OPPGAVER FOR FORUM
|
|
- Grethe Berntsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 OPPGAVER FOR FORUM MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk språk. Du får ikke godkjent en besvarelse som ikke er motivert, som jeg ikke forstår, eller som jeg ikke kan lese. En betyr at oppgaven er litt mer utfordrende enn vanlig OPPGAVESETT 6. Innleveres senest 10/5 Oppgave 6.1. En normal undergruppe H av en gruppe G er en gruppe slik at g 1 Hg H for alle g i G, d.v.s. g 1 hg er i H for alle g i G og h i H. Bestem alle normale undergrupper i S 3. Oppgave 6.2. For hver undergruppe H av en gruppe G setter vi N(H = {g G : g 1 Hg = H} og kaller N(H normalisatoren til H i G. La G = S 3. Hva er N(H for H som i Eksempel side 27. Oppgave 6.3. Vis at H er en normal undergruppe av G hvis og bare hvis N(H = G. ( ( Oppgave 6.4. La T og U bestå av matriser på formen a b, respektive 1 b, 0 c 0 1 der ac 0. (1 Vis at T er en undergruppe av Gl 2 (R. (2 Vis at U er en undergruppe av Gl 2 (R. (3 Vis at U er en abelsk gruppe, det vil si AB = BA for alle A, B i U. (4 Vis at T ikke er abelsk. (5 Vis at U er en normal undergruppe av T. (6 Beskriv for hver matrise A i T sideklassen AU. (7 Vis at T/U er en abelsk gruppe. (8 Vis at T er en normal undergruppe i Gl 2 (R. Oppgave 6.5. Bestem undergruppene i A 4 og finn de som er normale. Oppgave 6.6. For hvert par av elementer g, h i en gruppe G definerer vi kommutatoren av g, h ved [g, h] = ghg 1 h 1. La H være en undergruppe av G. Vis at følgende betingelser er ekvivalente: (1 H inneholder kommutatoren til alle par av elementer. (2 H er en normal undergruppe av G og G/H er en abelsk gruppe, det vil si gh = hg for alle par av elementer g, h i G/H. 1
2 2 OPPGAVESETT 1. Innleveres senest 9/11 Oppgave 1.1. La A, B, C være matriser i M n (R. Vis regnereglene: (1 I n A = A = AI n. (2 (ABC = A(BC. (3 tr (AB = tr B tr A. (4 Vis at om A, B er i Gl n (R så vil AB være i Gl n (R. Mer bestemt, gjør dette ved å vise at (AB 1 = B 1 A 1. (Ledetråd: De tre første punktene blir letter om du bruker kortformen A = (a ij n for matriser. Oppgave 1.2. La S være en mengde og la F(S bestå av alle avbildningene f : S S. For to avbildninger f : S S og g : S S i F(S definerer vi produktet fg som sammensetningen S g S f S av avbildningene f og f, det vil si, for alle x i S setter vi (fg(x = f(g(x. La i : S S være enhetsavbildningen, eller identitetsavbildningen, definert ved i(x = x for alle x i S. Vi følgende regneregler for alle f, g, h i F(S: (1 if = f = fi. (2 (fgh = f(gh. Oppgave 1.3. La F(S være som i Oppgave 1.2 og la P(S være de avbildningene f : S S som er bijektive, det vil si, for hvert y i S finnes det nøyaktig et x i S slik at f(x = y. La f, g være i P(S: (1 Vis at det finnes nøyaktig en funksjon f 1 i P(S slik at f 1 f = i = ff 1. (2 Vis at (gf 1 = f 1 g 1. Oppgave 1.4. La A være i M n (R. Som i heftet kan vi betrakte A som en funksjon f A : R n R n ved f A (v = Av for alle v in R n. Her er Av matriseproduktet av A og v, og vi merker at vi har endret notasjon fra boken der f A ble betegnet med A. La A, B være i M n (R. (1 Vis at f B f A = f BA, der f B f A er produktet av f A og f B gitt i Oppgave 1.2, og der BA er matriseproduktet. (2 Bruk (1 og Oppgave 1.2 til å gi et enkelt bevis for formel (2 i Oppgave 1.1. Oppgave 1.5. La A være i M n (R. (1 Med betegnelsene i Oppgave 1.4, vis at f A er i P(R n hvis og bare hvis A er i Gl n (R. (2 Vis at når A er i Gl n (R så vil f A 1 = f 1 A. (Ledetråd: Vis at om f A er i P(R n så vil (f A 1 være en lineær avbildning. Oppgave 1.6. La A, B i M n (R n være slik at BA = I n. (1 Vis at da vil A og B være i Gl n (R og B = A 1. (2 Vis (1 uten å bruke determinanter.
3 ( 3 5 Oppgave Matrisen A = 4 5 er en speiling om en linje L i planet og ( matrisen B = er en rotasjon θ grader av planet om origo (1 Bestem L på formen t ( a b for noen tall a, b, der t er en parameter. (2 Bestem vinkelen θ. 3
4 4 OPPGAVESETT 2. Innleveres senest 7/12 Oppgave 2.1. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (0, 0, (1, 0, (1, 1, (0, 1. Oppgave 2.2. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (1, 0, (2, 0, (2, 1, (1, 1. Oppgave 2.3. Finn symmetriene med hensyn til origo for trekanten med hjørner (1, 0, ( 1/2, 3/2, ( 1/2, 3/2. Oppgave 2.4. Vis at funksjonen : Z n Z, definert ved (m 1,..., m n = 1 i<j n (m i m j, ikke er null funksjonen, det vil si, (m 1,..., m n er ikke null for alle (m 1,..., m n i Z n. Regn ut verdien av funksjonen på n tuplet (1, 2,..., n. Oppgave 2.5. La n være et positivt heltall. (1 Vis at alle permutasjonene i S n kan skrives som et produkt av høyst n 1 transposisjoner. (2 Anta n > 1. Vis at en fremstilling av en permutasjon som et produkt av transposisjoner aldrig er entydig. (Ledetråd: Bruk induksjon etter n for den første delen. Oppgave 2.6. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Skriv permutasjonen σ = som et produkt av disjunkte sykler. ( ( (2 Skriv τ = som et produkt av disjunkte sykler (3 Skriv σ 1 som et produkt av disjunkte sykler. (4 Skriv τ 1 som et produkt av disjunkte sykler. Oppgave 2.7. La (i 1, i 2,..., i r betegne permutasjonen som tar i j til i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og som tar i r til i 1. Vi kaller en slik permutasjon en sykel. To sykler (i 1, i 2,..., i r og (j 1, j 2,..., j s er disjunkte om ingen av i 1, i 2,..., i r forekommer blandt j 1, j 2,..., j s. (1 Vis at hver permutasjon i S n entydig kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. (2 Vis at (i 1, i 2,..., i r = (i 1 i 2 (i 2 i 3 (i r 2 i r 1 (i r 1 i r. (3 La (i, i 2,..., i r og (j, j 2,..., j s være disjunkte sykler og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (j, j 2,..., j s (i, i 2,..., i r = (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s. (4 La (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s være en sykel og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s = (i, i 2,..., i r (j, j 2,..., j s. (5 Vis at antallet disjunkte sykler i permutasjonene σ og τ ij σ skiller seg med 1.
5 5 (6 Vis at om σ = σ 1 σ 2 σ r = τ 1 τ 2 τ s der σ 1, σ 2,..., σ r og τ 1, τ 2,..., τ s er transposisjoner så er r s et like tall. (7 Vis at vi entydig kan definere en funksjon sgn : S n {±1} ved at vi skriver hver permutasjon σ som et produkt σ = τ 1 τ 2 τ s av transposisjoner og setter sgn(σ = ( 1 s. (8 Vis at for alle permutasjoner σ og τ vil sgn(στ = sgn(σ sgn τ. (Ledetråd: For den første delen begynn med 1 og betrakt følgen σ(1, σ 2 (1 = σσ(1, σ 3 (1 = σσ 2 (1,... til du får tilbake σ(1. Ta deretter et tall som ikke er i denne følgen og fortsett på samme måte. Oppgave 2.8. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Vis at om r er et odde tall så er σ 2 en sykel. (2 Vis at om r er et like tall større enn 2 så er σ 2 ikke en sykel.
6 6 OPPGAVESETT 3. Innleveres senest 1/2-07 Oppgave 3.1. Vi betegner Kronecker deltaet med δ ij, det vil si, { 1 om i = j δ ij = 0 om i j. La P M n (R være matrisene i M n (R som er på formen (δ iσ(j n for en permutasjon σ i S n, det vil si, n n-matriser med 1 i posisjon (i, j om i = σ(j og 0 ellers. Vi kaller matrisene i P M n (R for permutasjonsmatriser. La ϕ : S n P M n (R være avbildningen definert ved ϕ(σ = (δ iσ(j n. (1 Vis at ϕ(ι = I n. (2 Vis at for σ, τ i S n så vil ϕ(στ = ϕ(σϕ(τ. (3 Vis at ϕ(σ er invertibel. (4 Vis at ϕ(σ 1 = ϕ(σ 1. (5 Determinanten det(a til en matrise A = (a ij n er definert ved det(a = σ S n sign(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. Skriv ut det(a for n = 1, 2, 3. (6 Vis at det(ϕ(σ = sign(σ. (7 Vis at ϕ avbilder den alternerende gruppen A n til den spesielle lineære gruppen Sl n (R. Oppgave 3.2. La S være en matrise i M n (R og la G S (R være matrisene i Gl n (R slik at tr ASA = S. Vis at: (1 I n er i G S (R. (2 Om A og B er i G S (R vil AB være i G S (R. (3 Om A er i G S (R vil A 1 være i G S (R. (4 Om S er i Gl n (R og A er i G S (R så vil det(a = ±1. (5 Om A, B, C er i G S (R vil (i AI n = A = I n A (ii A 1 A = I n = AA 1 (iii (ABC = A(BC.
7 7 OPPGAVESETT 4. Innleveres senest 8/3 Oppgave 4.1. Vi at de relle tallene bortsett fra tallet 1 med produktet a b = a + b + ab, der ab er produktet av relle tall, og a + b er summen av reelle tall, er en gruppe. Oppgave 4.2. La G være en gruppe med et endelig antall elementer og la H være en undermengde. Anta at om g 1 og g 2 ligger i H så vil g 1 g 2 ligge i H. Vis at H er en undergruppe av G. oppgave 4.3. Er {A Gl 2 (R : A 2 = I 2 } en undergruppe av Gl 2 (R? Oppgave 4.4. Vis at (g m 1 1 gm 2 2 g m r r 1 = g m r r g m r 1 r 1 g m 1 1. Oppgave La G være en mengde med et produkt slik at: (1 Det finnes et element e i G slik at eg = g for alle g i G. (2 For hvert element g i G finnes det et element g slik at g g = e. (3 For alle elementer f, g, h i G vil (fgh = f(gh; Vis at G er en gruppe. (Ledetråd: Vi har g gg = eg = g. La g g = e. Da får vi gg = egg = g g gg = g eg = g g = e og ge = g(g g = (gg g = eg = g.
8 8 OPPGAVESETT 5. Innleveres senest 29/3 Oppgave 5.1. La H være en undergruppe av gruppen G og la g være et element i G. (1 Vis at g 1 Hg er en undergruppe av G. (2 Vis at H og g 1 Hg er isomorfe grupper. Oppgave 5.2. Hvilke av følgende avbildninger ϕ : Gl n (R Gl n (R er gruppehomomorfier? (1 ϕ(a = tr A. (2 ϕ(a = A 1. (3 ϕ(a = tr A 1. (4 ϕ(a = B 1 AB, med B i Gl n (R. Oppgave 5.3. La U være undergruppen av Gl 2 (R av matriser på formen med ac 0. Vis at avbildningen ϕ : U Gl 2 (R definert av ϕ = en homomorfi av grupper. Bestem kjernen. ( a b 0 c ( a 0 0 c ( a b 0 c er Oppgave 5.4. La G være en gruppe og ϕ : G G avbildningen ϕ(g = g 1. vis at ϕ er en gruppehomomorfi hvis og bare hvis gh = hg for alle g, h i G. Oppgave 5.5. La g være et element i gruppen G. Vis at avbildningen ϕ : G G definert ved ϕ(h = g 1 hg er en isomorfi av grupper. Oppgave 5.6. Vis at avbildningen sign : S n {±1} er karakterisert av de to egenskapene i Proposisjon ( (Ledetråd: Bruk Eksempel (2.2.8.
GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006
GRUPPETEORI VIA MATRISER Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006 GRUPPETEORI VIA MATRISER Gruppeteori via Matriser Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerOblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen
DetaljerUtvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010
Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På
DetaljerVi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner. " "Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle
TMA4150 Algebra Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Seksjon 16 2 Fasit: G 1 = {ρ 0, δ 2 } = G 3 = G P1 = G P3 G S1 = {ρ 0, µ 1 } = G S3 G m1 = {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ
DetaljerMA2201/TMA4150 Vår 2018
MA2201/TMA4150 Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Seksjon 14 34 La G = n < og la H G være eneste undergruppe av G av orden m.
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014
Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte
DetaljerForslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5
Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Oppgave 1 isomorfi, nemlig 24 = 2 3 3, så det finnes tre abelske grupper av orden 24 opp til Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 ; Z 2 Z 4 Z 3 ; Z 8 Z 3. O
DetaljerEksamensoppgave i TMA4150 Algebra
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerPermutasjoner og symmetriske grupper
Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere betyr å bytte om, og ombyttinger, eller altså permutasjoner, er noe vi kjenner fra dagliglivet. I matematikk er de også flittig i bruk, de fleste har
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerGrupper de første egenskaper
Grupper de første egenskaper Definisjonen av en gruppe Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, så vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier; De kunne settes sammen og de kunne inverteres.
DetaljerEksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.
Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
Detaljer5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =
til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin
DetaljerEt noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans
Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerPermutasjoner og symmetriske grupper
4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker
DetaljerForelesning i Matte 3
Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 9
MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete
DetaljerNotat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er
Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet
DetaljerDirekte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).
Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker
DetaljerObligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011
Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av ):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerEn gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017
En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn som en del av programspesialiseringen Matematikk under Lektorprogrammet
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerEksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -
DetaljerTOPOLOGI. Dan Laksov
Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Når er to grupper strukturlike? Avsnitt 13: Homomorfier av grupper Stoff: Gruppehomomorfi (en-til-en og på), gruppeisomorfi, kjernen og bildet til en
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Detaljer5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7
til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1
DetaljerKommentarer til Eksamen IM005 - V02
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer12 Lineære transformasjoner
2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerMAT1140 Strukturer og argumenter
12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014
Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus.
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Kontakt under eksamen Navn: Bawfeh Kingsley Kometa kontor: 7359975, mobil: 936 24 483) Sensur: 06.0.20 EKSAMEN I NUMERISK
DetaljerDagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling
Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerGeometri på ikke-kommutative algebraer
Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk
DetaljerMatriser og vektorrom
Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerMAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse
MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt
DetaljerAlgebraiske strukturer
MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme
DetaljerJulenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)
Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
Detaljer( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerEKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73593534/41645376 EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag
Detaljeri Dato:
c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri
QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi
Detaljer