Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag

Transkript

1 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 18. september 2014 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Gitt tallet BD 16. Konvertér dette tallet til titallsystemet. Siden B 16 = og D 16 = blir dette BD 16 = = = b) Konvertér til heksadesimalt (altså grunntall 16). Vi grupperer tallet i fire og fire bit og begynner bakerst: = = E = 6 10 = 6 16 Derfor: = 6E 16 Oppgave 2 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4} B = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Finn A B A B = {1, 2, 4} b) Finn A A = {5, 6, 7, 8, 9} Oppgave 3 Gitt mengden A = {0, 1, 2, 3}. Det er definert en relasjon, R, på A ved R = {(0, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Christian F.Heide

2 Svarene på følgende spørsmål må begrunnes. a) Er relasjonen refleksiv? For at den skal være refleksiv, må alle elementer i A ha relasjon til seg selv. I vår relasjon har vi parene (0, 0), (1, 1), (2, 2) og (3, 3). Relasjonen er derfor refleksiv. b) Er relasjonen symmetrisk og/eller antisymmetrisk? Relasjonen er symmetrisk fordi det ikke finnes noen antisymmetriske par. Altså: alle steder hvor vi har relasjon fra ett element til et annet, har vi også relasjon motsatt vei. Her gjelder det altså (0, 2), (2, 0) og (2, 3), (3, 2). Siden det finnes symmetriske par, f. eks. (0, 2) og (2, 0), er relasjonen ikke antisymmetrisk. c) Er relasjonen transitiv? Relasjonen er transitiv så lenge vi ikke klarer å finne noe moteksempel hvor (x, y) R og (y, z) R men (x, z) R. Her ser vi imidlertid at vi f. eks. har (0, 2) og (2, 3), mens vi mangler (0, 3). Relasjonen er følgelig ikke transitiv. d) Er relasjonen en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning (partialordning), en totalordning eller ingen av delene? Begrunn svaret. For at relasjonen skal være en ekvivalensrelasjon, må den være refleksiv, symmetrisk og transitiv. Denne er ikke transitiv, og er derfor ikke en ekvivalensrelasjon. For at relasjonen skal være en delvis ordning, må den være refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Denne er ikke hverken antisymmetrisk eller transitiv, og er derfor ikke en delvis ordning. En totalordning er et spesialtilfelle av en delvis ordning. Siden dette ikke er en delvis ordning er det heller ingen totalordning. Konklusjon: relasjonen er ingen av delene. Oppgave 4 Gitt et univers, U, og mengdene A, B, C og D i dette universet. Anta nå at mengdene A og B er ikke-disjunkte, og at og C = A B D = B A. a) Hva menes det med at mengdene A og B er ikke-disjunkte? Det innebærer at det finnes ett eller flere elementer som er element både i A og B, altså at A B. b) Hva er C D? Dette ser vi lettest ved å tegne venndiagram. Mengden C er skravert i følgende venndiagram: Christian F. Heide 2

3 A B C Mengden D er skravert i følgende venndiagram: A B D Av disse to venndiagrammene ser vi at C D Oppgave 5 Gitt mengdene A = {a, b, c, d} og B = {0, 1, 2, 3, 4}. Det er definert en relasjon, f, fra A til B ved f = {(a, 3), (b, 0), (c, 1), (d, 2)} a) Angi hvilke kriterier må være oppfylt for at en relasjon skal være en funksjon? Kriteriet er at hvert element i definisjonsmengden må ha en relasjon til nøyaktig ett element i kodomenet. b) Bruk kriteriene du satte opp i spørsmål a til å begrunne at relasjonen f er en funksjon. Her ser vi at alle elementer i definisjonsmengden er «i bruk», altså at både a, b, c og d har relasjon. Vi ser også at disse relasjonene går til nøyaktig ett element i kodomenet (det er for eksempel ikke slik at a har relasjon til to elementer i B). Relasjonen er derfor en funksjon. c) Er funksjonen én-entydig (injektiv) og/eller surjektiv? Begrunn svaret. Funksjonen er én-entydig fordi alle elementer i A har ulike bilder (funksjonsverdier) i B. Funksjonen er ikke surjektiv fordi elementet 4 i kodomenet ikke er bilde av noe element i definisjonsmengden. d) Finn den inverse relasjonen, svaret. f 1. Er denne inverse relasjonen en funksjon? Begrunn Christian F. Heide 3

4 1 f = {(3, a), (0, b), (1, c), (2, d)} Dette er ikke en funksjon. Dette kan begrunnes på to måter (som jo egentlig er den samme begrunnelsen): 1 - elementet 4 i definisjonsmengden til f (dvs. mengden B) har ikke noe bilde (noen funksjonsverdi) i kodomenet A. - funksjonen f er ikke surjektiv Oppgave 6 Under en flytur ble 150 passasjerer tilbudt te, kaffe og mineralvann til måltidet. Det viste seg at 38 tok te, 52 tok mineralvann og 75 tok kaffe. Antall som fikk både te og mineralvann var 11, 12 fikk både te og kaffe, mens 8 fikk både te, kaffe og mineralvann. 9 passasjerer tok ikke imot drikke til måltidet. a) Hvor mange drakk både kaffe og mineralvann? Vi kaller mengden av de passasjerene som tok te for T, dem som tok kaffe for K og dem som tok mineralvann for M. Vi setter opp opplysningene som er gitt i oppgaven: U 150 T M K T M T K T K M T K M 8 9 Den siste opplysningen innebærer at T K M U T K M Fra inklusjons- og eksklusjonsprinsippet har vi: T K M T K M T K T M K M T K M Vi skal finne K M så vi flytter dette leddet over på venstre side og flytter leddet T K M over på høyre side, og får da: K M T K M T K T M T K M T K M Setter vi nå inn tall, finner vi K M Christian F. Heide 4

5 b) Hvor mange drakk te men ingenting annet? Dette er gitt ved: T T K T M T K M (Vi trekker fra snittet mellom alle to ganger, både i trekke det fra en gang, og derfor må vi legge det til en gang). T K og i T M. Vi skal bare Oppgave 7 25 personer (verten og 24 gjester) er i et bursdagsselskap. Det er plass til bare fire ved hvert bord. Verten skal plukke ut tre av de 24 gjestene til å sitte sammen med seg ved sitt bord. Hvor mange ulike grupper på tre personer kan verten velge blant? Dette er et uordnet utvalg (rekkefølgen de plukkes ut i er uten betydning) som gjøres uten tilbakelegging (samme person kan ikke sitte i mer enn én stol ved vertens bord). Antall måter vi kan gjøre dette utvalget på, er gitt ved: 24 24! 3 (24 3)! 3! 24! 21! 3! Christian F. Heide 5