EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
|
|
- Martha Thorsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet i. b) Finn løsningene til ligningen z 2 + 2( + i)z = 2 + 2( 3 )i. Oppgave A-2 a) Finn alle komplekse tall z slik at z 3 = + i, og vis på en figur hvordan de ligger i det komplekse plan. b) La w være den løsningen fra a) som ligger i annen kvadrant. Finn et positivt helt tall n slik at w n er reell. Oppgave A-3 Løs ligningen λ 32 λ λ λ λ = Tegn røttene i det komplekse plan.
2 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 Oppgave A-4 a) Finn alle de komplekse tredjerøttene til 8i. Skriv røttene på formen a + ib der a, b R. Tegn røttene i det komplekse plan. b) Finn en løsning y av differensialligningen slik at y() = 3. xy + 3y = 3x 3/2 (x > ) Oppgave A-5 a) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + y = 4 cos x. b) Finn alle konstanter k slik at y = x k er løsning av x 2 y + xy y =, x >, og finn den generelle løsningen av differensialligningen. c) Finn den generelle løsningen av differensialligningen x 2 y + xy y = 2x 2 e x, x >. d) Bevegelsesligningen for en partikkel med masse m > som beveger seg langs x-aksen er gitt ved mx + 2x + x =. For hvilke m vil bevegelsen være svingende (dvs. være en underdempet svingning)? Oppgave A-6 Finn den generelle løsningen av differensialligningene a) y + y 2y = 4x 2 b) y 2y + y = ex x, x >.
3 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-7 a) Løs differensialligningen xy + 2y = cos x, x >. b) Løs initialverdiproblemet y 2y + 5y =, y() = 3, y () =. Finn den generelle løsningen av differensialligningene c) y 2y + 5y = sin x d) y + 4y + 4y = e 2x x 2, x >. Oppgave A-8 Bevegelsen til et mekanisk system er gitt ved differensialligningen my + ky = cos ωt der m = 2 og k = 8. For hvilke ω vil løsningen y(t) ikke være begrenset når t? Oppgave A-9 Gitt differensialligningen ( ) y (a + )y + ay = e x der a er et reelt tall. a) Finn en generell løsning av ( ) for alle a. b) Løs initialverdiproblemet gitt ved ( ) og y() = y () = for a. Oppgave A- Vis at y = x k er løsning av differensiallikningen ( ) x 2 y 3xy + 3y = (x > ) for passende verdi(er) av k. Hva blir den generelle løsningen av ( )?
4 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A- a) Finn løsningen av differensiallikningen y + 4y = cos x som tilfredsstiller y() = 4/3, y () = 4 b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen y + a 2 y = cos x for alle reelle tall a. Oppgave A-2 Finn den generelle løsning av differensialligningene a) y + x y = ex2, x > b) y + 4y + 4y = e 2x c) y + y = sin x, < x < π Oppgave A-3 Løs initialverdiproblemet y + 4y + 5y = 5x, y() =, y () = 2. Oppgave A-4 Finn generell løsning av differensialligningen y (a + b)y + aby = for alle reelle tall a og b. Finn deretter generell løsning av differensialligningen y 2ay + a 2 y = e ax. Oppgave A-5 Gitt initialverdiproblemet y = + y sin x, y() =.
5 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 Bruk Eulers metode med skrittlengde. til å finne en tilnærmet verdi av løsningen for x =.5. Bruk svaret til å finne en tilnærmet verdi av integralet.5 e cos t dt. Oppgave A-6 Løs differensialligningen y + 9y = 2 cos 3x, π 6 < x < π 6. Oppgave A-7 En deriverbar funksjon f (som ikke er identisk lik null) tilfredsstiller ligningen x [f(x)] 2 = e x f(t) dt. Vis at y = f(x) tilfredsstiller differensialligningen ( ) 2yy = y 2 + e x y, og finn alle løsninger av ( ). Bestem funksjonen f. Oppgave A-8 a) Finn generell løsning av differensialligningen y x 3 + y 3 4 x2 (y 2 + ) =, x >. Bestem løsningen som oppfyller y() =. b) Finn generell løsning av differensialligningen y 3y y = x + e 2x. Oppgave A-9 a) Løs initialverdiproblemet y y =, y() =, y () = 2.
6 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 b) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y y = x sin x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + 4y + 5y = 5x 2 2x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningene: a) b) y 2y + 2y = y 2y + 2y = 2x + e x Oppgave A-22 I en by er det fire enveiskjørte gater som krysser hverandre som på figuren. 45 x x 2 x 4 52 x Figur : viser trafikkflyten i oppgave 6 Antall biler som passerer pr. time er angitt på figuren.
7 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Vis at x = x x 2 x 3 x 4 tilfredsstiller et ligningssystem på formen og løs det. Hva blir x, x 2 og x 3 når x 4 = 2? Ax = b Oppgave A-23 I byen Patos blir hvert år 3% av de gifte kvinnene skilt og 2% av de ugifte blir gift. I byen er det i øyeblikket 8 gifte kvinner og 2 ugifte. Anta at det totale kvinneantallet er konstant. Ifølge lokale lover kan en kvinne kun gifte eller skille seg en gang i året. Vis hvordan antallet gifte og ugifte kvinner etter n år bestemmer antallet av gifte og ugifte kvinner etter (n + ) år. Bruk dette til å regne ut hvor mange gifte og ugifte kvinner det er etter, 2 og 3 år. Oppgave A-24 Finn en 2 2-matrise A slik at differensiallikningssystemet x = Ax har generell løsning [ ] [ ] 2 x = c e 3t + c 2 e t. Oppgave A-25 l/s 3 l/s 3 l/s l l 4 l/s Tank Tank 2 De to tankene på figuren inneholder liter hver av en oppløsning av salt i vann. Inn i Tank strømmer det rent vann med en rate av 3 liter pr. sekund. Mellom tankene og ut av Tank 2 strømmer det saltoppløsning som vist på figuren med de ratene som er angitt. I hver tank holdes saltet jevnt fordelt ved omrøring. Ved tiden t = inneholder Tank 3 g salt og Tank 2 2 g salt. Finn saltmengdene x (t) og x 2 (t) i de to tankene for alle t.
8 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-26 Eksperimenter viser at radioaktive stoffer desintegrerer (spaltes) med en hastighet proporsjonal med mengden stoff som er til stede. Proporsjonalitetsfaktoren kaller vi desintegrasjonskonstanten. Nedenfor ser vi på en kjede av to radioaktive spaltinger. a) Anta at stoffet desintegrerer til stoffet 2 som i sin tur desintegrerer til stoffet 3. Desintegrasjonskonstantene er hhv k og k 2 der k k 2. Vis at hvis mengden av de tre stoffene ved tiden t = er A, B og C, så er mengden av stoffet 3 ved tiden t > lik ( C + B ( e k2t ) + A k 2 e kt + k ) e k 2t. k 2 k k 2 k b) La nå stoffene, 2 og 3 representere hhv uran, thorium og radium. Dersom uran har halveringstid på 2 5 år og thorium har halveringstid på 8 4 år, hvor mye radium vil vi ha etter 6 år hvis vi starter med g uran og ikke noe thorium eller radium? Oppgave A-27 La A og A 2 være to fylte vannkar hver med konstant volum V som inneholder en saltoppløsning. Mengden salt i A og A 2 ved tidspunktet t = er henholdsvis Q og Q 2. Anta at A tilføres vann med en saltkonsentrasjon C (t). La tankene være forbundet som på figuren med rater som angitt. k k A A 2 k3 k 2 La u (t) og u 2 (t) betegne saltinnholdet i karene ved tiden t. a) Begrunn hvorfor ratene må oppfylle betingelsene k = k 2, k = k + k 3, k = k 2 + k 3 og gjør rede for at u og u 2 tilfredsstiller følgende system av differensialligninger Hva blir initialbetingelsene? du dt = k V u + k k 2 u 2 + k C (t) V du 2 dt = k V u k V u 2. b) Anta først at det tilføres rent vann, og at k > k 2. Hva blir løsningen av differensialligningssystemet?
9 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 c) La k = 9, k 2 = 5, k = 28, V =, Q = 8, Q 2 = 9. Anta C (t) = e t. Finn løsningen av differensialligningssystemet. Oppgave A-28 a) Finn den inverse til matrisen La a være et reelt tall, og la A = M a = 2 a a a a a a.. b) Drøft hvordan rangen til M a varierer med a. c) Drøft dimensjonen til Col(M a ) og Null(M a ) for varierende a. For a =, finn en basis for Col(M a ) og Null(M a ). Oppgave A-29 Gitt matrisen A = a) Vis at [ ] T er en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Finn de andre egenverdiene med tilhørende egenvektorer. b) Finn en ortogonal matrise P slik at A = P DP T der D er en diagonalmatrise. Angi D. c) Løs differensialligningssystemet x = Ax og finn en løsning med x() = [3 ] T. Oppgave A-3 a) Tegn et endimensjonalt underrom av R 2. Er mengden av vektorer [x y z] T i R 3 slik at 3x + 2y + z = et underrom av R 3? b) Vis at dersom v, v 2,, v k er parvis ortogonale vektorer i R n, og ingen av dem er nullvektoren, så er v, v 2,, v k lineært uavhengige.
10 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-3 La A = [ ]. a) Finn en ortogonal matrise P med det(p ) = slik at D = P T AP blir en diagonalmatrise. Angi D. b) Ligningen 5x 2 + 6x x 2 + 5x 2 2 = 8 fremstiller et kjeglesnitt. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at kjeglesnittet ligger i standard posisjon i forhold til det nye systemet. Tegn kjeglesnittet og de nye aksene i x x 2 -planet. Hva slags kjeglesnitt har vi? Oppgave A-32 Gitt matrisen A = a) Bestem en basis for Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe A over på echelon form. b) Finn også en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Bestem alle vektorer slik at ligningssystemet ikke har løsning. a b c Ax = a b c
11 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-33 a) Finn en ortogonal matrise P som diagonaliserer matrisen ( ) 9 2 A =, 2 6 det vil si at der D er en diagonal matrise. P T AP = D Skriv opp D og velg P slik at den representerer en rotasjon i planet. Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 9x xy + 6y 2 2x + 5y =. b) Innfør et nytt koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. c) Finn generell løsning til differensialligningssystemet x = 9x + 2y y = 2x + 6y. Oppgave A-34 Gitt matrisen A = a) Finn en basis for vektorrommene Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe matrisen over på echelon form. b) Bestem videre en basis for Null(A) (nullrommet til A.) c) Bestem uten ny regning en basis for Null(A).
12 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 d) For hvilke α har ligningssystemet løsninger? Ax = 2 α Oppgave A-35 Gitt matrisen A = a) Regn ut egenverdiene og egenvektorene til A. (Hint: er en egenverdi til A). b) Bestem en matrise S og en diagonalmatrise D slik at S AS = D. c) Kan en i b) finne en matrise S som er ortogonal? I såfall finn en slik. d) Finn den generelle løsningen av systemet x y = A z x y z e) Sett Regn ut P. P = f) Finn den generelle løsningen av systemet x + y + z = 4x + 4y + 4z x + z = 3x + 2y + 3z y z = y z
13 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-36 Gitt matrisen a) Løs ligningssystemet A = Ax = ved å bringe totalmatrisen (den augmenterte matrisen) til systemet på redusert echelon form. Bestem også en basis for Null(A). b) Finn en basis for Row(A) og Col(A). Oppgave A-37 Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 8x 2 + 2x x 2 + 7x 2 2 = 8. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette i x x 2 -planet, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. Oppgave A-38 La V være underrommet i R 4 gitt ved a) Finn en basis for V. V = span{ b) Finn en 3 4 -matrise A slik at V = Null(A)., }.
14 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A-39 Gitt matrisen og likningssystemet der a, b og c er reelle konstanter. A = ( ) Ax = a) Avgjør for hvilke a, b, c likningssystemet ( ) har løsning. b) Løs ( ) når a = 4, b = 2 og c = 3. Finn en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Finn en basis for Row(A) (radrommet til A) og finn en basis for Col(A) (kolonne-/søylerommet) til A. d) Finn en basis for Col(A). Bruk for eksempel resultatet fra a). a b c Oppgave A-4 a) Bruk Gram-Schmidts ortogonaliseringsalgoritme til å finne en ortogonal basis for underrommet V R 4 utspent av vektorene 2 v =, v 2 =, v 3 = 3 5. b) Finn (den ortogonale) projeksjonen av b = ned på underrommet V. Oppgave A-4 La α være et reelt tall og sett α A = α. α
15 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 a) For hvilke verdier av α har ligningssystemet Ax = α + α ) nøyaktig én løsning? 2) uendelig mange løsninger? 3) ingen løsninger? b) Løs ligningssystemet i tilfellet 2) i a). I resten av oppgaven settes α = 2 slik at A = c) Finn egenverdiene og egenvektorene til A. d) Finn en ortogonal matrise P slik at der D er diagonal. Hva blir D? P AP = D e) La den kvadratiske formen Q(x) være gitt ved der x R 3. Vis at Q(x) for alle x R 3. f) Løs differensialligningssystemet Q(x) = x T Ax. y = 2y +y 2 y 3 y 2= y +2y 2 y 3 y 3 = y y 2 +2y 3. Oppgave A-42 La A være en n n-matrise som oppfyller matriseligningen A 2 = 2A I (I betegner identitetsmatrisen). Vis at dersom A er diagonaliserbar, så er A = I. Oppgave A-43 Gitt matrisen A = α α α α α α og vektoren b = + α α α
16 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 a) Bestem rangen til A for alle reelle tall α. b) For hvilke verdier av α er A invertibel? Finn A når α =. c) For hvilke verdier av α har likningssystemet Ax = b nøyaktig en løsning, mer enn en løsning, ingen løsning? Løs likningssystemet når α =. Oppgave A-44 Gitt matrisen a) Vis at A har egenverdier, og 6. b) Det oppgis at 2 og 2 A = egenvektor svarende til egenverdien 6. c) Bestem en 3 3-matrise K slik at i) K AK er en diagonal matrise ii) K = K T d) Den kvadratiske formen er egenvektorer svarende til egenverdiene og. Finn en f(x, x 2, x 3 ) = x 2 + 5x2 2 + x x x 2 + 2x 2 x 3 kan skrives som f(x) = x T Ax, x = x x 2 x 3 Innfør et nytt koordinatsystem slik at f(x) = ay 2 + by2 2 + cy2 3 der y, y 2, y 3 er koordinatene til x i det nye koordinatsystemet. Hva blir a, b, og c?
17 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Oppgave A-45 [ ] 5 3 a) La A = 3 5 Finn en ortogonal matrise P med determinant lik slik at P T AP blir en diagonalmatrise. b) Ligningen 5x 2 6xy + 5y 2 2 = framstiller et kjeglesnitt K. Innfør et nytt rotert koordinatsystem slik at ligningen til K får enklest mulig form. Tegn K og de nye koordinataksene i xy-planet. Oppgave A-46 La vektorrommet V R 4 være mengden av løsninger til ligningen x + x 2 + x 3 + x 4 = Finn en basis for V og bestem dimensjonen. Oppgave A-47 Vis at ligningssystemet 5x y + z = 2x + y 2 z = a 9x + 3y + z = 2a har løsning for nøyaktig én verdi av a. Løs systemet for denne verdien av a. Oppgave A-48 La A være en invertibel matrise med egenverdi λ og tilhørende egenvektor v. Vis at da er v også en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Oppgave A-49 En reell n n-matrise har egenskapen A 2 = A. Vis at determinanten til A er eller. Vis at hvis det(a) =, så er A = I (identitetsmatrisen). Må A være nullmatrisen hvis det(a) =? Begrunn svaret. Oppgave A-5 La x, y og z være lineært uavhengige vektorer i et vektorrom V. Vis at vektorene u, v og w, der u = x, v = x + y og w = x + y + z er lineært uavhengige.
18 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-5 La A være en kvadratisk matrise som oppfyller betingelsen: A 2 3A + 2I =, hvor I er identitetsmatrisen og er nullmatrisen. Begrunn at A da er invertibel, og finn A uttrykt ved A og I. Fasit A- a) ±( 3 + i) b) 3, ( + 3) 2i A-2 a) z = 6 2 e πi/4 ; z = 6 2 e πi/2 ; z 2 = 6 2 e 9πi/2 b) n = 2 A-3 λ k = 2e i(π/5+2kπ/5), k =,, 2, 3, 4 A-4 a) ± 3 + i; 2i b) y = x x 3/2 A-5 a) y = c + c 2 cos x + c 3 sin x 2x cos x b) k = ±; y = c x + c 2 x, x > c) y = c x + c ( ) 2 2 x + x 2 e x, x > d) m > A-6 a) y = c e x + c 2 e 2x x + 2x 2 b) y = c e x + c 2 xe x + xe x ln x cos x + x sin x + C A-7 a) y =, x > x 2 b) y = 3e x cos 2x 2e x sin 2x c) y = c e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + cos x + 2 sin x d) y = c e 2x + c 2 xe 2x e 2x ln x, x >
19 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 A-8 ω = ±2 A-9 a) y = b) y = A- y = C x + C 2 x 3 { c e x + c 2 xe x + 2 x2 e x, a = c e x + c 2 e ax + a xex, a ( a) 2 (eax e x ) + ( a) xex A- a) y = cos 2x + 2 sin 2x + 3 cos x A-2 a) b) a = : y = C x + C 2 cos x a = ± : y = C cos x + C 2 sin x + 2 x sin x a / {, ±} : y = C cos ax + C 2 sin ax + a 2 cos x C x + 2x ex2 b) C e 2x + C 2 xe 2x + 2 x2 e 2x c) C sin x + C 2 cos x + sin x ln(sin x) x cos x A-3 C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x x A-4 C e ax + C 2 e bx når a b C e ax + C 2 xe ax når a = b C e ax + C 2 xe ax + 2 x2 e ax A-5.53;.27 A-6 y = C cos 3x + C 2 sin 3x ln(cos 3x) cos 3x + 2 x sin 3x 3 A-7 y = e x + Ce x/2, f(x) = e x e x/2 A-8 a) y 2 = + Ce +x 3, y = + 2e +x 3
20 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 b) y = C e 5x + C 2 e 2x + 3 x 7 xe 2x A-9 a) e x e x b) C e x + C 2 e x (cos x + x sin x) 2 A-2 y = C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x + x 2 2x + A-2 a) y = e x (C cos x + C 2 sin x) b) y = e x (C cos x + C 2 sin x + ) + + x A-22 x = 33 + t Når x 4 = 2, er x = 53 x 2 = 7 + t x 2 = 37 x 3 = 2 + t x 3 = 4 x 4 = t x 4 = 2 A-23 [ Gn+ U n+ ] = [ ] [ Gn U n ] ; n 2 3 G n U n A-24 A = [ ] A-25 x (t) = e 3t/5 + 2e t/5 x 2 (t) = 2e 3t/5 + 4e t/5 A-26 b) 94.8 g A-27 a) u () = Q, u 2 () = Q 2 [ ] [ ] [ u b) = c k k k 2 u e λt + c 2 (k k 2 ) 2 k k 2 k (k k 2 ) ] e λ 2t der λ = k + k (k k 2 ), λ 2 = k k (k k 2 ) og V V Q c = 2(k k 2 ) + Q 2 2 k (k k 2 ), c Q 2 = 2(k k 2 ) Q 2 2 k (k k 2 ) c) u (t) = 8e t, u 2 (t) = 9e t
21 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 2 A-28 a) A = 2 2 for a = b) Rang(M a ) = 2 for a = 3 for a ± for a = c) Dim Col(M a ) = 2 for a = 3 for a ± 3 for a = Dim Null(M a ) = 2 for a = for a ± a = : Basis for Col(M a ) : {u, u 2 } der u = [,, ] T, u 2 = [,, ] T f.eks. Basis for Null(M a ) : {v, v 2 } der v = [,,, ] T, v 2 = [,,, ] T f.eks. A-29 a) λ = 9 med oppgitt egenvektor k = [,, ] T ; λ 2,3 = 3 med egenvektorer: rk 2 + sk 3 der k 2 = [,, ] T, k 3 = [,, ] T, (r, s) (, ) 2 3 b) P = D = c) x = c k e 9t + c 2 k 2 e 3t + c 3 k 3 e 3t x() = [3,, ] T hvis c =, c 2 = c 3 = A-3 a) Nei A-3 a) P = [ ] ; D = 2 b) Ellipse [ ] 2 8 A-32 a) 3 2 (f.eks) Basis radrom A: (, 3,, 2), (,,, ) (f.eks)
22 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 22 av 25 Basis søylerom A: b) Basis for Null(A): c) 5a 2b + c (f.eks) (f.eks.) A-33 a) D = b) Parabel [ ] [ ] x 4 c) = c y 3 [ ], P = c 2 e 25t [ 3 4 [ 4 ] ] (f.eks.) A-34 a) Basis Row(A): [ 2 ] T, [ 5 ] T, [ ] T (f.eks.) Basis Col(A): [ 2 3] T, [ ] T, [ ] T (f.eks) b) Basis Null(A): [ 5 ] T, [ 2 ] T (f.eks) c) Null(A) = Row(A) d) Løsning kun for α = 3 A-35 a) λ =, v = a b) S = c) S = 6 d) x y z = c e t e) P = f) Som 3 d) + b (f.eks); D = + c 2 e t, (a, b) (, ); λ = 4, v = c (f.eks) 4 + c 3 e 4t, c
23 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 23 av 25 2 A-36 a) x = 2 + s + t ; s, t R Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) b) Basis for Row(A) : [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) Basis for Col(A) : [, 2,, 2] T, [2,, 5, 3] T, [2, 3, 4, ] T (f.eks.) A-37 Ellipse A-38 a) Basis for V : [,,, ] T, [,,, ] T (f.eks.) b) A = (f.eks.) A-39 a) a b + 2c = b) x = r + s 2 + t 2 + Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,, 2,, ] T, [ 3,, 2,, ] T c) Basis for Row(A): [, 2, 2, 3, ] T, [,,, 2, 2] T (f.eks.) (f.eks) e) A-4 a) b) Basis for Col(A): [ 3,, 2] T, [ 8, 2, 5] T (f.eks) 2,, 3 4 (f.eks.) (f.eks.)
24 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 24 av 25 A-4 a) ) α / {, 2} 2) α = 2 3) α = b) + t, t R c) λ =, egenvektorer r λ 4 =, egenvektorer r + s, r, (r, s) (, ) 3 2 d) P = , D = (f.eks) 2 4 f) y = c e t + c 2 e t + c 3 e 4t, c i R 2 A-43 a) α ± : rang A = 4 α = ± : rang A = 3 b) α ± : A = c) α ± : nøyaktig en løsning α = : mer enn en løsning α = : ingen løsning x = [ ] T A-44 b) [2 5 ] T 2/ 6 / 5 2/ 3 c) K = / 6 5/ 3 / 6 2/ 5 / 3 d) a, b, c blir egenverdiene fra a). A-45 a) F.eks. P = 2 [ b) 4(x ) 2 + (y ) 2 = ]
25 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 25 av 25 A-46 Basis f.eks.,,, dim V = 3 A-47 a = 2 ; x = 6 ( t), y = (t ), z = t, t R 6 A-48 λ A-5 A = 3 2 I 2 A
EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
Detaljer(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerUiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi
Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerSIF5010 Matematikk 3. y 00, 2y 0 +5y = sin x 4A, 2B =0 4B +2A =1;
for fakultet E og F varen 998 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Lsningsforslag eksamen varen 998 Eksamen SIF5, mai 98 a) y, y +5y sin x P (r) r, r +5; r i Som
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerLøsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMinste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
Detaljere x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, V08
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, V08 Oppgave 1 Litt av hvert. a) (10%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerObligatorisk innlevering 2 - MA 109
Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
Detaljer