Forelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk

Transkript

1 Forelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon INF5170 { Logikkseminar Tirsdager 14:15-16:00 pa Buerommet (3. etg, I). Flg med pa forskning og aktuelle temaer innen logikk! Oblig To ukers leveringsfrist. Innlevering fredag 17/2, 17/3, 21/4 og 26/5 kl. 14:00. Leveres i ekspedisjonen pa I eller pa e-post til gruppelrer. To leveringsforsk pr. oblig! Se detaljerte regler pa kurset hjemmeside. 2 Mengdelre (fortsettelse) 2.1 Om funksjoner Om funksjoner Denisjon (Denisjons- og verdimengde). Hvis f er en funksjon fra S til T, sa kaller vi S for denisjonsmengden til f og T for verdimengden til f. Notasjonen vi bruker for dette er: f : S! T. { Funksjonen P ar : N! f0; 1g denert ved P ar (x) = 1 hvis x er et partall 0 hvis x er et oddetall har N som denisjonsmengde og f0; 1g som verdimengde. Injektive funksjoner Denisjon (Injektiv). En funksjon f : S! T er injektiv hvis for alle x; y 2 S sa impliserer x 6= y at f (x) 6= f (y ). Vi sier at f er en-til-en. Ikke injektiv Injektiv Surjektive funksjoner S T S T

2 Denisjon (Surjektiv). En funksjon f : S! T er surjektiv hvis for alle y 2 T sa ns x 2 S slik at f (x) = y. Vi sier at f er pa. Ikke surjektiv Surjektiv Bijektive funksjoner S T S T Denisjon (Bijektiv). En funksjon er bijektiv hvis den er injektiv og surjektiv. Vi sier at funksjonen er en-til-en og pa, eller at vi har en en-til-en korrespondanse. Ikke bijektiv Bijektiv S T S T 2.2 Kardinalitet Kardinalitet Kardinalitet { \strrelsen pa en mengde" Denisjon (Kardinalitet). To mengder S og T har lik kardinalitet hvis det ns en bijeksjon fra S til T. Mengden S har kardinalitet mindre eller lik T hvis det ns en injektiv funksjon fra S til T. Hvis S er en endelig mengde, sa er kardinaliteten til S lik antall elementer i S. Vi bruker notasjonen jsj for kardinaliteten til S. Hva er kardinaliteten til fa; b; cg? fa; b; ag? fag? ;? N = mengden av alle naturlige tall f1; 2; 3; 4; 5; : : :g 2

3 2N = mengden av alle partall f2; 4; 6; 8; 10; : : :g f (x) = 2x er en bijeksjon fra N til 2N, sa N og 2N har samme kardinalitet. Vi skriver jnj = j2nj. Tellbart vs. overtellbart N N Denisjon (Tellbar). En uendelig mengde S er tellbar hvis det ns en en-til-en korrespondanse mellom elementene i S og de naturlige tallene. Hvis ikke, er S overtellbar. Alle endelige mengder er tellbare. Nar en uendelig mengde S er tellbar ns det en bijektiv funksjon fra S til N. Mengden 2N av alle partall er tellbar. Mengden B av binre tall er tallbar. Mengden Q av brktall er tellbar. Mengden av nalevende mennesker er tellbar. Mengden R av reelle tall er ikke tellbar. 3 Induktive denisjoner Induktive denisjoner Denisjon (Induktiv denisjon). A denere en mengde induktivt betyr a konstruere den minste mengden som inneholder en gitt mengde B kalt en basismengde og som er lukket under gitte operasjoner. Mengden N av naturlige tall kan deneres induktivt ved 0 2 N, og hvis x 2 N, sa x N. Mengden av binre tall kan deneres induktivt ved 0 og 1 er binre tall, og hvis b er et binrt tall, sa er b0 og b1 binre tall. steg 0: 0 1 steg 1: steg 2:

4 Menden S av symmetriske strenger kan deneres induktivt ved 2 S (den tomme strengen), hvis x 2 S, sa axa 2 S og bxb 2 S. steg 0: steg 1: aa bb steg 2: aaaa abba baab bbbb. 4 Utsagnslogikk (fortsetter) 4.1 Syntaks Eksempel (Utsagnslogiske formler). P (P! Q) ((P _ Q) ^ :(P _ R)) Notasjon. Vi dropper ofte undvendige parenteser: (P! Q) skrives P! Q ((P _ Q) ^ :(P _ R)) skrives (P _ Q) ^ :(P _ R) Ikke alle strenger over det utsagnslogiske alfabet er utsagnslogiske formler: P! ((Q ^ P ) Oppgave. Vis at ((Q ^ P ) ikke er en utsagnslogisk formel. Intuitivt, men hvordan bevise det? Ved strukturell induksjon kan vi vise noe sterkere: Pastand. Alle utsagnslogiske formler har like mange venstre- og hyreparenteser. 4.2 Strukturell induksjon Strukturell induksjon Mengden F u av utsagnslogiske formler er def:utsagnslogiskformeldenert induktivt. Ved strukturell induksjon kan man vise at en egenskap holder for alle formler i F u. Teorem (Strukturell induksjon). Alle formler i F u har egenskapen Q hvis: Basissteg: Alle atomre formler har egenskapen Q. Induksjonssteg: 4

5 Hvis A har egenskapen Q, sa har ogsa :A egenskapen Q. Hvis A og B har egenskapen Q, sa har ogsa (A ^ B), (A _ B) og (A! B) egenskapen Q. Strukturell induksjon er en bevisteknikk vi kommer til a bruke mye! Derfor er det viktig a kunne den godt... Pastand (Balanserte parenteser). Alle formler A 2 F u har like mange venstre- og hyreparenteser. Bevis. Basissteg: Hvis A er atomr, inneholder den ikke parenteser. Dermed holder pastanden trivielt. Induksjonssteg: Anta A = :B og at pastanden holder for B. A har like mange parenteser som B. Dermed holder pastanden ogsa for A. Anta A = (B C) for 2 f^; _;!g, og at pastanden holder for B og C. A har en venstre- og en hyreparentes i tillegg til de som nnes i B og C. Siden pastanden holder for B og C, holder den ogsa for A. Tilbake til uttrykket ((Q ^ P ): Pastand. ((Q ^ P ) er ikke en utsagnslogisk formel. Bevis. 1. Vi har vist at alle utsagnslogiske formler har like mange venstre- og hyreparenteser. 2. Det kontrapositive er at hvis et uttrykk ikke har like mange venstre- og hyreparenteser, sa er det ikke en utsagnslogisk formel. 3. Uttrykket `((Q ^ P )' har to venstre- og en hyreparentes, altsa ulikt antall. 4. Derfor er det ikke en utsagnslogisk formel. 4.3 Semantikk Semantikk Vi skal tolke utsagnslogiske formler som enten sanne eller usanne. Denisjon. La Bool = f1; 0g. Denisjon (Operatorene ^:, ^, ^_ og ^!). Vi denerer en unr operator ^: pa Bool slik at ^:1 = 0 og ^:0 = 1. Vi denerer de binre operatorene ^_, ^ og ^! pa Bool som flger: x y x^y x ^_y x ^!y

6 Tabellen over kalles en sannhetsverditabell. Denisjon (Boolsk valuasjon). En boolsk valuasjon er en funksjon v fra F u til Bool slik at: v (:A) = ^:v (A) v (A ^ B) = v (A)^v (B) v (A _ B) = v (A)^_v (B) v (A! B) = v (A) ^!v (B) Merk. Symbolene :, ^, _ og! pa venstresiden er de utsagnslogiske konnektivene, som er en del av syntaksen. Symbolene ^:, ^, ^_ og ^! pa hyresiden er operatorer pa Bool, og en del av semantikken. Se pa formelen :P! Q. La v vre en valuasjon slik at v (P ) = 1 og v (Q) = 0. Vi far: v (:P! Q) = v (:P ) ^! v (Q) = (^: v (P )) ^! v (Q) = (^: 1) ^! v (Q) = (^: 1) ^! 0 = 0 ^! 0 = 1 Denisjon (Oppfyllbar). En boolsk valuasjon v oppfyller en utsagnslogisk formel A hvis v (A) = 1. Skrives ofte v j= A. En utsagnslogisk formel er oppfyllbar hvis det nnes en boolsk valuasjon som oppfyller den. Formelen P! Q er oppfyllbar: den oppfylles av alle valuasjoner v slik at v (P ) = 0 eller v (Q) = 1. Formelen :(P! P ) er ikke oppfyllbar. Hvorfor? Denisjon (Falsiserbar). En boolsk valuasjon v falsiserer en utsagnslogisk formel A hvis v (A) = 0. Skrives ofte v 6j= A. En utsagnslogisk formel er falsiserbar hvis det nnes en boolsk valuasjon som falsiserer den. Formelen P! Q er falsiserbar: den falsiseres av alle valuasjoner v slik at v (P ) = 1 og v (Q) = 0. Formelen P! P er ikke falsiserbar. Hvorfor? Denisjon (Tautologi). En utsagnslogisk formel A er en tautologi hvis v j= A for alle boolske valuasjoner v. 6

7 Er P en tautologi? Hva med :(P! P )? Og P! P? Denisjon (Motsigelse). En utsagnslogisk formel A er en motsigelse hvis v 6j= A for alle boolske valuasjoner v. Merk. Det motsatte av en tautologi er den falsiserbar formel. Det motsatte av en motsigelse er den oppfyllbar formel. En tautologi er ikke det motsatte av en motsigelse! Pastand. En utsagnslogisk formel A er en tautologi hvis og bare hvis A ikke er falsiserbar. Bevis. formelen A er en tautologi, v j= A for alle valuasjoner v, det nnes ingen valuasjon v slik at v 6j= A, A er ikke falsiserbar Hvis og bare hvis {, Merk. Begrepet \hvis og bare hvis" uttrykker toveis implikasjon. Skrives ofte,. P \hvis og bare hvis" Q kan uttrykkes i utsagnslogikk som (P! Q) ^ (Q! P ) 4.4 Sekventkalkyle Sekventkalkyle for utsagnslogikk Hvordan nne ut om en gitt formel er en tautologi? Fra pst:falsiserbaresemantikken: Hvis formelen ikke er falsiserbar, sa er den en tautologi. Ide: A systematisk forske a falsisere formelen. :Q; P ` P :Q ` :P; P ` P ; :Q! :P Q ` Q; :P Q; :Q ` :P Q ` :Q! :P P! Q ` :Q! :P ` (P! Q)! (:Q! :P ) Eksempel Falsisere formelen (P! Q)! (:Q! :P ): { oppfylle P! Q, 7

8 { og falsisere :Q! :P. Formler til venstre for ``' skal oppfylles. Formler til hyre for ``' skal falsiseres. Oppfylle P! Q: { falsisere P, { eller oppfylle Q. :Q! :P ma kunne falsiseres uavhengig av hvordan P! Q oppfylles. Formelen kopieres derfor inn i begge de nye lvnodene. Falsisere :Q! :P i venstre lvnode: { oppfylle :Q, { og falsisere :P. Tilsvarende, falsisere :Q! :P i hyre lvnode: { oppfylle :Q, { og falsisere :P. Falsisere :P i venstre lvnode: { oppfylle P. Oppfylle :Q i hyre lvnode: { falsisere Q. Venstre lvnode: { Oppfylle: :Q, P. Falsisere: P. { Umulig, kan ikke bade oppfylle og falsisere P! Hyre lvnode: { Oppfylle: Q. Falsisere: Q, :P. { Umulig, kan ikke bade oppfylle og falsisere Q! (P! Q)! (:Q! :P ) kan ikke falsiseres! 8