Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Transkript

1 Notat 3 for MAT Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde. Man kan forestille seg at mengder består av objekter med en felles egenskap. Mengdeteorien er bygget opp ved hjelp av en relasjon kalt tilhørighet. At objekt x tilhører mengden A skrives x A som uttales «x tilhører A». Et objekt x som tilhører A sies også å være et element i A. For ordens skyld gjentar vi her aksiomet for likhet av mengder. Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Det vil si: (A = B) ( x x A x B). (1) Bemerkning 3.1 (Russels paradoks). For Cantor, som innførte mengde teorien (i korrespondanse med Dedekind), var det implisitt at for enhver egenskap P kan man danne mengden A av objekter x som tilfredsstiller P, slik at : x x A P (x). (2) Det ble senere oppdaget at dette medfører selvmotsigelser. La P være egenskapen som gitt x påstår at x er en mengde og x x. Hvis vi antar at objektene med egenskap P utgjør en mengde A får vi: Spesielt får vi da: x x A x x. (3) A A A A. (4) Dermed kan utsagnet A A hverken være sant eller usant. Dette kalles for Russells paradoks. Vi må derfor være forsiktige når vi danner mengder fra egenskaper. Definisjon 3.1. Vi sier at en egenskap P er mengdedannende dersom det finnes en mengde A slik at: x x A P (x). (5) Det følger i såfall av likhetsaksiomet at A er entydig bestemt av P. Vi bruker følgende notasjon: A = {x : P (x)}. (6) Høyre ledd uttales «Mengden av x slik at P (x)». 1

2 Definisjon 3.2. En mengde A er tom dersom den ikke har noen elementer. Det vil si: x x A. (7) Det følger av likhetsaksiomet at alle tomme mengder er like. Aksiom 3.2. Egenskapen x : x x er mengdedannende, slik at det finnes en tom mengde. Den tomme mengden skrives. Aksiom 3.3. Gitt et objekt x vil egenskapen y : y = x være mengdedannende. Vi skriver {x} = {y : y = x}. (8) Mengder av denne typen kalles ettpunktsmengder. Aksiom 3.4 (Spesialisering). Dersom A er en mengde og P en egenskap, er egenskapen x : x A P (x) mengdedannende. Vi forkorter: {x A : P (x)} = {x : x A P (x)} (9) Venstre ledd uttales «Mengden av x i A slik at P (x)» Definisjon 3.3. At A er inkludert i B skrives A B og er definert ved: (A B) ( x x A = x B). (10) I denne situasjonen sier vi også at A er en delmengde av B. Vi sier at A er en streng delmengde av B, eventuelt at A er strengt inkludert i B, og skriver A B dersom A B og A B. Proposisjon 3.1. For alle mengder A, B og C gjelder det at: A, (11) A A, (12) (A B B A) A = B, (13) (A B B C) = A C. (14) Bevis: (i) Anta at A er en mengde. Anta x er et objekt. Utsagnet x er usant, dermed er (x = x A) sant. Vi har vist ( x x = x A). Dermed A. (ii) Anta at A er en mengde. Anta at x er et objekt. Vi har x A = x A. Dermed ( x x A = x A). Dette viser at A A. (iii) Anta at A og B er mengder slik at A B og B A. Anta at x er et objekt. Vi har (x A = x B) og (x B = x A). Dermed (x A x B). Dermed ( x x A x B). Dermed A = B. 2

3 Den motsatte implikasjonen er triviell. (iv) Anta A, B og C er mengder slik at (A B B C). Anta at x er et objekt slik at x A. Vi får x B. Dermed også x C. Dette viser at ( x x A = x C). Dermed A C. 3.2 Booleske og Kartesiske operasjoner Definisjon 3.4. Gitt mengder A og B kan vi definere: snittet av A og B: som uttales «A snitt B». differansen av A og B: som uttales «A fratatt B». unionen av A og B: som uttales «A union B». A B = {x A : x B}, (15) A \ B = {x A : (x B)}, (16) A B = {x : x A x B}, (17) Av disse tre definisjonene krever den siste et nytt aksiom. Aksiom 3.5. Gitt mengder A og B er egenskapen x : x A x B mengdedannende. For eksempel skriver vi: {x, y} = {x} {y}, (18) {x, y, z} = {x, y} {z}, (19) {x 0, x 1, x 2, x 3 } = {x 0, x 1, x 2 } {x 3 }, (20) {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 } = {x 0, x 1, x 2, x 3 } {x 4 }, (21)... (22) 3

4 Proposisjon 3.2. For alle mengder A, B og C har vi: A A = A, (23) A =, (24) A B = B A, (25) (A B) C = A (B C), (26) A \ = A, (27) A \ A =, (28) A \ (A \ B) = A B. (29) A A = A, (30) A = A, (31) A B = B A, (32) (A B) C = A (B C), (33) (A B) C = (A C) (A C), (34) (A B) C = (A C) (A C), (35) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (36) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). (37) Definisjon 3.5. Når B A er det vanlig å kalle A \ B for komplementet til B i A og man kan bruke notasjonen C A (B) = A \ B. Er det klart fra konteksten hva A kan man til og med skrive C(B) = B c = A \ B. Proposisjon 3.3. For alle objekter x, y gjelder: For alle objekter x, y, a, b gjelder: {x} = {y} x = y. (38) {x, y} = {a, b} ((x = a y = b) (x = b y = a)). (39) Aksiom 3.6. Dersom A er en mengde utgjør delmengdene til A en mengde, kalt potensmengden til A, som skrives P(A). I symboler: Eksempel 3.1. P(A) = {B : B A}. (40) P( ) = { }, (41) P({x}) = {, {x}}, (42) P({x, y}) = {, {x}, {y}, {x, y}}. (43) Proposisjon 3.4. For alle objekter x, y, a, b gjelder: {{x}, {x, y}} = {{a}, {a, b}} (x = a y = b). (44) 4

5 Bevis: Anta {{x},{x, y}} = {{a},{a, b}} Hvis x a så {x} {a} dermed {x} = {a, b} dermed a = x hvilket motstrider antagelsen. Vi har derfor x = a. Dermed {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, b, }}. Hvis {x, y} = {x, b} har vi {x, y} = {x} og {x, b} = {x} dermed {x, y} = {x, b} hvilket motstrider antagelsen. Vi har derfor {x, y} = {x, b}. Hvis y b har vi y = x og b = x dermed y = b hvilket motstrider antagelsen. Vi har derfor y = b. Dette resultat kan ses på som en kuriositet, men den har den viktige konsekvensen at man kan definere par i mengdeteorien ved (x, y) = {{x}, {x, y}}, slik at pardannelse i seg selv ikke krever noe nytt aksiom. Dette kalles for Kuratowskis definisjon av par. Aksiom 3.7. Gitt mengder A og B er produktet av A og B veldefinert ved: A B = {z : x A y B z = (x, y)}. (45) Det er vanlig å omskrive høyre ledd som: A B = {(x, y) : x A y B}. (46) Proposisjon 3.5. Bruker man Kuratowskis definisjon av par, kreves det ikke noe nytt aksiom for å definere det kartesiske propdukt av mengder. Bevis: La A og B være to mengder. Vi lar P være egenskapen z : x A y B z = (x, y) og ønsker å vise at den er mengdedannende. Anta at z er et objekt med egenskap P. Velg x A og y B slik at z = {{x}, {x, y}}. Vi har {x} P(X Y ) og {x, y} P(X Y ). Dermed har vi {{x}, {x, y}} P(P(X Y )). Dermed har vi ( z P (z) = z P(P(X Y )). Egenskapen P er derfor mengdedannende fra spesialiseringsaksiomet. Proposisjon 3.6. Vi har: 3.3 Avbildninger A =, (47) A (B C) = (A B) (A C), (48) A (B \ C) = (A B) \ (A C), (49) A (B C) = (A B) (A C). (50) Når man skriver at f : A B, som uttales «f fra A til B», er en funksjon er det vanlig å tenke på dette som en regel som til hvert element x i A assosierer et entydig bestemt element y i B, som vi tillater oss å skrive som f(x). 5

6 Når f er definert ved hjelp av et uttrykk, kan det være elementer x i A hvor uttrykket ikke gir mening. Vi skiller da mellom domenet til f, som er A, og definisjonsmengden til f som er delmengden av A bestående av de elementen x hvor uttrykket for f(x) gir mening. Vi skiller også mellom kodomenet til f, som er B og verdimengden til f, som er definert som: {y B : x A f(x) = y}. (51) Men hva menes egentlig med en regel? Når er to regler like? Hvor generelle regler tillater vi? Kan vi stole på språkets evne til å definere regler? Bør vi skille mellom funksjonsuttrykk og funksjoner? Man kan også tenke på en funksjon som en deterministisk prosess, som gitt input x gir output f(x). Kanskje tenker vi algoritmisk og at vi har en algoritme som gitt x beregner f(x). Men hva er egentlig en algoritme? Hvis vi tillater grenseprosesser slik som i kalkulus, er de også algoritmer? Hva nå vi måtte mene om disse spørsmålene kan vi enes om hva grafen til en funksjon er. Definisjon 3.6. En graf 1 er en mengde bestående av par. Gitt mengder A og B er en graf fra A til B en delmengde av A B. Definisjon 3.7. Dersom f : A B er en funksjon er grafen til f: G = {(x, f(x)) : x A og f er definert i x}, (52) = {(x, y) A B : f er definert i x og y = f(x)}. (53) I situasjonen over er grafen G til f altså en delmengde av A B. Men den er spesiell, for den har egenskapen: (x, y) G (x, y ) G x = x = y = y. (54) Den mengdeteoretiske tilnærmingen til funksjonsbegrepet er å snu dette perspektivet på hodet. Definisjon 3.8. Hvis G er en graf sier vi at G er funksjonell, dersom den tilfredsstiller (54), som også kan skrives: x y, y ((x, y) G (x, y ) G) = y = y. (55) Definisjon 3.9. La f være en funksjonell graf. 1 Dette er ikke helt standard terminologi. I grafteori opererer man med mange varianter av dette konseptet, og det er ikke enighet om akkurat hvilken variant som skal kalles graf. 6

7 Dersom (x, y) f er y entydig bestemt av x, kalles verdien til f i x og betegnes som f(x). Definisjonsmengden til f er: Verdimengden til f er: D f = {x : y (x, y) f}. (56) V f = {y : x (x, y) f}. (57) Definisjon En funksjon er en trippel f = (A, B, G) slik at G A B og G er funksjonell. Definisjon La f = (A, B, G) være en funksjon. Vi definerer: Domenet til f er A og kodomenet til f er B. Definisjonsmengden D f og verdimengden V f til f er de tilsvarende allerede definert for G. Dersom x D f er verdien til f i x det elementet y i B slik at (x, y) G. Bemerkning 3.2. Nå er det klart når to funksjoner er like: To funksjoner f og g er like dersom de har samme domene, samme kodomene og samme graf. At f og g har samme graf kan omformuleres som at de har samme definisjonsmengde D og samme verdi i hver x D, i.e: x D f(x) = g(x). (58) At f = g utelukker ikke at f og g kan være definert på svært forskjellige måter! Bemerkning 3.3. Den mengdeteoretiske tilnærmingen til funksjonbegrepet kan sies å forskyve problemet om hva som er gyldige funksjonsuttrykk, til hva som er gyldige regler for å definere mengder, spesielt grafer. Fordelen med sistnevnte er at reglene er klargjort av aksiomatisk mengdeteori, slik at man kan gå tilbake til den om det skulle oppstå tvil om gyldigheten til en funksjonsdefinisjon. I analyse vil definisjoner ved hjelp av delt forskrift, algebraiske operasjoner og grenser ofte forekomme, men gi et ufullstendig inntrykk av hvor generelle funksjoner kan være. Definisjon En avbildning er en funksjon som er definert på hele sitt domene. Vi uttrykker at f er en avbildning med domene A og kodomene B ved å skrive f : A B. Definisjon Gitt avbildninger f : A B og g : B C kan vi danne en avbildning g f, kalt komposisjonen av g og f, eventuelt «g ring f», definert ved: { A C, g f (59) x g(f(x)). 7

8 Lemma 3.1. Dersom f : A B, g : B C og h : C D har vi h (g f) = (h g) f. Definisjon Gitt f : A B og C A kan vi danne restriksjonen av f til C: { C B, f C (60) x f(x). Gitt g : C B og C A sier vi at f : A B er en utvidelse av g dersom f C = g. Noen bemerkelsesverdige avbildninger. Identitetsavbildning. id A { A A, x x. (61) Dersom f : A B er en avbildning har vi: f id A = id B f = f. (62) Konstant avbildning. Gitt A, B og b B kan vi danne: { A B, x b. (63) I noen sammenhenger er det er vanlig å betegne denne avbildningen som b. Karakteristisk avbildning. La A være en mengde og B en delmengde til A. Den karakteristiske avbildingen til B (gitt A) er: χ B { A {0, 1}, x 1 hvis x B og 0 hvis x B. (64) Gitt en mengde A utgjør snitt, differanse og union avbildninger fra P(A) P(A) til P(A). Gitt en mengde A utgjør komplement i A en avbilding: C A { P(A) P(A), B C A (B). (65) Den tilfredsstiller C A C A = id P(A). 8