Matriser og vektorrom

Transkript

1 Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen KTH

2 Matematiska Institutionen KTH STOCKHOLM ISBN? c 2000 Matematiska Institutionen

3 Innledning Disse notatene ble skrevet for et kurs om matriser og vektorer gitt skoleåret 2000/2001 for matematikkinteresserte elever i andre klasse på Östra Reals Gymnasium i Stockholm Hensikten med kurset var å gi elevene en ide om hvordan kurs Lineær algebra ser ut på universiteter og høyskoler, og samtidig gjøre elevene interesserte i matematikk Kurset inneholder mindre materiale en det tilsvarende begynnerkurset i Lineær algebra på universiteter og høskoler Til gjengjelde presenteres materialet med et bredere perspektiv enn det som er vanlig på universiteter og høyskoler Spesielt i oppgavene har vi introdusert materiale fra algebra, kombinatorikk og tallteori, som vi håper skal virke inspirerende på elevene Undervisningstiden var en dobbelttime per uke i 24 uker Undervisningen alternerte mellom Östra Reals Gymnasium, der Dick Andersson ga undervisningen, og KTH, der Dan Laksov underviste Matematiska Institutionen, 31 desember 2000 Dan Laksov iii

4 iv matr og vekt

5 Innhold Matriser MATRISER 1 1 Euklidske Vektorer 1 2 Operasjoner på vektorer 9 3 Matriser 15 4 Matrisemultiplikasjon 21 5 Avbildninger av planet 31 Vektorrom VEKTORROM 39 1 Mengder og vektorrom 39 2 Avbildninger 51 3 Lineære avbildninger 61 Fasit FASIT 69 2 Matriser 69 3 Matriser 70 1 Indeks 71 v

6 vi matr og vekt

7 Matriser 1 Euklidske Vektorer 11 Innledning En vektor er en horisontal eller vertikal oppstilling av symboler Vi treffer på slike oppstillinger overallt En rad med bokstaver i en bok, eller en kolonne i en tabell er en vektor Slike oppstillinger har ingen interesse i seg selv Det som gjør vektorer så viktige er at vi kan regne med dem Vi kan multiplisere en vektor med et tall og legge sammen to vektorer om de har samme størrelse Dette gir vektorer en struktur som er avgjørende for anvendelser i og utenfor matematikken I dette kapittelet skal vi gi de viktigste egenskapene til vektorer 12 Eksempel De vektorene vi skal se nærmere på er en oppstilling av tall Eksempler på slike oppstillinger er: 2 π,, 5, 3 2 som kalles 2-vektorer Andre eksempler er: 1 2, 3 π 2 3 5, π π, 1 som kalles 3-vektorer For å spare vertikal plass skriver vi: 1, 2 t = 1, og π, π, 1 t π = π, 2 1 der t står for transponert En vilkårlig 2-vektor v skriver vi v = a1 a 2 = a 1, a 2 t der a 1 og a 2 er tall Tilsvarende skriver vi en vilkårlig 3-vektor v a 1 v = a 2 = a 1, a 2, a 3 t a 3 der a 1,a 2 og a 3 er tall Vi kan generelt definere n vektorer for hver positivt tall n: 1

8 2 Matriser 13 Definisjon La n være et positivt helt tall En n-vektor v er en oppstilling: v = a 1 a 2 a n = a 1, a 2,, a n t av tall a 1, a 2,, a n Tallet a i kalles den i te koordinaten til v 14 Visualisering En 2-vektor er vi vant til å visualisere som et punkt i planet For eksempel vil 2, 3 t være representert ved y , 3 t x der første koordinaten i 5, 3 t er x-koordinaten og den andre er y-koordinaten På en tilsvarende måte kan vi representere alle punktene i planet, og hvert punkt kan representeres som en vektor En 3-vektor kan vi representere som et punkt i rommet For eksempel vil 2, 5, 3 t være representert ved z 3 2 2, 5, 3 t x y der første koordinaten er x-koordinaten, andre koordinaten er y-koordinaten og der den tredje koordinaten er z-koordinaten Tilsvarende kan vi representere alle vektorer som punkter i rommet, og omvendt vil hver punkt i rommet representeres ved en vektor Vi sier at 2-vektorene er en matematisk modell for planet og 3-vektorene er en matematisk modell for rommet Det er viktig å forstå at våre vektorer ikke er virkeligheten, men at de kan brukes som en modell for virkeligheten Fra et matematisk

9 MATRISER 1 3 synspunkt er vektorer av en vilkårlig dimensjon veldefinerte objekter som vi kan regne med Det spiller ikke noe rolle for matematikerne at det finnes modeller for 2- og 3-vektorer Derimot er det typisk at matematikken, som ofte utvikler seg helt etter egne prinsipper og lover, kan brukes til å beskrive den virkeligheten vi lever i Fra et matematisk synspunkt er 4-vektorer, som 1, 3, 2, 4 t, 6π, 2, 1, π t og 2, 5, 2, 1 t, like naturlige som 2-vektorer og 3-vektorer Derimot kan vi ikke visualisere 4-vektorer på en naturlig måte Dette har skapt mye filosofisk forvirring om hva det fire dimensjonale rommet er for noe På den andre siden har mangelen på en fysisk modell for det fire dimensjonale rommet gitt opphav til mye underholdende litteratur om hvilke mirakler vi kan utføre i rommet om man lever i det fire dimensjonale rommet Situasjonen tilsvarer hva vi, som lever i det tredimensjonale rommet kan gjøre i det to dimensjonale rommet For eksempel kan vi ta en todimensjonal person ut av et lukket rom i planet, det vil si et kvadrat, uten å passere dører eller vinduer, ved å løfte opp personen i det tredimensjonale rommet, føre personen over veggen, og sette den ned på utsiden Like spennende er det å beskrive hva som skulle hende med oss om vi ble manipulerte av skapelser som befant seg i et eventuelt firedimensjonalt rom som inneholder vårt Matematisk sett har vi ingen problemer med firedimensjonale rom For oss består det fire dimensjonale rommet av 4-vektorer og vi kan operere like fritt i det fire dimensjonale rommet som i det todimensjonale, eller for den sakens skyld i det elvedimensjonale rommet Det er veldig viktig av vi på denne naturlige måten kan arbeide i rom av høy dimensjon Selvom vi ikke kan se rom av høyere dimensjon enn tre forekommer de ofte i anvendelsene Vanligvis er koordinatene parametre i et fysisk system For eksempel når vi vil forutsi hvordan været blir i morgen, vil dette avhenge av trykk, temperatur, luftfuktighet, vindhastigheter og retninger, og mye annet Disse faktorene kalles parametre for værsystemet For å få en bra forutsigelse må vi ikke bare kjenne disse parametrene der vi står, men i en rekke andre steder på jorden Dette blir da nye parametre I de systemene som finnes i dag for å forutsi været er antallet parametre enormt, og de matematiske modellene som behandler systemet er ytterst kompliserte Dette er av grunnene til at værvarsler over lengre perioder er så vanskelige Noe av styrken i matematikken ligger i abstraksjonen Dette gir oss muligheter til å betrakte generelle teorier som kan anvendes over store felt Vi behøver ikke engang ha et bilde av hva som foregår, men kan manipulere objektene ganske abstrakt for å få ut de resultatene vi behøver Derfor klarer vi oss oftest uten figurer I mange situasjoner hjelper det mye å ha et bilde av situasjonen, selv der det egentlig ikke finnes slike bilder Vi benytter oss da av analogier i lavere dimensjoner der vi kan tegne Et eksempel på dette er de værkartene som brukes i televisjonen til å illustrere værsituasjonen og der noen ganske få av parametrene inngår Lesere som har stort behov av å se matematiske påstander, eller kanskje rentav har angst for høyere dimensjoner, oppmuntrer vi til å tegne figurer i planet og rommet for å illustrere begrepene vi innfører Vi gir også noen oppgaver som hjelper den visuelle

10 4 Matriser forståelsen Når vi skal anvende matematikken er det ofte meget viktig å ha et bra bilde av de matematiske modellene Spesielt i mekanikk og fysikk er vektorer betraktet som piler meget viktige 15 Språk og anvendelser Ordet vektor kommer fra latin og er avledet av det latinske ordet for å bære eller føre med seg Vektorer i en liknende betydelse som vi har innført dem ble ble først brukt i fysikken og mekanikken, der vektorer er noe som har både størrelse og retning, som hastighet og kraft Vektoren plasseres i det punktet kraften virker og har samme retning som kraften og lengden av vektoren representerer størrelsen til kraften Det er praktisk at alle pilene i planet, og ikke bare de som begynner i origo, betraktes som vektorer, og at to piler som har samme lengde og retning, men muligens begynner i ulike punkter, betraktes som like Hver vektor, i denne bemerkelsen, er lik nøyaktig en vektor som begynner i origo, det vil si en vektor i den betydelsen vi har brukt ovenfor y c a, d b t c, d t a, b t x Når vi regner med vektorer spiller det imidlertid ingen rolle hvor vektoren virker Vi velger å plassere alle vektorene slik at de begynner i origo y b a, b t a x Når vi regner med vektorer eller vil illustrere bruken av vektorer med diagrammer er det praktisk å kunne plassere vektorene der det passer best for den situasjonen vi er i Vi skal i disse notatene illustrere flere geometriske situasjoner med vektorer, og vise hvordan vektorregning forenkler beregninger og hvordan diagrammer av vektorer gjør det lett å få geometrisk oversikt over situasjonen Det kommer aldrig til å være noen problemer med å skille på en vektor i den algebraiske betydningen vi har sett ovenfor, som en samling av koordinater a 1, a 2 t og illustrasjonen av en vektor med en pil som begynner i origo 0, 0 t og slutter i punktet a, b t,

11 MATRISER 1 5 Det kommer heller ikke til å være noe problem å forestille oss at vi translaterer denne vektoren til et annet punkt i rommet Som i figuren ovenfor Vi har illustrert forskjellen, og likheten, mellom en vektor og dens representasjon i planet Selvsagt er det ikke noen forskjell på situasjonen i rommet Translasjoner av vektorer i rommet, eller for den sak skyld i vilkårlig dimensjon, er lett å foreta I høyere dimensjonale rom er det ingen problemer å translatere vektorer og situasjonen er helt analog til den i planet I dimensjoner større enn tre er imidlertid problemet at vi ikke kan se vektorene så vi har ingen muligheter for å illustrere situasjonene med av diagrammer, og det har derfor ikke noen mening å snakke om hvor vi plasserer vektorene Vi må da klare oss med den algebraiske representasjonen av vektorer som vi har gitt Skal vi illustrere hva som hender i høyere dimensjonale rom får vi klare oss med analogier i planet og i rommet I rommet vil vektoren a, b, c t være representert av en pil som begynner i origo 0, 0, 0 t og slutter i punktet a, b, c t z c a, b, c t x a b y Betraktelsene ovenfor kan brukes som motivasjon for vår presentasjon av vektorer og også gi en visuell ide om noen av resultatene om vektorer Vi skal imidlertid ikke se på vektorer slik man gjør i anvendelser For oss skal en vektor være et n-tuppel a 1, a 2,, a n t 16 Opgaver 1 Det finnes fire 2-vektorer 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1 som bare har koordinater 0 eller 1 1 Skriv opp alle 3-vektorer som bare har koordinater 0 eller 1 2 Hvor mange n-vektorer er det som bare har koordinater 0 eller 1? 2 Det finnes to 2-vektorer 1, 2, 2, 1 som har koordinater 1 eller 2 og der koordinatene er ulike Videre finnes et seks vektorer 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1 som har koordinater 1, 2 eller 3 og der alle koordinatene er ulike 1 Skriv opp alle 4-vektorer som har koordinater 1, 2, 3, eller 4, og der alle alle koordinatene er ulike 2 Hvor mange n-vektorer finnes som har koordinater 1, 2,, n 1, eller n og der alle koordinatene er ulike?

12 6 Matriser Vektorene i punkt 3 kalles for permuasjoner av tallene 1 2,, n 3 Ved kodning av meddelelser er det vanlig å representere alfabetet ved strenger av nuller og etter Dette kan vi gjøre ved å representere nummeret for hver bokstav binært, det vil si vi representerer a, b, c, d, e, f, g, å ved 1 = 1, 0, 0, 0, 0 2 = 1 2 = 0, 1, 0, 0, 0 3 = = 1, 1, 0, 0, 0 4 = = 0, 0, 1, 0, 0 5 = = 1, 0, 1, 0, 0 6 = = 0, 1, 1, 0, 0 7 = = 1, 1, 1, 0, 0 29 = = 1, 0, 1, 1, 1 Merk på norsk er å den 29 ende bokstaven i alfabetet Et ord med 6 bokstaver blir da kodet som en vektor med 6 5 = 30 koordinater, som alle er 0 eller 1 For eksempel gir 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 ordet vektor I kodning benytter man seg ofte av avstanden mellom ord, det vil si antallet koordinater i de tilsvarende vektorene som er ulike For eksempel, om vi tar ord med en bokstav, får vi avstandene da, b = 2, da, c = 1, da, d = 2, da, e = 1, da, f = 2 og da, v = 4 Mer presist om v = a 1, a 2,, a n t og w = b 1, b 2,, b n t så definerer vi avstanden dv, w mellom vektorene v og w som antallet indekser i slik at a i b i 1 Fullfør tabellen over representasjonen av alfabetet som 5-vektorer 2 Vis at avstandsfunksjonen definerer en metrikk på alle n vektorer med 0 er og 1 ere som koordinater Det vil si, vi har for alle slike vektorer u, v og w a dv, w = 0 hvis og bare hvis v = w b dv, w = dw, v c du, w du, v + dv, w Hint For å vise del c kan det være en fordel å innføre Kronecker deltaet { 1 om a = b δ ab = 0 om a b

13 MATRISER 1 7 Vis først, ved å diskutere alle muligheter for når a, b og c er like eller ulike, at δ ab + δ bc 1 + δ ac og at dette er det samme som at 1 δ ac 1 δ ab + 1 δ bc Deretter viser du at om v = b 1, b 2,, b n og w = c 1, c 2,, c n så er dv, w = 1 δ b1 c δ b2 c δ bn c n Vis til slutt at c følger av at om u = a 1, a 2,, a n så vil 1 δ ai c i a δ ai b i + 1 δ bi c i for i = 1, 2,, n Leopold Kronecker var en av de mest innflytelsesrike matematikerne i forrige århundret Han kjempet for strigens i matematikken og ville inordne matematikken i et liknende aritmetisk mønster som tallteorien Han er kjent for å ha sagt at de hele tallene har gud skapt, alt annet er menneskenes verk Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk Mindre flatterende er hans kontroverser med Georg Cantor om mengdelæren, der Cantors teori så smått ble alment akseptert som et viktig verktøy i matematikken Kronecker har gitt viktige bidrag til mange ulike områder av matematikken, spesielt til elliptiske funksjoner, idealteorien, representasjonsteorien og tallteorien 4 Utvid siste delen av Oppgave 1 til vektorer v der koordinatene a i er valgt fra et vilkårlig alfabet b 1, b 2, 5 La m og n være hele tall slik at 0 m n Betrakt følgende tre tall 1 Antallet forskjellige måter vi kan velge m ulike tall fra tallenen 1, 2,, n uten å ta hensyn til rekkefølgen av de m tallene Når m = 0 setter vi tallet lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi tre valg {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} 2 Antallet n-vektorer som har m koordinater lik 0, og som har n m koordinater lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi de tre vektorene 0, 0, 1, 0, 1, 0 og 1, 0, 0 3 Antallet stier fra origo 0, 0 t til m, n m t som følger et rutenett av linjer i planet der linjene er parallelle med x-aksen eller y-aksen og der linjene går gjennom punktene a, b t der a og b er hele tall For eksempel om n = 3 og m = 2 har vi

14 1, 2, 1 t 1, 3, 1 t 1, 3, 2 t 1, 2, 3 t 2, 1, 2 t 2, 3, 2 t 2, 1, 3 t 3, 1, 3 t 3, 2, 3 t, 8 Matriser 1 Vis at de tre tallene ovenfor er like 2 Kall dette tallet B m,n Vis at B m,n = B m,n 1 + B m 1,n 1 når 0 < m < n 3 Gi mening til formelen ovefor når 0 = m eller m = n 4 For hver positivt tall setter vi n! = 1 2 n og 0! = 1 Vi kaller tallet n! for n-fakultet Vis at B m,n = n! m!n m! 6 En grafe med n hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom hjørne nummer p og hjørne nummer q for noen p og q med p q For eksempel er grafer Den første har 3 hjørner og tre sider {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} En sti av lengde m fra et hjørne p til et hjørne q er en vektor p 0, p 1,, p n t der {p i 1, p i } er en kant for i = 1,, n og der i 0 = p og i n = q Alle stier av lengde 1 i den første grafen er og de av lengde 2 er 1, 2 t, 1, 3 t og 2, 3 t, samt de stiene vi får når vi bytter første og siste koordinaten Alle stier av lengde 1 i den andre grafen er 1, 2 t, 2, 3 t, 2, 4 t, 3, 4 t, og de av lengde 2 er 1, 2, 1 t, 1, 2, 3 t, 1, 2, 4 t, 2, 1, 2 t, 2, 3, 2 t, 2, 4, 2 t, 2, 3, 4 t, 2, 4, 3 t, 3, 2, 3 t, 3, 4, 3 t, 3, 2, 4 t, 4, 2, 4 t og 4, 3, 4 t, samt de stiene vi får ved å bytte om første og siste koordinaten 1 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den første grafen og finn alle stier av lengde 3 og 4 opp til ombytning av første og siste koordinaten 2 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den andre grafen og finn alle stier av lengde 3 og 4 opp til ombytning av første og siste koordinaten

15 MATRISER Operasjoner på vektorer 21 Multiplikasjon av en skalar med en vektor Den første operasjonen vi skal studere er multiplikasjon av et tall, eller skalar som vi ofte sier i denne forbindelse, med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2-vektoren 1, 2 t ved å sette 5 1, 2 t = 5, 10 t Tallet 2 kan vi multiplisere med 3-vektoren 5, 7, π t ved å sette 2 5, t 7, π = 10, 2 t 7, 2π Produktet at en skalar med en vektor får vi altså ved å multiplisere hver koordinat i vektoren med skalaren Mer generelt kan vi multiplisere et tall a med en 2-vektor a 1, a 2 t ved å sette a a 1, a 2 t = aa 1, aa 2 t og med en 3-vektor a 1, a 2, a 3 t ved å sette a a 1, a 2, a 3 t = aa 1, aa 2, aa 3 t Generelt kan vi definere produktet av et tall med en vektor: 22 Definisjon Produktet av et tall a og en n-vektor v = a 1, a 2,, a n t er av = a a 1, a 2,, a n t = aa 1, aa 2,, aa n t Vi multipliserer et tall med en vektor ved å multiplisere tallet med hver koordinat i vektoren For enkelhets skyld skriver vi v = 1v = 1 a 1, a 2,, a n t = a 1, a 2,, a n t og 0 = 0v = 0 a 1, a 2,, a n t = 0, 0,, 0 t 23 Addisjon av vektorer Vi kan addere to vektorer når de er like store For eksempel, om u = 1, 2 t, v = 3, 5 t og w = π, 2 t setter vi u + v = 1, 2 t + 3, 5 t = 1 + 3, 2 5 t = 4, 3 t, u + w = 1, 2 t + π, t 2 = 1 + π, 2 + t 2 og v + w = 3, 5 t + π, t 2 = 3 + π, 5 + t 2 Vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene vektoren med den tilsvarende koordinaten i den andre vektoren Mer generelt definerer vi summen av to 2-vektorer a 1, a 2 t og b 1, b 2 t ved a 1, a 2 t + b 1, b 2 t = a 1 + b 1, a 2 + b 2 t og summen av to 3-vektorer a 1, a 2, a 3 t og b 1, b 2, b 3 t ved a 1, a 2, a 3 t + b 1, b 2, b 3 t = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 t Generelt kan vi definere summen av to n-vektorer:

16 10 Matriser 24 Definisjon Summen av to n-vektorer a 1, a 2,, a n t og b 1, b 2,, b n t er a 1, a 2,, a n t + b 1, b 2,, b n t = a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n t Det vil si, vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene med den tilsvarende koordinaten i den andre 25 Regneregler Multiplikasjon av en vektor med en skalar og addisjon av to vektorer gjør det mulig å regne med vektorer på en måte som likner på regning med tall Før vi gir de viktigste regnereglene skal vi innføre en praktisk notasjon som gjør bevisene mer gjennomsiktige 26 Notasjon Vi skriver a 1, a 2,, a n t = a i t n Denne notasjonen gjør at vi kan konsentrere oss om den i te koordinaten a i Indeksen n viser at vi har en n-vektor Med denne notasjonen får vi at multiplikasjon av et tall a med en n-vektor v = a i t n = a 1, a 2,, a n t kan skrives som av = a a i t n = aa i t n, og addisjon av v med n-vektoren w = b i t n = b 1, b 2,, b n t kan skrives som v + w = a i t n + b i t n = a i + b i t n 27 Proposisjon La u, v og w være tre n-vektorer Da gjelder følgende regneregler: 1 u + 0 = 0 + u = u, 2 u + u = u + u = 0, 3 u + v + w = u + v + w, 4 u + v = v + u Bevis Alle regnereglene følger av enkle regninger Vi setter u = a i t n, v i = b i t n og w = c i t n 1 Vi har en sekvens av likheter u + 0 = a i t n + 0t n = a i + 0 t n = a i t n = u Tilsvarende får vi at 0 + u = u 2 Vi har at u + u = a i t n + a i t n = a i t n + a 1 t n = a i a i t n = 0 t n = 0 Tilsvarende får vi at u + u = 0 3 Vi har at u + v + w = a i t n + b i t n + c i t n = a i + b i t n + c i t n = a i + b i + c i t n Tilsvarende får vi at u + v + w = a i + b i + c i t n 4 Vi har at u+v = a i t n +b i t n = a i + b i t n = b i + a i t n = b i t n +a i t n = v+u

17 MATRISER Terminologi Vi kaller elementet 0 i 1 i Proposisjon 27 for det nøtrale element for addisjonen, og elementet u i 2 for inversen til u Egenskapen 3 kaller vi assosiativitet av addisjonen og egenskapen 4 kaller vi kommutativitet av addisjonen 29 Merk Assosiativiteten u + v + w = u + v + w viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge vi adderer tre vektorer Derfor skriver vi u + v + w = u + v + w = u + v + w 210 Proposisjon La a og b være tall og la v og w være n-vektorer Vi har følgende regneregler: 1 av + w = av + aw, 2 a + bv = av + bv, 3 abv = abv, 4 1v = v Bevis Vi skriver v = a i t n og w = b i t n Alle regnereglene følger av enkle regninger 1 Vi har en sekvens av likheter av + w = aa i t n + b i t n = a a i + b i t n = aa i + b i t n = aa i + ab i t n = aa i t n + ab i t n = a a i t n + a b i t n = av + aw 2 Vi har at a + bv = a + b a i t n = a + ba i t n = aa i + ba i t n = aa i t n + ba i t n = a a i t n + b a i t n = av + bv 3 Vi har at abv = ab a i t n = aba i t n = a ba i t n = ab a i t n = abv 4 Vi har at 1v = 1 a i t n = 1a i t n = a i t n = v 211 Terminologi Egenskapen 1 i Proposisjon 210 kaller distributivitet av skalarmultiplikasjon med hensyn til addisjon av vektorer, og egenskapen 2 distributivitet av addisjon av skalarer med hensyn til multiplikasjon med vektorer Vi kaller egenskapen 3 at multiplikasjon av skalarer med vektorer er assosiativ 212 Merk Assosiativiteten abv = abv viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge vi multiplisere skalarer med vektorer Derfor skriver vi abv = abv = abv 213 Opgaver 1 La a = 3 og b = 5 Bestem av + bw når 1 v = 1, 2 t og w = 5, 3 t 2 v = 1, 2, 3 t og w = 2, 3, 4 t 3 v = 1, π, 4 t og w = 2, 3, 4 t 4 v = 1, π t og w = 2, 1 t 2 La u = 1, 2, 6 t og v = 1, 2, 3 t Bestem au + bv når 1 a = 3 og b = 2 2 a = 1 og b = 7 3 a = π og b = 1 4 a = 2 og b = 2

18 12 Matriser 3 Bestem 2-vektoren x slik at v x = w når 1 v = 2, 3 t og w = 5, 4 t 2 v = 1, 11 t og w = 1 2, 1 3 t 3 v = π, 3 t og w = 1, 2 t 4 v = 1 4, 1 5 t og w = 1 3, 2 t 4 Bestem 3-vektoren x slik at v x = w når 1 v = 4, 2, 3 t og w = 5, 2, 4 t 2 v = 1, 2, 11 t og w = 6, 1 2, 1 3 t 3 v = π, 5, 3 t og w = 7, 1, 2 t 4 v = 7, 1 4, 1 5 t og w = 1 3, 2, 6 t 5 La v = 1, 1 t og w = 2, 1 t Bestem konstanter a og b slik at u = av + bw når 1 u = 4, 1 t 2 u = 1 2, 2 t 3 u = 1 3, 1 t 4 u = 1, 5 t 6 La u = 1, 0, 0 t, v = 1, 1, 0 t og w = 2, 0, 1 t Bestem konstanter a, b og c slik at x = au + bv + cw når 1 x = 1, 4, 1 t 2 x = 1 2, 7, 2 t 3 x = 1 3, 1, 1 2 t 4 x = 1, 2, 5 t 7 I denne oppgaven skal du betrakte en vektor i planet som en pil med gitt retning og lengde Du skal også betrakte to piler som like om de har samme retning og lengde, men ikke nødvendigvis har samme begynnelsespukt 1 La u = a, b t og v = c, d t være 2-vektorer Vis at u + v er diagonalen i rektangelet som har hjørner i punktene 0, 0 t, a, b t og c, d t y c, d t a, b t + c, d t a, b t 2 La u = a, b t og v = c, d t være vektorer Vis at v u er vektoren som begynner i a, b t og slutter i c, d t x

19 MATRISER 2 13 y c, d t c, d t a, b t a, b t 8 Tilsvarende oppgaver som i Oppgave 3 for 3-dimensjonale vektorer 9 I denne oppgaven skal du betrakte en 2-vektor v = a 1, a 2 t som en vektor med begynnelse i origo 0, 0 t og slutt i a 1, a 2 t Vi setter v = a a2 2 og om w = b 1, b 2 t så setter vi v w = a 1 b 1 + a 2 b 2 1 Vis at v er lengden av vektoren v = a 1, a 2 t 2 Anta at w ikke er origo 0, 0 t Vis at den korteste avstanden fra punktet a 1, a 2 t til linjen L gjennom origo og b 1, b 2 t er v 2 w 2 v w 2 w Hint Vi har at alle punktene på linjen L er på formen t b 1, b 2 t for noe t Vektoren som begynner i t b 1, b 2 t og slutter i a 1, a 2 t er u t = a 1, a 2 t t b 1, b 2 t = a 1 tb 1, a 2 tb 2 t Vil vil finne den minste lengden vektoren u t kan ha Vi får u t 2 = a 1 tb a 2 tb 2 2 = a a 2 2 2a 1 b 1 + a 2 b 2 + t 2 b b 2 2 a = b b a b a 1b 1 + a 2 b 2 b2 2 b t 2 b2 2 v v = w w w w 2tv w v v + t2 v v v w2 = w w w w w w 2 + v w w w + t2 Av det siste uttrykket ser vi at u t 2 er minst når t = v w w w, og at vi da har at avstanden kvadrert er v v v w2 v w2 w w w w w w 2 = v v w w x y v w w w b 1, b 2 t θ L t b 1, b 2 t u t = a 1, a 2 t t b 1, b 2 t a 1, a 1 t x 3 Anta at v = a 1, a 2 t og w = b 1, b 2 t begger er forskjellige fra origo La

20 14 Matriser θ være den av vinklene mellom L og linjen gjennom origo og a 1, a 2 t som tilfredsstiller 0 θ π Vis at cos θ = v w v w Hint For å vise påstand 3 merker vi at avstanden mellom punktene a 1, a 2 t og v w w w b 1, b 2 er den minste avstanden mellom a 1, a 2 t og linjen L Derfor vil linjen mellom a 1, a 2 t og v w w w b 1, b 2 være høyden i trekanten med hjørner 0, 0 t, a 1, a 2 t og b 1, b 2 t og derfor stå normalt på L Det følger at cos θ = v w v w v w 10 Tilsvarende oppgave som Oppgave 5 i tre dimensjoner w w b 1,b 2 t a 1,a 2 t = v w w w w v = 11 For i = 1, 2,, n setter vi e i = 0, 0,, 0, 1, 0,, 0 t der den i te koordinaten er 1 og alle andre koordinater er 0 1 Vis at alle n-vektorer v kan skrives som v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n for noen tall a 1, a 2,, a n 2 Vis at fremstillingen i 1 er entydig, det vil si at om v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n = b 1 e 1 + b 2 e b n e n, så er a i = b i for alle i 3 Vis at påstanden i 2 er det samme som å påstå at om så er a i = 0 for alle i a 1 e 1 + a 2 e a n e n = 0,

21 MATRISER Matriser 31 Innledning En matrise er en rektangulær oppstilling av tall Ordet matrise er avledet av det latinske ordet for livmor Det var James Joseph Sylvester som innførte ordet, og brukte det i betydningen av noe som frembringer noe annet, i dette tilfellet determinanter Determinanter skal vi behandle senere, men historisk kom de før matrisene Sylvester er mest kjent for sitt arbeide med invariantteorien Han var en meget allsidig person, blandt annet var han poet Kanskje det er derfor han er også kjent for å ha gitt navn til en rekke viktige matematiske begreper Hver tabell er en matrise En TV- eller dataskjerm er også en matrise Slike skjermer består av et rektangulært nettverk av punkter der antallet punkter per kvadratsentimeter bestemmer kvaliteten på bildet Hvert punkt kan gies en viss gråeller fargetone og det er disse grå eller fargete prikkene som utgjør bildet Fargen eller gråtonen kan beskrives at et tall Bildet på en dataskjerm representeres derfor av en matrise, som for de beste skjermene kan ha imponerende størrelse Rørlige bilder fremkommer ved at matrisen endrer seg Hver gang vi ser bilder eller tekst på en TV-skjerm som speiles, vries, vikles ut, eller forsvinner ut i uendeligheten er det en sekvens av enkle matematiske operasjoner som utføres i rask rekkefølge på den matrisen som i hvert øyeblikk representerer skjermen I likhet med vektorer er det ikke matrisen i seg selv som er interessant, men de operasjonene vi kan utføre på den Som for vektorer kan vi multiplisere matriser med skalarer og legge sammen to matriser om de har samme størrelse Den mest fascinerende, komplekse, og mest anvendbare operasjonen er imidlertid multiplikasjon av matriser Multiplikasjonen kommer inn overalt i matematikken og dens anvendelser Den kan iblandt virke mystisk og helt umotivert, men vi skal vise at den har en naturlig forklaring 32 Eksempler på matriser De matrisene vi skal se nærmere på er rektangulære oppstillinger av tall Eksempler på slike oppstillinger er 2 1, 3 4 π 5, 1 0 som alle er 2 2-matriser Andre eksempler er som er 2 3-matriser og 2 1 3, , 1 π 7 4π 2 1, 2 π , π π 6 5 2π 4 0, som er 3 3-matriser

22 16 Matriser En vilkårlig 2 2-matrise skriver vi a11 a 12 a 21 a 22, der a 11, a 12, a 21, a 22 er tall Tilsvarende skriver vi a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 for en vilkårlig 2 3-matrise og a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 for en 3 3-matrise, der alle a ij ene er tall Generelt kan vi definere m n-matriser for alle hele positive tall m og n: 33 Definisjon La m og n være hele positive tall En m n-matrise er en oppstilling a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n der alle a ij ene er tall Vi kaller vektoren A = a 1j a 2j a nj den j te søylen til matrisen A og a m1 a m2 a mn = a 1j, a 2j,, a mj t a i1, a i2,, a in t for den i te rekken til A Tallet a ij, det vil si tallet som står i i te rekke og j te søyle, kaller vi den i, j te koordinaten til A 34 Merk En m 1-matrise er det samme om en m-vektor 35 Notasjon Det inngår mange symboler i en matrise og den tar stor plass Derfor finnes det flere ulike måter for å forenkle notasjonen Det er vanlig å forenkle skrivemåten ved å skrive færre koordinater som i a 11 a 1n A = a m1 a mn

23 MATRISER 3 17 på samme måte som vi kan skrive en n-vektor som a 1,, a n t Ennu enklere er det å skrive A = a ij m,n, der m og n er antallet rekker, respektive søyler, og a ij er den i, j te koordinaten Denne notasjonen, som vi ofte skal bruke nedenfor, svarer helt til notasjonen a i t n for n-vektorer 36 Multiplikasjon av en skalar med en matrise Multiplikasjon av en skalar med en matrise er helt analog med multiplikasjon av en skalar med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2 2-matrisen ved å sette og tallet 2 med 2 3-matrisen π π = 5 20, ved å sette = π Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen a11 a 12 Mer generelt kan vi definere multiplikasjon av et tall a med 2 2-matrisen a 21 a 22 ved å sette a11 a 12 aa11 aa 12 a a 21 a 22 = aa 21 aa 22, a11 a 12 a 13 og med 2 3-matrisen a 21 a 22 a 23 ved å sette a11 a 12 a 13 aa11 aa 12 aa 13 a a 21 a 22 a 23 = aa 21 aa 22 aa 23 Generelt kan vi definere produktet en av skalar med en m n-matrise: 37 Definisjon La a være et tall og la A = a ij m,n være en m n-matrise Produktet av a med A er a 11 a 12 a 1n aa 11 aa 12 aa 1n a aa = a 21 a 22 a 2n = aa 21 aa 22 aa 2n a m1 a m2 a mn aa m1 aa m2 aa mn Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen Med vår forenklete notasjon kan vi skrive dette som aa = aa ij m,n = aa ij m,n Vi skriver A = 1A = 1a ij m,n = a ij m,n og 0 = 0A = 0a ij m,n = 0a ij m,n = 0 m,n

24 18 Matriser 38 Addisjon av matriser Tilsvarende addisjon av vektorer kan vi addere matriser om de har samme størrelse For eksempel, om vi har tre 2 2-matriser så setter vi , =, , 6 7 π π π 5 = π og π 5 = 5+π π 6 6+7π På samme måte kan vi addere 2 3-matriser ved å sette = og π π π 2 11 = 0 1 π 7 1+π π 13 Vi adderer altså to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen Mer generelt kan vi addere to a11 a 2 2-matriser 12 b11 b a 21 a 22 og 12 b 21 b 22 ved å sette og vi kan addere to 2 3-matriser a11 a 12 b11 b a 21 a a11 +b b 21 b 22 = 11 a 12 +b 12 a 21 +b 21 a 22 +b 22, a11 a 12 a 13 b11 b a 21 a 22 a 23 og 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ved å sette a11 a 12 a 13 b11 b a 21 a 22 a b 13 a11 +b b 21 b 22 b 23 = 11 a 12 +b 12 a 13 +b 13 a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 23 +b 23 Generelt kan vi definere summen av to m n-matriser: 39 Definisjon La A = a ij m,n og B = b ij m,n være to m n-matriser Summen av A og B er: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a A + B = 21 a 22 a 2n + b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a = 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

25 MATRISER 3 19 Vi adderer to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen I den forenklete notasjonen kan dette skrives A + B = a ij m,n + b ij m,n = a ij + b ij m,n 310 Opgaver 1 La a = 2 og b = 7 Regn ut aa + bb når 1 A = , B = π 1 2 A = 3 1 π, B = A =, B = A = 4 7 1, B = La A =, B = a = 3, b = 1 2 a = 1, b = 0 3 a = 7, b = 2 4 a = π, b = Beregn aa + bb når 3 Bestem 2 2-matrisen X slik at A X = B når A = og B = A = og B = A = 2 3 og B = π 3 5π 4 4 A = og B = Bestem 3 2-matrisen Z slik at A X = B når 1 A = og B = A = og B = π A = og B = π A = og B = Når det gjelder skalar multiplikasjon og addisjon oppfører matriser seg som vektorer Til en m n-matrise A = a ij m,n tilordner vi mn-vektoren v A = a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn t 1 Vis at for alle m n-matriser A og B og skalarer a og b har vi at v aa+bb = av A + bv B

26 20 Matriser 2 La e ij være m n-matrisen med i, j te koordinat lik 1 og alle andre koordinater lik 0 Vis at hver m n-matrise A kan skrives på formen A = a 11 e 11 + a 12 e a 1n e 1n + a 21 e 21 + a 22 e a 2n e 2n + + a m1 e m1 + a m2 e m2 + + a mn e mn der a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn er tall som er entydig bestemte 6 En grafe med n-hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom noen av hjørnene p og q med p q Se Oppgave 4 i Seksjon 1 Vis at en grafe med n-hjørner svarer til n n-matriser med koordinater 0 eller 1, og med 0 på diagonalen Hint Sett p, q te koordinaten i n n-matrisen lik 1 om det finnes en kant mellom p og q, og la alle andre koordinater være 0 For eksempel er respektive matrisene som svarer til figurene i Oppgave 4 i Seksjon 1 Hvordan vi skal tilordne en grafe til en n n-matrise med 0 er og 1 ere som koordinater, og 0 på diagonalen er nu klart

27 MATRISER Matrisemultiplikasjon 41 Multiplikasjon av en matrise med en vektor Neste målsetning er å definere multiplikasjon av matriser Vi forbereder oss for dette ved å betrakte spesialtilfellet der vi multipliserer en matrise med en vektor 1 2 Vi multipliserer 2 2-matrisen med 2-vektoren 7, 3 t ved å sette = = og 2 3-matrisen med 3-vektoren 4, 1, 6 t ved å sette π π = π π+11 = Multiplikasjon av en matrise med en vektor v er bare mulig om matrisen har like mange søyler som v har koordinater Resultatet er en vektor med like mange koordinater som matrisen har rekker, og i te koordinaten i denne vektoren er summen av koordinatene i v multiplisert med de tilsvarende koordinatene i i te rekke i matrisen Mer generelt multipliserer vi en 2 2-matrise med 2-vektoren ved å sette: a11 a 12 a 21 a 22 a1 a 2 = og en 2 3-matrise med 3 vektoren ved å sette a11 a 12 a 13 a 1 a 2 a 21 a 22 a 23 a 3 = a11 a 1 +a 12 a 2 a 21 a 1 +a 22 a 2, a11 a 1 +a 12 a 2 +a 13 a 3 a 21 a 1 +a 22 a 2 +a 23 a 3 42 Merk For at det skal være mulig å multiplisere en matrise med en vektor må antallet søyler i matrisen være lik antallet koordinater i vektoren Resultatet er en vektor som har samme antall koordinater som matriser har rekker Generelt kan vi definere multiplikasjon av en m n-matrise med en n-vektor: 43 Definisjon La A = a ij m,n være en m n-matrise og v = a i t n en n-vektor Produktet av A med v er a 11 a 12 a 1n a 1 a 11 a 1 + a 12 a a 1n a n a Av = 21 a 22 a 2n a 2 = a 21 a 1 + a 22 a a 2n a n a m1 a m2 a mn a n a m1 a 1 + a m2 a a mn a n Produktet av en m n-matrise A med en n-vektor v gir en m-vektor w og den i te koordinaten i w får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i A med de tilsvarende koordinatene i v og ta summen I den forkortete notasjonen har vi Av = a i1 a 1 + a i2 a a in a n t m 44 Merk Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n-vektor er en m-vektor

28 22 Matriser 45 Regneregler Vi har mange regneregler for multiplikasjon av en skalar med en matrise og for multiplikasjon av en matrise med en vektor Før vi gir og beviser de viktigste resultatene innfører vi en enkel notasjon for summer som gjør uttrykkene og regningene mer gjennomskinlige 46 Summasjon av indekser Vi skal ofte håndtere uttrykk på formen a i1 a 1 + a i2 a a in a n Det er derfor praktisk å innføre en enkel notasjon for slike summer Mer generellt skal vi innføre en notasjon for summer av tall Dette gjøres ved at vi skriver 7 a i = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7, i=3 der a 3, a 4,, a 7 er tall Symbolet står for sum, og 7 i=3 betyr at indeksen i løper fra verdien 3 til verdien 7 Hvilken bokstav vi bruker for indeksen spiller selvsagt ingen rolle så vi har 7 a j = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 j=3 Med samme notasjon har vi for eksempel 9 a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 i=1 der alle a i ene er tall og 6 i=1 i 2i + 1 = Vi kan også summere opp til et vilkårlig tall For eksempel vil n i = n og i=1 Mer generelt har vi at n i2 i = n2 n i=1 n a i = a 1 + a a n i=1 Med denne hendige notasjonen får vi at n a ij a j = a i1 a 1 + a i2 a a in a n j=1

29 MATRISER 4 23 Vi kan da uttrykke multiplikasjonen av matrisen A = a ij m,n med vektoren v = a i t n på den kompakte formen n Av = a ij a jt j=1 m n t Merk at i uttrykket j=1 a ija j er j en summasjonsindeks mens i er fast og m betegner den i te koordinaten Vi skal mange ganger ha bruk for likhetene m i=1 a i n j=1 De er alle lik summen b j = m i=1 j=1 n a i b j = m j=1 i=1 n b j a i = a 1 b 1 + a 1 b a 1 b n + a 2 b 1 + a 2 b a 2 b n + + a m b 1 + a m b a m b n 47 Proposisjon La a være et tall og v og w to n-vektorer Videre, la A være en m n-matrise Da har vi at 1 Aav = aav 2 Av + w = Av + Aw n j=1 Bevis Sett v = a i t n, w = b i t n og A = a ij m,n Da har vi at Videre har vi at n aav = aa ij m,n a i t n = n aa ij a jt = j=1 n j=1 = a ij m,n aa i t n = Aav Av + w = a ij m,n a i t n + b i t n = a ij m,n a i + b i t n = n n = a ij a j + j=1 b j m i=1 a i t a ij aa j n j=1 n n n a ij b jt = a ij a jt = a ij b jt j=1 n j=1 n j=1 n = a ij m,n a i t n + a ij m,n b i t n = Av + Aw t a ij a j + b j n 48 Multiplikasjon av matriser Vi er nu klare til å definere multiplikasjon av matriser Som vanlig begynner vi med noen eksempler som illustrer hva som hender Vi multipliserer 2 2-matrisene og ved å sette: = =

30 24 Matriser og produktet av 2 2-matrisen π = π med 2 3-matrisen ved π π+3 = 7 0 π π+3 5 Vi kan bare multiplisere to matriser om den første har like mange søyler som den andre har rekker Resultatet er en matrise med like mange rekker som den første matrisen og like mange søyler som den andre Den i, j te koordinaten får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i første matrisen med de tilsvarende koordinatene i den j te søylen i den andre matrisen og summere Mer generelt definerer vi produktet av to 2 2-matriser ved a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b 22 = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22, og av 2 2-matrisen med en 2 3-matrise ved a11 a 12 b11 b 12 b 13 a11 b a 21 a 22 b 21 b 22 b 23 = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 11 b 13 +a 12 b 23 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 a 21 b 13 +a 22 b 23 I hvert av tilfellene fremkommer produktet AB ved at vi tar i te søyle i B og betrakter den som en vektor b 1i, b 2i,, b ni t Denne søylen multipliserer vi med A og får den i te søylen A b 1i, b 2i,, b ni t 49 Merk Vi ser at at multiplikasjonen ovenfor bare er mulig når antallet søyler i den første matrisen er lik antallet rekker i den andre, og at resultatet er en matrise med samme antall rekker som den første matrisen og samme antall søyler som den andre matrisen Generelt definerer vi produktet av en m n-matrixe A med en n p-matrise B ved å la den i te søylen i produktet AB være produktet av matrisen A med den i te søylen i B Med andre ord, vi får i te søyle i AB ved å betrakte i te søyle i B som en vektor b 1i, b 2i,, b mi t og ta produktet A b 1i, b 2i,, b mi t Matriseprodukt er derfor det samme som p vektorprodukter Mer presist har vi: 410 Definisjon La A = a ij m,n være en m n-matrise og B = b ij n,p en n p-matrise Produktet av A og B er a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a AB = 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b a 2n b n1 a 21 b 1p + a 22 b 2p + + a 2n b np = a m1 b 11 + a m2 b a mn b n1 a m1 b 1p + a m2 b 2p + + a mn b np

31 MATRISER 4 25 I forenklet notasjon får vi n AB = a ij m,n b ij n,p = a ik b kjt k=1 m,p Sammenliknet med å skrive ut hele matrisen er uttrykket i forenklet notasjon et under av enkelhet 411 Merk Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n p-matrise er en m p-matrise Når p = 1 får vi multiplikasjon av en matrise med en vektor, slik vi har definert den ovenfor 412 Regneregler Det finnes mange regneregler for multiplikajson av en skalar med en matrise, og for addisjon og multiplikasjon av matriser De fleste regnereglene for skalarmultiplikasjon og addisjon er analoge med de som gjelder for vektorer Lengre frem skal vi vise at følgende regel er en konsekvens av at vi kan tolke matriser som avbildninger Vi tar med et bevis her for å få trening på å regne med matriser 413 Proposisjon La A være en m n-matrise, B en n p-matrise og C en p q-matrise Da har vi ABC = ABC Bevis Vi setter A = a ij m,n, B = b ij n,p og C = c ij p,q Da har vi at AB = n k=1 a ikb kj m,n Derfor vil p n ABC = l=1 k=1 t p a ik b kl c lj = m,q l=1 n a ik b kl c ljt k=1 m,q På den andre siden kan vi begynne med BC = p l=1 b klc lj n,q og får n ABC = k=1 a ik p l=1 Likheten i Proposisjonen følger av at t n b kl c lj = m,q k=1 p a ik b kl c ljt l=1 m,q p n l=1 k=1 a ik b kl c ljt m,q n p = a ik b kl c ljt k=1 l=1 m,q 414 Terminologi Likheten ABC = ABC viser at multiplikasjon av matriser er uavhengig av rekkefølgen av multiplikasjonen Vi sier at multiplikasjon av matriser er assosiativ og skriver ABC = ABC = ABC

32 26 Matriser 415 Merk Vi har at men = = , Matrisemultiplikasjon er derfor avhengig av ordenen av faktorene Vi sier at matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ Dette skiller matrisemultiplikasjonen fra de andre regnereglene vi har støtt på og gjør den spesielt interessant 416 Opgaver 1 La A = og B = v = 2, 3 t 2 v = 5, 4 t 3 v = π, 2 t Regn ut Av + Bv når La v = 1, 2 t og w = 5, 3 t Regn ut Av + Aw når 1 A = A = A = π 5 3 La A = 1 Regn ut AB og BA når a B = b B = π 1 c B = Regn ut AB når a B = b B = π Regn ut BA når 4 1 a B = Regn ut 1 2 b B = π

33 MATRISER Kan du finne en 2 2-matrise X slik at AX = 1 A = A = A = A = Regn ut XA når X finnes 6 La A = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a nm a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 1 0 når 0 1 være en m n-matrise Vi danner en matrise A t = ved å la radene i A bli søylene i A t Matrisen A t er en n m-matrise som kalles den transponerte til matrisen A Vis at for alle m n-matriser A og n p matriser B så har vi at AB t = B t A t 7 La I n = være matrisen med 1 på diagonalen og alle andre koordinatene lik 0 En elementær operasjon på en matriser er en av følgende: 1 Multiplikasjon av en rad med et ikke null tall 2 Multiplikasjon av en rad med et tall og addisjon av denne raden til en annen rad 3 Ombytte av to rader a11 a 12 For eksempel for matrisen a 21 a 22 får vi ved elementære operasjoner de tre matrisene a11 a 12 aa 21 aa 22, a 11 a 12 a 21 +aa 11 a 22 +a 12 og a21 a 22 a 11 a 12 En elementær n n-matrise er en matrise som vi får fra I n ved en av de tre elementære operasjonene Vis at du kan utføre en elementær operasjon på en m n-matrise A ved å utføre samme operasjon på I m slik at du får en elementær matrise E og deretter ta produktet EA 8 La I 3 = A 123 = , A 132 = , A 213 = , 0 0 1

34 28 Matriser A 231 = , A 312 = , A 321 = For hver av matrisene A σ, finn en matrise A τ slik at A σ A τ = A τ A σ = I 3 2 Regn ut a A 312 A 231 b A 231 A Vi vil studere omflytninger, eller som vi sier permutasjoner, av tallene 1, 2, 3 Det finnes 6 slike permutasjoner I = B 123 = B 231 = Her betyr B 312 = så betyr B σ = σ1 σ2 σ3, B 132 = For eksempel har vi B 132 B 213 = B 213 B 132 = = B 213 = , B 312 = 1 2 3, B = at vi flytter 1 til 3, 2 til 1 og 3 til 2 Mer generelt at vi flytter i til σi for i = 1, 2, 3 Vi kan multiplisere permutasjoner ved at B σ B τ betyr at vi først utfører permutasjonen τ og deretter σ = = B og = B 231 Regn ut a B 312 B 231 b B 231 B For hver permutasjon B σ, finn en B τ slik at B σ B τ = B τ B σ = I 5 Sammenlikn resultatene i del 1 med de i del 4, og de i del 2 med de i del 3 Kan du forklare likhetene? 9 Generaliser det du har vist i Oppgave 5 til n n-matriser og permutasjoner av tallene 1, 2,, n Hint Det kan være praktisk å introdusere Kroneckers delta δ ij som tar verdien 1 når i = j og verdien 0 når i j Til en permutasjon B σ = av 1, 2,, n svarer da n n-matrisen A σ = δ iσj n,n 10 I denne Oppgaven kaller vi matriser på formen a b b a 1 2 n σ1 σ2 σn for komplekse tall Sett for hvert tall a setter vi I 2 = 1 0 og i = 0 1 a = ai 2 = a 0 0 a

35 MATRISER Vis at hver kompleks tall kan skrives entydig på formen a + bi 2 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi a 0 + u = u + 0 = u b u + u = u + u = 0 c u + v + w = u + v + w d u + v = v + u 3 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi a 1u = u1 = u b Det finnes et komplekst tall u 1 slik at uu 1 = u 1 u = 1 c uvw = uvw d uv = vu 4 Vis at om u = a + bi, v = c + di og w = e + fi er komplekse tall så har vi uv + w = uv + uw Ettersom de komplekse tallene tilfredsstiller 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, d samt 4, sier vi at de danner en kropp 11 I denne oppgaven kaller vi matriser på formen a b c d b a d c c d a b d c b a for kvaternioner Disse er meget viktig både i matematikk og fysikk De ble oppdaget i 1843 av William Rowan Hamilton , det sies da han gikk over en bro i Dublin Han ble så begeistret over kvaternionene at han brukte en stor del av livet på å studere dem Hamilton har gjort store innsatser i matematikken og har også har bidratt vesentlig til mekanikken Han var bråmoden og ble allerede i 1827 Royal Astronomer of Ireland, en stilling han beholdt hele livet Sett I 4 =, i =, j =, k = For hvert tall setter vi a a 0 a = ai 4 = 0 0 a

36 30 Matriser 1 Vis at hver kvaternion kan skrives entydig på formen a + bi + cj + dk 2 Vis at vi har multiplikasjonstabellen 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 der i, j te koordinaten i tabellen er produktet av tallet til venstre for i te rekke og tallet over j te søyle 3 Kan du vise at kvaternionene har egenskapene 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, samt 4 i Oppgave 8 men ikke betingelsen uv = vu? Ettersom kvaternionene tilfredsstiller betingelsene 2 a, b, c, d og 3 a, b, c, samt 4 i Oppgave 8 kaller vi dem en skjevkropp 12 Vi sier at en n n-matrise A = a ij n er symmetrisk om a ij = a ji for alle i og j Matrisen A er skjevsymmetrisk om a ij = a ji og a ii = 0 for alle i og j Videre sier vi at matrisen er øvre triangulær om a ij = 0 for alle j > i og at den er nilpotent om a ij = 0 for alle j i 1 Vis at om A og B er symmetriske så er AB symmetrisk 2 Vis at om A og B er skjevsymmetriske så er AB skjevsymmetrisk 3 Vis at om A og B er triangulære så er AB triangulær 4 Vis at om A og B er nilpotent så er AB nilpotent 5 Vis at om A er nilpotent så er A n = 0 13 La A 11, A 12, A 21 og A 22 være henholdsvis r p-, r q-, s p- og s q-matriser, og la B 11, B 12, B 21 og B 22 være henholdsvis p t-, p s-, q t- og q s-matriser Vis at A11 A 12 B11 B 12 A11 B A 21 A 22 B 21 B 22 = 11 +A 12 B 21 A 11 B 12 +A 12 B 22 A 21 B 11 +A 22 B 21 A 21 B 12 +A 22 B 22, der vi har delt opp matrisene i blokker 14 En grafe med n-hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom noen hjørner p og q der p q Se Oppgave 4 Seksjon 1 I Oppgave 4 Seksjon 3 så vi hvordan vi at grafer tilsvarer n n-matriser med bare nuller og enere som koordinater, og med nuller på diagonalen 1 Vis at p, q te koordinaten i a og A 2 gir antallet stier av lengde 1 respektive 2 mellom p og q Sammenlikn med resultatene i Oppgave 4 i Seksjon 1 2 Vis at p, q te koordinaten i A 3 og A 4 gir antallet stier av lengde 3 respektive 4 mellom p og q Sammenlikn med resultatet i Oppgave 4 i Seksjon 1 3 Vis at p, q te koordinaten i A n gir antallet stier av lengde n mellom p og q

37 MATRISER Avbildninger av planet 51 Avbildninger av planet Når vi ser tekst og bilder som vries, vendes, speiles, forstørres eller forminskes på televisjonen eller på en dataskjerm, så betrakter vi et fascinerende eksempel på anvendt matematikk Bevegelsen fremkommer ved et enormt antall matrisemultiplikasjoner som blir utført i rask rekkefølge på punktene i planet som svarer til punktene på billedskjermen Her skal vi i detalj vise hvordan slike operasjoner fremkommer En leser med litt kunnskap til datorer kan uten vanskeligheter bruke teorien til å bevege bilder og tekst på sin egen dataskjerm For enkelhets skyld holder vi oss til plane bilder Vil vi ta hensyn til perspektivet i bildene må vi gjøre de tilsvarende operasjonene i rommet En leser som har forstått materialet i dette kapitlet skulle ikke ha noen vanskeligheter med å generalisere materialet til tre dimensjoner Speilinger La A = For hvert punkt a, b t i planet kan vi multiplisere den tilsvarende vektoren med matrisen og får et nytt punkt = a b a b Matrisemultiplikasjonen flytter altså punktet a, b t til punktet a, b t Dette er en speiling av punktet i x-aksen Tilsvarende vil matrisen 1 0 speile punktet a, b t 0 1 i y-aksen til = Bruker vi istedenfor matrisen flyttes a b a b punktet a, b t til punktet a, b t ligger symmetrisk om origo For å konstruere og analysere operasjoner av planet som er gitt ved 2 2-matriser er det viktig å merke at vi kan sette sammen slike flytninger av planet Om vi, for eksempel, først speiler a, b t 1 0 a a i x-aksen, det vil si flytter den til = 0 1 b b, og deretter speiler i y-aksen, det vil si flytter a, b t til 1 0 a, b t = a, b t, 0 1 så er dette det samme som å bruke produktmatrisen = på punktet a, b t Sammensetning av flytninger får vi altså ved å multiplisere matriser I dette tilfellet er sammensetningen en flytning symmetrisk om origo y y y x x x Iblandt kan sammensetningen av matriser gi overraskende resultater For eksempel sender matrisen punktet a, b t til = Dette er speiling om a b b a