UNIVERSITETET I OSLO
|
|
- Carl Aronsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) La A = {x}, B = {y, {x}} og C = {x, y, {x, y}}. (a) [2 poeng] Skriv ned alle delmengdene til C. {x} {y} {x, y} {{x, y}} {x, {x, y}} {y, {x, y}} {x, y, {x, y}} (b) [2 poeng] Er følgende påstander sanne eller usanne? 1. A B Usann. (x er ikke et element i B.) 2. B C Usann. ({x} er ikke et element i C.) 3. A B Sann. 4. B C Usann. (c) [4 poeng] Regn ut: 1. A \ B (Fortsettes på side 2.)
2 A \ B = {x} \ {y, {x}} = {x} 2. B \ A B \ A = {y, {x}} \ {x} = {y, {x}} 3. A B A B = {x} {y, {x}} = {x, y, {x}} 4. B C B C = {y, {x}} {x, y, {x, y}} = {x, y, {x}, {x, y}} (d) [2 poeng] Hva er kardinaliteten til B (A C)? Begrunn svaret ditt. Kardinaliteten er lik antall elementer i B multiplisert med antall elementer i (A C). Vi har at (A C) = C, og svaret blir derfor 2 3 = 6. Oppgave 2 Hypoteser og moteksempler (10 poeng) Her kommer det noen påstander som du må ta stilling til. For hver påstand skal du finne ut om den er sann eller usann. Hvis du mener at påstanden er sann, så gi et kort argument for hvorfor. Hvis du mener at den er usann, så finn et moteksempel eller forklar hvorfor det ikke kan være slik. (a) [2 poeng] Hvis F og G er to formler, så er det alltid slik at enten (F G) eller (G F) er oppfyllbar. Sant. Hvis (F G) ikke er oppfyllbar, må F være sann og G usann for alle valuasjoner. Det betyr at (G F) er sann for alle valuasjoner, og dermed gyldig og oppfyllbar. (b) [2 poeng] Det fins en utsagnlogisk formel F slik at envher utsagnslogisk formel er en logisk konsekvens av F. Sant. er en slik formel. (c) [2 poeng] Det fins en utsagnslogisk formel som både er oppfyllbar og falsifiserbar. 2
3 Sant. P er en slik formel. (d) [2 poeng] Det fins to uendelige mengder, A og B, slik at både A B og A B. Sant. La A være N og B være N {N}. (e) [2 poeng] Det fins to forskjellige mengder, A og B, slik at både A B og B A. Usant. Hvis de er forskjellige, vil enten A B eller B A være usann. Oppgave 3 Utsagnslogikk (10 poeng) (a) [4 poeng] Se på formelen P (Q R). Hvilke av følgende formler er ekvivalente med denne? 1. P (Q R) 2. P (Q R) 3. (P (Q R)) 4. (P Q) (P R) 5. (P Q) (P R) 5. (Q R) P Formlene 2, 3 og 4 er ekvivalente med P (Q R). (b) [6 poeng] Vi kan definere et nytt konnektiv,, for «impliserer ikke» ved hjelp av følgende sannhetsverditabell. F G (F G) Finn en måte å uttrykke (F G) på kun ved hjelp av konnektivene og. Med andre ord, finn en formel som kun inneholder F og G og konnektivene og og som er ekvivalent med (F G). Begrunn svaret ditt. Følgende sannhetsverditabell viser at formelen ( F G) er ekvivalent med (F G). F G (F G) ( F G )
4 2. Finn en måte å uttrykke (F G) på ved hjelp av kun. Begrunn svaret ditt. Følgende sannhetsverditabell viser at formelen (F (F G)) er ekvivalent med (F G). F G (F G) ( F ( F G )) Oppgave 4 Relasjoner og funksjoner (10 poeng) La F være mengden av alle filmer som ble vist i norsk kino i løpet av 2013, og la T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} være mengden av mulige terningkast. Anta at Kraken er en av filmene, altså at Kraken F. (a) [2 poeng] Hva er definisjonen av «en funksjon fra F til T»? En funksjon fra F til T er en binær relasjon R fra mengden F til mengden T, det vil si at R F T, hvor hver x F er relatert til ett og bare ett element y T. Det vil si for alle x F finnes nøyaktig ett element y T med xry. (b) [3 poeng] Hvilke av følgende relasjoner fra F til T er funksjoner? { Kraken, 4 } 3. { f, 6 f F} 4. F {1, 2} Kun 3 er en funksjon fra F til T. 1 og 2 gir ikke tilordninger til alle filmer. 4 gir flere tilordninger for allle filmer. (c) [2 poeng] La f være en funksjon fra F til T. La relasjonen R på F være slik at xry hvis og bare hvis f(x) = f(y). Er dette en ekvivalensrelasjon? Begrunn svaret ditt. Ja, R er en ekvivalensrelasjon: R er refleksiv: La x F. Da vil f(x) = f(x), og derfor vil xrx. R er symmetrisk: Anta at xry. Da vil f(x) = f(y), og da vil f(y) = f(x) og yrx. R er transitiv: Anta at xry og yrz. Da vil f(x) = f(y) og f(y) = f(z), og da vil f(x) = f(z) og dermed xrz. 4
5 (d) [3 poeng] La f være en funksjon fra F til T som før. La relasjonen S på F være slik at xsy hvis og bare hvis forskjellen mellom f(x) og f(y) er maksimalt 1, dvs. f(x) f(y) { 1, 0, 1}. Er dette en ekvivalensrelasjon? Begrunn svaret ditt. Hvis f(x) = 6, f(y) = 5 og f(z) = 4 har vi at xsy og ysz, men ikke xsz, og derfor er S ikke en transitiv relasjon. Derfor er ikke S en ekvivalensrelasjon. Oppgave 5 Førsteordens logikk (10 poeng) Vi antar som vanlig at a, b og c er konstanter og at x, y og z er variabler. (a) [2 poeng] Angi både mengden av frie variabler og mengden av bundne variabler i følgende formler. 1. P(x) frie: {x}, bundne: 2. x R(x, x) frie:, bundne: {x} 3. ( x R(x, y)) ( y R(x, y)) frie: {x, y}, bundne: {x, y} (b) [3 poeng] La oss skrive UV(φ) for mengden av variabler som forekommer i en førsteordens formel φ, men ikke bundet av en eksistenskvantor ( ) for den variablen. Dvs. alle variabler som er enten er frie eller som er bundet av en universell kvantor ( ). For eksempel har vi følgende. UV ( x y P(x, y, z) ) = {x, z} Følgende er en rekursiv definisjon av UV. Definisjonen har noen hull markert med 1, 2 etc. Angi hva det er som mangler. (Vi antar at FV(t), mengden av frie variabler i en term, allerede er definert.) UV(P(t 1,..., t n )) = FV(t 1 ) FV(t n ) UV(φ ψ) = UV(φ) UV(ψ) UV(φ ψ) = UV(φ) 1 UV(ψ) UV(φ ψ) = UV(φ) 2 UV(ψ) UV( φ) = 3 5
6 UV( x φ) = UV(φ) 4 {x} UV( 5 ) = 6 1:, 2:, 3: UV(φ), 4: \, 5: xφ, 6: UV(φ). (Dette er en løsning som fungerer fint så lenge ingen variabler er bundet av både en -formel og en -formel.) (c) [2 poeng] Forklar forholdet mellom formelen x, y (R(x, y) R(y, x)) og et utsagn «... [noe med R]... er en symmetrisk relasjon». Hint: i forklaringen vil du trenge begrep som «modell», «tolkning» og «er sann». Formelen x, y (R(x, y) R(y, x)) er sann i en modell M hvis og bare hvis tolkningen til R, altså R M, er en symmetrisk relasjon på domenet til M. (d) [3 poeng] Gitt et førsteordensspråk uten konstant- eller funksjonssymboler, men med to unære relasjonssymboler P og Q. Angi en modell M slik at M = x Px y Qy M = x (Px Qx) La modellen M ha domene {1, 2}, og tolk P og Q slik at P M = 1 og Q M = 2. Da holder begge påstandene. Oppgave 6 Grafteori (10 poeng) (a) [3 poeng] Forklar hva en Eulervei og en Eulerkrets er. Hvis G er en sammenhengende graf, er en Eulervei en vandring som inneholder hver kant fra G nøyaktig én gang. En Eulerkrets er en Eulervei hvor den første og den siste noden sammenfaller. (b) [3 poeng] Hva er summen til gradene til nodene i en komplett graf med n noder? Forklar kort (eller bevis) hvorfor det er slik. Summen til gradene til nodene n(n 1). Det er n noder i alt og for hver av disse ligger det (n 1) kanter inntil denne noden. (c) [2 poeng] Tegn en graf med fire noder hvor nodene har grader 1, 1, 1 og 1, eller forklar hvorfor det ikke fins noen slik graf. 6
7 (d) [2 poeng] Tegn en graf med fire noder hvor nodene har grader 1, 2, 2 og 3, eller forklar hvorfor det ikke fins noen slik graf. Oppgave 7 Kombinatorikk (10 poeng) (a) [3 poeng] Hvor mange funksjoner finnes det fra mengden {1, 2,..., n}, hvor n er et positivt heltall, til {0, 1}? Gi en kort begrunnelse for svaret ditt. For hvert element i definisjonsområdet er det 2 muligheter, og vi får derfor 2 n antall forskjellige funksjoner fra {1, 2,..., n} til {0, 1}. (b) [3 poeng] La S være mengden {1, 2, 3, 4}. Hvor mange funksjoner fra S til S fins det, og hvor mange av disse er bijeksjoner? Gi en kort begrunnelse for svaret ditt. Antall funksjoner fra S til S er 4 4 = 256, fordi det for hvert element i {1, 2, 3, 4} er fire muligheter for verdi. Av disse er det 4! = = 24 bijeksjoner, like mange som det er permutasjoner av {1, 2, 3, 4}. (c) [4 poeng] La S være mengden {1, 2, 3, 4, 5}. Hvor mange delmengder av av S med tre elementer fins det? Gi en kort begrunnelse for svaret ditt. Det er ( ) 5 3 = = 10 delmengder av S med tre elementer. Det er fordi det er = 60 måter å velge tre elementer på i rekkefølge. Disse kan permuteres på = 6 forskjellige måter. Det gir at det er 60/6 = 10 måter å velge tre elementer på uavhengig av rekkefølgen. Dette svarer til antall delmengder av S med tre elementer. Oppgave 8 Regulære språk (10 poeng) Vi definerer et språk over alfabetet {a, b, c} som inneholder strengene på følgende form: Alle strenger består av ett eller flere «segmenter.» Hvert segment består av én a og etter det enten en rekke på én eller flere b eller 7
8 en rekke på én eller flere c. Noen strenger i språket er altså abbbb, abacab, abbaccc (a) [3 poeng] Angi et regulært uttrykk som beskriver språket. (a(b + c + )) + (b) [3 poeng] Finn en grammatikk som beskriver språket. S X XS X ab ac B b bb C c cc (c) [4 poeng] Angi en deterministisk, endelig tilstandsmaskin som aksepterer språket. Husk å markere både starttilstanden, og alle aksepterende tilstander. Oppgave 9 Rekursive funksjoner (10 poeng) (a) [3 poeng] Hvilke av følgende systemer med ligninger utgjør en korrekt rekursiv definisjon av en funksjon f : N N? 1. f(0) = 2 og f(n + 1) = f(n) 2 f(n) for alle n N. Ja 2. f(n + 1) = f(n) 2 for alle n N. Nei, basistilfellet mangler. 3. f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 3, og så videre. Nei, «og så videre» er ikke en gyldig form for definisjon. 4. f(0) = 1, f(1) = 3, og f(n) = 2f(n 2) for alle n N med n 2. Ja (b) [2 poeng] For de definisjonene i oppgavedel (a) som er korrekte, regn ut f(4). 8
9 (1): f(1) = = 2. f(2) = 2. f(3) = 2. f(4) = 2. (4): f(4) = 2 f(2) = 2 2 f(0) = 4. (c) [3 poeng] La g(n) være produktet av de første n positive oddetallene: g(1) = 1 g(2) = 1 3 g(3) = g(4) = Gi en rekursiv definisjon av g. Du får bruke 1 som basistilfelle. La funksjonen g være definert rekursivt på følgende måte: g(1) = 1 og g(n + 1) = (2n + 1)g(n)). (d) [2 poeng] Definer en rekursiv funksjon f som tar en streng som argument, og som erstatter alle vokaler x i den strengen med a. F.eks. vil f(tre små kinesere) = tra sma kanasara og f(logikk) = lagakk. La funksjonen f være definert rekursivt på følgende måte: f(λ) = Λ og f(sx) er lik f(s)x hvis x er en konsonant og f(s)a hvis x er en vokal. Oppgave 10 Induksjonsbevis (10 poeng) (a) [4 poeng] Gitt følgende rekursive definisjon for f: Bevis ved induksjon at f(0) = 2 og f(n + 1) = f(n) 2 f(n) for alle n N. f(n) = 2 for alle n N. Vi beviser ved matematisk induksjon at f(n) = 2 for alle n N: Basissteget er å bevise at påstanden holder for n = 0: Det stemmer fordi f(0) = 2 per definisjon. Anta at påstanden holder for et naturlig tall n, det vil si at f(n) = 2. Dette er induksjonshypotesen (IH). Fra denne skal vi vise at påstanden holder for n + 1: f(n + 1) = f(n) 2 f(n) ved definisjonen av f = ved induksjonshypotesen = 4 2 = 2 ved vanlig regning Ved induksjon følger det at påstanden er sann for alle naturlige tall. 9
10 (b) [4 poeng] Gitt følgende rekursive definisjon for g, Vis at g(0) = 1, g(n + 1) = 3 g(n) for alle n N. Vi beviser ved matematisk induksjon at { 1 hvis n er et partall g(n) = 2 hvis n er et oddetall { 1 hvis n er et partall g(n) = 2 hvis n er et oddetall Basissteget er å bevise at påstanden holder for n = 0: Det stemmer fordi g(0) = 1 og 0 er et partall. Anta at påstanden holder for et naturlig tall n. Dette er induksjonshypotesen (IH). Fra denne skal vi vise at påstanden holder for n + 1. Det er to tilfeller, avhengig av n + 1: n + 1 er et partall: Da er n et oddetall, og induksjonshypotesen gir at g(n) = 2. Da vil g(n + 1) = 3 g(n) = 3 2 = 1. n + 1 er et oddetall: Da er n et partall, og induksjonshypotesen gir at g(n) = 1. Da vil g(n + 1) = 3 g(n) = 3 1 = 2. Ved induksjon følger det at påstanden er sann for alle naturlige tall. (c) [2 poeng] Bruk (b) til å vise at g(n) = g(g(g(n))) for alle n N. La n være et vilkårlig naturlig tall. Det er to tilfeller, avhengig av n: n er et partall: Da vil g(n) = 1 per definisjon, og g(g(g(n))) = g(g(1)) = g(2) = 1. n er et oddetall: Da vil g(n) = 2 per definisjon, og g(g(g(n))) = g(g(2)) = g(1) = 2. Siden n var vilkårlig valgt, holder påstanden for alle n. 10
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerLøsningsforslag oblig. innlevering 1
Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 29. november 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) Oppgave
DetaljerPrøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)
Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann
DetaljerFOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse
DetaljerRepetisjon og noen løse tråder
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15
DetaljerINF1800 Forelesning 18
INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerIN1150 Høst Logiske metoder for informatikk. Digital eksamen
IN1150 Høst 2017 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen id: orsdag 23. november 2017 kl. 14.30 18.30 (4 timer) illatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
DetaljerRepetisjonsforelesning - INF1080
Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 6
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 6 Normalformer Negasjons normalform I dette oppgavesettet skal vi se nærmere på normalformer. Formelen (P Q) kan også skrives som P Q. Formlene er ekvivalente, dvs.
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 32: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. mai 2008 Streik? Det er muligheter for streik i offentlig sektor fra midnatt, natt til fredag.
DetaljerFørsteordens logikk - syntaks
INF3170 Logikk Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Førsteordens logikk - syntaks 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:42) INF3170
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
DetaljerHvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
DetaljerINF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerForelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen februar 2007
Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen - 19. februar 2007 1 Førsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerINF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
DetaljerKompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen
INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk
DetaljerRepetisjonsforelesning
Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerSemantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},
DetaljerForelesning 31: Repetisjon
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 31: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 31: Repetisjon 18. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-18 14:11) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
DetaljerDagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen
Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk
DetaljerMerk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
DetaljerEn repetisjon hrj høst 2009
En repetisjon hrj høst 2009 Data Maskin Data Syntaktiske objekter - endelige Mengde { } Multimengde [ ] Liste < > Symbol String = Liste av symboler Vi kan alltid finne ut om to syntaktiske objekter er
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Praktisk informasjon Endringer
DetaljerPraktisk informasjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK. Endringer i undervisningen. Spørreskjemaet.
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Praktisk informasjon Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Endringer
DetaljerForelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Martin Giese februar 2008
Forelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Martin Giese - 25. februar 2008 1 Innledning til førsteordens logikk 1.1 Introduksjon I utsagnslogikk kan vi analysere de logiske konnektivene,,
DetaljerForelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
DetaljerUkeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis
Plenumsregning 11 Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen - 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen i dag. Oppgave 10.9 Oppgave 10.10 Oppgave 10.11 Oppgave 10.12 Oppgave
DetaljerEksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 73 59 17 55 Eksamensdato: 15. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
DetaljerForberedelse Kompletthet Kompakthet INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet. Andreas Nakkerud. 8.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015 Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerMAT1030 Forelesning 11
MAT1030 Forelesning 11 Relasjoner Roger Antonsen - 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner Binære relasjoner Definisjon. La A være en mengde. En binær relasjon på A er
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk. Martin Giese. 25. februar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 6: og semantikk Martin Giese Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 1 Innledning til førsteordens logikk 2 25. februar 2008 3 Institutt for informatikk (UiO)
DetaljerRepetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk
DetaljerDefinisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis
Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007
DetaljerFortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.
DetaljerBeregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden.
Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen - 21. mai 2007 1 Generelle eksamenstips 1.1 Disponér tiden! Sett opp et grovt tidsbudsjett. En tre timers eksamen har 3 * 60 = 180 minutter. Oppgavene
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen 1 Generelle eksamenstips Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 21. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO)
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170
DetaljerEksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA414 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 97 96 5 57 Eksamensdato: 15. desember 217 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA44 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 7359755 Eksamensdato: 8 desember 25 Eksamenstid (fra til): 9:-3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerForelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler
DetaljerForelesning 11. Relasjoner. Dag Normann februar Oppsummering. Relasjoner. Relasjoner. Relasjoner
Forelesning 11 Dag Normann - 18. februar 2008 Oppsummering Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære. Bruk av Venn-diagrammer er et av læringsmålene i dette emnet. Vi så kort på digital
DetaljerLøsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017
Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 18. februar 2008 Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære.
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 6: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk
DetaljerINF3170 Forelesning 1
INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................
DetaljerLO118D Forelesning 5 (DM)
LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk
DetaljerINF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015
INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerINF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
DetaljerEn relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.
Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser
DetaljerDatabaser fra et logikkperspektiv
Databaser fra et logikkperspektiv Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2013 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser fra et logikkperspektiv Høst 2013 1 / 31 Outline 1 Logikk som verktøy 2 Relasjonsdatabaser
DetaljerRepetisjon av MA og 3. april Repetisjon av MA0301
Repetisjon av MA0301 1. og 3. april 2014 1 Repetisjon av MA0301 (Denne presentasjonen er tilstrekkelig forberedelse til eksamen.) Aprilsnarr. Hvordan bruke disse timene: Ikke bruk for mye tid på å notere:
DetaljerLF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA44 Diskret Matematikk Høst 26 Seksjon 3. Husk at w = λ, den tomme strengen, for enhver streng w. 4 a) Følgende utledning/derivasjon
DetaljerPredikatlogikk Syntaks Semantikk INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Syntaks og semantikk. Andreas Nakkerud. 1. september 2015
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Syntaks og semantikk Andreas Nakkerud 1. september 2015 Predikatlogikk Utsagnslogikk: p 0, p 1, p 1 p 6, p 2 p 1 Predikatlogikk: (( x)p 1 (x)), (( x)(( y)p 4 (x, y)))
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
DetaljerForelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler
Detaljer