Repetisjon av MA og 3. april Repetisjon av MA0301
|
|
- Bente Kristoffersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Repetisjon av MA og 3. april Repetisjon av MA0301
2 (Denne presentasjonen er tilstrekkelig forberedelse til eksamen.) Aprilsnarr. Hvordan bruke disse timene: Ikke bruk for mye tid på å notere: Denne blir lagt ut på nettsiden etterpå Vi går gjennom det meste av pensum med harelabb. Vær obs når du ikke føler at du mestrer stoffet, og ikke kommer på mer innenfor samme tema: Det er et tegn på at du bør repetere det stoffet. Still spørsmål underveis. Karakteren settes ikke basert på hva du ikke kan i dag, men hva du ikke kan 23. mai. 2 Repetisjon av MA0301
3 Oversikt 1 Logikk 2 Telling 3 Mengdelære 4 Induksjon og rekursjon 5 Relasjoner 6 Funksjoner 7 Endelige tilstandsmaskiner 8 Grafteori 9 Trær 10 Kjøretid 11 Algoritmer 3 Repetisjon av MA0301
4 Formell logikk Logikk Byggeklosser: (Åpne) påstander p(x), q(x) Operasjoner Ikke: p(x) Og: p(x) q(x) Eller: p(x) q(x) XOR: p(x) q(x) Implikasjon: p(x) q(x) Ekvivalens: p(x) q(x) Kvantorer: x p(x), x p(x) Operasjoner setter sammen påstander til nye påstander. Påstander har sannhetstabeller. Tautologi: En påstand som alltid er sann. Selvmotsigelse: En påstand som alltid er usann. 4 Repetisjon av MA0301
5 Logikk p: Det er fint vær. q: Jens går ut. p q: Hvis det er fint vær, så går Jens (alltid) ut. Fint vær? Jens går ut? Regelen bruttoverholdt? p q (p q)p q Nei Nei NeiJa Nei Ja NeiJa Ja Nei JaNei Ja Ja NeiJa 5 Repetisjon av MA0301
6 Logikk Logisk implikasjon og ekvivalens Definisjon To påstander p og q er logisk ekvivalente dersom de har samme sannhetstabeller, og vi skriver p q. p impliserer q logisk dersom p q er en tautologi, og vi skriver p q. For å vise ekvivalens kan vi også vise at vi har implikasjon begge veier p q hvis og bare hvis p q og q p 6 Repetisjon av MA0301
7 Regneregler Logikk Ferdighet: Avgjør om (p 1 p n ) q er et gyldig argument, der p i er premisser og q konklusjonen. Viktig å kunne bruke regnereglene for logiske utsagn. (Jobb med listene i boken og/eller forelesningsnotatene.) 7 Repetisjon av MA0301
8 Eksempel 2.31 Logikk p: Bandet kunne spille rock q: Forfriskningene ble levert i tide r: Nyttårsfesten ble avlyst s: Anne ble sint t: Billettene ble refundert ( p q) (r s) r t t p 8 Repetisjon av MA0301
9 Eksempel 2.31 Logikk ( p q) (r s) r t t p 1 r t og t, så r ved modus tollens 2 r kan utvides til r s 3 DeMorgan: r s (r s) 4 Modus tollens: ( p q) (r s) og (r s) gir ( p q) 5 DeMorgan: ( p q), eller p q 6 Ergo, p (og q, for den saks skyld) 9 Repetisjon av MA0301
10 Veien videre Logikk Grunnlag for Dypere studier av logikk, proposisjonslogikk, formelle språk, SAT-problemet, NP =? P Forståelse av resonnementene i bevis Vanlige feil Bruke implikasjonen feil vei Misforstå hva den motsatte påstanden er Blande rekkefølgen på og 10 Repetisjon av MA0301
11 Bevisteknikk Logikk Et bevis er et overbevisende argument for at (du forstår at) noe er riktig. Skriv ned alle forutsetningene. Finn ut om noen av dem kombineres til å gi foreløpige konklusjoner, som kanskje til slutt gir det du vil bevise. Dersom du skal bevise en gitt påstand for alle n eller lignende: Hent fram induksjon. I verste(?) fall: Forklar ut fra intuisjonen hvorfor du mener det må være riktig. Tenk gjennom hvor argumentet er svakt, og forsøk å forbedre. 11 Repetisjon av MA0301
12 Permutasjoner Telling Summeregel Produktregel Det er n! = n (n 1) 2 1 permutasjoner på n objekter. (Enklere språk: Så mange måter å stokke n ting) Hvis n objekter skal plasseres på r n plasser, er det P (n, r) = n! (n r)! alternativer Dersom samme objekt kan brukes flere ganger, og vi skal plassere n objekter på r plasser, er det n r alternativer 12 Repetisjon av MA0301
13 Kombinasjoner Telling Teorem Kombinasjoner av n elementer på r plasser uten hensyn til rekkefølge ( ) n P (n, r) n! C(n, r) = = = r r! (n r)! r! Proposisjon Anta vi har n objekter av r typer, slik at vi har n 1 av første type, n 2 av andre,..., n r av r-te, slik at n 1 + n n r = n. Da er det forskjellige permutasjoner. n! n 1! n 2! n r! 13 Repetisjon av MA0301
14 Eksempel Telling Hvor mange ord kan man danne av bokstavene i MASSASAUGA? 10! 1! 4! 3! 1! 1! = Repetisjon av MA0301
15 Binomialteoremet Telling La n være et heltall. Da er ( ) (x + y) n n = x n y ( n + i n ( n = i i=0 ( ) n 1 ) x n i y i + + ) x n i y i x n 1 y 1 + ( ) n x 0 y n n 15 Repetisjon av MA0301
16 Telling Kombinasjoner med repetisjoner Anta at vi har n alternativer, og skal velge totalt r, men muligens flere av samme type. Da er det ( ) (n + r 1)! n + r 1 = r! (n 1)! r muligheter. 16 Repetisjon av MA0301
17 Eksempel 1.28 Telling Sju førsteårsstudenter stoppet ved et gatekjøkken for å kjøpe seg mat. Alternativene er Hamburger Cheeseburger Kebab Falafel Hvor mange forskjellige bestillinger er mulige? 17 Repetisjon av MA0301
18 Eksempel 1.28 Telling h h c c k k f h h h h c k f h h h h h h f c k k f f f f k k k k k f f k k k k k k k f f f f f f f Det viktige er ikke hva, men når det byttes fra en rett til en annen. 18 Repetisjon av MA0301
19 For å telle opp Telling Ferdigheter: Kunne gjennomføre telleargumenter Kombinere teknikker Abstrahere et konkret tilfelle, slik at det er mulig å velge en løsningsteknikk Grunnlag for: Fargeleggingsproblemer av objekter med rotasjons- og speilingssymmetri Sannssynlighetsregning Telling av funksjoner med spesielle egenskaper, svake kryptografiske nøkler, etc. 19 Repetisjon av MA0301
20
21 Checkliste Mengdelære Medlem i mengde Delmengde A = B A B B A Kardinalitet, A Den tomme mengden Potensmengden P(A): Mengden av alle delmengder av A P(A) = 2 A, og hvorfor Union, snitt, symmetrisk differanse, Venn-diagrammer Mengdesubtraksjon, komplement, disjunkte mengder Regneregler 21 Repetisjon av MA0301
22 Logikk og mengder Mengdelære Faktum Regnereglene for mengder og logiske utsagn er identiske. For en mengde A, definer en funksjon µ A, gitt ved { 1 hvis x A µ A (x) = 0 hvis x / A og tolk 1 som sant og 0 som usant. Da blir µ A en åpen påstand som er sann for alle x A, og (f.eks.) µ A µ B = µ A B. Moral: Har man forstått regnereglene for enten logiske utsagn eller mengder, kan man gjøre akkurat det samme for det andre. 22 Repetisjon av MA0301
23 Mengdelære Telle, ikke telle, telle, ikke telle,... La A, B, C,... være mengder. A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. 23 Repetisjon av MA0301
24 Induksjon og rekursjon Hvordan velte dominobrikker Anta at du har en lang, lang rekke av dominobrikker satt opp på høykant, og nær nok, altså det alle bruker dominobrikker til, ikke det de først var tiltenkt. Dersom 1 Du greier å velte den første brikken, og 2 Hver gang en brikke velter, vil den også velte den neste 24 Repetisjon av MA0301
25 Induksjon og rekursjon Hvordan gjennomføre et induksjonsbevis 0 Finn ut hvilken påstand du skal bevise! 1 Vis at det stemmer for det første tilfellet. Vanligvis er det for 0 eller 1 2 Anta at det stemmer for tilfelle k, og skriv opp hva det vil si. Dette kalles induksjonshypotesen. 3 Skriv opp hva du vil bevise i tilfellet k + 1. Hvis det involverer en (u)likhet, som det som regel gjør i MA0301: Begynn med å kna på venstre side helt til venstre side fra k-tilfellet dukker opp. Bruk induksjonshypotesten, altså bytt ut VS for k med HS for k. Kna videre på det uttrykket du nå har fått, slik at det til slutt ser ut som det du ville komme fram til. 25 Repetisjon av MA0301
26 Induksjon og rekursjon Hvordan gjennomføre et induksjonsbevis, forts. 4 Les notatet om induksjon på nettsiden 5 Tren 26 Repetisjon av MA0301
27 Rekursjon Induksjon og rekursjon rekursjon subst. m se: rekursjon Rekursjon og induksjon går hånd i hånd: Rekursjon bygger opp noe stort og komplisert fra et enkelt grunnlag, samt noen få regler. Induksjon beviser at konstruksjonen oppfyller gitte betingelser. 27 Repetisjon av MA0301
28 Induksjon og rekursjon Nødvendige ferdigheter Forstå induksjonsprinsippet Kunne gjennomføre et enkelt induksjonsargument, inkludert nødvendig mellomregning Forstå en rekursivt definert følge Bruke den rekursive regelen i induksjonssteget i et bevis 28 Repetisjon av MA0301
29 Kartesiske produkter Relasjoner B b (a, b) A B = {(a, b) a A, b B} Klassiske eksempler: R 2 Q = { a b a Z, b Z \ {0}} a A 29 Repetisjon av MA0301
30 Relasjoner Relasjoner Definisjon (Formell) En relasjon R fra A til B er en delmengde R A B. Vi sier at a er relatert til b dersom (a, b) R. Definisjon (Praktisk) En relasjon R er en betingelse. Nå er a er relatert til b dersom a og b oppfyller betingelsen. 30 Repetisjon av MA0301
31 Egenskaper Relasjoner Relasjonen R på A kalles... refleksiv dersom xrx for alle x A transitiv dersom xry og yrz impliserer xrz symmetrisk dersom xry impliserer yrx antisymmetrisk dersom xry og yrx impliserer x = y Definisjon Relasjonen er en ekvivalensrelasjon dersom er reflektiv, transitiv og symmetrisk Relasjonen er en delvis ordning dersom er reflektiv, transitiv og antisymmetrisk 31 Repetisjon av MA0301
32 Relasjoner Ekvivalensrelasjoner: Potato, potahto Ekvivalensrelasjoner er en måte å kategorisere objekter som for det aktuelle formålet har samme egenskaper, men som kanskje ikke er like ellers. En ekvivalensrelasjon genererer ekvivalensklasser; delmengder der alle objektene er ekvivalente. [x] = {y A y x}. Et element i [x] kalles en representant for klassen [x] = [y] eller [x] [y] = 32 Repetisjon av MA0301
33 Ukedager Relasjoner Tirsdager er tirsdager, så 0, 7, 14,... er essensielt det samme. Relasjonen 7 på Z definert ved a 7 b a b = 7k for en k Z induserer 7 ekvivalensklasser: [x] = {y Z y 7 x}. [0] = {..., 7, 0, 7, 14,...} [1] = {..., 6, 1, 8, 15,...} [2] = {..., 5, 2, 9, 16,...} [3] = {..., 4, 3, 10, 17,...} [4] = {..., 3, 4, 11, 18,...} [5] = {..., 2, 5, 12, 19,...} [6] = {..., 1, 6, 13, 20,...} [7] = [0] 33 Repetisjon av MA0301
34 Notasjon Relasjoner Ekvivalensrelasjoner er en generalisering av egenskapene til =, så vi bruker tegn som minner om =, som oftest. Delvise ordninger er en generalisering av og, så vi bruker tegn som minner, som oftest. 34 Repetisjon av MA0301
35 Delvise ordninger Relasjoner Viktig å kunne: Definisjonen Kombinere to ordninger for å se om man får en ny ordning Hasse-diagram 35 Repetisjon av MA0301
36 Relasjoner Flere ting du bør kjenne Representasjoner av relasjoner Komposisjon av relasjoner Største og minste elementer 36 Repetisjon av MA0301
37 Funksjoner Funksjoner Definisjon (Formelt) En funksjon f : A B er delmengde av A B slik at det for enhver a A finnes et unikt element b B slik at (a, b) f, og vi skriver b = f(a). Definisjon (Intuitivt) En funksjon f : A B er en regel som for enhver a A tilordner en unik b B, og vi skriver b = f(a). 37 Repetisjon av MA0301
38 Spesielle funksjoner Funksjoner Definisjon Funksjonen f : A B er injektiv dersom f(a 1 ) = f(a 2 ) impliserer at a 1 = a 2. Intuitivt: Både a og b skal være unike, to forskjellige a-er skal ikke kunne gå til samme b. Definisjon Funksjonen f : A B er surjektiv dersom det for enhver b B finnes en a A slik at f(a) = b. Intuitivt: f skal «treffe» hele B Strategi: Har ligningen b = f(a) alltid løsning? 38 Repetisjon av MA0301
39 Bijektive funksjoner Funksjoner a b c d a b c d Definisjon Funksjonen f : A B er bijektiv dersom den er både injektiv og surjektiv. En bijektiv funksjon f : A B skaper en én-til-én-korrespondanse mellom A og B. Problem: Finn f 1, den motsatte funksjonen av f. 39 Repetisjon av MA0301
40 Funksjoner Sammensatte funksjoner g f f : A B g : B C g f : A C A f C g (g f)(x) = g(f(x)) B 40 Repetisjon av MA0301
41 Identitetsfunksjonen Funksjoner For en mengde A, definer funksjonen 1 A : A A ved 1 A (x) = x. La f : A B være en inverterbar funksjon. Da er f 1 f = 1 A og f f 1 = 1 B 41 Repetisjon av MA0301
42 Pigeonhole principle Funksjoner Hvis m duer okkuperer n duehull, og m > n, da finnes det minst ett hull med minst to duer. 42 Repetisjon av MA0301
43 Flere temaer Funksjoner Restriksjoner og utvidelser Hva skjer med injektivitet og surjektivitet når funksjoner komponeres? 43 Repetisjon av MA0301
44 Språk Endelige tilstandsmaskiner Alfabet Σ Streng: Sammensetning av symboler Den tomme strengen λ Sammensetning av strenger Lengde av strenger Σ n, Σ +, Σ Alt er mengder, så vi kan bruke mengdeoperasjonene Ekstra operasjon: Sammensetning av språk, AB 44 Repetisjon av MA0301
45 Språk Endelige tilstandsmaskiner La Σ = {0, 1}, og betrakt språket A = {1}{0, 1} {0} {010}{1} Med ord: A består av alle ord som enten begynner med 1, så har hva som helst, og slutter med 0, eller begynner med 010 og så har vilkårlig mange 1-ere etterpå. Med Ikke med Repetisjon av MA0301
46 Endelige tilstandsmaskiner Endelige tilstandsmaskiner Regne ut enkle funksjoner Avgjøre om en streng er i et språk Tolkning: Hvis siste output er 1 er strengen gjenkjent, ellers avvist Vanlig teknikk: Lage en loop of death når det ikke lenger er håp for å godkjenne strengen Både transisjonene og output er funksjoner: Må være definert for alle input i alle noder 46 Repetisjon av MA0301
47 Endelige tilstandsmaskiner Endelige tilstandsmaskiner Språk: {1}{0, 1} {0} {010}{1} 1,0 0,1 s 5 0,1 start s 0 1,0 s 1 1,0 s 6 0,0; 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 1,0 0,1 s 2 s 3 s 4 1,1 47 Repetisjon av MA0301
48 Ferdigheter Endelige tilstandsmaskiner Lage endelig tilstandsmaskin basert på et oppgitt språk Lese av språket til en svært enkel tilstandsmaskin (lite oppmerksomhet, men ikke vanskelig) Konvertere mellom tabell- og diagramform for tilstandsmaskiner Modellere et problem som en endelig tilstandsmaskin Lese av output, gitt en maskin og input Vite at endelige tilstandsmaskiner er begrenset til regulære språk (ingen argumenter) 48 Repetisjon av MA0301
49 Veien videre Endelige tilstandsmaskiner Generaliseres til Turing-maskiner, som blant annet brukes til Modellering av som kan beregnes Modellering av sammensetning av kryptografiske protokoller Oppførsel i nettverk Presis definisjon av kjøretid 49 Repetisjon av MA0301
50 Grafer Grafteori Checkliste Definisjon av graf og multigraf Rettet, urettet Løkke Sykel Vei, lukket og åpen Sammenhengende, komponenter Delgrafer Utspennende delgraf Komplett graf Komplementet til en graf Graden til hjørner Kantvekter, total vekt Planare grafer Bipartitte grafer 50 Repetisjon av MA0301
51 Grafisomorfi Grafteori En grafisomorfi mellom to grafer (V 1, E 1 ), (V 2, E 2 ) er en funksjon f : V 1 V 2 slik at f er en bijeksjon, og (f(v), f(v )) er en kant i E 2 hvis og bare hvis (v, v ) er en kant i E 1 To grafer er isomorfe hvis det finnes en isomorfi mellom dem. Isomorfi bevarer alle egenskaper. Intuitiv forståelse: To grafer er isomorfe dersom du kan legge dem oppå hverandre ved å bare dra litt på hjørnene. 51 Repetisjon av MA0301
52 Grafteori Teknikker for å avkrefte isomorfi Er det like mange kanter og hjørner? Er det like mange komponenter? Tell gradene til hjørnene: Er det like mange hjørner av hver grad? Finnes det Euler- eller Hamilton-veier i den ene, men ikke den andre? 52 Repetisjon av MA0301
53 Euler-veier Grafteori Det må finnes en vei som går innom alle kanter nøyaktig én gang. Teorem La G = (V, E) være en urettet graf uten isolerte hjørner. Da har G en lukket Euler-vei hvis og bare hvis G er sammenhengende, og alle hjørner har partallsgrad. Husk ideen i beviset, samt korollaret. 53 Repetisjon av MA0301
54 Hamiliton-veier Grafteori Det må finnes en vei som går innom alle hjørner nøyaktig én gang. Lukkede Hamilton-veier kalles Hamilton-sykler Vanskeligere å avgjøre enn for Euler-veier Resultater i pensum er grovmaskede, men brukbare 54 Repetisjon av MA0301
55 Grafhomeomorfi Grafteori Elementær oppdeling: Essensielt sett å sette inn et nytt hjørne på en kant To grafer er homeomorfe dersom de er resultat av elementære oppdelinger fra samme utgangspunkt (Kuratowski) En graf er ikkeplanar hvis og bare hvis den inneholder en delgraf som er homeomorf til enten K 5 eller K 3,3. 55 Repetisjon av MA0301
56 Trær Trær m-ært Komplett Balansert Utspennende 56 Repetisjon av MA0301
57 Søkeideer Trær Dybde først Søk så dypt du kommer med én gang, og gå bare så langt tilbake som du trenger for å finne nye grener Bredde først Beveg deg ut fra startnoden i sirkler 57 Repetisjon av MA0301
58 Traversering Trær Preorder Inorder Postorder Se Prezi-animasjonene 58 Repetisjon av MA0301
59 Kjøretid Kjøretidsanalyse (forenklet) Man kan måle tiden det tar å kjøre en algoritme, for forskjellige størrelser på input. Tiden blir da ideelt sett en funksjon f av n, der n er størrelsen på input. Sammenlign f(n) med noen kjente funksjoner, og se hvilken veksten ligner mest på: 1, log n, n, n log n, n 2,..., n k, c n, n!. Hvis den ikke vokser verre enn n 2, sier vi at algoritmen er O(n 2 ). 59 Repetisjon av MA0301
60 Kjøretid Kjøretidsanalyse (presist) Definisjon Vi sier at g dominerer f, dersom det finnes konstanter m R + og k Z + slik at f(n) m g(n) når n k. O(g) = {alle funksjoner som er dominert av g} 60 Repetisjon av MA0301
61 Algoritmeideer Algoritmer Mergesort Del opp listene til det bare er ett element, og sett sammen slik at sorteringen beholdes Dijkstra Finn korteste vei ved å alltid velge korteste vei ut fra S Prim Finn minimalt utspennende tre ved å alltid velge den korteste kanten som går ut fra P til N Kruskal Finn minimalt utpennende tre ved å alltid velge billigste kant som ikke gir en sykel 61 Repetisjon av MA0301
62 Forberedelsestips Algoritmer 1 Lag en liste over absolutt alt vi har gått gjennom i pensum, og kryss av etterhvert som du føler at du kan temaet godt. 2 (Fritt etter Lahlum) Om det er noe du håper at du ikke får til eksamen: Jobb så mye på det at du til slutt håper å få det. 3 Lær deg faget, ikke eksamen. Få eksamener er like, og om du bare er god på å løse gamle eksamensoppgaver, får du store problemer om de bare endres bittelitt fra det som har vært. (Det kan skje, og mange har (rettmessig) gjort det dårlig på grunn av nettopp det.) 4 Tenk gjennom hva vi har brukt mest tid på, både av oppgaver, forelesningstid og repetisjon. Det er kjernepensum. 5 Jobb med å forstå hva som foregår. Eksamen tester forståelse, ikke bare hukommelse. Det er ikke uvanlig å spørre om en liten del av et stort bevis. 6 Gjør noe annet kvelden før eksamen. Slapp av! 62 Repetisjon av MA0301
63
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerRepetisjonsforelesning - INF1080
Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerForelesning 31: Repetisjon
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 31: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 31: Repetisjon 18. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-18 14:11) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 32: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. mai 2008 Streik? Det er muligheter for streik i offentlig sektor fra midnatt, natt til fredag.
DetaljerPrøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)
Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april
DetaljerMAT1030 Forelesning 23
MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =
DetaljerForelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk
DetaljerMatematisk induksjon
Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp
DetaljerForelesning 11. Relasjoner. Dag Normann februar Oppsummering. Relasjoner. Relasjoner. Relasjoner
Forelesning 11 Dag Normann - 18. februar 2008 Oppsummering Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære. Bruk av Venn-diagrammer er et av læringsmålene i dette emnet. Vi så kort på digital
DetaljerLøsningsforslag oblig. innlevering 1
Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra
DetaljerLøsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017
Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-23 14:33) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket
DetaljerINF3170 Forelesning 1
INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret
DetaljerMAT1030 Forelesning 11
MAT1030 Forelesning 11 Relasjoner Roger Antonsen - 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner Binære relasjoner Definisjon. La A være en mengde. En binær relasjon på A er
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 18. februar 2008 Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære.
DetaljerEn relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.
Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser
DetaljerMAT1030 Forelesning 12
MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 12: Relasjoner, Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. februar 2008 En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerLO118D Forelesning 5 (DM)
LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerNotat med oppgaver for MAT1140
Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
DetaljerEksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -
DetaljerMatematikk for IT Eksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk for IT Eksamen 4. januar 2019 Løsningsforslag Christian F. Heide January 10, 2019 OPPGAVE 1 En spørreundersøkelse blant en gruppe studenter
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerEmnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN ny og utsatt Emnekode: ITF10705 Dato: 4. juni 2018 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 13.00 Faglærer: Christian F Heide
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 1. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) August 29, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA 4140
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerAksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.
Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.
DetaljerEKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer:
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 05 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 til 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerFør vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030
DetaljerEKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerPlenumsregning 12. Diverse oppgaver. Roger Antonsen mai Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Plan
Plenumsregning 12 Diverse oppgaver Roger Antonsen - 22. mai 2008 Plan Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett eksamensoppgaver. Neste uke blir det repetisjon på mandag og onsdag. Send epost
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerUkeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis
Plenumsregning 11 Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen - 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen i dag. Oppgave 10.9 Oppgave 10.10 Oppgave 10.11 Oppgave 10.12 Oppgave
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerForelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen januar Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted
Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen - 22. januar 2007 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Foreleser: Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) Kontor 2403,
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 Hva skal vi lære? 22. januar 2007 3
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
DetaljerForelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11
Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 5. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 11 oppgaver med i alt 21 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 6. desember 03 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerMAT1030 Forelesning 24
MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerTo mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.
Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og
DetaljerLøsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerInnledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerLO118D Forelesning 3 (DM)
LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1
DetaljerInnføring i bevisteknikk
Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen
DetaljerMAT1140: Notat om grafteori
MAT1140: Notat om grafteori Dette notatet har to hensikter for det første å lære bort litt grafteori og for det andre å gi et eksempel på hvordan en matematisk teori bygges opp systematisk ved hjelp av
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis
Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerPlenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3).
Plenumsregning 9 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3). a) Ved å bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skritt
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
Detaljer