Matematikk for IT, høsten 2016
|
|
- Sebastian Bråten
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikk or IT, høsten 016 Oblig 4 Løsningsorslag 30. setember a) ( 1, 3, 5, 7, ) Her vil relasjonsmengden være slik: {(1, 1), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (7, 1), (7, 3), (7, 5), (7, 7)} Hassediagrammet blir slik: b) ( 1, 3, 6, 9,1, ) Relasjonsmengden: {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (1, 9), (1, 1), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (3, 1), (6, 6), (6, 1), (9, 9), (1, 1)} Hassediagrammet:
2 .5.1 A = {1, 3, 5, 7} og B = {, 4, 6, 8} a) {(5, ), (1, 4), (7, 6), (3, 4)} Her ser vi at alle elementene i A har relasjon, og hvert element i A har relasjon til kun ett element i B. Relasjonen er ølgelig en unksjon. b) {(3, 6), (5, 4), (1, 8), (7, )} Her ser vi at alle elementene i A har relasjon, og hvert element i A har relasjon til kun ett element i B. Relasjonen er ølgelig en unksjon. c) {(7, 4), (1, ), (5, 6)} Her har ikke elementet 3 noen relasjon til noe element i B. Relasjonen er deror ikke noen unksjon..5.3 A = { a, b, c, d } : A A a) Denne unksjonen er ikke injektiv (ikke én-entydig) ordi både b og d har unksjonsverdien a (altså ( b) ( d) ). b) Denne unksjonen er injektiv ordi ulike verdier inn å unksjonen gir ulike verdier ut av unksjonen. c) Denne unksjonen er injektiv ordi ulike verdier inn å unksjonen gir ulike verdier ut av unksjonen..5.4 For at unksjonen skal ha en invers unksjon, må den være både injektiv og surjektiv, altså bijektiv. a) Vi så i.5.3 at denne unksjonen ikke er injektiv. Den har deror ingen invers unksjon. b) Vi så i.5.3 at denne unksjonen er injektiv. Vi ser at alle elementene i kodomenet er bilde av et element i deinisjonsmengden (altså at kodomenet er lik verdimengden). Funksjonen er deror også surjektiv. Funksjonen har en invers unksjon. Denne er slik: 1 ( a) b ( b) c ( c) d ( d) a
3 c) Vi så i.5.3 at denne unksjonen er injektiv. Også her er alle elementer i kodomenet «i bruk», og unksjonen er ølgelig surjektiv. Funksjonen har en invers unksjon. Denne er slik: 1 ( a) a ( b) b ( c) d ( d) c.5.5 a) ( x) x 1 : Z Z Denne unksjonen er injektiv (én-entydig), altså at to ulike x-verdier gir to ulike unksjonsverdier. Imidlertid er den ikke surjektiv, ordi ingen av artallene er bilde (unksjonsverdi) av noen x. Sagt å en annen måte: verdimengden til er kun en delmengde av Z. Fordi den ikke er surjektiv er den ikke inverterbar. At bokas asit sier denne unksjonen er inverterbar, skyldes at boka ikke diskuterer begreet surjektivitet. x x 0 b) ( x) : Z Z x x 0 Denne unksjonen er også injektiv. Igjen er imidlertid roblemet at den ikke er surjektiv. Her skyldes det at elementet 1 i kodomenet ikke er et bilde av noe element i deinisjonsmengden. Denne unksjonen er deror ikke inverterbar. 3
4 x 1 x 0 c) ( x) : Z Z x 1 x 0 Denne unksjonen er ikke injektiv. Dette kan vi se av at og at to ulike x-verdier gir samme bilde i kodomenet. Funksjonen er deror ikke inverterbar. ( 3) ( 1), altså.5.7 a) ( g )(1) 1 ( g )() 3 ( g )(3).5.8 a) Den sammensatte unksjonen inner vi ved å ta uttrykket or å den lassen hvor x står i uttrykket or g (x) : ( g )( x) (x 3) g (x 3) 4x 1x 9 x 3 4x (x) 10x 6 og sette inn b) ( g)( x) ( x x) 3 x x 3 4 a) n ( n ) 1(1 ) ( ) 3(3 ) 4(4 ) n1 3 a) (n 1) (n 1) n0 4 n1 Her ser vi at vi kan skrive summen å to litt ulike måter avhengig av om vi lar n gå ra 0 til 3 eller ra 1 til a) Utsagn, sant. b) Ikke et utsagn. c) Utsagn, alskt a) Nina står ikke til eksamen. b) Det blåser ikke i dag. c) d) Trond har ærre enn 100 CD-er b, c og e er sanne b, c og e tilsvarer. 4
5 3.1.6 a) b) ( ) r c) ( r ) a) ( ) S S F S F S F S S S F S F S F F F S F F a) For å inne ut om uttrykket er en tautologi, kan vi enten bruke sannhetstabell eller bruke lovene or logiske uttrykk og orenkle uttrykket. Her bruker jeg sannhetstabell. ( ) ( ) S S S S S S F F S S F S S F S F F S S S Vi ser av sannhetstabellen at uttrykket er sant uansett hva sannhetsverdiene til og er. Uttrykket er ølgelig en tautologi. b) ( ) ( ) S S F F S S S F S F S S F S F F F S F F S F F S Vi ser av sannhetstabellen at uttrykket er sant uansett hva sannhetsverdiene til og er. Uttrykket er ølgelig en tautologi. 5
6 Ogave 1 Bruk sannhetstabeller til å vise at De Morgans lover også gjelder or tre utsagn, dvs. at ( r) r Vi ser ørst å uttrykket til venstre: r r ( r) S S S S F S S F F S S F S F S S F F F S F S S F S F S F F S F F S F S F F F F S Deretter analyserer vi uttrykket å høyre side av ekvivalenstegnet: r r r S S S F F F F S S F F F S S S F S F S F S S F F F S S S F S S S F F S F S F S F S S F F S S S F S F F F S S S S Vi ser at sannhetsverdiene til de sammensatte utsagnene er like or samme kombinasjon av sannhetsverdier til, og r (altså at siste kolonne i de to sannhetstabellene er like). Uttrykkene er deror logisk ekvivalente. Ogave Gitt et utsagn. a) Angi det kontraositive utsagnet. Det kontraositiv utsagnet blir: b) Vis ved hjel av sannhetstabeller at utsagnet er logisk ekvivalent med det kontraositive utsagnet. 6
7 Sannhetstabellen or : S S S S F F F S S F F S Sannhetstabellen or : S S F F S S F F S F F S S F S F F S S S Vi ser at siste kolonne i de to tabellene er like, og uttrykkene er deror logisk ekvivalente. Ogave 3 Gitt ølgende sammensatte logiske uttrykk: ( ) ( r ) Bruk regnereglene i logikk til å inne ut hvilket av ølgende uttrykk dette er ekvivalent med: (i) (ii) (iii) ( ) Bruk kun en lov i hvert trinn og angi or hvert trinn nummeret å den loven du har brukt. ( ) ( r ) ( ) ( r) ( ) ( ) Kommutativ lov () å (r )-uttrykket Absorsjonsloven (6) å uttrykket i hakearentesen Imlikasjonsloven (11) Kommutativ lov () ( ) Distributiv lov (3) ( ) ( ) ( ) F Inversloven (8) å den bakerste arentesen Identitetsloven (9) 7
8 ( ) ( ) De Morgans lov (4) Vi ser at uttrykket er ekvivalent med uttrykket i (iii). 8
Emnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 07 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 3.00 Faglærer: Christian F Heide Kalkulator
DetaljerInjektive og surjektive funksjoner
Injektive og surjektive funksjoner Christian F. Heide 5. september 07 Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et supplement til avsnitt.5 i boken «Mathem»
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 11 oppgaver med i alt 21 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 6. desember 03 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerLøsningsforslag for 1. obligatoriske oppgave høsten 2014
Løsningsforslag for 1 obligatoriske oppgave høsten 2014 Oppgave 1a) 1) Bruk av sannhetsverditabell: p q p p ( p ) p (( p ) S S U S U S S U U S U S U S S S S S U U S U U S Vi ser at (( p ) er en tautologi,
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerKapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28 12:23) Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)
DetaljerMAT1030 Forelesning 6
MAT1030 Forelesning 6 Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen - 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28 12:23) Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) Mer om parenteser Eksempel. (p q r) (p r) (q r) Her mangler
DetaljerEmnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN ny og utsatt Emnekode: ITF10705 Dato: 4. juni 2018 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 13.00 Faglærer: Christian F Heide
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 5. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerOppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)
Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2017
Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende
DetaljerEKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer:
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 05 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 til 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerEmnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 9. 3. Faglærer: Christian F Heide Kalkulator er ikke
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 21 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato:. desember 00 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven:
DetaljerEKSAMEN. To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: ITF10705Matematikk for IT Dato:Eksamenstid: 16. desember 2013 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2015
Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,
DetaljerEmnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITF10705 Dato: 4. januar 2019 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 13.00 Faglærer: Christian F Heide Kalkulator
DetaljerEKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerKapittel 4: Logikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. En digresjon. Forelesning 6: Utsagnslogikk og predikatlogikk.
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Utsagnslogikk og predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk 3. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-03 12:49) MAT1030
DetaljerLøsningsforslag oblig. innlevering 1
Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag
Matematikk for IT Prøve 1 Onsdag 18. september 2013 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Er 26 11 (mod 3)? Begrunn svaret. Dette spørsmålet betyr: Gir 26 : 3 samme rest som 11 : 3? Vi ser at 26 : 3 gir rest 2,
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig 2 Løsningsforslag 6. september 2016 2.1.4 a, b, c, c, d og C a, b, c, d vgjør om en av mengdene er en delmengde til en av de to andre. Her ser vi at C og C 2.1.5. Hvilke
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015
Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,
DetaljerVi startet forelesningen med litt repetisjon fra forrige uke: Det omvendte, kontrapositive og inverse utsagnet. La p og q være to utsagn, og p -> q
Vi startet forelesningen med litt repetisjon fra forrige uke: Det omvendte, kontrapositive og inverse utsagnet. La p og q være to utsagn, og p -> q Begrepene «tilstrekkelig», «nødvendig» og «bare hvis».
DetaljerINVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS
INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert
DetaljerCr) Høgskoleni østfold
Cr) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: ITF10705Matematikk for IT Dato:Eksamenstid: 15. desember 2015 09.00 til 13.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke
DetaljerPrøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)
Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann
DetaljerHøgskoleni østfold. EKSAMEN Ny og utsatt
Høgskoleni østfold EKSAMEN Ny og utsatt Emnekode:Emne: ITF10705Matematikk for IT Dato:Eksamenstid: 8. juni 2015 09.00 13.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Faglærer: Christian
DetaljerVi var midt i et eksempel, som vi tar opp igjen her, da tiden var ute.
Forelesning 6 Logikk Dag Normann - 30. januar 2008 Sammensatte utsagn, sannhetsverditabeller Mandag 28/1 innførte vi bindeordene (konnektivene) for og, for eller og for ikke. Vi så hvordan vi kunne definere
DetaljerSammensatte utsagn, sannhetsverditabeller. MAT1030 Diskret matematikk. Sammensatte utsagn, sannhetsverditabeller
Sammensatte utsagn, sannhetsverditabeller MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 6: Logikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. januar 2008 Mandag 28/1 innførte vi bindeordene (konnektivene)
DetaljerINF3170 Forelesning 1
INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................
DetaljerMatematikk for IT Eksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk for IT Eksamen 4. januar 2019 Løsningsforslag Christian F. Heide January 10, 2019 OPPGAVE 1 En spørreundersøkelse blant en gruppe studenter
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) August 29, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA 4140
DetaljerKalles p for premissen og q for konklusjonen. Utsagnet kan uttrykkes på mange forskjellige måter:
Logisk implikasjon (eng: conditional statement) La p og q være to utsagn. Utsagnet leses som «p impliserer q». Utsagnet er usant hvis p er sant og q er usant, og er sant ellers. Huskeregel: «SUSS» Operatoren
DetaljerFaglærer: Oppgavesettet består av 12 oppgaver med totalt 15 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle like mye.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: ITF10705 Dato: Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 14. desember 2016 09.00 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: - To A4-ark med valgfritt Christian F Heide innhold på
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1
Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi
DetaljerMAT1140 Strukturer og argumenter
12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om
DetaljerLøsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerEmne 13 Utsagnslogikk
Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag
23.09.2014 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 18. september 2014 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Gitt tallet BD 16. Konvertér dette tallet til titallsystemet. Siden B 16 = 11 10 og D 16 = 13 10 blir dette
DetaljerEkvivalente utsagn. Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p
Ekvivalente utsagn Definisjoner: Et sammensatt utsagn som ALLTID er SANT kalles for en TAUTOLOGI. Et sammensatt utsagn som ALLTID er USANT kalles for en SELVMOTIGELSE eller en KONTRADIKSJON (eng. contradiction).
DetaljerEt utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand.
Utsagnslogikk. Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand. Eksempler: Avgjør om følgende setninger er et utsagn, og i så fall;
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT30 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo. februar 008 Oppgave. Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel 5 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. februar 2008 Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden
DetaljerEt utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand.
Utsagnslogikk. Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand. Eksempler: Avgjør om følgende setninger er et utsagn, og i så fall;
DetaljerDette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:
Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig Løsningsforslag 16. september 2016 2.4.1 a) {(0, 1), (0, 2), (1, 2)} b) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} c) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0)} d) {(0, 0), (1, 0), (1,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave
DetaljerRepetisjonsforelesning - INF1080
Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en
DetaljerLøsningsforslag til oblig 1 i DM 2018
Løsningsforslag til oblig 1 i DM 2018 Oppgave 2 p: «Det regner» q: «Det blåser» a) ikke p og ikke q blir: p q = ( p q) b) q hvis ikke p blir det samme som hvis ikke p så q: p q c) p bare hvis ikke q blir:
DetaljerForelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen januar Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted
Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen - 22. januar 2007 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Foreleser: Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) Kontor 2403,
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 Hva skal vi lære? 22. januar 2007 3
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerDet betyr igjen at det får verdien F nøyaktig når p = T, q = T og r = F.
Forelesning 7 Dag Normann - 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel og de utsagnslogiske bindeordene,,, og. Vi har sett hvordan vi kan undersøke egenskapene
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel ((p q) r) Eksempel (p (q r))
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 4: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-10 11:20) Plenumsregning 4 MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerNoen løsningsforslag/fasitsvar
Kapittel 8 Noen løsningsforslag/fasitsvar Etter ønske fra kursdeltagerne suppleres heftet med fasit for noen av oppgavene. Der det er aktuelt, gir vi også mer utfyllende forslag til hvordan oppgaven kan
DetaljerINF1800. Logikk og Beregnbarhet
INF1800 Logikk og Beregnbarhet Lærebok: Discrete Structures, Logic, and Computability Utdrag blir pensum. Obs: Første opplag inneholder mange feil, andre opplag inneholder noen feil. Har du kjøpt boken
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerChapter 1 - Discrete Mathematics and Its Applications
Chapter 1 - Discrete Mathematics and Its Applications Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Avsnitt 1.2 Oppgave 3 På norsk blir dette: Du kan velges til president i USA bare hvis du er minst 35 år, er født
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 2, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 6: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerLO118D Forelesning 3 (DM)
LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra
DetaljerHint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.
Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 4: Ukeoppgaver fra kapittel 3 & 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 7. februar 2008 Oppgave 3.15 Forklar følgende påstand ved å vise til
DetaljerLØSNINGSFORSLAG, SIF 5015, DISKRET MATEMATIKK 12. august 2003 Oppgave 1. La oss begynne med å bygge en ikke-deterministisk maskin:
LØSNINGSFORSLAG, SIF 5015, DISKRET MATEMATIKK 12. august 200 Oppgave 1. La oss begynne med å bygge en ikke-deterministisk maskin: s 0 s 1 gjennkjenner 0 1og s 0 gjennkjenner (0 1). Fra dette ser vi at
DetaljerMIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk. 13. oktober 2017 Tid:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
DetaljerINF1800 Forelesning 6
INF1800 Forelesning 6 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk Hvordan fange inn utsagn? Jeg spiser det hvis det er godt. Jeg spiser
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 4: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-10 11:21) Plenumsregning 4 MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerEksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
DetaljerEksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 73 59 17 55 Eksamensdato: 15. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerIN1150 Høst Logiske metoder for informatikk. Digital eksamen
IN1150 Høst 2017 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen id: orsdag 23. november 2017 kl. 14.30 18.30 (4 timer) illatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra
DetaljerEksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA414 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 97 96 5 57 Eksamensdato: 15. desember 217 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerDagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen
Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.
DetaljerMIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk. 14. oktober 2016 Tid:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerFasit - det står en sort prikk bak riktig svar. (NB! Rekkefølgen på oppgavesettene varierte).
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
DetaljerEcon 2200 V08 Sensorveiledning
Econ 00 V08 Sensorveiledning Vi lar ogavene telle som ølger: Og. : Og. : 3 Og. 3: 0 Og. 4: 0 Og. 5: 5 Og. 6: Og. 7: 0 Og. 8: 5 Og. 9: 5 Sum 00 Vi kommer tilbake til oengkravene or de orskjellige karakterene.
DetaljerLøsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017
Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller
Detaljer