UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Det er mulig å få 100 poeng totalt, og for hver oppgave er det angitt det maksimale antall poeng. Det er mange oppgaver, så pass på at du bruker tiden din godt. Hvis du bruker 20 minutter på 10 poeng, så vil du ha 3 timer og 20 minutter til alle oppgavene, og da har du 40 minutter til å se over alt til slutt. Hvis du ikke klarer å løse en oppgave med en gang, hopp over oppgaven og løs den senere. Husk å skrive såpass hardt at svarene dine er synlige på alle kopiene. Lykke til! (Fortsettes på side 2.)

2 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) La R = { 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3 } og S = { 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3 } være relasjoner på mengden {1, 2, 3, 4}, og besvar følgende spørsmål. (a) [1 poeng] Regn ut R S. (b) [1 poeng] Regn ut R \ S. (c) [1 poeng] Regn ut S \ R. (d) [1 poeng] Regn ut S 1. (e) [1 poeng] Regn ut kardinaliteten til R S. (f) [1 poeng] Regn ut den symmetriske tillukningen av S. (g) [1 poeng] Hvor mange delmengder har S? (h) [1 poeng] Hvor mange delmengder av S har to elementer? (i) [1 poeng] Er R en refleksiv relasjon? Begrunn svaret kort. (j) [1 poeng] Vis at R S ikke er transitiv. Oppgave 2 Utsagnslogikk (10 poeng) Vi definerer et nytt konnektiv og tolker (P Q) på følgende måte. P Q (P Q) (a) [2 poeng] Finn en formel som er logisk ekvivalent med (P Q) hvor de eneste konnektivene er og. Begrunn svaret ved å lage en sannhetsverditabell. (b) [3 poeng] Finn en formel som er logisk ekvivalent med P hvor det eneste konnektivet er. Begrunn svaret ved å lage en sannhetsverditabell. (c) [5 poeng] Her er noen utsagnslogiske formler. Sett -piler som angir hvilke formler som er logiske konsekvenser av hverandre. For eksempel, sett en pil fra F til G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en formel til seg selv. (P Q) (P Q) (P Q) (P P) 2

3 Oppgave 3 Bevismetoder (10 poeng) En relasjon R på en mengde U kalles en preordning på U hvis den er refleksiv og transitiv og en partiell ordning på U hvis den er refleksiv, transitiv og anti-symmetrisk. Hvis F og G er utsagnslogiske formler, så skriver vi F G når G er en logisk konsekvens av F. (a) [3 poeng] Vis at er en preordning (du må vise at er refleksiv og transitiv). (b) [2 poeng] Vis at ikke er en partiell ordning. (c) [5 poeng] Anta at er en preordning på U. La være relasjonen på U som er slik at x y hvis og bare hvis x y og y x. Bevis at er en ekvivalensrelasjon. Oppgave 4 Partisjoner/ekvivalensklasser (10 poeng) (a) [5 poeng] Hva er en partisjon av en mengde? (b) [2 poeng] Gi en partisjon av {A, B, C, D, E}. Anta at er en ekvivalensrelasjon på {A, B, C, D, E} som gir opphav til følgende to ekvivalensklasser. {B, E} og {A, C, D} (c) [3 poeng] Skriv ned som en mengde av ordnede par. Oppgave 5 Tablåmetoden (10 poeng) For hvert av påstandene under, bruk tablåmetoden til å vise denne påstaden. For hvert svar, gi en god begrunnelse for hvorfor tablåmetoden viser at det er slik at denne påstaden holder. (a) [5 poeng] Formelen (P Q) ( P Q) er oppfyllbar. (b) [5 poeng] Formelen (P Q) ( P Q) er en tautologi. 3

4 Oppgave 6 Rekursjon og induksjon (20 poeng) La L være språket {0, 1} som består av alle strenger over alfabetet {0, 1}, og la f : L L være definert rekursivt på følgende måte, hvor x L og b {0, 1}. (Husk at Λ står for den tomme strengen.) 1. f(λ) = Λ 2. f(xb) = bf(x)b (a) [2 poeng] Regn ut f(1100), og vis hvordan du kommer frem til svaret. (b) [3 poeng] Forklar kort hva denne funksjonen gjør. (c) [3 poeng] Er f en injektiv funksjon? Forklar hvorfor eller gi et moteksempel. (d) [2 poeng] Er f en surjektiv funksjon? Forklar hvorfor eller gi et moteksempel. (e) [3 poeng] La M være f[l], bildemengden til f. Gi en induktiv definisjon av M. (f) [7 poeng] Bevis ved strukturell induksjon at antall tegn i f(x) er et partall for alle x L. Oppgave 7 Førsteordens representasjon (10 poeng) Anta at B, P, S, Q og T er relasjonssymboler slik at Bx tolkes som x leser gode bøker, Px tolkes som x er en professor, Sx tolkes som x er en student, Qxy tolkes som x er smartere enn y og Txy tolkes som x ser mer på TV enn y. Anta at a, b og c er konstantsymboler som representerer Anna, Bernt og Carl. Finn førsteordens formler for følgende setninger. (a) [2 poeng] Anna og Bernt er begge professorer som ikke leser gode bøker. (b) [2 poeng] Det fins ingen professor som ser mer på TV enn en student. (c) [2 poeng] Carl er smartere enn alle studenter som ser mer på TV enn Anna. Finn gode og naturlige setninger for følgende førsteordens formler. (d) [2 poeng] x(sx Bx) (e) [2 poeng] x(bx y(qxy By)) 4

5 Oppgave 8 Førsteordens modeller (10 poeng) x y(rxy Ryx) (a) [3 poeng] Spesifiser en førsteordens modell M med domene {1, 2, 3} som gjør denne formelen sann. Forklar kort hvorfor modellen gjør formelen sann ved å referere til definisjonen av tolkningen av førsteordens formler. (b) [2 poeng] Kan R i forrige oppgave tolkes som en refleksiv relasjon? Hvis ja, forklar kort hvordan det er mulig; hvis nei, forklar hvorfor det er ikke er mulig. (c) [5 poeng] Her er noen førsteordens formler. Sett -piler som angir hvilke formler som er logiske konsekvenser av hverandre. For eksempel, sett en pil fra F til G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en formel til seg selv. x(px Qx) xpx xqx xpx xqx xpx Oppgave 9 Grafteori (10 poeng) (a) [2 poeng] Er grafen enkel? Begrunn svaret ved å henvise til definisjonen av enkel. (b) [2 poeng] Er grafen sammenhengende? Begrunn svaret ved å henvise til definisjonen av sammenhengende. (c) [3 poeng] Har denne grafen en Eulerkrets? Hvis ja, gi en slik krets; hvis nei, forklar hvorfor det ikke kan finnes en slik. (d) [3 poeng] Har denne grafen en Eulersti? Hvis ja, gi en slik sti; hvis nei, forklar hvorfor det ikke kan finnes en slik. 5