Diagonalisering. Kapittel 10
|
|
- Claus Kristoffersen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel og ser på diagonalmatrisen 3 Det er lett å multiplisere D med vektorer i R eller C Men er også enkelt å multiplisere D med seg selv For eksempel får vi D ved D = D D D D [ 3 ( ) = 43 3 Hvis vi prøver samme med A, dvs beregne A for 3 A = 4 3 blir mye mer tidskrevende Fordi er mye lettere å jobbe med en diagonalmatrise, kan vi stille spørsmålet om finnes en diagonalmatrise D og en inverterbar matrise P slik at A = P DP Da ville oppgaven å beregne A blitt mye enklere: A = (P DP ) = P DP P DP P DP = P D P, fordi P P = I, og D er lett å beregne For å finne slike matriser D og P husker vi noen ting om A fra forrige kapittel, nemlig at A har egenverdier λ = 3 og λ = med henholdsvis v = [ 3 og v = som egenvektorer Det betyr at vi har Av = 3v og Av = ( )v En annen måte å skrive disse to ligningene er å skrive egenverdiene på diagonalen i en matrise D og så skrive egenvektorene som kolonnene i en matrise P : 3 3 og P =, slik at AP = P D Nå observerer vi at P er inverterbar med invers P = 8 3 Altså kan vi gange begge sidene av AP = P D med P og får A = P DP Nå kan vi faktisk beregne A k for alle k med formelen A k = P D k P Det vi har gjort i eksemplet er å erstatte en matrise A med en diagonalmatrise, med andre ord har vi diagonalisert A Definisjon Vi sier at en n n-matrise A er diagonaliserbar hvis finnes en diagonalmatrise D og en inverterbar matrise P slik at A = P DP Ikke alle matriser er diagonaliserbare Derfor trenger vi en metode for å sjekke om vi kan diagonalisere A Det gir oss følgende resultat: Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer Bevis Først antar vi at A har n lineært uavhengige egenvektorer v, v,, v n og tilhørende egenverdier λ, λ,, λ n For hver egenvektor gjelder Av k = λ k v k Som i eksemplet kan vi organisere disse n ligningene i en matriseligning der og AP = P D, λ λ λ 3 λ n P = [ v v v n
2 Siden v, v v n er lineært uavhengige, er n n- matrisen P inverterbar Det betyr finnes en invers P og vi får A = P DP Med andre ord A er diagonaliserbar Nå antar vi at A er diagonaliserbar med A = P DP der D er en diagonalmatrise og P er en inverterbar matrise La v, v, v n være kolonnene i P og λ, λ,, λ n være tallene som står på diagonalen i D Ligningen A = P DP gir oss en likhet av matriser [ Av Av Av n = [ λ v λ v λ n v n Det viser Av k = λ k v k for alle k Fordi P er inverterbar, må vektorene v, v, v n være lineært uavhengige Især er alle forskjellige fra nullvektoren Det viser at v, v, v n er lineært uavhengige egenvektorer for A Vi fant i forrige kapittel at egenvektorer som hører til forskjellige egenverdier er lineært uavhengige Sammen med teorem gir : Teorem 3 Hvis en n n-matrise A har n forskjellige egenverdier, så er A diagonaliserbar Hvis noen av egenverdiene for A har algebraisk multiplisitet større enn, er fortsatt mulig at A er diagonaliserbar Det vi må undersøke er om er nok lineært uavhengige egenverdier likevel Teorem 4 En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n egenverdier og dimensjonen til egenrommet til hver egenverdi λ er lik den algebraiske multiplisiteten til λ Merk La A være en reell n n-matrise Det er mulig at A er diagonaliserbar som en kompleks matrise, selv om den ikke er diagonaliserbar som en reell matrise Om A har kun komplekse egenverdier, kan vi ikke finne en passende reell diagonalmatrise Det er også mulig at egenverdiene er reelle, mens de tilsvarende n lineært uavhengige egenvektorene ligger i C n og ikke i R n Da kan vi ikke finne en passende inverterbar reell matrise P, selv om P eksisterer som en kompleks matrise Vi kan reformulere ved hjelp av basiser Teorem En kompleks n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis finnes en basis for C n som består kun av egenvektorer for A En reell n n-matrise A er diagonaliserbar som en reell matrise hvis og bare hvis finnes en basis for R n som består kun av egenvektorer for A Dette resultatet motiverer følgende definisjon: Definisjon En lineærtransformasjon T : V V kalles diagonaliserbar hvis finnes en basis for V som består kun av egenvektorer for T Da kan vi konkludere fra forrige teoremer og kapitler følgende resultat: Teorem 6 La T : V V være en lineærtransformasjon Vi antar at T er diagonaliserbar og B = (v,, v n ) er en basis som består av egenvektorer Da er matrisen som beskriver T med hensyn på basisen B en diagonalmatrise D med egenverdiene λ,, λ n for T på diagonalen Vi kan tenke på teoremet på følgende måte Hvis T er diagonaliserbar, la B være en basis som består av egenvektorer for T Vi husker fra forrige kapittel at å velge en basis for V gir oss en isomorfi C n = V ved å sende den kte basisvektoren e k i standardbasisen E for C n til den kte basisvektoren i B Så sier teoremet at finnes en diagonalmatrise D slik at er samme i følgende diagrammet om vi går fra nedrevenstre hjørnet først opp og så langs T til høyre eller om vi går først til høyre ved å gange med D og så gå opp (en matematiker sier at diagrammet kommuterer): sende E til B V T D V C n C n sende E til B Det holder å sjekke for basisvektorene: e k C n sendes til v k som sendes til λ k v k av T eller e k sendes først til λ k e k av D og så til λ k v k For V = C n tilsvarer diagrammet likheten A = P DP : Eksempler C n P A D C n P C n C n Vi skal nå se på en rekke eksempler Eksempel 7 Vi har sett på matrisen 8 6 A = 4 6, 4 og vet at egenverdiene for A er og 4 (med algebraisk multiplisitet ) Egenrommet til egenverdi er Sp 3 3 Egenrommet til egenverdi 4 er Sp, Vi ser at vi har tre lineært uavhengige egenvektorer v = 3 3, v = og v 3 = Det betyr at A er diagonaliserbar med diagonalmatrisen 4 4
3 P = 3 3 Eksempel 8 Matrisen har egenverdier λ = ±i {[ i med egenrom Sp til egenverdi i, og egenrom } { Sp til egenverdi i i} Det betyr at A er diagonaliserbar som en kompleks matrise med diagonalmatrise i i P = i i Men vi kan ikke diagonalisere A som en reell matrise Eksempel 9 Vi ser på matrisen A = Egenverdien til A er med algebraisk multiplisitet fordi () λ = ( λ) λ Egenrommet til er nullrommet til matrisen A I = Det er underrommet utspent av vektoren Især er egenrommet endimensjonalt Vi kan altså ikke finne to lineært uavhengige egenvektorer for A Dette viser at A ikke er diagonaliserbar, hverken som reell eller kompleks matrise Eksempel Det samme argumentet viser at matrisen A = ikke er diagonaliserbar, hverken som reell eller kompleks matrise Oppgave: Vi ser på matrisen 3 A = a b a For hvilke reelle tall a og b er A diagonaliserbar? Mer om komplekse egenverdier Når en reell n n-matrise A har komplekse egenverdier er på første øyekast ikke lenger så enkelt å se geometrisk hva virkningen av A på vektorer i R n er Vi skal nå se at ligger ganske mye geometri i bakgunn likevel, i hvert fall for -matriser La C være matrisen a b b a med reelle tall a og b Vi kan beregne egenverdiene for C eller vi kan observere at [ [ a b a bi = = (a bi) b a i b + ai i Altså er i en egenvektor til C med egenverdi λ = a bi Fordi b, vet vi at λ = a [ + bi er den andre egenverdien til C med egenvektor i Hvis vi skriver r = λ = [ a + b for lengden av a vektoren i R b, så kan vi skrive r cos θ sin θ r sin θ cos θ der θ er vinkelen mellom den positive x-aksen og linjen fra origoen til punktet med koordinater (a, b) θ (a, b) r Å gange en vektor v i R med matrisen tilsvarer at vi ganger vektoren med tallet r, med andre r vi strekker eller krymper v med faktoren [ r Å gange en vektor v i R med matrisen cos θ sin θ sin θ cos θ tilsvarer å rotere v om vinkelen θ Altså har vi vist at å gange en vektor v i R med matrisen C tilsvarer å strekke og rotere v Observasjonen at å gange med matrisen C tilsvarer en rotasjonion og en reskalering gjelder faktisk også for andre matriser med komplekse egenverdier Teorem La A være en reell -matrise med kompleks egenverdi λ = a bi, med b, og la v C være en egenvektor som hører til λ Så kan vi faktorisere A A = P CP med P = [ Re v Im v a b og b a Teoremet sier at for å forstå virkningen av A på en vektor x, kan vi skifte koordinater ved P for å få u = P x, rotere og strekke vektoren u ved C og skifte koordinatene tilbake: 3
4 x u P A C rotere/stretche Ax P Cu Eksempel La A være matrisen A = 3 Vi finner egenverdiene til A: () λ = 3 λ ( λ)(3 λ) + = λ 4λ + = (λ ) + = λ = + i eller λ = i Vi finner egenvektorer som hører til egenverdien λ = i Da må vi bestemme nullrommet til matrisen A λi : A ( i)i = i + i + i + i Det viser at v = er en egenvektor for A som hører til egenverdi λ = i Som i teoremet får vi A = P CP med matrisene P = og Symmetriske matriser Definisjon En reell matrise kalles symmetrisk dersom A = A T Eksempel 3 Matrisen er symmetrisk En reell -matrise A er symmetrisk hvis den har formen a b A = b c Vi sjekker om denne matrisen er diagonaliserbar Vi beregner egenverdiene: () a λ b = b c λ (a λ)(c λ) b = λ (a + c)λ + ac b = λ = ± (a c) + 4b + a + c Fordi (a c) + 4b er et positivt reelt tall, ser vi at A har to reelle egenverdier Hvis (a c) + 4b, så er egenverdiene forskjellige Det betyr at -matrisen A har to forskjellige egenverdier og er dermed diagonaliserbar Hvis (a c) + 4b =, så må vi ha a c = og b =, altså er A = a I en diagonalmatrise med egenrom hele R Vi ser altså at en symmetrisk -matrise er alltid diagonaliserbar Faktisk holder vi nettopp fant ut, også i alle dimensjoner: Teorem 4 La A være en symmetrisk n n- matrise Da har A n reelle egenverdier (talt med multiplisitet) og A er diagonaliserbar (som en reell matrise) Merk Dette teoremet er fantastisk fordi for en vanlig n n-matrise er nesten umulig å se med en gang om den er diagonaliserbar Men for symmetriske matriser er lett å se Oppgave: Sjekk om matrisen A = er diagonaliserbar Hvis den er diagonaliserbar, finn den tilsvarende diagonalmatrisen D og inverterbare matrise P slik at A = P DP Eksempel Vi ser på matrisen B = 6 6 Vi beregner egenverdiene: λ 6 λ = 6 λ ( λ)((6 λ) 4) ((6 λ) 4) + (4 (6 λ)) = λ 3 3λ + 36λ = λ(λ 4)(λ 9) = Det viser at egenverdiene for B er, 4 og 9 Egenvektorerer er henholdsvis 4, og Altså får vi B = P DP med diagonalmatrise P = 4
5 Merk Det forrige eksemplet minner oss om at en matrise kan være diagonaliserbar uten å være inverterbar En forsmak på ortogonalitet Vi skal se nærmere på indreproduktet og ortogonalitet i neste kapittelet, men vi begynner med en liten forsmak allerede her Vi ser litt nærmere på eksemplene A = og B = 6, så observerer vi noe overraskende 6 [ Egenvektorene u = og u = for A utspen- ner underrom i R som er ortogonalt til hverandre: Ortogonale egenrom for A Vi husker at vi kan sjekke om to vektorer i R er ortogonale ved å sjekke at deres indreprodukt er null: u T u = = + ( ) = = Det samme fenomenet observerer vi for egenrommene for B Egenvektorene 4 v =, v =, og v 3 = er ortogonale til hverandre: v T v = [ 4 = ( 4) + + =, v T v 3 = [ 4 = + =, v T v 3 = = + = Faktisk er te alltid riktig for symmetriske matriser: Bevis La v og v være to egenvektorer som hører til egenverdier henholdsvis λ og λ Vi beregner λ v T v = (λ v ) T v = (Av ) T v Vi vet altså at = v T A T v (nå bruker vi at A er symmetrisk: A = A T ) = v T A v = v T (A v ) = v T (λ v ) = λ v T v = λ v T v λ v T v = (λ λ )v T v Nå bruker vi at λ og λ er forskjellige, og får v T v = Definisjon En n n-matrise er ortogonalt diagonaliserbar dersom den har n ortogonale egenvektorer For en symmetrisk n n-matrise har vi vist at egenvektorene til forskjellige egenverdier er ortogonale til hverandre Neste uke lærer vi at, gitt en basis for et underrom i R n, vi alltid kan bytte til en basis der alle basisvektorer er ortogonale til hverandre Dette viser: Teorem 7 En reell n n-matrise er ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis den er symmetrisk For n n-matriser med komplekse elementer trengs en liten tilpasning for å få lignende resultater La A være en n n-matrise med a ij C som element i rad i og kolonne j Da skriver vi A for matrisen A = A T dvs vi transponerer A og så komplekskpnjugerer vi resultatet Med andre ord, elementet i A i rad i og kolonne j er a ji Definisjon En n n-matrise A kalles hermitsk hvis A = A Merk I en hermitsk matrise A må elemente på diagonalen være reelle tall fordi de oppfyller a ii = a ii Dessuten er en reell matrise hermitsk hvis og bare hvis den er symmetrisk Vi skal utvikle litt av teorien i komplekse tilfellet i øvingene Her nøyer vi oss med å nevne hovedresultatet: Teorem 8 En hermitsk n n-matrise har n reelle egenverdier (talt med multiplisitet) og er ortogonalt diagonaliserbar Teorem 6 La A være en symmetriske n n- matrise Egenvektorene for A til to distinkte egenverdier er ortogonale
Egenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
DetaljerVi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på
Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerKap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerMinste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
DetaljerDiagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1
Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerØving 5 Diagonalisering
Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
Detaljer7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
DetaljerEmne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser
Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
DetaljerRom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.
Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer
MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
Detaljer