MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

Transkript

1 MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall Matriser og vektorer Tupler Fasit 6. Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave

2 Løsningsforslag. Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Forord. Oppgavene nedenfor dekker nesten alle typer av oppgaver, som kan gis på eksamen. Prøveeksamenen er stor: den inneholder 4 deloppgaver (abc, abcdefghijk, abcd, 4abcdefg, abc, 6, 7, 8abcd), noen delt opp i enda mindre deloppgaver. Tilsvarende deloppgaver på eksamen vil bli lettere beregningsmessig. Betrakt derfor denne prøveeksamenen som en tredobbel eksamen.. En oppgave om komplekse matriser kan bli inkludert i eksamenen. Oppgave 8 er et typisk eksempel av en slik oppgave. Den ligner oppgave 4 fra eksamenen 6-6, men er litt vanskeligere. OPPGAVE Vi ser på et lineært system Ax b, der: A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) Finn determinanten det A. Resultatet er et polynom det A k + k a + k a. Du oppgir radvektoren [k, k, k i feltet a. b) For hvilke a R er systemet konsistent (dvs. at det har løsninger)? Svaret skal være på formen a s, der s er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet s i feltet b.

3 c) For hvilke a R har systemet uendelig mange løsninger? Svaret skal være på formen a t, der t er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet t i feltet c. Hint: se eksamensoppgaver -6-, -9-, -6- og -9-, samt Exercise.9,.7 og.8. OPPGAVE En del av oppgaven nedenfor er knyttet til Ch. 6 Inner Product Spaces. Vi betrakter vektorer fra R både som kolonnevektorer og radvektorer. Gitt matrisen A 4. 4 Betrakt systemet Ax b der x x x x x 4 x, b Lag en utvidet matrise [ A b, og bruk Gauss-Jordan for å få en annen matrise [ A b slik at A har en redusert trappeform (reduced row echelon form). Denne siste matrisen skal hjelpe deg til å løse alle deloppgaver nedenfor. Merknad. Istedenfor kolonnen b b b b b 4 b b b b 4. i den utvidede matrisen [ A b, kan du bruke en 4 4 identitetsmatrise. a) Finn en basis G (g, g,..., g s ) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer (som i Seksjon 9.). b) Gitt vektoren u [ 8 4 row (A). Finn koordinatvektoren [u G til u mht basisen G du fant i deloppgave a. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) (u ; u ;...; u s )

4 der u u g + u g u s g s. Hint: hvis du skriver likningen u u g + u g u s g s koordinatvis, får du et system med likninger og s variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen G ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. c) Finn en ortogonal basis for G (g, g,..., g s) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer. la Hint: bruk Gram-Schmidt. d) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, T (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A)). T er en lineær operator T : R R, derfor beskrives den som en matriseoperator T (x) Bx, der B er en matrise. Du oppgir matrisen B i svaret. Hint: se Oblig 6, oppgave f. e) Finn en basis J (j, j,..., j u ) for nullrommet (the null space) Null (A). Svaret skal gis i formen av et u-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). 4

5 f) Gitt vektoren w 6 Null (A). Finn koordinatvektoren [w J til w mht basisen J du fant i deloppgave e. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) w w... w u der w w j + w j w u j u. Hint: hvis du skriver likningen w w j + w j w u j u koordinatvis, får du et system med likninger og u variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen J ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. g) Finn en ortogonal basis J (j, j,..., j v) for det ortogonale komplementet row (A) til radrommet (the orthogonal complement of the row space). Svaret skal gis i formen av et v-tuppel av kolonnevektorer. Hint: se Oblig 6, Oppgave b. h) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, la S (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A) ). S er en lineær operator S : R R,

6 derfor beskrives den som en matriseoperator S (x) Mx, der M er en matrise. Du oppgir matrisen M i svaret. i) Finn betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent, dvs. har minst én løsning x. Betingelsen skal oppgis som en radvektor av lengde 4. k b + k b + k b + k 4 b 4, k i R, [k, k, k, k 4 Hint: se på den siste linjen i den utvidede matrisen [ A b. j) Finn en basis H (h, h,..., h t ) for kolonnerommet (the column space) col (A). Svaret skal gis i formen av et t-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). k) Gitt vektoren v 4 4 col (A). Finn koordinatvektoren [v H til v mht basisen H du fant i deloppgave d. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) v v... v t der v v h + v h v t h t. 6

7 OPPGAVE Gitt tre vektorer u, v, w i R. Operatoren er gitt ved formelen T : R R T (x) u (v x) der x R, og er kryssproduktet (the cross product). For eksempel, hvis x, er T (x) 8. a) Finn matrisen [T E til operatoren T med hensyn til standardbasisen E (i, j, k), (the matrix for T relative to the base E). Svaret skal oppgis som en matrise., b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker T. Svaret skal gis som et s-tuppel av kolonnevektorer. c) Finn en basis for bildet (the range) R (T ). Svaret skal gis som et t-tuppel av kolonnevektorer. d) Finn en vektor x som tilfredsstiller likningen T (x) w. Svaret skal gis som en kolonnevektor. 7

8 4 OPPGAVE La W M være mengden av antisymmetriske (X T X) matriser. For eksempel, matrisen er antisymmetrisk fordi mens er ikke antisymmetrisk fordi T T W er et underrom i Mat av dimensjon og har en basis G (g, g, g ),,., (du behøver ikke å sjekke at W er et underrom, eller at G er en basis for W ). La V P være rommet av polynomer av grad med standardbasisen Gitt også matrisen La E (, x, x, x ). B U : V W være en lineær transformasjon gitt ved formelen. U (f) f (B) f (B) T. (du behøver ikke å sjekke at U er lineær). For eksempel, hvis f + x x x, 8

9 er f (B) I + B B B + og U (f) (f (B)) (f (B)) T T 6 6. a) Finn matrisen [U G E (i læreboken betegnes som [U G,E ) til transformasjonen U mht basisene E og G. Svaret skal gis som i Seksjon 9.. b) Finn en basis for kjernen (the kernel) til U. Det påminnes om at ker U {v V U (v) }. Svaret skal gis som et s-tuppel (Seksjon 9.) av kolonnevektorer som tilsvarer polynomer på følgende måte: a a + a x + a x + a x a a. a c) Finn en basis for bildet (the range) R (U) til U. Det påminnes om at R (U) {U (v) v V }. Svaret skal gis som et t-tuppel (se Seksjon 9.) av matriser. d) Finn et polynom f slik at U (f)

10 Svaret skal gis som en kolonnevektor a a a, a som tilsvarer polynomet f a + a x + a x + a x. e) La oss betrakte en annen basis G for W : G (g, g, g ),,. Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P G G og P G G (i læreboken betegnes de som P G G og P G G ). f) La oss betrakte en annen basis E for V : E (, + x, x, x + x ). Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P E E og P E E (i læreboken betegnes som P E E og P E E ). g) Finn matrisene til U mht diverse basispar: [U G E, [U G E, og [U G E. Hint: bruk Teorem.7 og Korollar.9 på s. 96 i Kompendium. OPPGAVE Gitt matrisen A a) Finn det karakteristiske polynomet p (λ) til matrisen A. Hvis p (λ) a + a λ + a λ + a λ, skal svaret gis som en radvektor [ a a a a.

11 Merknad. Polynomet skal beregnes som i læreboka, dvs. p (λ) det (λi A). Det er tillatt å bruke metoden som var gitt på forelesningene, men husk å sette minus foran (fordi er et odde tall): p (λ) det (λi A) det (A λi). Du kan også bruke formlene fra Teorem.9 på s. i Kompendium. b) Finn en invertibel matrise P slik at P AP D der D er en diagonalmatrise med voksende diagonalelementene: D λ λ, λ λ λ. λ Både D og P skal oppgis i svaret. Hint: for å finne egenverdiene, bruk Ex.... c) Finn formelen for A m der m er et vilkårlig helt tall. Formelen skal se ut som A m b m B + c m C, der b og c er rasjonale tall, b < c, mens B og C er konstante (dvs. som ikke avhenger av m) matriser. Hint: A m ( P DP ) m P D m P. 6 OPPGAVE Gitt matrisen F Det karakteristiske polynomet q (λ) til matrisen F er lik q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). Matrisen F er ortogonalt diagonaliserbar (hvorfor?). Finn en ortogonal matrise Q slik at Q F Q Q T F Q. 9.

12 7 OPPGAVE Gitt matrisen a b d A c e [ k k k f som inneholder 6 ukjente elementer a, b, c, d, e, f. Det er kjent at A er ortogonal, og at a >, b <, d <. Finn a, b, c, d, e, f (de er rasjonale tall), og oppgi den resulterende matrisen A i svaret. Hint: for å finne a, bruk betingelsen at kolonnen k har lengden ( k ) og at a >. For å finne b og c, bruk betingelsene k, k k, b <. For å finne d, e og f, bruk betingelsene k, k k, k k, d <. Se oppgave 7.7 fra læreboken og eksamensoppgave -9-b. 8 OPPGAVE a) Gitt den komplekse matrisen [ + (a + ) i ( + i) z A i der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er A Hermitsk (A A). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret., b) Gitt den komplekse matrisen [ 7a + + i ( i) z B 4i 6i,

13 der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er B anti-hermitsk (B B). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. c) Gitt den komplekse matrisen [ a 4 C 7 i z i 7 der a R, a >, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er C unitær (C C I). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. 7 i, Hint: betrakt de to kolonnene som C består av: C [ k k. Bruk Th. 7..4(d) fra læreboka. Betingelsen k gir to mulige verdier til a. Velg a >. Betingelsen gir verdien til z. k k d) Gitt den komplekse matrisen [ i z D 4 + i i der z b + ci C. Finn for hvilke verdier av b, c er D normal (D D DD ). Du oppgir radvektoren [b, c i svaret.,

14 9 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som,, - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for, 4/7 for 4 7. Merknad. Tall på formen 7 eller 7 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 4/7 i stedet. 9. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen 4 4 skal skrives som [,,-/,4;,-/4,,;/,,/,, radvektoren (the row vector) [ 4 skal skrives som [,,-/,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [;;/. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 9. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R består av kolonnevektorer 6 7 G (g, g, g, g 4, g ) 4, 7 8 9,,, 8 9, 4

15 er G et -tuppel, og skal skrives ned som ([; ; ; 4;, [6; 7; 8; 9;, [; ; ; ;, [; ; ; ;, [7; 8; 9; ; ) Merknad 9. Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i -tuppelet er separert med kommaer.

16 Fasit. Oppgave a) [4,-4,-4 det A 4 4a 4a. s 9 4, t 6. b) -9/4 c) /6. Oppgave a) G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) b) [-;;- [u G. c) G (g, g, g ) ([, [ 8 7, [ 48 4 ). ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) d) T (x) 6 x + x + 7 x + x x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x x [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 x x x x 4 x Bx. 6

17 e) J ([-;;;;,[-;-;;;),. f) [-; [w J [. g) J (j, j ), 6 7. ([-;;;;,[-6;-7;;;) h) S (x) 9 x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x x 8 x x x x x 8 x x 4 x + 4 x x [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 x x x x 4 x Mx. i) b b + b b 4. [,-/,,-/ eller [,-,,- j) H (h, h, h ) ([;;;,[;;;,[;4;; 4),,

18 k) [6;-;-7 [v H Oppgave a) x x y, z 7x y z 7 T (x) x y + 6z 6 x + y 4z 4 7 [T E A 6. 4 [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 x y z, b) er en basis for ker T. ([-;;) c) En basis for bildet R (T ): ([-7;-;-,[-;-;) 7,. d) x y z t t t + t, 8

19 for eksempel: x y z x y z 8,. [-;; eller [-;8;.4 Oppgave a) [U (f) G E [,,,;,-,,-4;,,-,- b) En basis for ker U er 4 (, 4x x + x ).. ([;;;,[;-4;-;) c) En basis for R (U) er G (g, g ),. ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) d) [;-;-; f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). e) P G G P G G,. 9

20 4e_P_G_Gprime: [,,;,,;,,- 4e_P_Gprime_G: [,-,;,,;,,- f) P E E P E E,. 4f_P_E_Eprime: [,,,;,,,;,,,;,,, 4f_P_Eprime_E: [,-,,;,,,;,,,-;,,, g) [U G E [U G E [U G E 9 4, g_U_Gprime_E: [,,,9;,-,,-4;,,, 4g_U_G_Eprime: [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 4g_U_Gprime_Eprime: [,,,;,-,,-4;,,,6.,. Oppgave a) [-,-,-, p (λ) λ λ + λ. b) D P.,

21 b_d: [-,,;,-,;,, b_p: [,,;,,;,, c) A m ( ) m 4??? c_b: -??? c_c: c_b: [-,,4;-,,;-,, c_c: [4,-,-4;,-,-;,-,- + m Oppgave Q [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/..7 Oppgave 4 A. [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/.8 Oppgave a) a, z i, [ + i A i. [-/,7/,7/ b) a 7, z i, [ i 4i B 4i 6i.

22 [-/7,4/9,-/9 c) a 7, [/7,8/7,-/7 d) b 8 7, c 7, [ C i i i 7 7 i. b, c 4, [ i 4i D 4 + i i. [,-4

23 Løsningsforslag. Oppgave A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) det A blokk-diagonal 6a 4 4a + 8 ( 6a) (9 + 4a) 4 4a 4a. Vi skriver [4,-4,-4 i feltet a. bc) Setter sammen koeffi sientmatrisen og vektoren b: 6a 4 a + A a 4a + 8 a + a. Systemet Ax b har en entydig løsning Matrisen er invertibel det A ( 6a) (9 + 4a) a 9 4, 6.. Hvis a 9 4, blir den utvidede matrisen slik: og systemet er inkonsistent. G J. Hvis a 6, blir den utvidede matrisen slik: 6 4 G J. 7 74,,

24 og x x x x 4 t t t dvs. systemet vil ha uendelig mange løsninger. 4. Endelig: s 9 4, t 6. Du skriver -9/4 i feltet a, og /6 i feltet b.. Oppgave A 4 4 La oss lage den utvidede matrisen som består av matrisen A og kolonnevektorene b b b b, v 4. b 4 4 Man kan sette en 4 4 identitetsmatrisen I 4 istedenfor b, men vi inkluderer begge deler (både b og I 4 ). Bruker deretter Gauss-Jordan: b 4 b b 4 G J 4 b 4 4 G J., b + 4b b b 8b + b b + b b 4 7 b b + b b 4 a) De tre første radene i den reduserte matrisen A gir en basis for radrommet: G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). Vi skriver ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) i feltet a. b) La u [ 8 4 u g + u g + u g u [ + u [ + u [ [ u u u u u u + u u.. 4

25 og Det er klart at Vi skriver [-;;- i feltet b. La oss kontrollere resultatet: u, u, u [u G [ + [ [ [ 8 4 u.. c) La oss bruke Gram-Schmidt: G (g, g, g ) ([, [, [ ). g g [, g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ [ 8 7. Vi kan bruke i stedet. g [ 8 7 [ 8 7 g g g g g g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ T 8 7 [ [ [ T [ [ ( ) ( 7 ) [ 8 7 4

26 Vi kan bruke g 4 [ 48 4 i stedet. Endelig: G (g, g, g ) [ [ 48 4 ([, [ 8 7, [ 48 4 ). Vi skriver ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) i feltet c. d) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). Vi skal skrive vektorer g i både radvis og kolonnevis: T (x) x g g g g + x g g g T x x x x 4 g + x g g g g x [ [ T T x x x 8 x 4 x 7 [ [ T T x 48 x x x 4 4 x [ [ T ( x + x + ) x + + ( x + 4 x 8 x + 7 x 48 4 ) 8 7 6

27 6 ( + 4 x + 8 x 48 x + 4 x 4 ) 74 x x + x + 7 x + x x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x x Vi skriver [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 i feltet d. dvs. e) Siden nullity (A), består basisen J av to vektorer J (j, j ). Å finne basisen er det samme som å løse systemet Ax. x s og x t er frie variable, og x s t x x x 4 s t s t s + t, x t J,. Vi skriver ([-;;;;,[-;-;;;) i feltet e. x x x x 4 x Bx. f) La 6 w w j + w j w + w w w w w w w w. 7

28 Det er klart at w, w, [w J [. Vi skriver [-; i feltet f. g) Vi vet (Th ) at row (A) Null (A), derfor er J, en basis for det ortogonale komplementet row (A). For å finne en ortogonal basis, bruker vi Gram-Schmidt: j j, j J j j j j j T T ( )

29 Vi kan bruke i stedet. Endelig: j 6 7 J (j, j ), Vi skriver ([-;;;;,[-6;-7;;;) i feltet g. h) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). x x x x 4 x T T S (x) x j j j j + x j j j j ( x x + ) x 9 + x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x x 8 x x x x x 8 x x 4 x + 4 x x x x x x 4 x 6 7 T T ( + 8 x x 4 8 x + 4 x 4 + ) 4 x x x x x 4 x 6 7 Mx. Vi skriver [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 9

30 i feltet h. Merknad. Begge matrisene, M og C er symmetriske. Merknad. Sammenlign de to matrisene! Finnes det noen relasjon mellom dem? i) Det siste elementet i kolonne nr. 6 (eller de siste elementene i kolonnene nr. 7-) gir oss betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent: b b + b b 4. Vi skriver [,-/,,-/ i feltet i. stedet. Vi kunne godt skrive [,-,,- i j) Kolonnene nr, og 4 i den opprinnelige matrisen danner en basis for kolonnerommet: H (h, h, h ),, 4. 4 Vi skriver ([;;;,[;;;,[;4;; 4) i feltet j. k) Se på den siste kolonnen i den reduserte matrisen: 6 7. Den siste elementet er lik, derfor v virkelig tilhører kolonnerommet. De tre resterende elementene gir koordinatene mht basisen H: 6 [v H. 7 Vi skriver [6;-;-7 i feltet k.

31 . Oppgave u, v, w T (x) u (v x) a) Hvis er T (x) 7x y z x y + 6z x + y 4z x x y z x y z, x y z, y + z x + z x y dvs. der og A [T E A T T A 7 6 4, Vi skriver [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 i feltet a. Lag den utvidede matrisen som består av A, kolonne a b b c og/eller identitetsmatrisen I, og kolonne w 9 9, 4.

32 og bruk Gauss-Jordan: 7 a 9 6 b 9 G J 4 c 4 G J 8b 6c b + 6 c 8 6 a b c. b) For å finne en basis for kjernen ker T, løs systemet Ax. z t er en fri variabel: x t y t t, z t dvs. er en basis for ker T. Vi skriver ([-;;) i feltet b. c) Kolonnene nr. og i den opprinnelige matrisen gir en basis for bildet R (T ): 7,. Vi skriver ([-7;-;-,[-;-;) i feltet c. d) Løser systemet Ax w: x t y t z t + t. Det er uendelig mange løsninger, for eksempel: x t, y z, t, x y z t t + t 8. Vi skriver [-;; eller [-;8; (eller en vektor som tilsvarer en annen verdi av t) i feltet d.

33 La oss kontrollere svarene: Oppgave G (g, g, g ) W M., V P, E (, x, x, x ). B U : V W,. U (f) f (B) f (B) T.,. a) Løsning. f a + a x + a x + a x, f (B) a I + a B + a B + a B a + a a a a + a a a a a + + a 4a a a a a 4a a + a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a U (f) U ( a + a x + a x + a x ) f (B) f (B) T + a a a 4a a a a 8a 4a.

34 dvs. a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a [U (f) G a + a + a a 4a a a a a a a + 4a a + a a + a + a a 4a a a [U (f) G E 4 4 Vi skriver [,,,;,-,,-4;,,-,- i feltet 4a. Løsning. [U () G [ I I T G [U (x) G [ B B T G, G G. T. [ U ( x ) G [ B ( B ) T G T G G, a a a a T, G, T G 4

35 4 4 T Setter de 4 kolonnene i matrisen [ U ( x ) G [ B ( B ) T G [U (f) G E G G 4. T G b) Vi tar i betrakning matrisen fra deloppgave 4d, og setter sammen matrisen [U (f) G E, kolonnen a b c (eller identitetsmatrisen I ; vi setter begge), og kolonnen Bruker Gauss-Jordan: a 4 4 b c 6 La a a a a G G J Null ([U (f) G E ). a og a er frie variable. Det er klart at a s a a 4t t s a t + t 4 b c a + b + c 4..

36 Oversetter tilbake til P -språket: en basis for ker U er (, 4x x + x ). Vi skriver ([;;;,[;-4;-;) i feltet 4b. c) Bildet R (U) tilsvarer kolonnerommet til [U (f) G E. En basis for kolonnerommet består av kolonnene nr. og :,. Oversetter tilbake til matriser: en basis for R (U) er G (g, g ),. Vi skriver ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) i feltet 4c. d) U (f) Den siste kolonnen i den trappeformede matrisen sier at den generelle løsningen til systemet er a a a + s + t 4. a Vi kan velge s og t selv. Hvorfor ikke å sette s t : a a a, a og det ønskelige polynomet er Vi skriver [;-;-; i feltet 4d. Den generelle løsningen er x x.. f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). 6

37 La oss kontrollere resultatet: B B U ( x x ) U () I I T T T ,, 4B B + B 4 U ( 4x x + x ) + T., U (( x x ) + s + t ( 4x x + x )) + s + t e) G (g, g, g ), P G G [[g G, [g G, [g G P G G,,.. Vi skriver [,,;,,;,,- i feltet 4e_P_G_Gprime og [,-,;,,;,,- i feltet 4e_P_Gprime_G. f) 7

38 E (, + x, x, x + x ). P E E [ [ E, [ + x E, [ x E, [ x + x E P E E Vi skriver [,,,;,,,;,,,;,,, i feltet 4f_P_E_Eprime og [,-,,;,,,;,,,-;,,, i feltet 4f_P_Eprime_E. g) [U G E P G G [U G E [U G E [U G E P E E [U G E P G G [U G E P E E , ,, Vi skriver [,,,9;,-,,-4;,,, i feltet 4g_U_Gprime_E, [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 i feltet 4g_U_G_Eprime, og [,,,;,-,,-4;,,,6 i feltet 4g_U_Gprime_Eprime.. Oppgave A

39 a) p (λ) a + a λ + a λ + a λ. a det A det a tr (A), a Vi skriver [-,-,-, i feltet a. b) P AP D p (λ) λ λ + λ. λ λ λ, 8 9,, λ λ λ. Siden a, er det bare 4 muligheter for egenverdiene (dvs. røttene til p (λ)): ± og ±. Det er enkelt å sjekke at og er to egenverdier. Siden er den resterende egenverdien tr (A) λ + λ + λ, ( ). Derfor er diagonalmatrisen D. Vi skriver [-,,;,-,;,, i feltet b_d. La oss finne egenvektorer:. λ, : A + I x x x s + t s t s G J + t,, s + t. 9

40 . λ : A I x x x t t t t G J, t., Setter de tre egenvektorene som kolonner i matrisen P : P, 8 6 P AP D. Vi skriver [,,;,,;,, i feltet b_p. c) A m b m B + c m C. A m ( P DP ) m P D m P P ( ) m ( ) m m ( ) m ( ) m m P 4 m ( ) m ( ) m m 4 ( ) m 4 m m ( ) m ( ) m m ( ) m m m ( ) m ( ) m m ( ) m m ( ) m 4 + m 4 4 ( ) m B + m C. Vi skriver - i feltet c_b, i feltet c_c, [-,,4;-,,;-,, i feltet c_b, og [4,-,-4;,-,-;,-,- i feltet c_c. 4

41 La oss kontrollere resultatet (f. eks. for m 7): ( ) 7 4 A m (( ) m B + m C) Oppgave F q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). La oss finne egenvektorene:. λ :. λ : F + I x x x F I x x x t t t t t t t t G J G J,, t., t.,. λ 9: F 9I x x x t t t t G J, t., 4

42 De tre vektorene,, danner en ortogonal basis for R, men vi trenger en ortonormal basis. La oss normalisere vektorene, og sette dem som kolonner i matrisen:,,, Q Vi skriver [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/ i feltet d. La oss kontrollere resultatet: QQ T dvs. Q er en ortogonal matrise. Q T AQ T T, 9..7 Oppgave A a b d c e f AA T I, a >, b <, d <. [ k k k, Fiiner a: 4

43 k a k k, a +, a 4, a, siden a >. Finner b: k k, b c, b + c + 9, b c, k k, ( c ) ( + c +, ) 4 c + c + 6 9, 4 c + c + 7 9, Løsningen [ b 6 7, c 4 7 forkastes, siden b <, derfor b 4, c. Finner d, e og f. Vi kan godt løse systemet k k, k k, 4

44 og velge deretter løsningen som tilfredsstiller betingelsene d + e + f, d <. Men det er lettere å bruke kryssproduktet: d e f t t ±. 4 t t t, Siden er d + e + f, ( ) ( ) ( ) t + t + t, t, t (fordi d < ), og Endelig: d e f. 4 A Vi skriver [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/ i feltet 6a...8 Oppgave a) A [ + (a + ) i ( + i) z i der z b + ci C. [ A + i (a + ) i (A T ) ( + i) z, [ i (a + ) + i ( i) z. Det er klart at a +, a, 44

45 og ( + i) z + i, z + i + i 7 + 7i ( + i) ( i) ( + i) ( i) i. A [ + (a + ) i ( + i) z i [ + i. i [ ( ( ) ) ( + + i ( + i) i) i Du oppgir [-/,7/,7/ i svaret. b) B der a R, og z b + ci C. B (B T ) [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ 7a + + i 4i ( i) z 6i, [ 7a + i + 4i ( + i) z 6i. Det er klart at og 7a +, a 7, ( i) z 4i, z 4i i i. B [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ i 4i. 4i 6i [ ( ) ( i ( i) 4 4i 6i 9 9 i) Du oppgir [-/7,4/9,-/9 i svaret. c) [ a 4 C 7 i z i i [ k k,

46 der a R, a >, og z b + ci C. Siden k, er ( a 4 ) ( 7 i a + 4 ) ( 7 i ) ( 7 i 7 8 ) 7 i a ,, Siden er ( a 4 ) 7 i a , a 89 7 >. ( z + k k, ( i ) ( 7 i ) i ), z i, z z i i 8 ( i Du oppgir [/7,8/7,-/7 i svaret i, ) i. d) der z b + ci C. D [ i z 4 + i i, [ D i + 4 i (D T ), z + i [ [ DD i z i + 4 i 4 + i i z + i [ zz + i z + iz, i z iz [ [ [ D i + 4 i i z D z + i 4 + i i z + iz z iz zz +. 46

47 og Siden DD D D, er zz z, Endelig: D DD DD i z + iz z + iz, z ( i) + i, z + i 4i. i [ i 4i, 4 + i i [ [ [ i 4i + i 4 i, 4 + i i + 4i + i [ [ [ + i 4 i i 4i, + 4i + i 4 + i i og D er normal. Du oppgir [,-4 i svaret. 47