekse egenverdier

5.5 Komplekse egenverdier 5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Geometri på ikke-kommutative algebraer

Geometri på ikke-kommutative algebraer Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11

=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11 3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

Algebraiske strukturer

Algebraiske strukturer MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt . til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73593534/41645376 EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag

Detaljer

i Dato:

i Dato: c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer