Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Transkript

1 Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert ved ] AB = [Ab 1 Ab 2 Ab p (Siden alle b j -ene er i R n, så er denne def. meningsful.) Det kan da sjekkes at AB s koeff. ij er gitt ved (AB) ij = A s rad nr. i ganget med B s kolonne nr. j, dvs. (AB) ij = n a ik b kj k=1 Mange bøker bruker dette som definisjon av produktet. 1 / 21

2 Vi har da videre at (AB)x = A(Bx), x R p. Dette viser at matriseprodukt svarer til sammensetning av de lineære transformasjonene knyttet til matrisene: T AB = T A T B. Teorem. For produkter som har mening holder: 1. A(BC) = (AB)C. 2. A(B + C) = AB + AC. 3. (B + C)A = BA + CA. 4. r(ab) = (ra)b = A(rB). 5. (r + s)a = ra + sa. 6. IA = AI = A. (der I = passende identitetsmatrise). MERK: generelt holder ikke AB = BA; hvis dette holder sier vi at A og B kommuterer. 2 / 21

3 Potens av kvadratisk matrise: A 2 = A A, osv: A k er A multiplisert med seg selv k ganger (for k N). Transponering av matrise A: lar rader bli kolonner i ny matrise, som betegnes A T. Teorem. 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T. 3. (ra) T = ra T. 4. (AB) T = B T A T (Merk rekkefølgen her!). 3 / 21

4 Den inverse av en matrise En n n matrise A kalles invertibel (eller inverterbar) dersom det finnes en n n matrise C slik at CA = AC = I der I er n n identitetsmatrisen. Kaller da C den inverse til A; betegnes med C = A 1. Så AA 1 = A 1 A = I. Den inverse er entydig bestemt (hvis den fins). Betegnelser man bør kunne: invertibel = ikkesingulær ikke invertibel = singulær 4 / 21

5 Teorem. Hvis [ a b c d og ad bc 0 (determinanten til A er ulik 0), så er A 1 = [ 1 ad bc ] d c b a ]. Teorem. Hvis A er en invertibel n n matrise, så har likningssystemet Ax = b en entydig løsning x for enhver b R n, og denne er x = A 1 b. 5 / 21

6 Teorem. 1. Hvis A er invertibel, er også A 1 invertibel og (A 1 ) 1 = A. 2. Hvis A og B er invertible, så er også AB invertibel og (AB) 1 = B 1 A Hvis A er invertibel, er også A T invertibel og (A T ) 1 = (A 1 ) T. Her kan egenskap 2 generaliseres til produkt av flere matriser. Dette teoremet kan f.eks. vises ved hjelp av følgende nyttige resultat: Teorem: Anta A og B er n n matriser som oppfyller AB = I. Da er både A og B invertible, og de er hverandres invers (dvs. A 1 = B og B 1 = A). 6 / 21

7 Litt mer (les selv): Elementære matriser: en slik matrise E fåes fra I ved en elementær radoperasjon. Hva blir da EA? Jo, samme som å anvende denne radoperasjonen på A!! Hvordan beregne A 1 (noe vi unngår hvis vi kan!!): Bruk radreduksjonsalgoritmen på [ A I ]. Kommer da frem til [ I A 1 ] når A er radekvivalent med I (dvs. A er invertibel). 7 / 21

8 Invertibel matrise teoremet (forkortes IMT) La A være en n n matrise. Følgende er da ekvivalent: 1. A er invertibel. 2. A er radekvivalent med identitetsmatrisen I. 3. A har n pivot elementer (ledende enere). 4. Ax = 0 har bare løsningen x = Kolonnene i A er lineært uavhengige. 6. Lin.avbildningen T A : x Ax er Ax = b er konsistent for enhver b R n. 8. Kolonnene i A utspenner R n. 9. Lin.avbildningen T A : x Ax er på R n. 10. Det fins en n n matrise C slik at CA = I. 11. Det fins en n n matrise D slik at AD = I. 12. A T er invertibel. 8 / 21

9 Invertible lineæravbildninger: En lineæravbildning T : R n R n kalles invertibel hvis det fins en funksjon S : R n R n slik at S(T (x)) = x (x R n ), T (S(y)) = y (y R n ). En slik S kalles den inverse til T. Man kan vise at S også er lineær. Teorem 9: Betrakt en lineæravbildning T : R n R n og la A være standardmatrisen for T. Da er T invertibel hvis og bare hvis A er invertibel. Og i så fall er den inverse S til T en lineæravb. med standardmatrise A 1. 9 / 21

10 Partisjonerte matriser Ofte er det naturlig å dele opp matriser i blokker. Kalles partisjonerte matriser. F.eks. A = = [ A11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 Sier da også at A er en 2 3 blokk matrise. Generelt kan vi ha en m n partisjonert matrise. Slike matriser dukker f.eks. opp i Ax = b problemer der det er naturlig å dele opp både variablene og likningene i visse grupper. ] 10 / 21

11 Regneregler Multiplikasjon av konforme partisjonerte matriser, f.eks. [ A11 A 12 A 21 A 22 ] [ B11 B 12 B 21 B 22 ] [ A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 ] Gjelder hvis dimensjonene stemmer (produktene har mening). Legg merke til likhet med vanlig matrisemultiplikasjon. Et annet eksempel: [ ] A11 [ B11 B 12 A 21 ] = [ A11 B 11 A 11 B 12 A 21 B 11 A 21 B 12 ] 11 / 21

12 Et nyttig resultat for oss er følgende: Teorem. ( Kolonne-rad ekspansjon av AB) Hvis A er m n matrise og B er n p, så er AB = [ col 1 (A) col 2 (A) col n (A) ] row 1 (B) row 2 (B). row n (B) = col 1 (A) row 1 (B) + + col n (A) row n (B). Det finnes også formler for den inverse av 2 2 partisjonerte matriser (som man kan slå opp ved behov!). 12 / 21

13 Determinanter Determinanten til en 1 1 matrise er tallet selv. For n 2 defineres determinanten til en n n matrise A induktivt ved det A = n ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Her er A 1j submatrisen (delmatrisen) man får fra A ved å slette rad 1 og kolonne j. Generelt: submatrisen A ij fremkommer fra A ved å slette rad i og kolonne j. Formelen over kalles kofaktorekspansjon langs første rad i A. Tallet ( 1) 1+j det A 1j kalles en kofaktor. 13 / 21

14 Det viser seg at man får samme tall ved andre kofaktorekspansjoner også! Teorem. Alle kofaktorekspansjoner for A gir samme tall. Så for alle rader k og for alle kolonner l har vi at det A = n j=1 ( 1)k+j a kj det A kj = n i=1 ( 1)i+l a il det A il. For triangulære matriser er det enkelt å beregne determinanten: Teorem. Hvis A er en triangulær matrise (øvre eller nedre triang.), så er det A lik produktet av diagonalelementene. 14 / 21

15 Egenskaper ved determinanter Hva skjer med determinanten når vi utfører radoperasjoner? Teorem. La A være en kvadratisk matrise. 1. Hvis vi adderer et multippel av en rad i A til en annen, så endres ikke determinanten. 2. Hvis B fremkommer fra A ved å bytte to rader, er det B = det A. 3. Hvis en rad i A mulipliseres med r og B er den nye matrisen, så er det B = r det A. Tilsvarende resultat gjelder for kolonneoperasjoner fordi: Teorem. det A T = det A. 15 / 21

16 Et viktig egenskap er: Teorem. En kvadratisk matrise A er invertibel hvis og bare hvis det A 0. Idéen bak dette resultatet kan skisseres slik: Ved å bruke kun radoperasjoner av typen bytte av to rader og legge til et mult. av en rad til en annen rad kan en kvadratisk matrise A alltid omformes til en øvre triangulær matrise U. Determinanten til A er da lik ( 1) r ganget med produktet av diagonalelementene i U, der r er antall ganger vi byttet to rader. Hvis A er invertibel, må alle diagonalelementene i U være forskjellige fra 0, og det gir da at det A 0. Hvis A er ikke invertibel, er minst en av diagonalelementene i U lik 0, og da er det A = / 21

17 Ved en lignende argumentasjon kan man vise følgende: Teorem. Hvis A og B er n n matriser, så er det(ab) = (det A)(det B). Generelt vil det(a + B) det A + det B. Men determinanten er lineær hvis vi holder fast alle kolonnene (eller alle radene) unntatt én. Mer presist kan dette formuleres slik for kolonner: La A være en n n matrise og x R n. La A j (x) betegne matrisen vi får fra A ved å erstatte j-te kolonne i A med vektoren x. F.eks. A 2 (x) = [ a 1 x a 3 a n ] La da T j : R n R være definert ved T j (x) = det ( A j (x) ). Da er T j lineær. 17 / 21

18 Teorem (Cramer s regel). Anta at A er en invertibel n n matrise og la b R n. Da har systemet Ax = b en entydig løsning x = (x 1,, x j,, x n ) gitt ved x j = det ( A j (b) ) (1 j n). det A Dette er en pen formel fordi den viser eksplisitt hvordan løsningen kan uttrykkes via determinanter. MEN: i praktiske beregninger brukes denne formelen nesten aldri! Det er raskere og numerisk mer stabilt å bruke f.eks. Gauss eliminasjon (eller andre iterative metoder). 18 / 21

19 Ved å bruke Cramer s regel flere ganger kan man også få en formel for den inverse til en (invertibel) matrise A : A 1 = 1 det A adj(a). Her er adj(a) en n n matrise som kalles den (klassisk) adjungerte til A. Elementet i posisjon (i, j) i adj(a) er kofaktoren gitt ved ( 1) i+j det A ji. NB! Legg merke til indeksen her: A ji er submatrisen som fremkommer fra A ved å slette rad j og kolonne i. Igjen: Hvis man virkelig vil beregne A 1 i praksis, bruker man ikke denne formelen, men benytter da andre metoder, f.eks. radreduksjon av [ A I ] eller SVD (singulær verdi dekomposisjonen) (kommer senere i kap. 7). 19 / 21

20 For 2 2 og 3 3 matriser er determinanten knyttet til areal/volum begrepene: Teorem. Hvis A er en 2 2 matrise er arealet til parallellogrammet utspent av kolonnene til A lik det A. Hvis A er en 3 3 matrise er volumet til parallellepipedet utspent av kolonnene til A lik det A. Teorem. Hvis T : R 2 R 2 er en lineæravb. med stand.matrise A og S er et parallellogram i R 2, så er Area T (S) = det A Area S. Hvis T : R 3 R 3 er en lineæravb. med stand.matrise A og S er et paralellepiped i R 3, så er Volume T (S) = det A Volume S. Disse resultatene er viktige bl.a. for variabelskifte-formelen for dobbelt/trippel...) integraler i kalkulus/analyse. 20 / 21

21 Neste uke: Begynner i kap. 4. Skal studere vektorrom mer abstrakt og se på underrom, eksempler osv. Godt tips: se på stoffet før forelesningene! 21 / 21