Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Transkript

1 Notat 4 for MAT Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til A, som skrives: Med en slik notasjon får vi: A = {x : A A x A}. (1) {A, B} = A B. (2) Tilsvarende kan man definere, når A er en ikke-tom mengde bestående av mengder: A = {x : A A x A}, (3) Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: {A, B} = A B. (4) I praksis opptrer snitt og union ofte på en litt annerledes måte. Definisjon 4.1 (Familier). 1 La U være en mengde og I en annen mengde. En familie delmengder av U indeksert av I er en avbildning fra I til P(U). Når A er en familie indeksert av I er det vanlig å skrive A i heller enn A(i) for verdien til A i i I og å betegne familien A som (A i ) i I. Merk at vi skriver verdimengden til A som: {A i : i I}. (5) Det er vanlig å identifisere familier med samme graf, slik at det eneste som bare skiller dem er kodomenet. Definisjon 4.2. La U være en mengde og (A i ) i I en familie delmengder av U. Vi definerer snittet til familien ved: og unionen ved: i I A i = {x U : i I x A i }, (6) i I A i = {x U : i I x A i }. (7) 1 Det er vanlig å være litt upresis på dette området. Vi anser at det ikke er uvesentlig at familier er indekserte med noe, i dette tilfellet I. Vi skiller mellom en mengde delmengder av U, slik som (5) og en indeksert familie delmengder av U. 1

2 Disse nye definisjonene tilsvarer de gamle ved at: i I A i = {A i : i I}, (8) og: i I A i = {A i : i I}. (9) Proposisjon 4.1. La I og U være mengder, der I ikke er tom. La (A i ) i I være en familie delmengder av U indeksert av I og la B være en delmengde av U. Vi har: j I A j i I A i, (10) j I B i I B i I C U ( i I C U ( i I A i A j, (11) i I A i = i I(B A i ), (12) A i = i I(B A i ), (13) A i ) = i I C U (A i ), (14) A i ) = i I C U (A i ). (15) Produkt. Vi har definert A B som en mengde bestående av par, men vi kan definere andre mengder som likner til forveksling, men som består av avbildninger. Anta at U er en mengde som har både A og B som delmengder, for eksempel A B. Vi definerer: C = {f U {0,1} : f(0) A f(1) B}. (16) Vi kan da definere den naturlige avbildningen: { C A B, f (f(0), f(1)). (17) For hvert par (x, y) A B finnes det en og bare en f C slik at f(0) = x og f(1) = y. Man kan da velge å identifisere C med A B. Et nyttig spesialtilfelle består i å ikke skille mellom A {0,1} og A A. Denne identifiseringen er grunnlaget for følgende generelle konstruksjon: Definisjon 4.3. La I og U være en mengder og (A i ) i I en familie delmengder av U. Vi definerer: A i = {f U I : i I f(i) A i }. (18) i I 2

3 Under forutsetningene i definisjonen, anta videre at I ikke er tom. Dersom det eksisterer i I slik at A i = har vi i I A i =. At følgende krever et aksiom er ganske overraskende. Aksiom 4.2 (Utvalgsaksiomet). La (A i ) i I være en familie mengder. Vi har da: ( i I A i ) = i I A i. (19) Med andre ord, dersom hver A i kan vi velge et element f(i) A i for hver i I. Da vil f være et element i i I A i. Grunnen til at det trengs et aksiom er at I kan være uendelig, slik at man gjør uendelig mange valg simultant. 4.2 Injeksjon, surjeksjon, bijeksjon Definisjon 4.4. La f : A B være en avbildning. Vi sier at f er injektiv dersom: Vi sier at f er surjektiv dersom: x, x A f(x) = f(x ) = x = x. (20) y B x A f(x) = y. (21) Vi sier at f er bijektiv dersom f er både injektiv og surjektiv. Bemerkning 4.1. En annen måte å si det på er at: f er injektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y maksimum én løsning x A. f er surjektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y minimum én løsning x A. f er bijektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y én og bare én løsning x A. Proposisjon 4.2. Dersom f : A B er bijektiv kan vi danne den avbildningen g : B A som til hvert y B assosierer løsningen x A til likningen f(x) = y. Den tilfredsstiller g f = id A og f g = id B. Bevis: For hver y B har vi f(g(y)) = y slik at f g = id B. For x A har vi at f(g(f(x)) = (f g)(f(x)) = id B (f(x)) = f(x). Siden f er injektiv får vi da g(f(x)) = x. Dette viser at g f = id A. 3

4 Definisjon 4.5. Når f er bijektiv kalles avbildningen g definert i forrige proposisjon, for inversavbildningen til f og skrives f 1. Proposisjon 4.3. Anta A ikke er tom. f : A B er injektiv hvis og bare hvis det finnes g : B A slik at g f = id A. Bevis: (i) Anta f er injektiv. Velg z A. Vi definerer g som følger. Hvis y V f finnes det en og bare en x A slik at f(x) = y ; vi definerer da g(y) = x. Dersom y V f definerer vi f(y) = z. Vi har da g(f(x)) = x for alle x A, slik at g f = id A. (ii) Anta at g f = id A. Anta x, x A og at f(x) = f(x ). Da får vi g(f(x)) = g(f(x )), altså x = x. Proposisjon 4.4. f : A B er surjektiv hvis og bare hvis det finnes g : B A slik at f g = id B. Denne proposisjonen bruker utvalgsaksiomet (og er ekvivalent med det). Bevis: (i) Anta at f er surjektiv. Definer, for hver y B: A y = {x A : f(x) = y}. (22) Vi vet at for hver y B er A y ikke tom. Fra utvalgsaksiomet er produktet ikke tomt: A y. (23) y B Velg derfor en avbildning g : B A som ligger i produktet. For hver y B har vi valgt g(y) A y, slik at f(g(y)) = y. Med andre ord har vi f g = id B. (ii) Anta f g = id B. For hver y B vil g(y) A og f(g(y)) = y slik at f er surjektiv. Proposisjon 4.5. La f : A B og g : B C være avbildninger. Hvis f og g er injektive er g f injektiv. Hvis f og g er surjektive er g f surjektiv. Hvis g f er injektiv er f injektiv. Hvis g f er surjektiv er g surjektiv. Proposisjon 4.6. La f : A B og g, g : B A. Hvis g f = id A og f g = id B, så har vi at: g = g. 4

5 f er en bijeksjon. g er inversavbildningen til f. Bevis: (i) Vi har: g = g id B = g (f g ) = (g f) g = id B g = g. (24) (ii) Siden g f = id A, er f injektiv. Siden f g = id B er f surjektiv. Dermed er f bijektiv. (iii) For hver y B tilfredsstiller x = g(y) at f(x) = y, og det er bare en slik x, slik at g er inversavbildningen til f. Proposisjon 4.7. Dersom f : A B er bijektiv, er f 1 : B A bijektiv og (f 1 ) 1 = f. Dersom f : A B og g : B C er bijektive, er g f bijektiv og (g f) 1 = f 1 g 1. Teorem 4.8 (Cantor). La A være en mengde. Det finnes ingen surjeksjon A P(A). Det finnes heller ingen injeksjon P(A) A. Bevis: (i) Anta for motsigelse at f : A P(A) er surjektiv. Vi definerer: B = {x A : x f(x)}. (25) Siden f er surjektiv kan vi velge a A slik at B = f(a). Vi får da: Dette er en selvmotsigelse. a B a B. (26) (ii) Anta g : P(A) A er injektiv. Velg f : A P(A) slik at f g = id P(A). Da er f surjektiv, hvilket vi har vist er umulig. Teoremet kan tolkes som at P(A) er vesentlig større enn A. Dette temaet skal vi komme tilbake til. 4.3 Direkte bilde, invers bilde. Definisjon 4.6. La f : U V være en avbildning. Når A U definerer vi direktebildet til A som: f[a] = {f(x) : x A}, (27) = {y V : x A y = f(x)}. (28) Når B V definerer vi inversbildet til B som: f 1 [B] = {x U : f(x) B}. (29) 5

6 Merk at notasjonen for inversbilde ikke forutsetter at f er bijektiv, slik at f 1 ikke nødvendigvis eksisterer som avbildning fra B til A. Inversbilde oppfører seg godt i forhold til snitt, union og komplement. Proposisjon 4.9. La (B j ) j J være en familie delmengder av V. Vi har : La også B V. Da har vi: f 1 [ j J B j ] = j J f 1 [B j ], (30) f 1 [ j J B j ] = j J f 1 [B j ]. (31) f 1 [C V (B)] = C U (f 1 [B]). (32) For direktebilde er situasjonen mindre gunstig. Proposisjon La (A i ) i I være en familie delemengder av U. Vi har : f[ i I A i ] = i I f[a i ], (33) f[ i I A i ] i I f[a i ]. (34) Notasjonen for invers- og direkte-bilde er litt problematisk. Her er et alternativt synspunkt. Dersom f : U V er en avbildning kan vi danne to nye avbildninger, f og f, som følger: f { P(U) P(V ), A f (A) = {f(x) : x A}. f { P(V ) P(U), B f (B) = {x U : f(x) B}. (35) (36) 4.4 Kanoniske bijeksjoner Mange avbildninger er så naturlige at de kalles kanoniske. Vi har allerede møtt evaluasjon og komposisjon. Her er noen fler eksempler: En kanonisk bijeksjon: C A B (C { B ) A, A C f B,. x f(x, ). (37) Følgende kanoniske bijeksjon viser at to avbildninger med samme domene kan ses på som én avbildning inn i et produktrom: B A C A { (B C) A, A B C, (38) (f, g). x (f(x), g(x)). 6

7 Følgende kanoniske bijeksjon forklarer hvorfor P(A) omtales som potensmengden til A: { P(A) {0, 1} A, (39) B χ B. Delt forskrift kan tolkes utifra følgende: Proposisjon Vi betrakter avbildningen: Ξ { C A B C A C B, f (f A, f B ). (40) Da har vi: Ξ injektiv. Bildet til Ξ består av de parene (g, h) C A C B som tilfredsstiller g A B = h A B. Dersom A B = er Ξ en bijeksjon. 7

8 Oppgave 4.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis f g = f h så g = h. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f surjektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : B C hvis g f = h f så g = h. Oppgave 4.2. Dersom A er en mengde har vi: (id A ) = id P(A), (41) (id A ) = id P(A). (42) Dersom f : A B og g : B C er avbildinger har vi: (g f) = g f, (43) (g f) = f g. (44) Dersom f : A B er en bijeksjon er f og f bijeksjoner og : Vi har også: (f ) 1 = f, (45) (f ) 1 = f. (46) (47) (f 1 ) = f, (48) (f 1 ) = f. (49) 8