LO118D Forelesning 3 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner

2 1 Mengder 2 Funksjoner

3 Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle x x Det finnes minst én x x y Hvis x så y x y Logisk ekvivalens

4 Mengder Definisjon En mengde er en samling med objekter. Objektene kalles elementer eller medlemmer Rekkefølgen er ikke viktig

5 Mengder Måter å angi mengder på: A = {1, 2, 3, 4} for små, endelig mengder B = {x x er et primtall} for store, endelige eller uendelige mengder

6 Størrelse Størrelsen til en endelig mengde er antall elementer i mengden, og skrives X.

7 Medlemskap Gitt en mengde X og et element x så kan vi avgjøre om x er en del av X. Hvis x er et medlem av X skriver vi x X Hvis x ikke er et medlem av X skriver vi x / X

8 Tom mengde Definisjon Den tomme mengden har ingen medlemmer og skrives. Altså = {}.

9 Likhet Definisjon To sett X og Y er like hvis de har de samme medlemmene og vi skriver X = Y.

10 Delmengde Hvis vi har C = {1, 5} og A = {1, 2, 5, 7}, så er C en delmengde av A og vi skriver C A. Hvis X er en delmengde av Y og X ikke er lik Y, så kaller vi X en ekte delmengde og vi skriver X Y.

11 Delmengde For å vise at X Y må vi vise at x X x Y er sant for alle x. For å vise at X ikke er en delmengde av Y må vi vise at det finnes minst én x slik at x X x Y er usant.

12 Delmengde Definisjon Alle er sett er delmengder av seg selv, altså X X Den tomme mengden er en delmengde av alle mengder Mengden av alle delmengder for en mengde X kalles potensmengden til X, dette skrives P(X)

13 Potensmengde Vi har mengden A = {a, b, c}. Da er potensmengden til A: P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Legg merke til at A = 3 og P(A) = 2 3 = 8. Generelt har vi P(X) = 2 n hvis X = n.

14 Mengdeoperasjoner Gitt at vi har to mengder, så kan vi definere noen operasjoner på mengdene som gir oss nye mengder.

15 Union Definisjon Unionen av to mengder X og Y er alle elementer som finnes i enten X eller i Y eller i begge, dette skriver vi X Y.

16 Snitt Definisjon Snittet av to mengder X og Y er alle elementer som finnes i både X og Y, dette skriver vi X Y.

17 Differanse Definisjon Differansen mellom to mengder X og Y er alle elementer som finnes i X som ikke finnes i Y, dette skriver vi X Y.

18 Mengdeoperasjoner To mengder sies å være disjunkte hvis X Y =. En samling (familie) av mengder S sies å være parvis disjunkt hvis ingen av medlemsmengdene har felles elementer.

19 Univers Hvis vi jobber med mengder kan vi si at disse mengdene er delmengder av et univers U Hvis vi har et univers U og en delmengde X, så har vi X = U X Dette kaller vi komplementet til X

20 Venn-diagram U A B

21 Mengdelover Det finnes et sett med lover for hvordan de forskjellige mengdeoperasjonene henger sammen. Eksempel A = A, A U = A A U = U, A =

22 Familier Unionen av en familie S er de elementene x som finnes i minst en mengde X i S Unionen av en familie S er de elementene x som finnes i alle mengder X i S En familie S sies å være en partisjon av mengden Y hvis hvert element i Y finnes i eksakt en mengde X i S Hvis S er en partisjon av X, så er S parvis disjunkt og S = X

23 Kartesisk produkt Noen ganger er rekkefølge interessant Et ordnet par (a, b) er distinkt og forskjellig fra (b, a), så sant ikke a = b For to mengder X og Y kan vi finne alle ordnede par (x, y) der x X og y Y Dette kalles det kartesiske produktet av X og Y og skrives X Y Antall ordnede par i X Y er X Y = X Y Merk at X Y Y X

24 Funksjoner En funksjon tilordner til hvert element i X ett element i Y Definisjon En funksjon f fra X til Y er en delmengde av X Y slik at for alle x X så finnes det eksakt én y Y og (x, y) f Dette kan skrives f : X Y X kalles domenet til f {y (x, y) f } (en delmengde av Y ) kalles rekkevidden til f

25 Pildiagram a b c X f Y

26 Alternativ notasjon Vi er mer kjent med å skrive funksjoner f (x) = x 2 Dette er upresist fordi domenet ikke er spesifisert

27 Funksjoner En funksjon f fra X til Y sies å være en-til-en (injektiv) hvis det for hver y Y er maksimalt én x X med f (x) = y En funksjon f fra X til Y sies å være på Y (surjektiv) hvis rekkevidden til f er Y med f (x) = y

28 Neste gang Mer om funksjoner + følger og strenger.