For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

Transkript

1 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en B-algebra via multilikasjonen av b B med u Hom A (B, A) definert ved (bu)(b ) = u(bb ) for alle b i B. 1.2 Adjunksjon av en rot til et olynom. La B være en A-algebra og la f(t) = T n b 1 T n ( 1) n b n være et olynom med koeffisienter i B. Sett der ξ er klassen til T modulo f. B[ξ] = B[T]/(f) 1.3 Proosisjon. Vi har at B[ξ] er en fri B-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 og vi har en slitting f(t) = (T ξ)g(t) over B[ξ][T]. For hvert element c C og hver A-algebra homomorfi ϕ : B C har vi at ϕ kan utvides til en A-algebra homomorfi slik at ψ(ξ) = c, hvis og bare hvis ψ : B[ξ] C (ϕf)(t) := T n ϕ(b 1 )T n ( 1) n ϕ(b n ) = (T c)h(t) i C[T], det vil si, c er en rot i (ϕf)(t). Når c er en rot i (ϕf)(t) vil h(t) = (ϕg)(t) og homomorfien ψ er entydig bestemt av c. Bevis. Alle åstandene i roosisjonen følger umiddelbart av definisjonen av restklasseringen B[T]/(f). 1 Tyeset by AMS-TEX

2 1.4 Definisjon. La : B[ξ] B være den B-lineære homomorfien definert av { 1 for i = n 1 (ξ i ) = 0 for 0 i < n Lemma. (Thoru) Avbildningen av B[ξ]-moduler Hom A (B, A) B B[ξ] Hom A (B[ξ], A) som avbilder u f til fu er en isomorfi. Sesielt vil Hom A (A[ξ], A) være en fri A[ξ]-modul med basis. Bevis. La v : B[ξ] A være A-lineær. Vi skal vise at det finnes entydige homomorfier u 0, u 1,..., u n 1 i Hom A (B, A) slik at u 0 ξ 0 + u 1 ξ u n 1 ξ n 1 avbildes å v. Det vil si v(bξ i ) = u 0 (bξ i ) + u 1 (bξ i+1 ) + + u n 1 (bξ i+n 1 ) for alle b i B og i = 0, 1,..., n 1. Setter vi suksessivt i til 0, 1,..., n 1 får vi først v(b) = u n 1 (b) som bestemmer u n 1 entydig. Deretter får vi v(bξ i ) u n i 1 (b) uttrykket ved verdiene til u n i,..., u n 1 å elementer i B. Derfor får vi, rekursivt etter i, bestemt u n 1, u n 2,..., u 0 entydig slik at v = u 0 +ξu 1 + +ξ n 1 u n 1. Vi har dermed vist at avbildningen i lemmaet er surjektiv. Av entydigheten av u 0, u 1,..., u n 1 følger det at den også er injektiv. 2. Adjunksjon av røtter og lineær rekursjon 2.1 Notasjon. La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 2.2 Setning. Det er en bijektiv korresondanse mellom A-modul homomorfier u : A[ξ] A og løsninger a 0, a 1,... av den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Korresondansen tilordner til u sekvensen a 0 = u(ξ 0 ), a 1 = u(ξ), a 2 = u(ξ 2 ),.... Bevis. En A-modul homomorfi u : A[ξ] A svarer til en A-modul homomorfi v : A[T] A som er null å idealet generert av (T), det vil si, som er null å elementene T i (T n c 1 T n 1 + +( 1) n c n ) for i = 0, 1,.... Med andre ord svarer v til en sekvens a 0 = v(t 0 ), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... av elementer i A slik at v(t i+n c 1 T i+n ( 1) n c n T i ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Dette viser setningen. 2

3 3.1 Notasjon. La A være en ring og la 3. Slitting algebraer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. For hver A-algebra ϕ : A B betrakter vi (T) som et olynom i B[T] via ϕ, det vil si, vi skriver (ϕ)(t) = T n ϕ(c n ) + + ( 1) n ϕ(c n ) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T). 3.2 Definisjon. La 1 d n. En d te slitting algebra for (T) over A er en A- algebra som reresenterer den kontravariante funktoren fra A-algebraer til mengder som til en A-algebra homomorfi ϕ : A B tilordner slittinger (ϕ)(t) := T n ϕ(c 1 )T n ( 1) n ϕ(c n ) = (T b 1 ) (T b d )g(t) i B[T] der b 1,..., b d er en sekvens av røtter i B. En A-algebra homomorfi ψ : B C avbilder en slik slitting til ((ψϕ))(t) = (T ψ(b 1 )) (T ψ(b d )(ψg)(t). Røttene ξ 1,..., ξ d i den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) av (T) over en slitting algebra kalles universelle røtter. Når d = n kaller vi en slitting algebra en total slitting algebra. 3.3 Setning. For hvert d finnes det en d te slitting algebra. En slitting algebra er generert som A-algebra av de universelle røttene ξ 1,..., ξ d, og som A-modul er den fri av rang n! (n d)! generert av elementene ξ h 1 1 ξh 2 2 ξh d d med 0 h i n i for i = 1,..., d. (3.3.1) Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 har vi ved adjunksjon av en rot til (T) i Proosisjon 1.3 at A[ξ 1 ] = A[T]/() er en første slitting algebra med klassen ξ 1 til T modulo (T) som universell rot, og A[ξ 1 ] har egenskaene i setningen. Ved induksjonshyotesen har vi at det finnes en (d 1) ste slitting algebra A [ξ 2,..., ξ d ] for 1 (T) = (T) T ξ 1 over A = A[ξ] som er fri som A -modul med basis ξ h 2 2 ξh d d der 0 h i n i for i = 2,..., d. Det er klart at A [ξ 2,..., ξ d ] = A[ξ 1,..., ξ d ] har A-modul basen (3.3.1). Det gjenstår å vise at A[ξ 1,..., ξ d ] er en d te slitting algebra. La ϕ : A B være en A-algebra homomorfi og la (ϕ)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t) 3

4 være en slitting av (ϕ)(t) over B[T]. Ved tilfellet d = 1 finnes det en entydig A-algebra homomorfi ϕ : A B slik at ϕ (ξ 1 ) = b 1. Vi har at koeffisientene til 1 (T) = (T) T ξ 1 avbildes ved ϕ å de tilsvarende koeffisientene til g (T) := (T b 2 ) (T b d )g(t). Ettersom A [ξ 2,..., ξ d ] er en (d 1) te slitting algebra for 1 (T) over A får vi en entydig A -algebra homomorfi ψ : A [ξ 2,..., ξ d ] B slik at ψ(ξ i ) = b i for i = 2,..., d. Derfor avbilder ψ de universelle røttene ξ 1,..., ξ d til b 1,..., b d resektive, og derfor gir den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) slittingen (ϕf)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t). 3.4 Alternativ konstruksjon av den totale slitting algebraen. Betegn med A[T 1,..., T n ] olynomringen over A i de variable T 1,..., T n og la c i (T 1,..., T n ) være de elementære symmetriske funksjonene for i = 1,..., n. Da vil restklasseringen A[ξ 1,..., ξ n ] til olynomringen A[T 1,..., T n ] modulo idealet generert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n være en n te slitting algebra for (T) over A, der klassene ξ 1,..., ξ n til T 1,..., T n resektive, modulo dette idealet er de universelle røttene. Den universelle slittingen (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T ξ 1 ) (T ξ n ) over A[ξ 1,..., ξ n ] er indusert av slittingen (T T 1 ) (T T n ) = T n c 1 (T,..., T n )T n ( 1) n c n (T 1,..., T n ). Alle åstandene er klare. 3.5 Lemma. La : A[ξ 1,..., ξ d ] A være den A-lineære avbildningen definert ved (ξ h 1 1 ξh d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. Da er sammensetningen av de A[ξ 1,..., ξ i 1 ]-lineære avbildningene definert ved for i = 1,..., d. Bevis. Dette er helt klart. i : A[ξ 1,..., ξ i ] A[ξ 1,..., ξ i 1 ] { i (ξ h i 1 om hi = n i i ) = 0 om 0 h i < n i 4

5 3.6 Setning. (Thoru) La A[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for olynomet (T). Da vil A[ξ 1,..., ξ d ]-modul homomorfien Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) som avbilder u f til fu være en isomorfi. Med andre ord, Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) er en fri A[ξ 1,..., ξ d ]-modul med basis. Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 er setningen Lemma 1.5 med B = A. Anta at setningen gjelder for d 1. Vi har da en isomorfi av A[ξ 1,..., ξ d 1 ]-moduler Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d 1 ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.1) Av Lemma 1.5 med B = A[ξ 1,..., ξ d 1 ] får vi en isomorfi av B[ξ d]-moduler Hom A (A[ξ 1,..., ξ d 1 ], A) A[ξ1,...,ξ d 1 ] A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.2) Tensorierer vi begge sidene av (3.6.1) med A[ξ 1,..., ξ d ] over A[ξ 1,..., ξ d 1 ] og bruker (3.6.2) følger isomorfien i setningen av Lemma Residuer 4.1 Notasjon. En Laurent rekke er en formell otensrekke + b 2 T 2 + b 1 T + b 0 + b 1 T + b 2 T 2 + i ositive og negative otenser av T med koeffisienter i en ring. La g i = + g i,2 T 2 + g i,1 T + g i,0 + g i, 1 T være Laurent rekker for i = 1,..., d. Vi setter Res(g 1,..., g d ) = det. La g 1, 1 g 1, 2... g 1, d g 2, 1 g 2, 2... g 2, d. + g i, 2 T g d, 1 g d, 2... g d, d (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. Vi definerer elementer s i i A for alle heltall i ved 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n T n = s 0 + s 1 T + s 2 T 2 +. Da vil T i (T) = T i n 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n = T i n (1 + s 1 T T + s 2 + ). (4.1.1) T 2 n 5.

6 4.2 Lemma. Vi har at Res(g 1,..., g d ) er multilineær og alternerende i g 1,..., g d og den er null om minst en av g i ene er en otensrekke i T. Videre har vi s h1 n+1 s h1 n+2... s h1 n+d Res( T h 1 hd T s h2 n+1 s h2 n+2... s h2 n+d,..., ) = det s hd n+1 s hd n+2... s hd n+d Bevis. Påstandene følger umiddelbart av definisjonen å Res og av formelen (4.1.1) T for i (T). 4.3 Proosisjon. Sett Da vil for i = 1, 2,.... Res( T n C i =. s 1 s 2... s i 1 s i s 0 s 1... s i 2 s i s 0 s 1. n i+1 T,..., ) = det(c i ) = c i Bevis. Den første likheten i roosisjonen følger umiddelbart av formelen i Lemma 4.2. For å vise den andre utvikler vi determinanten til etter første søyle. Vi får at s i s 1 s 2... s i 1 s i s i 1 s 0 s 1... s i 2 s i s s0 s i det(c 1 )s i ( 1) i det(c i )s 0 = 0 for i = 0, 1,.... Det vil si 1 = (1 det(c 1 )T + det(c 2 )T 2 )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ), som gir det(c i ) = c i for alle heltall i. 4.4 Setning. Sett R(T h 1 1 T h d n ) = Res( T h 1,..., T h d ). Vi har (1) (2) R(T h 1 1 T h d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. R(T n 1 1 T n d d T j1 T ji ) = R(T1 n T n i+1 i ) om j i i for i = 1,..., i og i d 0 ellers, når 0 < j 1 < j 2 < < j i d. 6

7 Bevis. Betingelsene 0 h i n i for i = 1,..., d betyr at d d-matrisen (s hi n+j) som definerer R(T h 1 1 T h d d ) er øvre triangulær. Når h i = n i for i = 1,..., d har den 1 = s 0 å diagonalen, og om h j < n j for noe j har den en null å diagonalen i rad j. Påstand (1) følger at dette. For å vise åstand (2) merker vi oss først at matrisen som definerer residuen R(T h 1 1 T h d d T j 1 T ji ) har s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen unntatt i radene j 1,..., j i der den har s 1 å diagonalen, s 0 til venstre om diagonalen, og nuller til venstre om s 0. Sesielt er determinanten til matrisen som definerer R(T h 1 1 T h d d T 1 T i ) lik det(c i ). Videre er det(c i ) = R(T1 n Tn i+1 k ) så vi har vist første delene av (2). Om j h h for noe h har vi j h 1 < j h 1. Da har rekke j h 1 elementet s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen, det vil si, den er lik rekke j h. Vi har derfor vist åstand (2). 5.1 Notasjon. Som tidligere lar vi Slitting algebraer og residuer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. La A[T 1,..., T n ] være olynomringen over A i de n uavhengige variable T 1,..., T n. Vi identifiserer A[T 1,..., T n ] med tensor roduktet n A A[T] å den naturlige måten. De elementære symmetriske funsjonene i de variable T 1,..., T n betegner vi med c 1 (T 1,..., T n ),...c n (T 1,..., T n ). Avbildningen R : n A[T] A A definert ved ( f1 R (f 1 f n ) = Res,..., f ) n er da den samme som avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A definert ved ( f1 R (f 1 (T 1 ) f n (T n )) = Res,..., f ) n for alle f 1 (T),..., f(n(t) i A[T]. 7

8 5.2 Setning. Avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A forsvinner å idealet genert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n. Det vil si, den induserer en avbildning A[ξ 1,..., ξ n ] A å den fullstendige slitting algebraen for olynomet (T) som avbilder elementet f 1 (ξ 1 ) f n (ξ n ) til Res( f 1,..., f n ). Bevis. Av lineariteten til Res rekker det å vise at R forsvinner å elementene å formen T h 1 1 T h n n (c i(t 1,..., T n ) c i ) = 0 for alle h 1,..., h n og i = 1,..., n. For hvert olynom f(t) i A[T] kan vi skrive f(t) = q(t)(t) + r(t) i A[T] med r(t) av grad strikt mindre enn n. Bruker vi dette for T 1,..., T n følger det av lineariteten av Res at vi kan anta at h i < n for i = 1,..., n. Ettersom Res er alternerende i de variable T 1,..., T n og c i (T 1,..., T n ) er symmetrisk i de samme variablene kan vi anta at n 1 h 1 > h 2 > > h n 0, det vil si h i = n i for i = 1,..., n. Av Setning 4.4 følger det at det eneste leddet i T h 1 1 T h n n c i(t 1,..., T n ) som gir bidrag når vi bruker Res er T n 1 1 Tn 0T 1 T i, og dette bidraget er c i. 5.3 Korollar. Setter vi sammen avbildningen A[ξ 1,..., ξ n ] A med avbildningen A[ξ 1,..., ξ d ] A[ξ 1,..., ξ n ] vi får ved multilikasjon med ξ n d 1 d+1 ξ n d 2 d+2 ξn 0 får vi den A-lineære avbildningen : A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i Lemma 3.5. Sesielt vil (f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d )) = Res( f 1,..., f d ) for alle f 1 (T),..., f d (T) i A[T]. Bevis. Per definisjon avbilder sammensetningen A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i korollaret f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d ) til Res( f 1,..., f d, T n d 1, T n d 2,..., T0 ) som klart er lik Res( f 1,..., f d ). At sammensetningen er følger av at den, ved Setning 4.4 (1), har samme verdier som å elementene ξ h 1 1 ξh d d når 0 h i n i for i = 1,..., d, og disse elementene danner en A-modul basis for A[ξ 1,..., ξ d ]. 8

9 FORELESNINGEN For æresdoktoratet i Bergen 28 august Takk (1) Vanskelig å være originell. (2) Bedre i Bergen. Ble interessert i matematikk. (3) I dag, takk for grunnen til at jeg er her. 2. Innledning Alle kjenner lineære rekursjoner sesielt Fibonacci tallene som tilfredsstiller rekursjonen og a 0 = a 1 = 1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21 a i+2 a i+1 a i = 0 for i = 0, 1,... Alle geometre kjenner Schubert regning. Sesielt roblemet med å finne antallet linjer som skjærer fire linjer i rommet. Emnet for min hovedogave i Bergen var lineære rekursjoner og halve min Ph.D. avhandling handlet om Schubert regning. Sesielt de siste årene har jeg beskjeftiget meg mye med Schubert regning. Sist jeg var i Bergen snakket jeg om studiet av lineære rekursjoner ved Matematisk Institutt i Bergen å 60 tallet. I forbindelse med foredraget odaget jeg at det i mange situasjoner er fordelaktig å betrakte lineære rekursjoner fra en litt annen synsvinkel enn den vanlige. Da jeg skulle forberede dette foredraget odaget jeg, til min store glede, at dette synsunktet leder til en generalisering av lineære rekursjonene som er helt analog med formalismen for Schubert regning. Jeg skal nu skissere hvordan dette gjøres. 3. Lineære rekursjoner og adjunksjon av røtter La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 9 Tyeset by AMS-TEX

10 Adjunksjon av en rot til. La A[ξ] = A[T]/() være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A-modulo, der ξ er restklassen til T. Da er (ξ) = 0 og A[ξ] en fri A-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1. En A-lineær homomorfi u : A[ξ] A er bestemt av en A-lineær homomorfi v : A[T] A som er null å elementene T i (T) for i = 0, 1,.... Det vil si, den er bestemt av en sekvens av elementer i A som tilfredsstiller a 0 = v(1), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... v(t i (T n c 1 T n ( 1) n c n ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Vi ser at Løsninger a 0, a 1,... til den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,... svarer til A-lineære homomorfier u : A[ξ] A. Til den fundamentale løsningen til den linære rekursjonen 0, 0,..., 0, 1, a n, a n+1,... svarer homomorfien bestemt av : A[ξ] A { 0 når 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 får i = n 1. Vi får 0, 0,..., 1, a n, a n+1, = (ξ 0 ), (ξ 1 ),..., (ξ n 1 ), (ξ n ), (ξ n+1 ),

11 Omnummerering. Vi ser at det kan være raktisk å omnummererer fundamentalsekvensen ved å sette (ξ i ) = s i n+1 for i = 0, 1,... så sekvensen blir 0, 0,..., 0, 1, s 1, s 2,... og tilfredsstiller rekursjonen s i+1 c 1 s i + + ( 1) n c n s i n+1 = 0 for i = 0, 1,.... Dette er det samme som at elementene s 0 = 1, s 1, s 2,... er den entydige løsningen til ligningen 1 = (1 c 1 T + c 2 T 2 + ( 1) n c n T n )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ). Merk. En fordel ved å betrakte lineære rekursjoner som lineære avbildninger er at vi kan forklare hvorfor er fundamental å følgende måte: Hom A (A[ξ], A) er en fri A[ξ]-modul med basis. 4. Analogi med geometrien La P n 1 være det rojetktive rommet av dimensjon n 1. Vi kan se dette som rommet av linjer i det n-dimensjonale rommet F 1 E. Rommet P n 1 har en kohomologiring H (P n 1 ). Dette er en fri Z-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 der ξ er klassen til et hyerlan i P n 1. Her er ξ n = 0 og vi har en naturlig Gysin homomorfi : H (P n 1 ) Z bestemt av { 0 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 i = n 1. Bemerkning. Vi ser at vi er i samme situasjon som for lineære rekursjoner når A = Z og (T) = T n. I en mer generell situasjon når E er en lokalt fri modul av rang n over et rom S med bivariant teori og vi betrakter Proj(E) får vi A = H (S) og olynomet blir (T) = T n c 1 (E)T n ( 1) n c n (E). I geometrien går man lenger og studerer flag mangfoldigheter Flag 2 (E) som arametriserer flag F 1 F 2 E der E er et fast rom av dimensjon n og F 1 og F 2 er underrom av E med dim(f i ) = i. Mangfoldigheten Flag 2 (E) har også en kohomolgiring H (Flag 2 (E)). Denne får vi som følger: 11

12 Sett ξ 1 = ξ og og la 1 (T) = (T) T ξ 1 = T n T ξ 1 Z[ξ 1, ξ 2 ] = Z[ξ 1 ][T]/( 1 ) være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i Z[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at Z[ξ 1, ξ 2 ] er en fri Z-module med basis Videre har vi en Z[ξ 1 ]-lineær avbildning bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. 2 : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z[ξ 1 ] 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2. Sammen med den Z-lineære avbildningen Z[ξ 1 ] Z ovenfor får vi en Z-lineær avbildning : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z bestemt av Vi har en naturlig isomorfi (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. Z[ξ 1, ξ 2 ] H (Flag 2 (E)). Avbildningen svarer til Gysin homomorfien H (Flag 2 (E)) Z. 5. Itererte lineære rekursjoner Vi vender nu tilbake til den mer generelle situasjonen med en ring A og et olynom (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n med koeffisienter i A. Som ovenfor setter vi ξ 1 = ξ og 1 (T) = (T) T ξ 1 og vi lar A[ξ 1, ξ 2 ] = A[ξ 1 ][T]/( 1 ) 12

13 være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at A[ξ 1, ξ 2 ] er en fri A-module med basis Videre har vi en A[ξ 1 ]-lineær homomorfi bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. : A[ξ 1, ξ 2 ] A 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2 som sammensatt med den A-lineære homomorfien A[ξ 1 ] = A[ξ] A ovenfor gir en A-lineær homomorfi : A[ξ 1, ξ 2 ] A bestemt av (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. I analogi med resultatet ovenfor har vi: Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) er en fri A[ξ 1, ξ 2 ]-modul med basis. Til hvert element u i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) svarer en 2-dimensjonal sekvens u(ξ h 1 1 ξh 2 2 ) for h 1, h 2, = 0, 1,.... For har vi det vakre resultatet: (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = det s h1 n+1 s h1 n+2 s h2 n+1 s h2 n+2. Forslag. Resultatene ovenfor antyder at det er naturlig å kalle sekvensene som svarer til elementene i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) for løsninger til den itererte lineære rekursjonen gitt av (T), og at svarer til fundamentalsekvensen. 13

14 h 2, h s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 h 2, h 1 s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s (ξ h 1 ξ h 2 2 ) for den lineære rekursjonen med olynom x3 x 2 x 1 h 2 \ h

15 6. Forbindelse med Schubert regning Schubert varieteter. La Grass 2 (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer 2-dimensjonale underrom av E. Vi har en naturlig avbildning Q E Flag 2 (E) Grass 2 (E) som avbilder flagget F 1 F 2 E til F 2 E. Dette gir en inklusjon som svarer til inklusjonen H (Grass 2 (E)) H (Flag 2 (E)) Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] A[ξ 1, ξ 2 ] der c 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og c 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 ξ 2. Vi fikserer underrom 0 A 1 A 2 E av E og lar Ω(A 1, A 2 ) være varieteten i Grass 2 (E) av underrom Q E slik at dim(q A i ) i for i = 1, 2. Eksemel. Om dim(a 1 ) = 2 svarer A 1 til en linje L 1 i P n 1 og Ω(A 1, E) svarer til de Q E slik at dim(q A 1 ) 1, det vil si Q svarer til en linje L i P n 1 som skjærer L 1. Problemet med fire linjer i rommet svarer til å finne antall unkter i Ω(L 1 ) Ω(L 2 ) Ω(L 3 ) Ω(L 4 ). Schubert cykler. Når dim(a i ) = a i lar vi Ω(a 1, a 2 ) være klassen til Ω(A 1, A 2 ) i H (Grass 2 (E)). Klassene Ω(a 1, a 2 ) for 1 a 1 < a 2 n kalles Schubert sykler og danner en Z-modul basis for H (Grass 2 (E)) og regning med disse klassene kalles Schubert regning. Eksemel. Problemet med de fine linjene er å finne Ω(2, 4) 4 når n = 4. Definer s 0 (ξ 1, ξ 2 ) = 1, s 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2, s 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ ξ 1ξ 2 + ξ 2 2,... ved ligningen 1 = (1 c 1 (ξ 1, ξ 2 )T + c 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 )(1 + s 1 (ξ 1, ξ 2 )T + s 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 ) i Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )][T]. Da har vi følgende fundamentale formel kalt Giambellis formel: Ω(a 1, a 2 ) =. s n 2 a 1 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a1 +2(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +2(ξ 1,ξ 2 ) 15

16 Eksemel. La n = 4. Vi får Ω(2, 4) = s 1(ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) 0 s 0 (ξ 1,ξ 2 ) = s 1 (ξ 1 ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og Ω(1, 2) = = ξ1 2ξ2 2 = klassen til et unkt ågrass2 (E). Vi får s 2(ξ 1,ξ 2 ) s 3 (ξ 1,ξ 2 ) s 1 (ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) Ω(2, 4) 4 = (ξ 1 + ξ 2 ) 4 = 4ξ 3 1ξ 2 + 6ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2 = 4(ξ 3 1ξ 2 + ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2) + 2ξ 2 1ξ 2 2 = 2, siden 1 (T) = T 3 + ξ 1 T 2 + ξ 2 1 T + ξ3 1 har roten ξ 2. Bemerkning. Vi ser at Schubert regning svarer til itererte lineære rekursjoner i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] og (T) = (T ξ 1 )(T ξ 2 ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) til Ω(a 1, a 2 ) når h i = n a i. 7. Generalisering av arameterrom La Flag d (E) være flag mangfoldigheten som arametriserer flag F 1 F 2 F d E av underrom av E med dim(f i ) = i. Da vil Flag 1 (E) = P n 1. Videre lar vi Grass d (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer d-dimensjonale underrom Q E av E. Fikser underrom 0 A 1 A 2 A d E av E og sett dim(a i ) = a i. Vi lar Ω(A 1,..., A i ) være Schubert varieteten i Grass d (E) som arametriserer de underrommene Q E av dimensjon d som tilfredsstiller betingelsene dim(q A j ) j for j = 1,..., i. Merk. (1) dim(flag d (E)) = n 1 + n n d. (2) dim(grass d (E)) = d(n d). (3) dim(ω(a 1,..., A k )) = (d i)(n d) + a a a i i. 8. Generalisering av kohomologi Mangfoldighetene Flag d (E) og Grass d (E) har kohomologiringer H (Flag d (E)), resektive, H (Grass d (E)). Sett dim(a j ) = a j for j = 1,..., i. Undervarieteten Ω(A 1,..., A k ) definerer en klasse Ω(a 1,..., a i ) i H (Grass d (E)). Når i = d vil klassene Ω(a 1,..., a d ) for 0 < a 1 < < a d n 16

17 danne en Z-modul basis for H (Grass d (E)). Regning med klassene Ω(a 1,..., a d ) kalles Schubert regning. La Z[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for T n og definer elementer og i Z[ξ 1,..., ξ d ] ved og c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d ) s 0 (ξ 1,..., ξ d ) = 1, s 1 (ξ 1,..., ξ d ), s 2 (ξ 1,..., ξ d ),... q(t) := (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T d c d (ξ 1,..., ξ d ) 1 = (1 c 1 (ξ 1,..., ξ d )T + + ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d )T d ) Vi har kanoniske isomorfier og (1 + s 1 (ξ 1,..., ξ d )T + s 2 (ξ 1,..., ξ d )T 2 + ). Z[ξ 1,..., ξ d ] H (Flag d (E)) A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] H (Grass d (E)). Den naturlige avbildningen Flag d (E) Grass d (E) som avbilder et flag F 1 F 2 F d E til F d E gir en kanonisk avbildning Denne svarer til inklusjonen Vi har Giambelli s formel: Ω(a 1,..., a i ) = Res( T n a 1 La H (Grass d (E)) H (Flag d (E)). Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] Z[ξ 1,..., ξ d ]. q,..., T n a i q ) = E G Q s n d a1 +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d a1 +i(ξ 1,...,ξ d ) s n d ai +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d ai +i(ξ 1,...,ξ d ) være den universelle kvotienten å G = Grass d (E) og la Flag i (Q) være flag mangfoldiheten som arametriserer flag F 1 F 2 F i Q der rk(f i ) = i. Videre lar vi Flag(A 1,..., A i ) betegne undermangfoldigheten av Flag i (Q) som tilfredsstiller F 1 F 2 F i A 1 A 2 A i. 17.

18 Merk. (1) dim(flag i (Q)) = d(n d) + d 1 + d d i. (2) dim(flag(a 1,..., A i )) = (d i)(n d) + a a a i i. Med A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] har vi at A[ξ 1,..., ξ i ] er en i te slitting algebra for olynomet q(t) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T k ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d ). Vi har en kanonisk isomorfi A[ξ 1,..., ξ i ] H (Flag i (Q)). Strukturavbildningen Flag i (Q) Grass d (E) gir en Gysin avbildning og denne svarer til avbildningen får vi Setter vi H (Flag i (Q)) H (Grass d (E)) : A[ξ 1,..., ξ i ] A. h j = n a j Ω(a 1,..., a i k) = (ξ n a 1 1 ξ n a i i ) = (ξ h 1 1 ξh i i ). Konklusjon. Vi ser at Schubert regning svarer til i te itererte lineære rekursjon i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] og (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh i i ) til Ω(a 1,..., a i ) når h j = n a j for j = 1,..., i. 18