Chapter 1 - Discrete Mathematics and Its Applications

Transkript

1 Chapter 1 - Discrete Mathematics and Its Applications Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Avsnitt 1.2 Oppgave 3 På norsk blir dette: Du kan velges til president i USA bare hvis du er minst 35 år, er født i USA eller dine foreldre var amerikanske statsborgere da du ble født og du har bodd der i minst 14 år. La utsagnene e, a, b, p og r være gitt ved: e: Du kan velges til president i USA a: Du er minst 35 år b: Du er født i USA p: Dine foreldre var amerikanske statsborgere da du ble født r: Du har bodd der i minst 14 år Dermed: e bare hvis a, b eller p og r. Her må kommaet mellom a og b ersattes med og og parentesene må settes slik: e bare hvis (a og (b eller p) og r). Med symboler blir det: Oppgave 7 e ( a ( b p) Fasiten i boken bruker store bokstaver og foreslår: NEW AND JERSEY AND BEACHES. Jeg ville nok ha brukt (i Google): NEW JERSEY AND BEACHES. På den neste sier boken: (JERSEY AND BEACHES) NOT NEW. I Google må det imidlertid bli: (JERSEY AND BEACHES) NEW. Oppgave 12 A sier: «Vi er begge riddere» og B sier: «A er en knekt». Anta at A er en ridder. Det betyr at A snakker sant. Det betyr at også B er en ridder og snakker sant. Men B sier at A er en knekt. Umulig. Anta så at A ikke er en ridder, dvs. at A er en knekt. Det betyr at A lyver og dermed er ikke begge riddere. Hvis B er en ridder, så blir dette ok. Hvis derimot B er en knekt, så er «A er en knekt» en løgn. Det betyr at A er en ridder. Umulig. Den eneste løsningen er A knekt og B ridder. 1

2 Oppgave 13 A sier: «Minst en av oss er en knekt» og B sier ingenting. Anta at A er en ridder. Da snakker A sant. Det betyr at B ikke kan være ridder siden minst en av dem er knekt. Dermed må B være en knekt. Anta så at A ikke er en ridder, dvs. er en knekt. Da lyver A. Det betyr at ingen av dem er en knekt. Umulig. Den enste løsningen er A ridder og B knekt. Oppgave 14 A sier: «Jeg er en ridder» og B sier: «Jeg er en ridder». Her blir det ingen selvmotsigelse uansett hva A og B er. Her kan vi ikke trekke noen konklusjon. Oppgave 15 A sier: Jeg er en knekt eller B er en ridder og B sier ingenting. Anta at A er en ridder. Da snakker A sant. Hvis da B også er en ridder, er det ok siden vi har eller i setningen. Hvis derimot B er en knekt, blir det galt. Anta så at A er en knekt. Da lyver A, dvs. A er ikke en knekt og B er ikke en ridder. Umulig uansett hva B er. Den enste løsningen er A en ridder og B en ridder. Oppgave 16 A sier: «Vi er begge knekter» og B sier ingenting. A kan ikke være en ridder for da snakker A sant. Hvis A er en knekt, snakker A usant, dvs. at da er A en ridder eller B er en ridder. Hvis B da er en ridder, så stemmer det. Hvis derimot B er en knekt, så er det umulig. Den eneste løsningen er A en knekt og B en ridder. Oppgave 23 a) ( p ( q r)) b) ( p ) ( p 2

3 Avsnitt 1.3 Oppgave 2 p q p q p q (p q) p S S U U S U U S U U S U S S U S S U U S S U U S S U S S Oppgave 3 Symbolet kalles ekvivalenssymbolet. Det betyr at det som står på hver side er ekvivalent. At to at sammensatte utsagn er ekvivalente kan vises ved hjelp av en sannhetsverditabell. Da må de to tilhørene kolonnene har de samme verdiene. p q r p q p q p ( p S S S S S S S S S S U S U S S S S U S U S S S S S U U U U U U U U S S U U S U U U S U U U S U U U U S U U S U U U U U U U U U U Vi ser at de to siste kolonnene i sannhetsverditabellen er like. Dermed er p ( p. Oppgave 4 a) Jan er ikke rik eller ikke lykkelig. b) Carlos vil ikke sykle og ikke løpe i morgen. c) Mei går ikke og tar ikke bussen til skolen. d) Ibrahim er ikke intelligent eller ikke hardt arbeidende. 3

4 Oppgave 5 Det er en tautologi (eller en selvfølgelighet) når sannhetsverditabellen for et logisk utsagn kun inneholder verdien S. b), e) og f) p q q p q p q p p S S U S S S U S S S U S S U S S S S U S U S S S U S S U U S U S S U S S Kolonnene viser at p, p og er tautologier. Oppgave 7 b) 1. måte: Utsagnet p er usant kun når p er sann og p q er usann. Men hvis p er sann er også p q sann. Med andre ord er p alltid sann. 2. måte bruker reglene fra boken (Tabellene 1 8 side i boken): p Øverste regel i Tabell 7 Assosiativ lov i Tabell 6 p) q Tabell 1 S q Domineringslov i Tabell 6 S e) 1. måte: En implikasjon er usann kun når venstre side er sann og høyre side usann. Anta derfor at (høyre side) p er usann. Men hvis p er usann, er p q sann og dermed usann. Med andre ord blir det her aldri sann på venstre side og usann på høyre side. 2. måte: p ( p ) p ( p ) p q p q S S f) 1. måte: Det kontrapositive til er q. Et utsagn og det kontrapositive utsagnet har samme sannhetsverditabell. Vi kan derfor isteden vise at q er en tautologi. Hvis q er sann, så er p q sann. En implikasjon er alltid sann når det på høyre side er sant. Det betyr at q alltid er sant. 2. måte: ( p q) q q ( q q) S 4

5 Oppgave 8 Det er minst tre mulige fremgangsmåter: 1) å argumentere slik som i lærebokens fasit til denne oppgaven, 2) bruke formlene i tabellene 1 8 på side i boken eller 3) bruke en sannhetsverditabell. Fremgangsmåte 1) er allerede dekket og fremgangsmåte 2) blir litt innviklet her.vi bruker derfor fremgangsmåte 3): p q p q p q q ( q ) S S U U S U S S U U S U U S U S S U S U S U U S S S S S Dette er en tautologi siden kolonnen (den siste) kun inneholder S-er. Oppgave 11 p q r p q ( p S S S S S S S S S S U U U U S U S U S S S S S S S U U U S U S U U S S S S S S S U S U S U U S U U U S S S S U S U U U S S S U S Vi ser at 6. og 8. kolonne er like. Dermed er ( p og ekvivalente. Dette kan også vises slik: ( p ( q ) ( p q) 5