Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Transkript

1 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015

2 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c 1,..., c m, hvorav minst én er ulik 0, slik at c 1 v (1) c m v (m) 0. Vi sier at vektorene er lineært uavhengige hvis de ikke er lineært avhengige.

3 Lineær Uavhengighet: Eksempel [ ] v (1) [ ] v (2) [ ] v (3) Disse er lineært avhengige fordi 6v (1) 1 2 v (2) v (3) 0. Anta så at c 1 v (1) + c 2 v (2) [ 3c 1 6c 2 42c 2 2c c 2 2c c 2 ] 0. Dette betyr at c 1 c 2 0 og dermed er v (1) og v (2) linært uavhengige.

4 Rang Rangen til en matrise A er maksimalt antall lineært uavhengige radvektorer i A. Vi skriver dette som rank(a). har rang 2 (forrige eksempel) Teorem: rang endrer seg ikke under elementære radoperasjoner (Gausseliminasjon). Observasjon: vi kan finne rang ved å radredusere til Echelonform og lese av antall rader ulik 0.

5 Rang A Dermed er Rank(A) Observasjon: m vektorer med n komponenter er lineært uavhengige hvis og bare hvis matrisen med vektorene som radvektorer har rang lik m. (Merk at en 0 rad betyr at radvektoren kan skrives som en lineær kombinasjon av de andre radvektorene).

6 Radrang = Kolonnerang Teorem: Rangen til en matrise A er lik antall lineært uavhengige kolonnevektorerer i A. Bevis for tilfellet A en 3 3-matrise og Rank(A) 2: v 11 v 12 V 13 A v 21 v 22 v 23. v 31 v 32 v 33 [ ] [ ] Anta at v (1) v 11 v 12 V 13 og v (2) v 21 v 22 v 23 er lineært uavhengige. [ Da finnes ] det konstanter c 1 og c 2 slik at v (3) v 31 v 32 v 33 c1 v (1) + c 2 v (2). Eller, omskrevet, v 31 c 1 v 11 + c 2 v 21, v 32 c 1 v 12 + c 2 v 22 og v 33 c 1 v 13 + c 2 v 23. v 11 v 21 v 31 1 v 11 0 c v 21 1 c 32, v 12 v 22 v 23 1 v 12 0 c v 22 1 c 32, v 13 v 23 v 33 1 v 13 0 c v 23 1 c 32

7 Lineær Avhengighet Observasjon: Hvis m vektorer har n komponenter og n < m så er vektorene lineært avhengige. Bevis: la A være m n-matrisen med vektorene som rader. Da er antall lineært antall radvektorer lik antall lineært uavhengige kolonnevektorer. Ettersom antall kolonner er n og n < m, så følger det at antall lineært uavhengige rader, Rank(A) n < m.

8 Vektorrom (i R n ) (Uformell definisjon!) En mengde V av vektorer med n komponenter danner et vektorrom i R n hvis, for alle vektorer v og w i V, så er αv + βw i V for alle skalarer α, β. Dimensjonen til V er maksimalt antall lineært uavhengige vektorer i V. Vi skriver dette som dim V. En basis for V er en endelig mengde av vektorer {v (1),..., v (m) } V slik at 1. For en hver w V eksisterer det skalarer c 1,..., c m slik at w c 1 v (1) c m v (m). 2. Vektorene v (1),..., v (m) er lineært uavhengige. Dimensjonen til V er antall vektorer i en basis for V. Eksempel: la V være alle vektorer med 3 komponenter. Da er (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) en basis for V, og dim V 3.

9 Underrom Hvis V er et vektorrom og W V er en delmengde av W som også er et vektorrom, da et er W et underrom av V. Vektorromet bestående av alle vektorer (v 1, v 2, 0) er et underrom av vektorromet R 3 som består av alle vektorer med tre tupler. Observasjon: hvis W er et underrom av V så er dim W dim V.

10 Rad- og Kolonnerom For en endelig mengde av vektorer S {v (1),..., v (m) } er spennet av S vektorrommet definert ved alle lineærkombinasjoner av vektorer i S. Dvs, span(s) er vektorrommet bestående av alle lineærkombinasjoner c 1 v (1) c m v (m) for reelle tall c 1,..., c m. Vi sier at V er spent ut av S. Radrommet til en matrise A er vektorrommet spent ut av radvektorene i A. Tilsvarende er kolonnerommet til A vektorromet spent ut av kolonnevektorene i A. Vi skriver disse henholdsvis som Row(A) og Col(A). Det følger at dim Row(A) dim Col(A) Rank(A).

11 Eksempel på Rad- og Kolonnerom Finn basis for radrommet og kolonnerommet til [ ] A Radrom: radreduserer til {(1, 2, 3)}. [ ] Ergo har Row(A) basis Kolonnerom: kolonnerommet til A er det samme som radrommet til A T. Derfor kan vi transponere A og radredusere den transponerte A T Ergo er {( 2, 1)} en basis for Row(A T ) Col(A).

12 (Eksistens av) Løsning av Lineære Likningssystemer Vi kan bruke rangen til den augmenterte matrisen til å bestemme antall løsninger av et likningssystem. a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2.. a m1 x a mn x n b m A a a 1n... a m1... a mn à a a 1n b a m1... a mn b m

13 (Eksistens av) Løsning av Lineære Likningssystemer Likningssystemet på forrige slide har 1. Løsning hvis og bare hvis Rank(A) Rank(Ã). 2. Unik løsning hvis og bare hvis Rank(A) n. 3. Uendelig mange løsninger hvis Rank(A) < n. I praksis finner vi løsningene (og rangen) ved Gausseliminasjon (eller lignende).

14 Homogene Likningssystemer Vi sier at et likningssystem på formen a 11 x a 1n x n 0 a 21 x a 2n x n 0.. a m1 x a mn x n 0 er homogent. Løsningen x 1... x n 0 er alltid en løsning, den trivielle løsningen. Løsningene danner vektorrom: anta Av 0 og Aw 0. Da er A(αv + βw) αav + βaw Dette vektorromet kaller vi nullrommet til A og skrives som Null(A). Fra forrige teorem vet vi at likningssettet har ikke-trivielle løsninger hvis og bare hvis Rank(A) < n. Faktisk, så er dim Null(A) n Rank(A).

15 Nullrom For å finne nullrommet så radreduserer vi til Echelonform som vanlig. A Dermed får vi dim Null(A) n Rank(A) La x 3 t og x 4 s. Da er 42x s + 58t 0, eller, x 2 (28s 58t)/42. Tilsvarende er 3x 1 + 2(s + t) 0 eller x 1 2(s + t)/3. Dvs, for alle reelle tall s og t er ( 2(s + t)/3, (28s 58t)/42, s, t) en løsning. En basis for dette vektorrommet er {( 2/3, 28/42, 1, 0), ( 2/3, 58/42, 0, 1)}.

16 Ikke-homogene Likningssystemer For et ikke-homogent likningssystem a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2.. a m1 x a mn x n b m så er alle løsningene på formen x x 0 + x h der x 0 er en fiksert (vilkåerlig) løsning av det ikke-homogene likningssystemet og x h er en løsning av det korresponderende homogene systemet. Bevis: anta Ax Ax b. Da er A(x x ) b b 0. Dermed er x h (x x ) en løsning av det ikke-homogene systemet.

17 Nytt Eksempel Finn basis for rad-, kolonne og nullrom av A Merk at Rank(A) 3. Row(A) Span{(1, 0, 2), (0, 2, 3), (0, 0, 1)} Col(A) Span{(1, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 3, 1)}. Null(A) 0.

18 Invers av Matriser La A være en n n-matrise. Den inverse matrisen til A er n n-matrisen A 1 som tilfredstiller AA 1 A 1 A I n. Hvis A har en invers så er A ikke-singulær. Ellers sier vi at A er singulær. Observasjon: inverser er unike.

19 Hvilke matriser har invers? Teorem: en matrise er ikke-singulær (dvs har invers) hvis og bare hvis Rank(A) n. Bevis: på tavle.

20 Gauss-Jordan Hvis en n n-matrise er ikke-singulær kan vi bruke Gauss-Jordan til å finne dens inverse. Observasjon: hvis A er en n n-matrise av full rang (ikke-singulær) så er den radsimilær til I n. Taktikk: La A være invertibel med invers B. Vi skal finne B slik at AB I n. Hvis vi utfører elementære radoperasjoner på AB er det det samme som å gjøre de korresponderende radoperasjonene på A og så multiplisere med B. Dermed gjør vi elementære radoperasjoner på begge sider av likhetstegnet slik at A transformeres til identitetsmatrisen. Da er det kun B på venstre siden av likhetstegnet og høyresiden er de korresponderende radoperasjonene gjort på I n.

21 Gauss-Jordan: Eksempel Finn den inverse til [ ] [ ] [ ] [ ] A 1 [ ]

22 Gauss-Jordan: Eksempel Finn den inverse til Svar: A