HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):

Transkript

1 HJEMMEOPPGAVER (utgave av ): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen K(t) i den variable t, modulo idealet genert av polynomet x 2 + t. Finn ringe B slik at X A X A = X B. Oppgave 1 til 3. februar: Er ringen Q[s, t]/(t 2 s 3 ) et entydig faktoriseringsområde.? Oppgave 2 til 10. februar: (1) La A være en ring som er inneholdt i et entydig faktoriserings område B. Er A et entydig faktoriseringsområde? (2) La B A være en surjektiv avbildning av ringer. Anta at B er et entydig faktoriseringsområde. Er A et entydig faktoriseringsområde? (3) Er en kropp et entydig faktoriseringsområde? Oppgave 3 til 17. februar: La A være en ring og M en A-modul. Vi betegner mengden av alle A-modul homomofier u : M M med End A (M). (1) Vis at End A (M) har en naturlig struktur som en ring. (2) Vis at det finnes en naturlig ring homomorfi A End A (M). (3) Vis at ring homomorfien i punkt (2) er injektiv når M er en tro A-modul. (4) Vis at når M er en endelig generert og tro A-module så er hver kommutativ underring av End A (M) som inneholder A hel over A. (5) Er hver kommutativ underring av End A (M) som inneholder A alltid hel over A når M er en tro A-modul? Oppgave 4 til 24. februar: La Z[s, t] være polynomringen i de to uavhengige variable s og t med koeffisienter i Z. Hvilke av følgende ringer er hele over Z? (1) Z[s, t]/(2s 1, t 2 ). (2) Z[s, t]/(st 1, t 2 ). (3) Z[s, t]/(s 2 t 2 ). (4) Z[s, t]/(st 1, s 2 t 2 ). Oppgave 5 til 3 mars Finn et element u i ringen A = Z[s, t]/(s 2 t st 2 ) som er transcendent over Z og er slik at A er hel over Z[u]. Oppgave 6 til 10 mars: (1) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene 1, og s i t j med i < j. 1

2 2 (2) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene s i t j der 2 deler i + j. (3) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene s i t j der 2 deler j i og j i > 0. Oppgave 7 til 17 mars: La K være en algebraisk lukket kropp, og la K n være mengden av n- tupler av elementer i K. (1) La (a 1, a 2,..., a n ) K n. Vis at {f(t 1, t 2,..., t n K[t 1, t 2,..., t n ] : f(a 1, a 2,..., a n )} = 0 er et ideal i polynomringen K[t 1, t 2,..., t n ] og finn et endelig antall generatorer for dette idealet. (2) La (b 1, b 2,..., b n ) K n og la Vis at V = {(a 1, a 2,..., a n ) K n : a 1 b 1 + a 2 b a n b n = 0}. {f(t 1, t 2,..., t n ) K[t 1, t 2,..., t n ] : f(a 1, a 2,..., a n ) = 0 for alle (a 1, a 2,..., a n ) V er et ideal, og finn et endelig antall generatorer for dette idealet. Oppgave 8 til 24 mars: Hva er (Krull) dimensjonen til ringen K[s, t, u]/(s(t u), t(u s), u(s t))? Oppgave 9 til 31 mars: La X være et topologisk rom. For hver ikke tom åpen undermengde U av X lar vi F(U) være Z. (1) For hver inklusjon U V av ikke tomme åpne mengder i X lar vi ρ V,U : F(V ) F(U) være identitetsavbildningen. Vis at F med disse avbildningene er et pre-knippe. Hvilke av betingelsene for et knippe tilfredsstiller F? (2) For hver ekte inklusjon U V av ikke tomme åpne mengder i X lar vi ρ V,U : F(V ) F(U) være nullavbildningen, og vi lar ρ U,U = id U. Vis at F med disse avbildningene er et pre-knippe. Hvilke av betingelsene for et knippe tilfredsstiller F?

3 Oppgave 10 til 7. april: La K være en kropp og la A være en endelig generert K algebra. Sett X = Hom K -alg (A, L) og la D f = {x X : f(x) 0} for hvert element f A. (1) Beskriv de elementene f i A slik at D f =. (2) Gi en algebraisk beskrivelse av de ringene A slik at D f D g for alle f og g slik at D f = D g. Oppgave 11 til 14. april: La K være en kropp og la A = K[s, t] være polynomringen i de to uavhengige variable s og t over K. Videre la B = K[t]. Sett A 1 = X B og A 2 = X A, og la origo 0 i X B og X A være K-algebra homomorfiene B L respektive A L definert ved t 0, respective (s, t) (0, 0). (1) Vis at A 1 \ 0 er en affin varietet. (2) Vis at A 1 \ 0 er isomorf med en lukket varietet i A 2. (3) Vis at A 2 \ 0 er en varietet. (4) Vis at A 2 \ 0 ikke er isomorf med A 2. Oppgave 12 til 28. april La Y være et topologisk rom og F et pre-knippe på Y. Videre, la L være en kropp og la F L være et underknippet av knippet av alle funksjoner på Y, det vil si, for alle åpne V i Y vil F L (V ) bestå av funksjoner V L og for hver inklusjon V V av åpne mengder i Y er restriksjonen ρ V,V : F L (V ) F L (V ) gitt av ρ V,V (s ) = s V. La X være en undermengde av Y. Definer F X (U) for alle åpne undermendger U av X ved F X (U) = {(s x ) x U x U F x : for alle x U finnes en åpen undermengde V x i Y og t x F(V x ) slik at x V x, og slik at ρ Vx,y(t x ) = s y for alle y V x U}. Videre definerer vi (F L X)(U) for alle åpne U i X ved (F L X)(U) = {s F L (U) : for alle x U finnes en åpen V x i Y og t x F(V x ) slik at s(y) = t x (y) for alle y U V x }. (1) Vis at F X er et knippe på X, og bestem (F X ) x for hvert punkt x X. (2) Vis at F L X er et knippe på X, og bestem (F L X) x for hver punkt x X. (3) Vis at for hver åpen V i Y finnes det naturlige avbildninger F(V ) F X (V X) 3 og F L (V ) (F L X)(V X),

4 4 og vis at de tilsvarende avbildningene og F x (F X ) x (F L ) x (F L X) x er surjektive for alle x V X. (4) La F = F L. Vis at avbildningene i del (3) induserer en avbildning F X (V X) (F X)(V X) og at disse avbildningene, for alle åpne V i Y, definerer en avbildning av knipper F X F X. (5) La Y = X A være en affin varietet og la F = O Y. Anta at X er lukket i Y og at L er algebraisk lukket. Beskriv kjernen til avildningen fra (4), for hvert element f A. (O Y ) X (D f ) (O Y X)(D f ) Oppgave 13 til 5 mai La K være en kropp og la A være undermengden av produktet i=1 K = K N av K med seg selv N ganger, som består av elementene (f 1, f 2,... ) der f n = f n+1 = for noe n, som kan variere med elementet. (1) Vis at A er en K-algebra under avbildningen K A som sender f til (f, f,... ). (2) Beskriv alle punktene i X A. (3) Finn de irredusible komponentene til X A. Oppgave 14 til 12 mai: La A n+1 være det affine n + 1-dimensjonale rommet definert over en kropp K med punkter i en utvidelse L. Vi definerer en ekvivalensrelasjon på punktene i A n+1 \ {0} ved (f 0, f 1,..., f n ) (g 0, g 1,..., g n ) når det finnes et element h L slik at f i = hg i for alle i. La P n være rommet som består av ekvivalensklassene. Vi får en residyavbildning ϕ : A n+1 \ {0} P n. Gi P n topologien slik at V er åpen i P n hvis og bare hvis ϕ 1 (V ) is åpen in A n+1 \ {0}. (1) Vis at vi har en kontinuerlig avbildning av topologiske rom ϕ i : A n P n for i = 0, 1,..., n gitt av ϕ i (f 1, f 2,..., f n ) = (f 1,..., f i 1, 1, f i,..., f n ) som er en homeomorfi på sitt bilde U i. (2) Vis at du kan gi P n en entydig struktur som varietet slik at morfismen ϕ i iduserer en isomorfi mellom varieten A n og varietetene indusert av P n på U i.

5 5 (3) Vis at med denne strukturen som varietet vil avbildningen ϕ være en morfi av varieteter. (4) Er morfismen ϕ affin? (5) La X = V(t 0 t 1 t 2 t 3 ) \ {0} være undervarieteten av A 4 \ {0} av punkter (f 0, f 1, f 2, f 3 ) slik at f 0 f 1 = f 2 f 3. Er den induserte morfismen ϕ X : X P 3 endelig? Oppgave 15 til 19 mai: La A være en algebra over en vilkårlig kropp K som er et integritetsområde. (1) La I være et ideal i polynomringen K[t]. Vis at det finnes en kanonisk isomorfi av K-algebraer K[t]/I K K[t]/I K[x, y]/j til restklasseringen av polynomringen K[, x, y] i to variable modulo idealet J generert av alle elementene f(x) og f(y) med f(t) I. (2) Er A K A et integritetsområde? (3) Er A K A redusert? Gi bevis eller moteksempler.