Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Transkript

1 Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013

2 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A). Anta også at rank(a) = n, det betyr at kolonnene til A er lineært uavhengige. Vi har m > n og antall ligninger er mer enn antall ukjente. Vi sier at systemet er overbestemte.

3 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A). Anta også at rank(a) = n, det betyr at kolonnene til A er lineært uavhengige. Vi har m > n og antall ligninger er mer enn antall ukjente. Vi sier at systemet er overbestemte. Minste kvadratersløsning av Ax = b er vektoren x som gjør kvandatfeilen E 2 = A x b 2 minst mulig.

4 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A). Anta også at rank(a) = n, det betyr at kolonnene til A er lineært uavhengige. Vi har m > n og antall ligninger er mer enn antall ukjente. Vi sier at systemet er overbestemte. Minste kvadratersløsning av Ax = b er vektoren x som gjør kvandatfeilen E 2 = A x b 2 minst mulig. Hvis x er minste kvadraters løsning til Ax = b så er A x = p den ortogonale projeksjonen av b inn i V.

5 Hvordan finne vi minste kvadraters løsning? For å finne minste kvadraters løsning av Ax = b, løser vi det tilhørende normalsystemet A T A x = A T b.

6 Hvordan finne vi minste kvadraters løsning? For å finne minste kvadraters løsning av Ax = b, løser vi det tilhørende normalsystemet A T A x = A T b. Hvis m n matrisen A har rank(a) = n, så er n n matrisen A T A inverterbar og normalsystemet har entydig løsning x.

7 Eksamensoppgave Hvilket av alternativene er minste kvadraters løsning av ligningssystenet x + y = 5, x + 2y = 0, 3x + y = 5? A :( 2, 2) B :( 2, 3/2) C :( 1, 1) D :( 3/2, 3/2)

8 Symmetrisk matrise En kvadratisk matrise A er symmetrisk hvis A T = A; hvis A = [a ij ] så er A symmetrisk når a ij = a ji for alle i og j.

9 Symmetrisk matrise En kvadratisk matrise A er symmetrisk hvis A T = A; hvis A = [a ij ] så er A symmetrisk når a ij = a ji for alle i og j. Teorem Egenvektorer som tilhører distinkte egenverier for en symmetrisk matrise er ortogonale.

10 Ortogonal matrise En kvadratisk matrise P er ortogonal hvis P er inverterbar og P T = P 1 ; det vil si P T P = I.

11 Ortogonal matrise En kvadratisk matrise P er ortogonal hvis P er inverterbar og P T = P 1 ; det vil si P T P = I. Teorem En kvadratisk matrise P er ortogonal hvis og bare hvis kolonnene til P danner en ortonormal system.

12 Ortogonal matrise En kvadratisk matrise P er ortogonal hvis P er inverterbar og P T = P 1 ; det vil si P T P = I. Teorem En kvadratisk matrise P er ortogonal hvis og bare hvis kolonnene til P danner en ortonormal system. Ortogonale 2 2 matriser er på formen [ ] [ cos φ sin φ cos φ sin φ eller sin φ cos φ sin φ cos φ ]

13 Diagonalisering En kvadratisk matrise A er ortogonalt diagonaliserbar hvis det finnes en ortogonal matrise P og en diagonalmatrise D slik at A = PDP 1.

14 Diagonalisering En kvadratisk matrise A er ortogonalt diagonaliserbar hvis det finnes en ortogonal matrise P og en diagonalmatrise D slik at A = PDP 1. Teorem En kvadratisk matrise A er ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis A er symmetrisk.

15 Diagonalisering En kvadratisk matrise A er ortogonalt diagonaliserbar hvis det finnes en ortogonal matrise P og en diagonalmatrise D slik at A = PDP 1. Teorem En kvadratisk matrise A er ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis A er symmetrisk. Hvis A = PDP 1 og P er ortogonale, så må kolonnene til P være innbyrdes ortogonale enhetsvektorer som er egenvektorer til A.

16 Oppsummering Neste gang, siste forelesning: Kvadratiske former og kjeglesnitt, 7.2 I dag gikk vi gjennom 6.5,6.6 og 7.1