Transkript

1 v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn og prol: konstant, : f T 1 T 2... T n hvor n 0 T, angir funksjonens domene (listen av argumentenes typer) Prolen kodomene (funksjonsverditypen). og uttrykk av type T er enten: Et en variabel av type T, eller { en funksjonsapplikasjon f(e 1,e 2,...,e { n n 0, ), f har prolen T 1 T 2... T hvor n, T og argumentet e i er et uttrykk av typen T i, i=1,2,...,n. Funksjoner kan ha form av inx og \mixx" operatorer. For 1

2 formel i utsagnskalkylen er et uttrykk i variable av typen (evt. metavariable som star for vilkarlige Boolske uttrykk), Bool flgende funksjoner (\logiske konstanter og operatorer"). og er pa mixx form, hvor ^ angir plass for operand. Funksjonene f, : t (sann (true), falsk (false)) Bool : Bool Bool (negasjon, \ikke") ^ Utsagnskalkyle: formelsprak : Bool (konjunksjon, \og") ^ ^ Bool Bool Bool 2 (disjunksjon, \og/eller") 2 : ^ ^ : Bool Bool (implikasjon, \hvis-sa") ^ ^ 2 : ^=^, Bool Bool (likhet (dss. "ekvivalens")) ^ ^ 2 : Bool Bool (forskjellighet) ^ ^ 2 if^th^el^fi Bool Bool (if-operator) : 3 Prioritetsrekkeflge (fallende): = ( ),,,,,. 2

3 t f t f f t t x=y (x y) (y x), samt t,t t,f f,t f,f if t t f f t Utsagnskalkyle: regneregler t f t f t t f t t t t f t f t f t f f f f t f f t t =, t f t f t f f t f t f f t f t f t f, osv. kan sees som aksiomer. Regnereglene, at x y betyr nyaktig det samme som x y. Motivering: Merk x<5 x<6 br holde for alle tall x, f.eks.: 4<5 4<6 t t t og 5<5 5<6 f t t og 6<5 6<6 f f t. if x th y el z fi x y x z (x y) ( x z). Vi har ogsa: 3

4 1'ste ordens predikatkalkyle (typet) formel i 1'ste ordens predikatkalkyle er et Boolsk uttrykk som inneholde uttrykk av andre typer, samt kvantorer, og. kan kvantor er en logisk preks-operator med prioritet mellom og. Den innfrer en ny variabel med angitt type og med som skop. \1'ste orden" henspiller pa at bare argumentformelen i formelspraket kan kvantoriseres, ikke f.eks. metavari- variable able som star for formler. typen T ha verdimengden {a 1,a 2,...,a La n og la P vre en }, (som kan ha forekomster av T -variabel x). formel x T P (leses: for alle T -verdier x: P ) Universal-kvantor: : Pa x svarer til: 1 Pa x 2... Pa x. n : x T (leses: det eksisterer en P -verdi T x Eksistens-kvantor: slik at P ) svarer til: P x a 1 P x a 2... P x a n. x: T P Q R betyr ( x: T (P Q)) R. Eksempler: Int y : Int y>x sier at det nnes intet strste heltall. x: 4

5 Fri og bundne variable Alle variable i et uttrykk uten kvantorer (og uten andre kvantoraktige { operatorer som,, etc.) er fri. x-kvantor binder alle fri x-forekomster i kvantorskopet. { syntaktiske funksjonen V : uttrykk variabelmengde Den beregner mengden av fri variable i uttrykk. { V[x] = {x}, for variabel x, { V[c] =, for konstant c (dvs funksjon med null argumenter), { V[f(e 1,e 2,...,e n )] = V[e 1 ] V[e 2 ]... V[e n ], for n>0, { V[ x:t P ] = V[ x:t P ] = V[P ] {x}, P er kvantorskopet. pa en bundet variabel er uten betydning. formel uten Navnet variable kalles lukket. La alle funksjoner i en formel F ha fri betydning. Hvis F er lukket, da er den enten sann eller fastlagt og ellers kan den ses som et utsagn om de fri variable. falsk, 5

6 y : Int y >x har nyaktig samme betydning som P Det viser at navnekollisjonen i Py x er irrelevant og formelen. avverges. br Substitusjon i uttrykk Notasjonen P x e angir substitusjon pa frie forekomster av variabe- x P. Fri variable i uttrykket e skal vre fri i Pe x, om x V[P]. len i V[e], og en fri x-forekomst i y er i skopet til en y-kvantor, P Hvis blir derfor den bundne variabelen y omnavnet i P x e (automatisk). : y Int y y, som er falsk. > y Int y >y, som er sann for alle y. : Formelen : P : y Int y er sann for alle heltall Eksempel: >x br Pe x holde for vilkarlig heltallsuttrykk e, f.eks. ut- Dermed x. trykket y (fri Int-variabel). Naiv substitusjon ville gi formelen Korrekt resultatformel kan vre: Merk at 6

7 funksjon med kodomenet Bool og med ikke-boolske argumenter kalles et predikat eller en relasjon. Terminologi Eks.: Formelen x<2 y er en applikasjon av predikatet ^<^. Talematen \predikatet x<2 y" er uklar. Kanskje mener vi predikatet p : Int 2 Bool slik at p(x, y) = x<2 y, eller med p = λx, y : Int x<2 y (i begge notasjoner \lambda-notasjon": x og y bundne variable, som introduseres i venstresiden hhv. av er operatoren λ, og som har skopet x<2 y). x<2 y skal bety λx,y,...,z x<2 y, hvor Tilstandspredikatet (riktig typet) er tilstandsrommet, dvs. listen av pro- x,y,...,z Et P mengden gramvariable. tilstandspredikat representerer av, {(x,y,...,z) P}. For tilstand P tilstander som tilfredsstiller σ x,..., z σ P σ.x,...,σ.z. Tilstandspredikatet P angir tilstandsmengden skal x y derfor bety σ x y og {(x,y,...,z) x y}, betyr σ.x σ.y. 7

8 Formelle bevis 1 bevis er en serie resonnementsskritt som har til hensikt a Et en leser om sannheten av en formel, teoremet. overbevise tar utgangspunkt vedtatte sannheter, aksiomer, og hvert Beviset ma ha en form som svarer til korrekt logisk resonnementsskritt tenkning. logikk er lren om formelle bevis, hovedsakelig utviklet Matematisk i vart arhundre. Den er viktig av ere grunner: Reglene for formell bevisfring er en sikker basis for korrekt { resonnering. { Formelle bevis kan kontrolleres mekanisk. Reglene for formell bevisfring er enkle a bruke (sa enkle at { bevis kan konstrueres mekanisk). mange 8

9 ikke-lukket formel i utsagnskalkylen kan bevises ved a vise at er sann for alle kombinasjoner av verdier for variablene. Det den Formelle bevis 2 lukket formel i utsagnskalkylen kan bevises ved a regne ut Eks.: t (f t f) t (f f) t t t. verdien. bevis sannhetsverditabell. kalles ved R) Eksempel: R) (P (Q P Q R P Q R P R Q R VS P Q HS VS=HS f f f t t t f t t f f t t t t f t t f t f t f f t f t f t t t t t t t t t f f f t f t f t t f t t t t t t t t t f f f f t f t t t t t t t t t t 9

10 Formelle bevis 3 i predikatkalkylen kan inneholde variable som rangerer Formler uendelige eller (helt eller delvis) uspesiserte verdimengder. over Derfor trengs her en mer generell bevismetodikk. a ve oss i a handtere formler ser vi pa en programtekst som For en Int-array av uspesisert lengde N>0: nullstiller for := 1 k to N A[k] := 0 od. do del av en fullstendig formell verikasjon ville vi matte vise: Som : { i {1..N} : i<k A[i]=0}A[k]:=0{ i {1..N} i k A[i]=0}. om alle A-elementer til venstre for k er lik null fr A[k]:=0, Altsa: er alle pa eller til venstre for k lik null etterpa, gitt 1 k N. da er det samme som a vise flgende noksa kompliserte formel: Det i<k A[i]=0) A[k]=0 ( i:{1..n} i:{1..n} A[i]=0. i k A:{1..N} Int. Her skal arrayen A tolkes som en funksjon, 10

11 ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 i i k A[i]=0 Vis kan vise en implikasjon ved a anta at premissen er sann: Vi ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 Vis i i k A[i]=0 Anta kan erstattes av to enklere: Antagelsen i i<k A[i]=0 og A[k]=0 Vis i i k A[i]=0 Anta kan vise i:{1..n} P ved a vise P for vilkarlig verdi j :{1..N}: Vi i i<k A[i]=0 og A[k]=0 Vis j k A[j]=0 Anta vise en implikasjon. Antar at premissen er sann: Skal i i<k A[i]=0 og A[k]=0 og j k Vis A[j]=0 Anta vet at j k er det samme som j<k j=k: Vi Formelle bevis 4 mulig strategi er a modisere bevisforpliktelsen etter enkle samtidig med at formlene brytes ned i enklere deler. tankeskritt, (Vi slyfer typingen av kvantoriserte variable for a spare plass.) Anta i i<k A[i]=0 og A[k]=0 og j<k j=k Vis A[j]=0 11

12 a anta en disjunksjon kan vi kjre to separate beviser, Istedenfor for hver disjunkt. I disse kan det vre greit a resonnere direkte et antagelse gir sa A[j]=0 (ved \modus ponens"). 3. Anta i i<k A[i]=0 og A[k]=0 og j =k Vis A[j]=0 B: antagelse gir at vi kan sette j for k i 2. antagelse. 3. gir A[j]=0. Det bevis for den \baklengs" et stykke pa vei, og avsluttet med et resonnementer fra antagelser som hadde avleiret seg. \forlengs" Formelle bevis 5 fra antagelsene som na foreligger: Anta i i<k A[i]=0 og A[k]=0 og j<k Vis A[j]=0 A: antagelse gir j<k A[j]=0 (ved \instansiering" av i). 1. Ferdig! Vi startet med formelen som skulle vises, konstruerte 12

13 Anta og og Aa: gir R) Vis og Ab: og og Anta Vis og gir R) P R Q R P R (P P R P R Q R Q R (Q Q R Vis (P Q R) (P R) (Q R) B: P Q R Vis (P R) (Q R) Anta Formelle bevis 6 slags metodikk kan brukes for bevis i utsagnslogikken: Samme (P R) (Q R) P Q R Vis A: Vis (P R) (Q R) (P Q R) Anta (P R) (Q R) Vis P Q R Anta P R og Q R Vis P Q R Anta P R og Q R og P Q Vis R Ba: Anta P Q R Vis P R P Q R og P Vis R (P gir P Q og R) Anta Anta P Q R Vis Q R Bb: Anta P Q R og Q Vis R (Q gir P Q og R) 13